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(1)

POMPE

Esercizio 1

Una pompa centrifuga `e installata nel circuito di raffreddamento di un conden-satore; la potenza termica scambiata al condensatore `e pari a 15 M W . L’acqua prelevata dalla pompa proviene da un bacino (2) atmosferico con pelo libero po-sto a quota z2 = 2m; dopo aver attraversato lo scambiatore l’acqua viene inviata

a un secondo bacino (1), sempre atmosferico, il cui pelo libero si trova a quota z1 = 7m . La curva caratteristica della pompa che aspira acqua fredda dal

serba-toio inferiore è data dall’equazione (1) (per la velocità di rotazione operativa della pompa stessa). Il circuito è costituito da tubi di diametro D = 300 mm, all’inter-no dei quali le perdite ammontaall’inter-no a 2 quote cinetiche nel condotto di aspirazione e a 3 quote cinetiche nel condotto di mandata.

Calcolare:

a) Il punto di funzionamento del sistema (analiticamente).

b) L’incremento di temperatura dell’acqua nel condensatore, trascurando le per-dite nei condotti del condensatore.

c) La quota di aspirazione massima zadella pompa, che ne garantisce un

funziona-mento esente da cavitazione, noto che NPSH richiesto `e pari a 3 m e che, alla tem-peratura operativa, la pressione di saturazione del fluido di lavoro `e Pv = 0.04 bar.

Come si modifica il valore massimo di zase la tubazione di aspirazione presenta

(2)

Dati: ˙ Q = 15 M W z1 = 7 m z2 = 2 m Ya = 2 V_a2 2g Ym = 3 V_m2 2g D = 0.3 m N P SHr = 3 m Pv = 0.04 bar Ya0 = 5 V_a2 2g H = 26 + 2 ˙V − 85 ˙V2 dove V = [m˙ 3/s], H = [m] (1) Soluzione:

a) Per calcolare il punto di funzionamento della pompa `e necessario determinare l’espressione analitica della curva caratteristica dell’impianto (curva caratteristica del circuito), ovvero la funzione Hc= Hc( ˙Vc), dove Hcrappresenta la prevalenza

richiesta dall’impianto e ˙Vc la portata volumetrica circolante nell’impianto.

Ta-le funzione pu`o essere ottenuta scrivendo il bilancio di energia meccanica per il sistema tra le sezioni 2 e 1:

l − lw g = V2 1 2g + P1 ρg + z1 − V 2 2 2g + P2 ρg + z2 + Ya+ Ym

che esprime l’energia meccanica che il circuito richiede (termine a destra) e che sar`a evidentemente fornita da una pompa (termine a sinistra); considerando che P1 = P2 e V1 = V2 = 0, `e possibile esprimere la prevalenza Hc richiesta dal

circuito come:

Hc=

l − lw

g = (z1− z2) + Ya+ Ym

Poich´e le tubazioni di aspirazione e mandata hanno lo stesso diametro, il bilancio di massa (equazione di continuit`a), nel caso (come questo) di liquido perfetto,

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implica Va = Vm = V e possiamo ottenere l’espressione della caratteristica del

circuito esprimendo le perdite in funzione della portata volumetrica:

Hc= (z1− z2) + 5 V2 2g = (z1− z2) + 5 2g 4 πD2 2 ˙ Vc 2 ed infine: Hc = 5 + 51 ˙Vc 2 .

Il punto di lavoro del sistema pu`o essere calcolato mettendo a sistema le espressio-ni di H e Hc, ovvero imponendo Hc = H e ˙Vc= ˙V (condizioni che si realizzano

quando la pompa viene inserita nel circuito): (

H = 26 + 2 ˙V − 85 ˙V2 Hc = 5 + 51 ˙V2

che fornisce il punto di funzionamento seguente: (

˙

V = 0.4 m3/s H = 13.2 m

b) Il calcolo dell’incremento di temperatura dell’acqua nel condensatore viene eseguito scrivendo il bilancio di energia tra le sezioni di ingresso (in) e di uscita (out) del ramo acqua del condensatore:

uout,c− uout,c+ Pout,c− Pin,c ρ + V2 out,c− Vin,c2 2 + g(zout,c− zin,c) = q + l osservando che nel condensatore non c’`e scambio di lavoro e che le perdite sono trascurabili, l’equazione dell’energia meccanica fornisce:

Pout,c− Pin,c ρ + V_out,c2 − V2 in,c 2 + g(zout,c− zin,c) = l − lw = 0 e sostituendo il trinomio Pout,c− Pin,c ρ + V2 out,c− Vin,c2 2 + g(zout,c− zin,c) = 0 nell’equazione dell’energia, si ottiene:

uout,c− uout,c= CL(Tout,c− Tout,c) =

˙ Q ρ ˙V ⇒ (Tout,c− Tout,c) = ˙ Q ρ ˙V CL = 8.96K

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con CL = 4.186 kJ/(kgK) calore specifico dell’acqua in fase liquida.

