Esercizi sui fenomeni transitori

(1)

Schede di Elettrotecnica

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N

Diploma Universitario Teledidattico in

Ingegneria Informatica ed Automatica

Polo Tecnologico di Alessandria

A cura di Luca FERRARIS

Scheda N° 7

Reti in Corrente Continua:

(2)

Relazioni per i bipoli:

( )

R v t R i t i t v t R R R R R = ⋅ =    

( )

C v t C i t dt V i t C dv t dt C C t C C = + = ⋅       −∞

∫

1 0

( )

L i t L v t dt I v t L di t dt L L t L L = + = ⋅       −∞

∫

1 0

Nell’ipotesi che resistenze, condensatori ed induttanze siano costanti, le equazioni che risolvono la rete sono differenziali lineari a coefficienti costanti.

TRANSITORI AD UNA SOLA COSTANTE DI TEMPO E GENERATORI IN CONTINUA

Il transitorio è causato dall’aprirsi o chiudersi di interruttori; una qualsiasi tensione o corrente nel circuito sarà data da:

( )

(

)

( )

(

)

v t V V e V i t I I e I t t = − ⋅ + = − ⋅ +       + + ∞ − ∞ ∞ − ∞ 0 0 τ τ dove:

• V0+ e I0+ sono la tensione e la corrente nell’istante immediatamente successivo all’apertura o chiusura dell’interruttore. I condensatori non possono avere discontinuità di tensione (che richiederebbe una corrente infinita) e gli induttori non possono avere una discontinuità di corrente (che richiederebbe una tensione infinita); per questo motivo si possono valutare le condizioni iniziali sostituendo:

• ai condensatori dei generatori di tensione costante, pari alla tensione ai loro capi prima della manovra dell’interruttore;

• agli induttori dei generatori di corrente costante, pari alla corrente che li attraversa prima della manovra dell’interruttore.

• V∞ e I∞ sono la tensione e la corrente finali nel lato considerato; in pratica è la soluzione in regime

continuo, che si ottiene sostituendo:

• ai condensatori dei circuiti aperti

• agli induttori dei corto circuiti

• τ è la costante di tempo del circuito, che a seconda del tipo di bipolo conservativo presente nel circuito vale: Condensatore R C Induttore L R eq eq τ τ = ⋅ =     

dove Req è la resistenza equivalente vista ai morsetti del condensatore o dell’induttore (si calcola in modo analogo a quella del generatore equivalente di Thevenin).

(3)

E

SERCIZIO

7.1

Nel circuito in corrente continua rappresentato in figura l'interruttore viene aperto all'istante t = 0. Determinare l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0.

Dati R1 = 10 Ω R2 = 10 Ω R3 = 10 Ω L = 1 H E = 100 V Soluzione

( )

(

)

i t i i e i t = + − _∞ ⋅ + − ∞ 0 τ (soluzione generale) R_eq =R₂+R₃=20 ⇒ = 1 20 = L R_eq s Ω τ

i0+ = ? Dopo l’apertura dell’interruttore, la corrente che fluiva nel ramo con L non può far altro che richiudersi nel ramo con R2, per cui i0+ = - iL(0+) (= iL(0-))

( ) ( )

− = = = ⋅ + ⋅ + = ⇒ + + − i i_L i_L 0 0 0 1 2 100 10 10 10 10 10 3 33, A i₀+ = −3 33, A

( )

i_∞ =lim_t_→∞i t =0 A

per cui si può scrivere l’espressione della corrente nel ramo con R2:

( )

i t = −3 33, ⋅e− ⋅20t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 t [s] i(t)

+

R

1

R

₂

R

3

L

i(t)

E

Risultati I0- = 3,333333 I0+ = -3,33333 I∞ = 0 τ = 0,05

(4)

Nel circuito in corrente continua rappresentato in figura l'interruttore viene chiuso all'istante t = 0. Determinare:

a) l'energia immagazzinata nel circuito prima della manovra; b) l'energia immagazzinata nel circuito a transitorio estinto;

c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0. E = 1200 V

R = 250 Ω L = 40 mH

Soluzione

a) l'energia immagazzinata nel circuito prima della manovra è tutta contenuta nell’induttanza: iL(0-): la L a regime equivale ad un corto circuito, per cui la corrente che la attraversa vale:

