Compito e soluzione - 8 settembre 2015

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Università degli studi dell’Aquila- Corso di laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova Scritta Fisica Generale II 8/9/2015

Tempo a disposizione: 2:30 ore

Problema 1 (10 punti)

Un sottile filo rettilineo infinito di raggio r1 ha una densità lineare di carica λ. Il

filo è circondato da una superficie cilindrica di raggio R con densità superficiale di carica σ.

1. calcolare il valore di σ affinché il campo elettrico all’esterno della superficie cilindrica sia nullo; (3 punti)

2. in questa situazione, calcolare il campo elettrico all’interno del cilindro e la differenza di potenziale tra il filo interno e la superficie cilindrica; (3 punti) 3. una particella di carica q e massa m entra nel cilindro con velocità v che

forma un angolo α rispetto al piano orizzontale. Calcolare il modulo della velocità della particella quando tocca il filo. (4 punti)

Dati: λ=3.6nC/m, r1= 0.5mm, R=1.5cm, q=-‐1C, m=5 g, vi=100m/s, α=20°.

Soluzione

Il campo elettrico all’esterno della superficie cilindrica è dato dalla sovrapposizione di quello generato dal filo e dalla superficie cilindrica stessa. Applicando il teorema di Gauss otteniamo:

!!"#$= ! 2!!!! ; !!"# = !2!"# 2!"#!!= !" !!! → !!"!= ! 2!!!! + !" !!!.

Imponendo la condizione che il campo elettrico sia nullo all’esterno della superficie sferica si ottiene:

! = − !

2!"= −38nC/m!.

Il campo elettrico all’interno della superficie cilindrica è uguale a Efilo. Pertanto, la differenza di potenziale tra la

superficie cilindrica e la parte esterna del filo vale: Δ! = − ! 2!!! !!! !! = ! !! − ! 2!!!!"# ! !! = −220V.

Il vettore velocità iniziale può essere scomposto in una componente assiale (z) ed in una radiale (r):

!!,!= !!!"#$ ; !!,!= !!!"#$.

Essendo il campo elettrico radiale, il moto della carica sarà la combinazione di un moto rettilineo uniforme lungo la direzione assiale e uniformemente accelerato in quella radiale. Applicando la conservazione dell’energia si ha: 1 2!!!,!! + !" ! = 1 2!!!,!! + !" !! → !!,!! = !!,!! + 2 !!Δ! =

Il modulo della velocità finale vale:

!_! = !_!,!! _{+ !}

!,!! = 313m/s.

Universit`

a dell’Aquila - Corso di laurea in Ingegneria....

Prova Scritta di Fisica Generale II - ??/??/2015

Nome

Cognome

N. Matricola

... ... ...

Problema 1

Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q

0

´e posta all’interno di un

guscio sferico di raggi R

1

= 1.5R ed R

2

= 3R. Nel guscio c’´e una

dis-tribuzione di carica ρ(r) = Ar il cui valore totale ´e Q =

−Q0

2

. a)

Calco-lare il valore della costante A (2 punti). b) Determinare l’espressione

del campo elettrico in funzione della distanza dal centro in tutto lo

spazio (3 punti). c) Calcolare il valore del campo elettrico in r

0

= 2R

(2 punti).

!" v0 R R1 R2 q, m

d) Una particella di carica q e massa m viene inviata con velocit´a v

0

da una distanza r

0

=

10R verso il centro della distribuzione di carica. Determinare in quale regione di spazio la

particella si ferma se non subisce urti nell’attraversare la distribuzione stessa (3 punti). Dati:

R = 10cm, q = 1nC, Q

0

= 2C, m = 1mg, v

0

= 7.5km/s.

Problema 2

Nel circuito in figura il condensatore C

1

´e un capacitore piano parallelo,

con facce di area S e a distanza d, riempito in parti uguali da materiali

di costante dielettrica relativa �

1

ed �

2

. A t=0 l’interruttore viene

chiuso e circola una corrente I

0

. a) Calcolare il valore della resistenza

R (2 punti). b) Calcolare la capacit´a del condensatore C

1

(2 punti)

R

C1

C₂ C3 f

c) A quale istante dalla chiusura dell’interruttore la diﬀerenza di potenziale su C

2

´e V

2

? (3

punti) d) Calcolare la diﬀerenza di potenziale su C

3

a regime (3 punti). Dati: S = 4cm

2

,

d = 0.5cm, �

1

= 2, �

2

= 3, I

0

= 3mA, f = 15V , V

2

= 3V , C

2

= 2pF , C

3

= 3pF .