c) La quota di aspirazione massima a cui si pu`o collocare la pompa per evitare cavitazione pu`o essere calcolata imponendo la seguente condizione su NPSH:

N P SHdisp ≥ N P SHrich

dalla definizione di N P SHdisp per una pompa si ha:

N P SHdisp= Pa ρg + V2 a 2g − Pv ρg

dove i pedici a e m si riferiscono alle flange di aspirazione e mandata della pompa. Dall’equazione dell’energia meccanica (teorema di Bernoulli generalizzato) scrit-ta tra le sezioni 2 e a si ottiene il seguente risulscrit-tato per za:

za ≤ z2+

P2− Pv

ρg − Ya

g − N P SHrich= 5.65 m mentre nel caso in cui Ya = 5V

2 a 2g, si ottiene: za ≤ z2+ P2− Pv ρg − Ya g − N P SHrich= 0.75 m

(5)

Esercizio 2

Il funzionamento di una pompa centrifuga alla velocit`a di rotazione di 1500 rpm `e descritto dalle seguenti curve caratteristiche, H( ˙V ) = −5000 ˙V2_{+ 30 e η( ˙}_{V ) =}

−250 ˙V2_{+ 17 ˙}_{V + 0.5. Il circuito idraulico in cui `e inserita la pompa `e definito da}

un dislivello di 22 m tra due serbatoi alla stessa pressione e da un dato sperimen-tale (punto exp) che indica una prevalenza richiesta di 25 m in corrispondenza di una portata circolante nell’impianto pari a 0.05 m3_{/s (si assuma una forma}

para-bolica per la caratteristica del circuito).

a) Si richiede di valutare il punto di lavoro della macchina e la corrispondente potenza assorbita.

b) Allo scopo di regolare la portata viene variata la velocit`a di rotazione. Si ri-chiede di determinare il nuovo punto di funzionamento a 1750 rpm e la potenza assorbita nella nuova condizione operativa.

Dati: nA= 1500 rpm H( ˙V ) = −5000 · ˙V2+ 30 ∆z = 22m η( ˙V ) = −250 ˙V2+ 17 ˙V + 0.5 ˙ V = [m3/s] H = [m] Hexp = 25m V˙exp. = 0.05m3/s nB = 1750 rpm Soluzione:

a) Per individuare il punto di funzionamento della macchina `e necessario

deter-minare la curva caratteristica del circuito. Come indicato, si assume una forma pa-rabolica, la cui forma `e la seguente (si scriva esplicitamente la forma di Hc

utiliz-zando l’equazione dell’energia meccanica per il circuito, in modo da evidenziare l’assenza del termine lineare):

Hc( ˙V ) = A · ˙V2+ C

in cui `e noto che, per portata nulla, Hc = ∆z, essendo nulla la differenza di

pressione e di velocit`a del fluido tra i due serbatoi. Di conseguenza C = ∆z = 22 (si ricordi che per portata nulla anche le perdite nei condotti sono nulle). Dal dato sperimentale `e possibile ottenere il valore A, osservando che tale dato appartiene alla curva caratteristica del circuito e dunque ne soddisfa l’equazione:

25 = 22 + A(0.05)2 ⇒ A = 25 − 22

(6)

Il punto operativo della macchina `e ottenuto mettendo a sistema le curve caratte-ristiche della pompa e del circuito:

(

H( ˙V ) = 30 − 5000 ˙V2 Hc( ˙V ) = 22 + 1200 ˙V2

Dall’intersezione delle due curve si trova il punto di funzionamento e, per la portata ottenuta, si calcola il corri-spondente rendimento (essendo nota la sua espressione analitica):

     ¯ H = 23.5 m ¯˙ V = 0.036 m3/s ¯ η = 0.788

Dunque, la potenza assorbita dalla pompa `e:

˙

W = ˙m∆h = ρV¯˙g ¯H ¯

η = 10.5 kW

b) Allo scopo di regolare (cambiare) la portata nel sistema è necessario modificar-ne il punto di funzionamento, ovvero l’interseziomodificar-ne tra caratteriastica della pompa e del circuito. E’ dunque possibile intervenire sul circuito, ad esempio agendo su una valvola e modificando le perdite, sulla pompa, variandone la velocità di rotazione, oppure su entrambe. In questo caso non si ha nessuna azione sul cir-cuito (e dunque nessuna modifica della sua curva caratteristica), mentre cambia la curva caratteristica della pompa, della quale si incrementa il numero di giri. Per trovare il nuovo punto di lavoro del sistema è dunque necessario determinare la curva caratteristica della pompa alla nuova velocità di rotazione ed individuarne l’intersezione con la caratteristica del circuito.

Per ottenere la curva di funzionamento della pompa alla nuova velocit`a di rotazio-ne nBsi utilizza la curva caratteristica (nota) della pompa alla velocit`a di rotazione

nAe si fa ricorso alla teoria della similitudine.

