Esprimere il modulo della velocit`a in funzione di x e calcolare tale velocit`a quando P passa per l’origine

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N. Matricola ... Ancona, 14 settembre 2013

1. Un punto P di massa m si muove lungo una guida parabolica di equazione y = x²/a sul piano verticale O(x, y), con velocit`a costante u lungo x, ˙x = u. Esprimere il modulo della velocit`a in funzione di x e calcolare tale velocit`a quando P passa per l’origine.

x y

m

P

O

y = x² a

Soluzione.

Equazione della traiettoria: y = x² a Vettore velocit`a: v= ˙xbi + ˙y bj Ma ˙x = u e ˙y = 2 x

a ˙x = 2 x a u

Modulo al quadrato della velocit`a: v² = |v|² = ˙x²+ ˙y² = u²



1 +4 x² a²



Nell’origine x = 0 e quindi: v(O) = u

2. Una cornice triangolare di massa m `e costituita da un triangolo rettangolo isoscele OAB di cateto L privato di un triangolo rettangolo isoscele CDE di cateto l < L, con i lati paralleli al triangolo esterno e con i cateti CE e CD situati a distanza (L − l)/2 dai cateti OB e OA.

Determinare la matrice d’inerzia nel sistema di riferimento O(x, y, z) indicato in figura (con l’asse z perpendicolare al piano della figura) e determinare le direzioni principali d’inerzia con origine in O.

Soluzione. La matrice d’inerzia si ottiene per differenza tra la matrice del triangolo pieno ed quella del buco triangolare:

I = IL− Il

x y

O

A B

m

L l

C D

E

con masse mL ed m_l date da

m_L− m_l = m mL

ml

= L² l² m_L= m L²

L²− l² m_l= m l²

L²− l² Triangolo di cateto L:

I11= σ Z L

0

dx Z _L−x

0

dy y² = σ Z L

0

dx(L − x)³ 3

= σ Z L

0

dxx³

3 = σL⁴ 12 = 1

6mLL² I22= I11= 1

6m_LL² (per simmetria) I12= σ

Z L 0

dx Z _L−x

0

dy (−x y) = −σ Z L

0

x dx Z _L−x

0

y dy

= −σ Z L

0

dx x(L − x)²

2 = −σ

Z L 0

dx (L − x)x² 2

= −σ 2

Z L 0

dx (L x²− x³) = −σ 2

1 3 −1

4



L⁴= − 1

12m_LL²

Triangolo di cateto l rispetto ad un sistema con gli assi lungo i lati (per analogia con il caso precedente):

I11= 1 6m_ll² I22= I11= 1

6m_ll² I12= −1

12mll²

m_l 0 0 l 0 l 2 3 3 y0 = 1

3l (per simmetria) Quindi, nel sistema di riferimento della figura:

I¹¹= 1

6mll²− ml

l² 9 + ml

l

3 +L − l 2

²

= 1

18mll²+ ml

L 2 − l

6

²

I22= I11

I12= − 1

12m_ll²+ m_ll² 9 − m_l

L 2 − l

6

²

= 1

36m_ll²− m_l

L 2 − l

6

²

Sottraendo otteniamo i valori per la figura:

I11=1

6mLL²− 1

18m_ll²− m_l

L 2 − l

6

²

I²²= I¹¹ I12= −1

12mLL²− 1

36mll²+ ml

L 2 − l

6

²

I³³= I¹¹+ I²²= 2 I¹¹

3. Un sistema materiale, che si muove nel un piano verticale O(x, y), `e costituito da un punto P di massa m, libero di scorrere senza attrito su una guida rettilinea r priva di massa e passante per l’origine, a sua volta libera di ruotare attorno all’origine stessa. Un disco di raggio R, centro C e massa M `e saldato sulla guida, con il centro C a distanza L dall’origine. Una molla di costante k > 0 collega il punto P con l’origine O lungo la guida.

Dopo aver individuato il numero di gradi di libert`a ed introdotto le coordinate lagrangiane, calcolare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilit`a. Dopo aver risolto il problema per valori generici dei parametri, si consideri il caso m = 4M e kL = 2M g.