Problema 3

Un’asta metallica di lunghezza l e resistenzaR ´e vincolata da un

es-tremo ad un asse rigido e all’altro capo ´e fissata ad una guida circolare

di conduttore ideale posta in un piano verticale permeato da un campo

magnetico B perpendicolare ed entrante nel piano. La guida metallica

´e posta in rotazione da una massa M collegata ad una fune

inesten-sibile ed ´e collegata elettricamente all’asse (vedi figura). Lasciando

libera la massa M si osserva che questa scende verticalmente con

ve-locit´a v

0

facendo ruotare il sistema (guida circolare ed asta

metal-lica). a) Calcolare la forza elettromotrice indotta ai capi dell’asta (3

punti). b) Determinare il valore della corrente che passa nel circuito

ed il verso di percorrenza, trascurando i fenomeni di autoinduzione (3

punti) c) Determinare il valore della resistenza R dell’asta metallica

(2 punti). d) Determinare l’energia dissipata in R durante un giro

completo della guida metallica circolare. (2 punti) Dati: l = 10cm,

M = 50g, v

0

= 10m/s, B = 1T )

!" # X !" v₀ B

1

!" #" !$" "# %" !"# $%#&#

(2)

Nel circuito in figura il condensatore C è un capacitore sferico, di raggio interno r1 e raggio esterno r2, riempito per metà da un

materiale di costante dielettrica relativa ε1 e per l'altra metà da un

materiale con costante dielettrica ε2. Il circuito è a regime, quando al

tempo ! = 0 viene chiuso l’interruttore T. Si calcoli: 1. la capacità del condensatore C; (2 punti);

2. la carica a regime sul condensatore prima e dopo la chiusura dell’interruttore (3 punti);

3. la corrente che scorre sulla resistenza !! all’istante !!= 100ps (5 punti);

Dati: r1=10mm; r2=30mm; ε1=3; ε2=1.5; R1=10Ω; R2=15Ω; R3=12Ω; f1=20V; f2=5V.

Soluzione

Il condensatore è equivalente alla serie di due condensatori con capacità: !_!=4!!!!!!!!!" !!− !!" ; !_!=4!!!!!!!"!! !!− !!" con !_!"=!!+ !! 2

Pertanto, la capacità totale del condensatore sferico vale:

! =

!_!!_!

!!+ !!= 4pF.

Prima di chiudere l’interruttore la tensione sul condensatore è pari ad !! e quindi la carica è:

!!!= !!!= 20pC.

Dopo la chiusura dell’interruttore, a regime, nella maglia attiva scorre la corrente oraria:

!!"= (!!− !!)/(!!+ !!)

Di conseguenza, la caduta di tensione sul condensatore è:

!! = !!+ !!!!"

e la carica corrispondente vale:

!_!!= ! !_!+ !_!!_!" = 53pC.

Dunque, il condensatore si carica ulteriormente.

La costante di tempo è data da ! = !!"!, ove !!" è la resistenza equivalente di Thevenin. Essa è data dalla serie di

!! ed il parallelo di !! ed !!, ovvero:

!!! = !!+

!_!!_!

!!+ !!= 20.5Ω

da cui la costante di tempo del circuito ! = !_!!! = 81ps. La carica varia quindi con legge:

! ! = !!!!! !

!_{+ !}_!! _{1 − !}!!!

e la corrente è data da:

! ! =!!!− !!! ! !!!/! da cui ! !! = 118mA.

