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POLITECNICO DI MILANO
Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Biomedica
ANALISI COMPUTAZIONE DEGLI EFFETTI DI
FLUSSO ELICOIDALE IN AORTA ASCENDENTE
RELATORE:
Prof. Christian Vergara
TESI DI LAUREA DI:
Luca Vito Francesco Magrì
Matr. 842097
____________________________________________________________
ANNO ACCADEMICO 2015/2016
iii L’uomo deve perseverare nell’idea che
l’incomprensibile sia comprensibile; altrimenti rinuncerebbe a cercare. J.W. Goethe
A Laura e alla mia famiglia, perché dall’inizio mi hanno sostenuto e appoggiato con insostituibile amore
v
Indice
Abstract………...xi
Sommario………...xii
1 Introduzione………..1
1.1 Il moto elicoidale in aorta ascendente…...………...1
1.2 Emodinamica computazionale………..2
1.3 Obiettivo………...2
2 Fluidodinamica del sangue in aorta ascendente: fisiologia di base………...5
2.1 Descrizione fisiopatologica del cuore………...………..5
2.1.1 Breve descrizione anatomica del cuore………...………..5
2.1.2 Valvola aortica bicuspide ……...……...7
2.1.3 Il ciclo cardiaco …………...………...8
2.2 Fluidodinamica in aorta ascendente………….…………...……….…………...9
2.2.1 Breve descrizione anatomica dell’aorta………...9
2.2.2 Flusso laminare o turbolento………...11
2.2.3 Fluidodinamica con valvola aortica bicuspide……….13
2.2.4 Presenza di moto elicoidale……….13
2.2.5 Studi computazionali……..……….16
3 Descrizione matematica e numerica del problema……….…19
3.1 Assunzioni generali………..19
3.1.1 Modellazione del sangue……….20
3.1.2 Assunzioni sul problema fisico………20
3.2 Le equazioni di Navier-Stokes……….21
3.3 Discretizzazione numerica………...25
3.3.1 Problema di Galerkin………...25
3.3.2 Metodo degli elementi finiti………....26
3.3.3 Discretizzazione temporale……….28
vi
4 Risultati numerici……….31
4.1 Setting delle simulazioni numeriche……….32
4.1.1 Mesh delle geometrie………...32
4.1.2 Calcolo del contributo di velocità rotatoria………..…34
4.1.3 Condizioni al bordo……….37
4.1.4 Setting del risolutore………...42
4.2 Indici fluidodinamici………...43
4.3 Cilindro………...44
4.3.1 Velocità………...45
4.3.2 WSS………....49
4.4 Aorta con valvola aortica tricuspide………...51
4.4.1 Velocità………...52
4.4.2 WSS………...59
4.5 Aorta con valvola aortica bicuspide………...62
4.5.1 Velocità………...63
4.5.2 WSS………...68
Ringraziamenti………...71
vii
Indice delle Figure
2.1 Schematizzazione del cuore: in evidenza le parti anatomiche principali………6 2.2 Rappresentazione delle differenze tra valvola aortica tricuspide e valvola aortica bicuspide………7 2.3 Pressioni e volumi che si raggiungono durante un battito cardiaco nel cuore sinistro...9 2.4 Schematizzazione delle varie sezioni che compongono l’aorta……….…...10 2.5 Schematizzazione dei tre strati che compongono un’arteria: tonaca intima, tonaca media e tonaca avventizia……….11 2.6 Disegno schematico illustrativo di un flusso turbolento ed un flusso laminare……...12 2.7 Disegno schematico illustrativo di uno sviluppo del flusso aortico in un soggetto sano………..15 3.1 Esempio di dominio Ω, il cui contorno ∂Ω è composto dalle due regioni ΓD e ΓN; è inoltre rappresentata la normale n alla superficie del dominio………23 4.1 Rappresentazione delle mesh utilizzate per le simulazioni, assieme al numero di tetraedri e vertici: a sinistra la mesh di CYL, al centro la mesh della Aorta_TAV e a destra la mesh dell’Aorta_BAV. In blu, sono state raffigurate le estremità della superficie di inlet, coincidente con la configurazione a valvola aperta……….34 4.2 Rappresentazione della mesh del cilindro: a sinistra una vista frontale, a destra una vista posteriore. È indicata in arancione la superficie denominata “wall”, in blu la superficie denominata “inlet” ed