Si consideri il punto A1appartenente alla caratteristica della pompa a nA, il punto

B1 corrispondente (ovvero in similitudine) ad A1 per n = nB `e di certo

appar-tenente alla curva di funzionamento della pompa a nB (in particolare `e il punto

(7)

A1 e B1 presentano, ovviamente, gli stessi valori dei parametri adimensionali (ad

esempio ϕ e ψ). Eseguendo tale operazione per tutti i possibili punti A1 si

ot-tengono tutti i possibili punti B1, ovvero la curva caratteristica della pompa alla

velocit`a di rotazione nB.

Tali considerazioni equivalgono a dire, più semplicemente, che le due curve ca-ratteristiche dimensionali, diventano un’unica curva in termini adimensionali (ad es. ψ = ψ(ϕ)); questo nel contesto della similitudine geometrica-cinematica. La similitudine geometrica è garantita dal fatto che la macchina non cambia, quel-la cinematica si ottiene attraverso l’uguaglianza dei parametri adimensionali (che garantisce triangoli di velocità simili). Si noti che la similitudine è qui sfruttata soltanto per ottenere la curva caratteristica della pompa a velocità di rotazione nB, indipendentemente dal fatto che la macchina (inserita nel circuito) lavori, a

giri nB, in similitudine rispetto al caso a giri nA(cosa che, infatti, non accade).

Detto quanto sopra, `e sufficiente utilizzare l’espressione (dimensionale) della cur-va caratteristica a giri nA, adimensionalizzarla e osservare che tale curva

adimen-sionale `e la stessa per il caso a giri nB. Esprimendo i parametri adimensionali

in funzione delle variabili e dei parametri relativi al funzionamento a giri nB, si

ottiene la curva caratteristica (dimensionale) a giri nB:

HA= −5000 ˙VA 2 + 30 ⇒ ψAn2AD 2 A= −5000ϕ 2 An 2 AD 6 A+ 30 ⇒ ψ = −5000ϕ2D4+ 30 n2 AD2 poich´e ϕA= ϕB= ϕ, ψA= ψB = ψ e DA = DB = D

L’ultima relazione rappresenta la curva caratteristica della pompa in termini adi-mensionali. Esprimendo ora i parametri adimensionali ϕ e ψ in funzione di HB,

˙

VBe nBsi ottiene la curva caratteristica della pompa a velocit`a di rotazione nB:

HB n2 BD2 = −5000V˙B 2 D4 n2 BD6 + 30 n2 AD2 ⇒ HB = −5000 ˙VB+ 30 nB nA 2 ⇒ HB = −5000 ˙VB+ 40.8

Si noti che nel caso in cui le macchine (geometricamente simili) avessero avuto diametro diverso, l’analisi sarebbe stata la stessa, ma ma sarebbero comparsi an-che i rapporti tra i diametri DAe DBnell’espressione finale.

Con approccio del tutto simile, si ottiene la curva di rendimento per la pompa operante a velocit`a di rotazione nB:

ηA= −250 ˙VA 2 + 17 ˙VA+ 0.5 ⇒ ηA= −250ϕ2An 2 AD 6_{+ 17ϕ} AnAD3 + 0.5 ⇒ η = −250ϕ2n2_AD6+ 17ϕnAD3+ 0.5

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L’ultima relazione rappresenta la curva del rendimento della pompa in termini adimensionali. Esprimendo ora il parametro adimensionale ϕ in funzione di ˙VBe

nBsi ottiene la curva caratteristica della pompa a velocit`a di rotazione nB:

η = −250 nA nB 2 ˙ VB 2 +17 nA nB ˙ VB+0.5 ⇒ η = ηB= −183.7 ˙VB 2 +14.6 ˙VB+0.5

Il nuovo punto di funzionamento si ottiene, al solito, mettendo a sistema la cur-va caratteristica della pompa in corrispondenza di nB con quella (invariata) del

circuito; per la portata ottenuta, si calcola anche il corrispondente rendimento (essendo nota la sua espressione analitica):

( HB( ˙VB) = 40.8 − 5000 ˙VB 2 Hc( ˙VB) = 22 + 1200 ˙VB 2 da cui:      ¯ HB = 25.63 m ¯˙ VB = 0.055 m3/s ¯ ηB = 0.745

Dunque, la potenza assorbita dalla pompa `e:

˙ WB = ˙mBwB = ρV¯˙B g ¯HB ¯ ηB = 18.54 kW

Si noti che il nuovo punto di lavoro del sistema NON `e in similitudine con quello originario. A conferma di ci`o, si vedano i rendimenti che differiscono nei due casi (a ulteriore conferma si possono calcolare i parametri adimensionali ϕ e ψ per i due punti di funzionamento e verificare che anch’essi differiscono).

