Problema2

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Scuole italiane all’estero (Americhe) 2006 Sessione Ordinaria– Problema 2

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Scuole italiane all’estero (Americhe) 2006 – PROBLEMA 2

Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la parabola p’ di equazione 𝑦 = 𝑎𝑥2_{, dove 𝑎 è un numero reale positivo assegnato.}

a)

Condotta una generica retta t per il fuoco F della parabola p’ e chiamato M il punto medio del segmento che p’ intercetta su t, trovare le funzioni x(k) ed y(k) che forniscono,

nell’ordine, l’ascissa e l’ordinata di M per mezzo della pendenza k della retta t.

Il fuoco F della parabola p’ di equazione 𝑦 = 𝑎𝑥2_{ha le seguenti coordinate:} 𝑥_𝐹 = − 𝑏 2𝑎= 0 , 𝑦𝐹 = 1 − Δ 4𝑎 = 1 4𝑎∶ 𝐹 = (0; 1 4𝑎).

La generica retta t passante per F (che interseca p’ in due punti) ha equazione: 𝑦 − 1

4𝑎 = 𝑘𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥 + 1 4𝑎.

Cerchiamo le intersezioni A e B di t con p’:

{𝑦 = 𝑘𝑥 + 1 4𝑎 𝑦 = 𝑎𝑥2 ; 𝑎𝑥2 _{= 𝑘𝑥 +} 1 4𝑎 , 4𝑎 2_𝑥2_{− 4𝑎𝑘𝑥 − 1 = 0 , 𝑥} 𝑀 = 𝑥1+ 𝑥2 2 = −𝑏_𝑎 2 = − 𝑏 2𝑎 Quindi: 𝑥_𝑀 = 4𝑎𝑘 8𝑎2 = 𝑘 2𝑎 e perciò: 𝑦𝑀 = 𝑘𝑥 + 1 4𝑎 = 𝑘2 2𝑎+ 1 4𝑎. Si ha perciò: 𝑥𝑀 = 𝑘 2𝑎 𝑒 𝑦𝑀 = 𝑘2 2𝑎+ 1 4𝑎.

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b)

Considerate le equazioni x=x(k) e y=y(k) ed eliminato il parametro k fra esse, si trova l’equazione di una seconda parabola p” (è chiamata luogo geometrico del punto M al variare di t nel fascio di centro F).

𝑝′′: { 𝑥 = 𝑘 2𝑎 𝑦 = 𝑘 2 2𝑎+ 1 4𝑎 ; { 𝑘 = 2𝑎𝑥 𝑦 = 2𝑎𝑥2+ 1 4𝑎 ∶ 𝑦 = 2𝑎𝑥2+ 1 4𝑎

c)

Calcolare l’area A della regione piana R delimitata dalle parabole p’ e p” e dalle rette di equazioni x=0 ed x=2a.

L’area richiesta si ottiene mediante il seguente calcolo integrale: 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑅) = 𝐴 = ∫ [2𝑎𝑥2+ 1 4𝑎− 𝑎𝑥 2_] 2𝑎 0 𝑑𝑥 = ∫ [𝑎𝑥2+ 1 4𝑎] 2𝑎 0 𝑑𝑥 = [1 3𝑎𝑥 3₊ 1 4𝑎𝑥]0 2𝑎 = = 8 3𝑎 4₊1 2= 𝐴

d)

Trovare il valore di a per il quale l’area A è uguale a 13/24 e, in corrispondenza di tale valore, calcolare il volume del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all’asse y.

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Dobbiamo risolvere la seguente equazione in a: 8 3𝑎 4₊1 2 = 13 24, 64𝑎 4 _{= 1 ,}_{𝑎 =} 1 2√2= √2 4 (𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 > 0)

Per tale valore di a le due parabole hanno equazione:

𝑝′_{: 𝑦 = 𝑓(𝑥) =}√2 4 𝑥 2_{, 𝑝}′′_{: 𝑦 = 𝑔(𝑥) =}√2 2 𝑥 2₊√2 2 Osserviamo il seguente grafico:

Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume del cilindro generato dalla rotazione attorno all’asse y del rettangolo OFBE i volumi generati dalla rotazione sempre attorno all’asse y delle due regioni 𝑅1 𝑒𝑑 𝑅2 .

Alternativamente (ed in modo più veloce), il volume richiesto può essere calcolato utilizzando il metodo dei gusci cilindrici (si veda la seguente pagina di matefilia:

http://www.matefilia.it/argomen/gusci-cilindrici/metodo-gusci-cilindrici.pdf ): 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥[𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 2𝑎 0 𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑥 [√2 2 𝑥 2₊√2 2 − √2 4 𝑥 2_] √2 2 0 𝑑𝑥 = = 2𝜋 ∫ 𝑥 [√2 4 𝑥 2₊√2 2 ] √2 2 0 𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ (√2 4 𝑥 3₊√2 2 𝑥) √2 2 0 𝑑𝑥 = 2𝜋 [√2 16𝑥 4₊√2 4 𝑥 2_] 0 √2 2 = = 2𝜋 (√2 64+ √2 8) = 9 32𝜋√2 𝑢 3 _{= 𝑉}