(3)

Le due rotaie in figura formano un angolo retto e sono realizzate di un materiale di resistenza trascurabile. La barra orizzontale, anch’essa conduttrice, ha resistività ρ e sezione S ed è in contatto elettrico con le due rotaie. La barra si muove con velocità v costante verso l’alto della figura. Tutto il sistema è immerso in un campo magnetico B uniforme uscente dal foglio. Nell’istante iniziale la barra è posizionata sul punto di incontro delle due rotaie. Calcolare:

1. il flusso concatenato dal circuito nell’istante t1; (2 punti)

2. la forza elettromotrice indotta nello stesso istante t1; (2 punti)

3. l’intensità ed il verso della corrente che scorre nel circuito nell’istante t1; (3 punti)

4. l’espressione della forza da applicare alla barra per mantenerla in moto a velocità costante v ad ogni istante

t. In particolare la si calcoli per t=t1.(3 punti).

Dati: B= 5T; ρ=1.7x10-‐4_{Ωm;
S=0.5cm}2_{;
v=6m/s;
t}₁_=5s.

Soluzione

Il flusso concatenato dipende dal tempo, poiché nel tempo varia la superficie del circuito:

! !, ! = !2! ! ℎ !

2 = !"!!!!"# → ! !, !! = 4.5kWeber,

essendo la base 2b(t) e l’altezza h(t) del triangolo formato dalle due rotaie e dalla barra in movimento espresse dalle seguenti relazioni: h(t)=vt e b(t)=h(t)tgα con α=45°. La forza elettromotrice è uguale a:

! ! = −!" !, !

!" = 2!"!!!"# → ! !! = 1.8kV.

La corrente scorre sulla barra da sinistra verso destra ed è data da I=V/R dove:

! = !2!(!) ! =

2!"# ! !"#. Pertanto, la corrente vale:

! = !"#! !_!"# !"# !"# = !"# ! = 8.82A.

Al fine di garantire una velocità uniforme della barra, la forza esterna Fext da applicare deve essere uguale e

contraria in verso alla forza magnetica Fm dovuta all’interazione della corrente sulla barra con il campo

magnetico: Fext+Fm= 0, da cui:

!!(!) = !! ! ×! → !!(!) = !"# ρ 2!"#!$% = 2!!!_!!_! ! !"# → !! !! = 2.65kN, dove l(t)=2b(t). V B

(4)

Si prenda in considerazione il ciclo termodinamico riportato in figura: AB è una trasformazione isocora reversibile, BC una isobara reversibile, CD una adiabatica reversibile e DA una isoterma irreversibile. Si conosce il rapporto tra le temperature R1=T1/T0 e R2=T2/T1 dove T0 è la temperatura della trasformazione

isoterma, T1 quella dello stato termodinamico B e con T2 si indichi quella dello

stato termodinamico C. Sapendo, inoltre, il lavoro W totale eseguito in un ciclo da una mole di gas biatomico e la quantità di calore QDA assorbita dal gas nella

trasformazione isoterma si chiede di determinare:

1. le temperature di tutti gli stati termodinamici; (3 punti) 2. il lavoro ottenuto in un ciclo termodinamico; (3 punti) 3. il rendimento del ciclo termodinamico; (1 punto)

4. la variazione dell’entropia dell’universo termodinamico. (3 punti) Dati: R1=T1/T0=0.65; R1=T2/T1=0.73; QDA=10.3kJ.

Soluzione

Non conoscendo né volumi né pressioni degli stati termodinamici è necessario utilizzare la proprietà che in un ciclo termodinamico la variazione totale di entropia è nulla. Ricordando le relazioni della variazione di entropia delle trasformazioni termodinamiche del ciclo in esame si ha:

Δ! = 0 = !!_!!"# !! !! + !!_!!"# !! !! +!!" !! → !_!= − !!" !!!!"#!!+ !!!!"#!! = 569K.

Il valore degli stati termodinamici B e C valgono rispettivamente T1=R1T0=370K e T2=R2T1=270K. Il lavoro totale

eseguito in un ciclo vale:

! = !!"+ !!"+ !!" → ! = !!! !!− !! + !!! !!− !! + !!"= 3.26kJ

Il rendimento del ciclo termodinamico è uguale a:

! = !

!!" = 0.32 .

La variazione dell’entropia dell’universo termodinamico è data dalla seguente relazione: Δ!!= − !!_! !_!− !_! !! + !!! !!− !! !! + !_!" !! = 3.84J/K. p V D A B C T₀ T₁ T₂