Si `e fatto uso di concetti di similitudine per determinare le curve di funzionamen-to della pompa a diverse velocit`a di rotazione, ma, note le curve, i punti di lavoro sono determinati dalla curva caratteristica del circuito. In generale punti diffe-renti della caratteristica del circuito non hanno alcun legame con le condizioni di similitudine della macchina.

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(10)

POMPE

Esercizio 3

La curva caratteristica di una pompa centrifuga pu`o essere valutata sulla base delle seguenti caratteristiche geometriche e condizioni operative:

• diametro allo scarico della girante D2 = 0.75 m;

• altezza di pala allo scarico della girante b2 = 0.1 m;

• angolo relativo allo scarico della girante β2 = 30◦ (pale in avanti);

• velocit`a di rotazione n = 650 rpm;

• curva del rendimento idraulico η = 0.98 − 0.02 ˙V ( ˙V = [m3/s]).

La macchina `e installata in un circuito idraulico, in cui circola acqua, caratteriz-zato da un dislivello geodetico di 19 m tra i peli liberi di due bacini (atmosferi-ci). Il diametro dei condotti di aspirazione e mandata `e pari a 0.8 m e le perdite complessive sono pari a 5 quote cinetiche.

Si richiede di:

a) valutare il punto operativo del sistema e la potenza assorbita dalla pompa in questa condizione.

b) Considerando pompa e circuito adiabatici, calcolare l’incremento della tem-peratura dell’acqua tra il bacino di aspirazione e quello di mandata e il lavoro specifico lw dissipato dalla sola pompa (si assuma, al solito per l’acqua, ρ =

1000 kg/m3_{, C}

L = 4186 J/(kgK).

c) La pompa viene sostituita da una nuova pompa, geometricamente simile alla precedente. Calcolare la nuova velocit`a di rotazione e il nuovo diametro della gi-rante tali da garantire (nello stesso circuito idraulico) una portata volumetrica pari a 15 m3/s con la nuova pompa operante in similitudine rispetto alla precedente.

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Dati: n = 650 rpm η = 0.98 − 0.02 ˙V V = [m˙ 3/s] D2 = 0.75 m b2 = 0.1 m β2 = 30◦ z3− z0 = 19 m D = 0.8 m Y = 5 V2 2 Soluzione:

a) Per calcolare il punto di funzionamento del sistema `e necessario valutare l’e-spressione analitica delle curve caratteristiche dell’impianto e della pompa. La curva caratteristica del circuito Hc = Hc( ˙V ) pu`o essere determinata scrivendo il

bilancio di energia meccanica tra i due peli liberi (sezioni 0 e 3):

l − lw − Y = V2 3 2 + P3 ρ + gz3 − V 2 0 2 + P0 ρ + gz0

poich´e P3 = P0 = Patm e V3 = V0 = 0 e, scrivendo le perdite come funzione

della portata volumentrica ˙V , si ottiene:

Hc= 5 2g 16 ˙V2 π2_D4 + (z3− z0) = 1.01 ˙V 2_{+ 19}

La curva caratteristica della pompa H = H( ˙V ) può essere ottenuta dalla sua curva di rendimento e dalla definizione di rendimento idraulico di una pompa η = gH/l, a condizione che il lavoro specifico scambiato tra pompa e fluido sia noto in funzione della portata, ovvero che la funzione l = l( ˙V ) sia nota. Per calcolare il lavoro specifico è possibile sfruttare la relazione di Eulero, noti che siano i triangoi di velocità. Poiché la pompa (centrifuga) aspira assialmente il fluido di lavoro dal tubo di aspirazione, il lavoro euleriano è l = U2V2te soltanto il

triangolo di velocit`a all’uscita della girante `e necessario per effettuarne il calcolo.

U2 = 2π

n 60

D2

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V2r = W2r = ˙ V πD2b2 = 4.25 ˙V W2t = W2rtanβ2 = 2.45 ˙V V2t = U2+ W2t = 25.5 + 2.45 ˙V e, in conclusione: l = U2V2t = U22 + U2W2t= 650.25 + 62.48 ˙V

Dalla definizione di rendimento idraulico di una pompa si ha:

H = ηl g = (0.98 − 0.02 ˙V )(650.25 + 62.48 ˙V ) 9.81 = −0.13 ˙V 2 + 4.92 ˙V + 64.96

ovvero, la curva caratteristica della pompa. Il punto operativo si calcola imponen-do H = Hc, ovvero mettendo a sistema le espressioni di H eHc:

(

H = −0.13 ˙V2+ 4.92 ˙V + 64.96 Hc = 1.01 ˙V2+ 19

che fornisce il seguente punto operativo:

( ¯˙

V = 8.9 m3/s ¯

H = 98.4 m

Noto il punto di funzionamento `e possibile calcolare il lavoro specifico e la poten-za assorbita:

l = U2V2t= 650.25 + 62.48V = 1206.5 J/kg¯˙

˙

L = ρV l = 10.74 M W¯˙

b) L’incremento di temperatura tra i due bacini pu`o essere calcolato scrivendo l’equazione dell’energia tra le sezioni 0 e 3:

l + q = CL(T3− T0) + P3− P0 ρ + V₃2− V2 0 2 + g(z3− z0) e, essendo circuito e pompa adiabatici (q = 0):

T3− T0 = l CL − g(z3− z0) CL = 0.245 ◦C

Il lavoro specifico lw dissipato dalla pompa pu`o essere calcolato utilizzando la

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di bilancio dell’energia meccanica dall’equazione dell’energia. A meno delle approssimazioni, il risultato `e il medesimo; rispettivamente:

l_w= l − gH¯ = 241 J/kg l_w= (1 − η)l = (1 − 0.98 + 0.02V˙¯ )l = 239 J/kg lw = CL(T3− T0) − Y = CL(T3− T0) − 5 2 16V¯˙2 π2_D4 = 241 J/kg

c) Poiché il cambio della pompa lascia il circuito inalterato, il nuovo punto di funzionamento é: ( _˙ Vc) = 15.0 m3/s Hc) = 19 + 1.01 ˙Vc) 2 = 246.5 m Le due pompe operano in similitudine, perciò:

( ϕc) = ϕ ψc) = ψ e dunque            ˙ Vc) nc)D3_2,c) = ¯˙ V nD3 2 gHc) n2 c)D2,c)2 = g ¯H n2_D2 2 conseguentemente: nc) = n ¯˙ V ˙ Vc) !1/2 Hc) ¯ H 3/4 = 996.5 rpm D2,c) = D2 Hc) ¯ H 1/2 n nc) = 0.774 m

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Esercizio 4

Nel circuito idraulico rappresentato in figura la potenza richiesta dal fluido viene fornita da due pompe identiche (uguali e operanti alla stessa velocit`a di rotazione) poste in parallelo. Ogni pompa opera a n = 1500 rpm. A questa velocit`a di rotazione le curve caratteristiche di prevalenza e rendimento della singola pompa (pedice P) sono espresse come:

HP = −100 ˙VP 2 − 20 ˙VP + 12.5 V˙P = [m3/s] HP = [m] η = −0.2 ˙VP 2 − ˙VP + 1

I condotti primari di aspirazione e mandata hanno diametro D = 0.4 m e inclu-dono diversi componenti che determinano una perdita complessiva Y = 25V2/2, riferita alla velocit`a V nel tubo primario. La differenza di quota tra i peli liberi dei due bacini (atmosferici) `e (z2 − z1) = 4 m. I rami secondari delle

tuba-zioni di aspirazione e mandata possono essere considerati identici e con perdite trascurabili.

Si richiede di:

a) calcolare il punto operativo del sistema e la potenza assorbita dalle pompe. b) Nel caso in cui una pompa vada fuori servizio, a che velocit`a di rotazione si de-ve portare pompa che resta in servizio allo scopo di garantire che la stessa portata volumetrica del caso a) circoli nel sistema? Qual `e la potenza assorbita in questo caso? Dati: n = 1500 rpm D = 0.4 m Y = 25V 2 2 z2 − z1 = 4 m

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Soluzione:

a) Il calcolo del punto operativo richiede la valutazione dell’espressione analitica delle curve caratteristiche di circuito e macchina. La macchina `e ora costituita dal sistema delle due pompe in parallelo, che forniscono la potenza meccanica richie-sta dal circuito. E’ dunque necessario costruire la curva caratteristica del sistema di pompe (H = H( ˙V )) a partire dalla conoscenza della curva della singola pompa (HP = HP( ˙VP)).

Essendo le pompe in parallelo e trascurabili le perdite nei rami secondari, le due pompe hanno la stessa prevalenza HP, che `e anche uguale a quella del sistema

di pompe H, cio`e H = HP. Inoltre, la configurazione in parallelo `e tale per

cui la portata del sistema `e pari alla somma delle portate elaborate dalla singola macchina (in generale, per un numero arbitrario i di pompe ˙V =Pi

k=1V˙k); perci`o ˙ V = ˙VP + ˙VP = 2 ˙VP. Si ha dunque: ( H = HP ˙ V = 2VP

Sostituendo le relazioni appena scritte nell’equazione della curva caratteristica della singola pompa, si ottiene una relazione tra la prevalenza H e la portata vo-lumetrica ˙V del sistema di pompe; chiaramente questa relazione esprime la curva caratteristica del sistema di pompe in parallelo:

H = HP = −100 ˙VP2− 20 ˙VP + 12.5 = −100 ˙_V 2 !2 − 20V˙P 2 + 12.5 ovvero H = −25 ˙V2− 10 ˙V + 12.5

