Compito 08 09 2014

Universit`a dell’Aquila - Ingegneria

Prova Scritta di Fisica Generale II - 08/09/2014

Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU Docente ... ... ... ... .... ...

Problema 1

La distribuzione di carica sferica in figura `e caratterizzata da una densit`a di volume uniforme ρ1fino alla distanza dal centro R e da un’altra densit`a

uniforme ρ2 per distanze comprese tra R e 2R. Calcolare a) la carica

totale della distribuzione (2 punti) e b) la differenza di potenziale tra il centro e l’estremit`a della distribuzione (5 punti). c) Stabilire infine se una particella di massa m e carica q posta in quiete alla distanza R/2 dal centro esce dalla distribuzione di carica ad opera della stessa (3 punti).

,

2 ,

Dati: R = 20 cm, ρ1 = 2 · 10−7 C/m3, ρ2 = −1.8 · 10−7 C/m3, q = 1µC, m = 10−6kg.

Problema 2

Il condensatore nel circuito in figura `e a facce piane e parallele di area S e spessore d ed `e riempito per met`a con materiale isolante di costante dielettrica relativa 1 e per l’altra met`a con

materi-ale isolante di costante 2. Il circuito e’ inizialmente a regime

con l’interruttore aperto e ad un certo istante l’interruttore viene chiuso. Si calcoli: a) la capacit`a del condensatore e la carica nella nuova condizione di regime con l’interruttore chiuso (4 punti); b) la potenza dissipata dalla resistenza R2 non appena viene chiuso

l’interruttore (3 punti); c) la potenza erogata dal generatore f1

nell’istante t0 (3 punti).

߳

߳

ܴ

ܴ

݂

݂

Un circuito quadrato di lato L `e collegato ad un generatore ε ed ha resistenza complessiva R e massa totale M . Il circuito giace su un piano verticale ed ha un lato orizzontale posizionato in modo che il circuito risulta essere parzialmente immerso in un campo magnetico costante B, normale al piano del circuito. Si osserva che il circuito si muove verso l’alto con velocit´a costante v. Considerando il circuito indeformabile, calcolare: a) il verso ed il valore della corrente che circola nel circuito in moto (2 punti); b) la forza elettromotrice indotta (4 punti); c) la velocit`a con cui si muove il circuito (4 punti). Dati: ε= 10V, L = 40 cm, R = 5 Ω, M = 30 g, B = 5 T.

SOLUZIONI Problema 1

a) La carica totale vale

Q = 4π 3 R 3_ρ 1 + 4π 3  8R3− R3 ρ2 ' −35nC.

b) Il campo tra 0 ed R vale

E1(r) = ρ1 3ε0 r. Tra R e 2R vale E2(r) = Q1 4πε0r2 + ρ2 3ε0 r, con Q1 = 4π 3 R 3_ρ 1− 4π 3 R 3_ρ 2 ' 12.7nC

ove il secondo contributo rende conto del fatto che il campo generato dalla porzione della distribuzione con densit`a ρ2 `e equivalente al campo generato da una sfera di raggio R con

densit`a −ρ2 ed una sfera di raggio 2R con densit`a ρ2. La differenza di potenziale richiesta `e

V (0) − V (2R) = Z R 0 E1(r)dr + Z 2R R E2(r)dr = ρ1 6ε0 R2+ Q1 4πε0 ₁ R − 1 2R  + ρ2 6ε0  4R2− R2 ' 30.1V c) Dal teorema del lavoro

1 2mv 2_{(2R) =} 1 2mv 2_{(R/2) + q} 1[V (R/2) − V (2R)],

ove v(R/2) = 0. Affinch`e la particella fuoriesca dalla distribuzione di carica occorre che sia verificata la condizione 1₂mv2_{(2R) > 0, ovvero, essendo q}

1 > 0, la condizione [V (R/2) − V (2R)] > 0. Si calcola V (R/2) − V (2R) = Z R R/2 E1(r)dr + Z 2R R E2(r)dr = ρ1 6ε0 R2−R 2 4 ! + Q1 4πε0 ₁ R − 1 2R  + ρ2 6ε0  4R2− R2 ' −7.5V Dunque la particella non `e in grado di fuoriscire dalla distribuzione di carica partendo con velocit`a iniziale nulla.

Problema 2

a) Il condensatore `e equivalente a due condensatori con capacit`a C1 = 01

S/2

d e C2 = 02 S/2

posti in parallelo. La capacit`a risultante `e pertanto C = C1 + C2 = 2.2 pF .

A regime il condensatore `e un aperto e nella restante parte del circuito scorre la corrente antioraria i∞ = _Rf2−f1

1+R2. Pertanto la tensione ai capi del condensatore `e vC(∞) = f2− R2i∞=

f1+ R1i∞= 11.67V e la carica Q(∞) = CvC(∞) = 26pC.

b) Nell’istante iniziale il condensatore si trova alla tensione vC(0) = f1. Dunque non appena

l’interruttore viene chiuso deve risultare vC(0) = f2− R2i2(0), da cui i2(0) = (f2− f1)/R2 =

2.5mA. La potenza dissipata in tale istante da R2 `e dunque P2(0) = R2i22(0) = 12.5mW .

c) Nel circuito equivalente di Thevenin per la carica del condensatore la resistenza `e data dal parallelo di R1 ed R2, per cui Rth = R1R2/(R1 + R2). La f.e.m. di Thevenin fth `e

pari alla tensione vC(∞) calcolata nel punto a). Pertanto il condensatore si carica con legge

vC(t) = vC(0)e−t/τ + fth(1 − e−t/τ) = f1e−t/τ + fth(1 − e−t/τ), con τ = CRth. Dalla relazione

vC(t) = f1− R1i1(t) si ricava i1(t) = [f1− vC(t)]/R1 e quindi P1(t0) = f1i1(t0) ' −17.5mW .

Il segno meno indica che il generatore assorbe potenza. Problema 3

a) Il moto `e uniforme quindi la forza peso deve essere compensata dalla forza magnetica agente sul filo orizzontale immerso nel campo magnetico. Infatti, le forze magnetiche che agiscono sulle porzioni immerse di filo verticale si annullano a vicenda. Dalla condizione di forza totale nulla ricaviamo:

ILB = M g, I = M g

LB = 0.15A

Affinch´e la forza magnetica abbia verso contrario rispetto alla forza peso, la corrente nel circuito deve scorrere in senso anti-orario.

b) la corrente che circola `e determinata sia dal generatore che dalla forza elettromotrice fe.m. indotta dalla variazione di flusso del vettore B. Tale forza elettromotrice `e opposta al

generatore per la legge di Lenz:

ε − fe.m. = RI, fe.m. = ε − RI = 9.25V

c) la velocit´a si ottiene applicando la legge di Faraday: fe.m. = dΦB dt = d(BLz) dt = BL dz dt = BLv v = fe.m. BL = 4.63m/s