( )

i E

R

L 0− = =4 8, A ⇒ WL 0− =0 4608, J

b) l'energia immagazzinata nel circuito a transitorio estinto è ancora tutta contenuta nell’induttanza: iL(∞): il circuito è lo stesso di prima:

( )

i E

R

L ∞ = =4 8, A ⇒ WL ∞ =0 4608, J

c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente iL(t) a partire dall'istante t = 0 è:

( )

(

)

i_L t I I e I t = + − _∞ ⋅ + − ∞ 0 τ dove:

( )

i i R R L L 0 4 8 4 8 125 + ₌ ∞ = = = ⇒ ⋅ , , / / A A = L R_eq con Req = 3,2 10 s -4 τ Ω τ quindi: iL(t) = 4,8 A

in pratica la manovra dell’interruttore non produce alcuna variazione nella corrente iL.

+

L

i

L

t

E

R

(5)

E

SERCIZIO

7.3

Nel circuito in corrente continua rappresentato in figura l'interruttore viene chiuso all'istante t = 0. Determinare:

a) l'energia immagazzinata nel circuito prima della manovra; b) l'energia immagazzinata nel circuito a transitorio estinto;

c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0. E = 1200 V

R1 = R2 = R3 = 250 Ω C = 4 nF

vC(0) = 1000 V

Soluzione

a) energia immagazzinata nel circuito prima della manovra: W'=1CV = ⋅ − ⋅ = ⋅ − 2 1 24 10 1000 2 10 0 2 9 2 3 J

b) a transitorio estinto il C equivale ad un circuito aperto, per cui nel ramo con R3 e C non scorre corrente ⇒ VC = VR2 W'=1CV_C = ⋅ − ⋅ = , ⋅ − 2 1 24 10 600 0 72 10 2 9 2 3 J

c) l'espressione analitica dell'andamento della corrente i(t) a partire dall'istante t = 0 è:

( )

(

)

i_L t I I e I t = + − _∞ ⋅ + − ∞ 0 τ dove:

I∞: a regime il C è un circuito aperto ⇒ I E

R R

∞ = ₊ =

1 2

2 4, A

I0+: all’istante 0+ dopo la chiusura il condensatore è carico a 1000 V, per cui applicando Millman:

V V R AB= AB + + + = ⇒ = = 1200 250 1000 250 1 250 1 250 1 250 733 33 2 93 2 , V I₀₊ , A τ=R_eq⋅C con R_eq = R+ =R ⇒ = 375 4 10τ ⋅ ⋅ -9 = ⋅ − s 2 375 1 5 10 6 Ω ,

( ) (

)

i t e t = 2 93 2 4, − , ⋅ −τ +2 4,

+

R

₁

R

₂

R

₃

C

i(t)

E

v

_C 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 i(t) Risultati I0- 2,4 I0+ 2,933333 Ioo 2,4

(6)

Dato il circuito rappresentato nella figura, determinare l’andamento della corrente i(t) al chiudersi dell’interruttore. Dati R1 10Ω R2 20Ω R3 15Ω C 0,000001 F E 200 V VC 0 50 V Soluzione 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

-4E-05 -2E-05 0 2E-05 4E-05 6E-05 8E-05 0,0001 0,0001 0,0001 t [s] i(t)

+

E

C

v

0

i(t)

R

1

R

2

R

3 Risultati I0- = 6,666667 I0+ = 5,384615 Ioo = 6,666667 τ =2,17E-05

(7)

E

SERCIZIO

7.5

Dato il circuito rappresentato nella figura, determinare l’andamento della corrente i(t) dopo l’apertura dell’interruttore. Dati R1 20Ω R2 10Ω L 5 mH E 250 V I 10 A Soluzione R2 E + I R1 L i(t) -16 -11 -6 -1 4 9 -0,0004 -0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014 Risultati I0+ = -15 Ioo = 10 τ =0,00025