Al solito, la curva caratteristica del circuito Hc = Hc( ˙V ) si ottiene scrivendo il

bilancio di energia meccanica tra le sezioni 1 e 2:

l − lw− Y = P2− P1 ρ + V2 2 − V12 2 + g(z2− z1)

essendo P2 = P1 = Patm e V2 = V1 = 0 e scrivendo le perdite del circuito in

funzione della portata volumetrica ˙V si ha:

Hc= 25 2g 16 ˙V2 π2_D4 + (z2− z1) = 80.77 ˙V 2_{+ 4}

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Il punto operativo OP del sistema `e infine ottenuto mettendo a sistema le espres-sioni di H e Hc, ovvero imponendo H = Hc:

(

H = −25 ˙V2− 10 ˙V + 12.5 Hc = 80.77 ˙V2+ 4

che d`a il seguente punto di funzionamento (punto OP nel diagramma riportato nel seguito): ( ¯˙ V = 0.24 m3/s ¯ H = 8.65 m

Di conseguenza il punto operativo della singola pompa (punto OPP) `e:

   ¯˙ VP = ˙ V 2 = 0.12 m 3_/s ¯ HP = H = 8.65 m

Allo scopo di valutare la potenza assorbita è necessario il calcolo del rendimento di ciascuna pompa; si noti che la curva di rendimento assegnata è relativa al-la singoal-la pompa (cosa ovvia poiché il rendimento idraulico è un parametro di prestazione che caratterizza la specifica macchina). Perciò, al punto operativo di ciascuna singola pompa, il rendimento e il lavoro specifico sono:

¯ ηP = −0.2V¯˙P2−V¯˙P + 1 = 0.877 lP = g ¯HP ¯ ηP = 96.76 J/kg

Infine la potenza assorbita dal sistema di pompe `e:

˙

L = 2 ˙LP = 2ρV¯˙PlP = 23.22 kW

b) In caso di rottura di una pompa (schema di impianto rappresentato sotto) una variazione (incremento) della velocit`a di rotazione della pompa restante `e neces-saria a garantire al sistema la stessa portata volumentrica del caso a).

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La curva caratteristica dell’impianto resta invariata, mentre la curva della (singola) pompa ancora funzionante si sposta allo scopo di fornire la stessa portata del caso a). Poich´e circuito e portata restano invariati, anche il punto operativo (OP) `e lo stesso del caso a): la curva della pompa funzionante si deve spostare fino a passare per il punto OP.

La nuova velocità di rotazione può essere determinata calcolando la curva carat-teristica della pompa rimanente a una generica velocità di rotazione nb (ovvero

HP,b = HP,b( ˙VP,b)) che verr`a fissata imponendo che il punto operativo (OP)

giac-cia su tale curva. La procedura usata per calcolare la curva HP,b = HP,b( ˙VP,b)

sfrutta concetti di similitudine.

Un punto QP appartenente alla curva della pompa con velocit`a di rotazione n

pos-siede un punto di funzionamento corrispondente QP,bper la stessa pompa (dunque

una pompa geometricamente simile ) rotante a nb. QP,b rappresenta uno dei

pos-sibili punti di funzionamento della pompa operante a nb; di conseguenza deve

appartenere alla curva caratteristica della pompa a nb. QP e QP,b essendo punti

corrispondenti (ovvero in similitudine) hanno gli stessi parametri adimensionali (ad esempio ϕ e ψ).

Ripetendo il ragionamento per tutti i possibili punti QP, si ottengono tutti i

pos-sibili punti QP,b, cio`e tutti possibili punti di funzionamento della pompa a nb,

ovvero la curva caratteristica della pompa a nb. Essa `e costruita partendo dalla

curva caratteristica della pompa a n, indipendentemente dal fatto che il funzio-namento reale della pompa (a n e nb) avvenga in condizioni di similitudine

una volta che la pompa viene installata in un circuito idraulico.

In altre parole, viene calcolata la curva caratteristica adimensionale della pompa (usando i parametri dimensionali della pompa rotante a n) che viene poi espressa in funzione dei parametri dimensionali della pompa rotante a nb (poich´e ϕP =

ϕP,b e ψP = ψP,b). Partendo da tale espressione `e possibile scrivere la forma

dimensionale della curva caratteristica della pompa rotante a nb.

