FACOLTA’ DI AGRARIA
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Alimentari Analisi Matematica I
TRACCIA 1 - Appello del 10/03/2011
1) (7 punti) Calcolare il seguente limite lim x→+∞ 3x4− 2x + 1 5x2+ 1 log2 1 − arcsin 1 x2
2) (8 punti) Studiare la seguente funzione f (x) = x
log x − 2
e disegnarne il grafico. Indicare in quali intervalli l’equazione f (x) = k ammette una sola soluzione, due soluzioni, nessuna soluzione.
3) (7 punti) Data la funzione f : [−π, 2] −→ R definita ponendo
f (x) = sin x se − π ≤ x ≤ 0, −x2+ x se 0 < x ≤ 1 2 a 2 se 1 2 < x ≤ 2
determinare per quali valori reali del parametro a la funzione verifica le ipotesi del Teorema di Lagrange. In corrispondenza del valore trovato di a verificare se la funzione f soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle.
4) (8 punti) Data la funzione f (x) = √5
ex−4, determinare dominio,
codo-minio, controimmagine f−1([1, 2]), studiare la monotonia di f mediante la definizione, dire se f `e invertibile e in caso affermativo determinare l’inversa.