Soluzione. I gradi di libert`a sono due; siano s e ϕ le coordinate lagrangiane, con s la distanza di P da O (positiva quando P sta dalla parte opposta del cerchio) e ϕ l’angolo che la guida forma con l’asse x. L’energia potenziale `e data da

V (s, ϕ) = (M gL − mgs) sin ϕ + 1 2k s² Calcoliamone le derivate:

∂V

∂s = ks − mg sin ϕ

∂V

∂ϕ = (M gL − mgs) cos ϕ

∂²V

∂s² = k ∂²V

∂s∂ϕ = −mg cos ϕ

∂²V

∂ϕ² = (mgs − M gL) sin ϕ

x y

P

C

O L

m

r

M R

Configurazioni di equilibrio:

ks − mg sin ϕ = 0 (M gL − mgs) cos ϕ = 0 Dalla seconda equazione, o `e 1) cos ϕ = 0 o `e 2) M gL − mgs = 0.

1) cos ϕ = 0, ϕ = ±π 2 ϕ = π

2 ⇒ ks − mg = 0, s = mg k ϕ = −π

2 ⇒ ks + mg = 0, s = −mg k Γ1 =mg

k ,π 2

 Γ2 =

−mg k , −π

2



2) M gL − mgs = 0 → s = M L m sin ϕ = kM L

m²g ⇒ ϕ = ϕ0, π − ϕ0

con ϕ⁰ = sin⁻¹M kL m²g . Γ3 =

M L m , ϕ0



Γ4 =

M L

m , π − ϕ0



Γ3 e Γ4 esistono a condizione che M kL/(m²g) < 1.

Studio della stabilit`a. Matrice hessiana:

H(Γ1) =

0 ^m2_k^g2 − M gL

H(Γ2) = k 0

0 ^m2_k^g2 + M gL

!

H(Γ3) =

 k −mg cos ϕ0

−mg cos ϕ0 0



H(Γ4) =

 k mg cos ϕ⁰

mg cos ϕ0 0



Calcolando i determinanti, si vede che:

• Γ¹ `e stabile se m²g²> M gkL;

• Γ2 `e sempre stabile;

• Γ3 e Γ4 sono sempre instabili.

Se m = 4 M e k L = 2 M g, allora m²g² = 16 M²g² e M g k L = 4 M²g², quindi Γ1 `e stabile;

inoltre M kL/(m²g) = 1/8 < 1 e Γ³ e Γ⁴ esistono.

4. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema dell’esercizio precedente.

Soluzione. Energia cinetica: T = TP + Tdisco. P − O = s (−bicos ϕ − bjsin ϕ)

v_P = ˙s (−bicos ϕ − bjsin ϕ) + s ˙ϕ (bisin ϕ − bjcos ϕ) T_P = 1

2m v²_P = 1

2m ( ˙s²+ s²ϕ˙²)

C − O = L (bicos ϕ + bjsin ϕ) vC = L ˙ϕ (−bisin ϕ + bjcos ϕ) T_disco = 1

2M v²_C+1

2I ˙ϕ²= 1

2M L²ϕ˙²+1 2

M R² 2



˙ ϕ²

= 1 2M



L²+R² 2



˙ ϕ² T = 1

2m ˙s²+1 2



m s²+ M



L²+R² 2



˙ ϕ² Lagrangiana:

L = T − V = 1

2m ˙s²+1 2



m s²+ M



L²+ R² 2



˙ ϕ²−



(M gL − mgs) sin ϕ +1 2k s²



Derivate della Lagrangiana:

∂L

∂ ˙s = m ˙s

∂L

∂s = m s ˙ϕ²+ m g sin ϕ − k s

∂L

∂ ˙ϕ =



m s²+ M



L²+R² 2



˙ ϕ

∂L

∂ϕ = (mgs − M gL) cos ϕ Equazioni di Lagrange:

m ¨s = m s ˙ϕ²+ m g sin ϕ − k s 2 m s ˙s ˙ϕ +



m s²+ M



L²+R² 2



¨

ϕ = (mgs − M gL) cos ϕ