HP = −100 ˙VP2− 20 ˙VP + 12.5 ψP n2D2 g = −100n 2_D6_ϕ2 P − 20nD3ϕ + 12.5 ψP = (−100D4ϕ2P − 20 D nϕP + 12.5 n2_D2)g Essendo ϕP = ϕP,be ψP = ψP,b

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ψP,b = (−100D4ϕ2P,b− 20 D nϕP,b+ 12.5 n2_D2)g HP,b n2 bD2 = −100 ˙ V2 P,b n2_D2 − 20 ˙ VP,b nnbD2 + 12.5 1 n2_D2 HP,b = −100 ˙VP,b2 − 20 n_b n ˙VP,b+ 12.5 n_b n 2

Quest’ultima espressione rappresenta la curva caratteristica della (singola) pompa funzionante alla velocit`a di rotazione nb. Imponendo che il punto operativo (OP)

del caso a) giaccia su questa curva, si determina l’unica incognita nb/n:

8.65 = −100 · 0.242− 20 · 0.24nb n + 12.5nb n 2 da cui n_b n = 1.283 nb = 1924 rpm

Allo scopo di calcolare il lavoro specifico lbe la potenza assorbita ˙Lb, `e necessario

determinare la nuova curva di rendimento ηP,b = ηb( ˙VP,b) per la pompa operante

a nb. In modo del tutto simile alla procedura usata per il calcolo della curva

caratteristica della prevalenza, cio`e sfruttando la similitudine, si ottiene:

ηP,b = −0.2 n nb 2 ˙ V_P,b2 − n nb ˙ VP,b+ 1 = −0.121 ˙VP,b2 − 0.78 ˙VP,b+ 1

e, infine, per il punto di funzionamento OP=(V, ¯¯˙ H): ¯ ηP,b = 0.806 lb = g ¯H ¯ ηP,b = 105.28 kJ/kg ˙ Lb = ρV l¯˙ b = 25.27 kW

(19)

(20)

Esercizio 5

Una pompa centrifuga, la cui curva caratteristica `e esprimibile mediante la rela-zione:

H = 85 − 2.2 · 10−6V˙2 H = [m] V = [m˙ 3/h]

`e inserita in un impianto di pompaggio acqua con le seguenti caratteristiche:

• un serbatoio di aspirazione a cielo aperto il cui pelo libero (a pressione atmosferica pari a 1 bar ) `e alla quota di 5 m sul livello del suolo;

• un serbatoio di mandata, alla pressione di 2.5 bar, il cui pelo libero `e posto ad una quota di 15 m sul livello del suolo;

• una tubazione del diametro di 350 mm che d`a luogo ad una perdita di carico pari a 5 quote cinetiche sul ramo di aspirazione e 15 quote cinetiche sul lato di mandata del circuito.

Si richiede di valutare:

a) il punto di funzionamento e la massima altezza d’installazione za,max della

pompa rispetto al livello del suolo, supponendo una tensione di vapore del fluido pari a 0.7 m e un N P SHr = 5.5 m.

Si valutino inoltre le condizioni operative della pompa per:

b) una riduzione della velocit`a di rotazione di un quarto, supponendo invariato il circuito in cui la pompa `e inserita;

c) un accoppiamento in parallelo di due pompe uguali alla precedente e rotanti alla velocit`a di rotazione del punto a);

d) un accoppiamento in serie di due pompe uguali alla precedente e rotanti alla velocit`a di rotazione del punto a).

Dati: H = 85 − 2.2 · 10−6V˙2 H = [m] V = [m˙ 3/h] P1 = 1 bar P2 = 2.5 bar z1 = 5 m z2 = 15 m Ya = 5 V2 a 2g Ym = 15 V2 m 2g D = 350 mm N P SHr = 5.5 m Pv ρg = 0.7 m

(21)

Soluzione:

a) ´E innanzitutto necessario determinare la curva caratteristica del circuito Hc =

H( ˙V ). Le tubazioni di aspirazione e mandata hanno lo stesso diametro e il flui-do di lavoro è acqua (considerata un liquiflui-do perfetto); l’equazione di continuità implica dunque Va= Vm = V . Inoltre la velocità è nulla nei serbatoi 1 e 2, perciò:

Hc= P2− P1 ρg + (z2− z1) + 5 V2 2g + 15 V2 2g Hc= P2− P1 ρg + (z2− z1) + 20 2g 4 ˙V πD2 !2 Hc= 110.23 ˙V2+ 25.29

In questa espressione la portata volumetrica ˙V `e espressa in m3/s, mentre l’e-spressione analitica della curva caratteristica della pompa prevede ˙V = [m3_/h].

Il punto di funzionamento del sistema si ottiene dall’intersezione delle due ca-ratteristiche (pompa e circuito) rese dimensionalmente omogenee. Si ha dunque, esprimendo ˙V = [m3_{/s] nella caratteristica della pompa:}

(

H( ˙V ) = −2.2 · 10−6· 36002_V_˙2_{+ 85 = −28.51 ˙}_V2_{+ 85}

Hc( ˙V ) = 110.23 ˙V2+ 25.29

da cui il punto di funzionamento: (

¯˙

V = 0.656 m3/s ¯

H = 72.73 m

La quota di aspirazione massima a cui si pu`o collocare la pompa per evitare cavitazione pu`o essere calcolata imponendo la seguente condizione su NPSH:

N P SHd≥ N P SHr

dalla definizione di N P SHdper una pompa si ha:

N P SHd= Pa ρg + V_a2 2g − Pv ρg

dove i pedici a e m si riferiscono alle flange di aspirazione e mandata della pompa. Dal bilancio di dell’energia meccanica scritta tra le sezioni 1 e a si ottiene il seguente risultato per za:

(22)

za ≤ z1+

P1 − Pv

ρg − Ya

g − N P SHr = −2.86 m

che mostra coma le pompa debba essere installata ad una quota inferiore rispetto al livello del suolo.

b) Seguendo la procedura descritta nell’esercizio 2, si determina innanzitutto la curva caratteristica della pompa in termini adimensionali, partendo dalla cono-scenza della curva caratteristica dimensionale a velocit`a di rotazione na. Si

deter-mina poi la curva caratteristica dimensionale della pompa per nb = 3₄naed infine

il punto di funzionamento dall’intersezione con la caratteristica del circuito che resta invariata. Ha = −28.51 ˙Va 2 + 85 ⇒ ψ = −28.51D4_ϕ2₊ 85 n2 aD2 da cui: Hb = −28.51 ˙Vb 2 + 85 nb na 2 ⇒ Hb = −28.51 ˙Vb 2 + 47.81 e il punto di funzionamento: ( Hb = −28.51 ˙Vb 2 + 47.81 Hc = 110.23 ˙Vb 2 + 25.29 ( ¯˙ Vb = 0.403 m3/s ¯ Hb = 43.18 m

c) Per il funzionamento delle pompe in parallelo `e sufficiente osservare che le due pompe hanno la stessa prevalenza, che corrisponde anche alla prevalenza del sistema di pompe in parallelo, cio`e H1 = H2 = Hparallelo; inoltre le due pompe

sono identiche e operano alla stessa velocit`a di rotazione, perci`o possiedono la medesima curva caratteristica. Di conseguenza H1 = H2 implica ˙V1 = ˙V2 e, per

l’equazione di continuit`a, ˙Vparallelo= ˙V1+ ˙V2 = 2 ˙V1.

(23)

parallelo (ad es la pompa 1) ed esprimendo H1 e ˙V1 in funzione di Hparallelo e ˙ Vparallelosi ottiene: H1 = −25.81 ˙V1 2 + 85 = −25.81 ˙_V parallelo 2 !2 + 85 = Hparallelo

l’ultima uguaglianza stabilisce una relazione funzionale tra Hparalleloe ˙Vparalleloe

rappresenta dunque la curva caratteristica del sistema delle due pompe in paralle-lo. Si ha dunque per il sistema di pompe in parallelo:

Hparallelo = −7.13 ˙Vparallelo2 + 85

Il punto di funzionamento del sistema `e dato dall’intersezione tra la curva caratte-ristica del sistema di pompe in parallelo e quella del circuito:

( Hparallelo = −7.13 ˙Vparallelo2 + 85 Hc = 110.23 ˙Vparallelo2 + 25.29 da cui: ( _¯ Hparallelo= 81.37 m ¯˙ Vparallelo= 0.713 m3/s

e il punto di funzionamento della singola pompa:

   ¯ H1 = H¯2 = H¯parallelo= 81.37 m ¯˙ V1 = V¯˙2 = 1 2 ¯˙ Vparallelo= 0.357 m3/s

d) Per il funzionamento delle pompe in serie `e sufficiente osservare che le due pompe hanno la stessa portata, che corrisponde anche alla portata del sistema di pompe in serie, cio`e ˙V1 = ˙V2 = ˙Vserie; inoltre le due pompe sono identiche e

operano alla stessa velocit`a di rotazione, perci`o possiedono la medesima curva caratteristica. Di conseguenza ˙V1 = ˙V2 implica H1 = H2 e dunque Hserie =

H1+ H2 = 2H1. Scrivendo dunque la curva caratteristica (invariata) di una delle

due pompe in serie (ad es la pompa 1) ed esprimendo H1e ˙V1in funzione di Hserie

e ˙Vseriesi ottiene:

H1 = −25.81 ˙V1 2

+ 85 = −25.81 ˙V_serie2 + 85 = Hserie 2

(24)

l’ultima uguaglianza stabilisce una relazione funzionale tra Hserie e ˙Vserie e

rap-presenta dunque la curva caratteristica del sistema delle due pompe in serie. Si ha dunque per il sistema di pompe in serie:

Hserie = −57.02 ˙Vserie2 + 170

Il punto di funzionamento del sistema `e dato dall’intersezione tra la curva caratte-ristica del sistema di pompe in serie e quella del circuito:

( Hserie = −57.02 ˙Vserie2 + 170 Hc = 110.23 ˙Vserie2 + 25.29 da cui: ( _¯˙ Vserie = 0.93 m3/s ¯ Hserie = 120.70 m

e il punto di funzionamento della singola pompa:

   ¯ H1 = H¯2 = 1 2 ¯ Hserie = 60.35 m ¯˙ V1 = V¯˙2 = V¯˙serie = 0.93 m3/s