in verde la superficie denominata “outlet”………38 4.3 A sinistra la rappresentazione della mesh dell’Aorta_TAV e a destra quella dell’Aorta_BAV, in cui è indicata in arancione la superficie denominata “wall” e in giallo la superficie denominata “inlet”………...38 4.4 A sinistra una vista dall’alto della mesh dell’aorta e a destra una vista laterale, in cui sono indicate in arancione le superficie denominata “wall” e in verde le superfici denominate “outlet”……….38 4.5 Rappresentazione dell’andamento del flusso sanguigno imposto alla sezione d’ingresso del cilindro………..40 4.6 Raffigurazione semplificativa dell’imposizione all’inlet della velocità rotatoria per Aorta_BAV………..40 4.7 Confronto del campo di velocità alla sistole: da sinistra a destra i casi (a) CYL_0 e (b) CYL_10………..45 4.8 Confronto delle streamlines di velocità alla sistole: da sinistra a destra i casi (a) CYL_0, (b) CYL_5, (c) CYL_10 e (d) CYL_15………..45
viii
4.9 Confronto delle streamlines di velocità in un istante di decelerazione del flusso (t = 0.23 s): da sinistra a destra i casi (a) CYL_0, (b) CYL_5, (c) CYL_10 e (d) CYL_15….46 4.10 Confronto del modulo della vorticità alla sistole: da sinistra a destra i casi (a) CYL_0, (b) CYL_5, (c) CYL_10 e (d) CYL_15………47 4.11 Confronto del modulo del WSS alla sistole: da sinistra a destra i casi (a) CYL_0, (b) CYL_5, (c) CYL_10 e (d) CYL_15………..…50 4.12 Confronto del modulo del TAWSS: da sinistra a destra i casi (a) CYL_0, (b) CYL_5, (c) CYL_10 e (d) CYL_15………...51 4.13 Confronto del campo di velocità alla sistole: a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………52 4.14 Confronto del campo di velocità alla sistole: a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………53 4.15 Confronto delle streamlines di velocità alla sistole: in alto Aorta_TAV_0, in basso Aorta_TAV_10………53 4.16 Confronto delle streamlines di velocità in un istante di decelerazione del flusso (t = 0.23 s): a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………...54 4.17 Confronto del modulo della vorticità alla sistole: a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………55 4.18 Confronto di LNH alla sistole: a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………58 4.19 Confronto del modulo del WSS alla sistole: a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………59 4.20 Confronto del modulo del TAWSS: a sinistra Aorta_TAV_0, a destra Aorta_TAV_10………61 4.21 Confronto del campo di velocità alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………63 4.22 Confronto del campo di velocità alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………64 4.23 Confronto delle streamlines di velocità alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………65 4.24 Confronto delle streamlines di velocità alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………65 4.25 Confronto del modulo della vorticità alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………66 4.26 Confronto di LNH alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………67 4.27 Confronto del modulo del WSS alla sistole: a sinistra Aorta_BAV_0, a destra Aorta_BAV_10………68
ix
Indice delle Tabelle
4.1 Riassunto dei gradi di libertà per velocità e pressione per le tre mesh utilizzate……..42
4.2 Confronto delle velocità massime (in m/s) registrate per i 4 casi……….…………...47
4.3 Confronto dei valori (in 1/s) di Vormeanmean e Vormeanmax ………...…...48
4.4 Confronto dei valori (in Pa) di WSSmeanmean e WSSmeanmax ………...50
4.5 Confronto dei valori (in 1/s) di Vormeanmean e Vormeanmax ………...55
4.6 Confronto dei valori (in 1/s) di Vorsistolemean e Vorsistolemax ……….…………...56
4.7 Confronti dei valori di LNHsistolemean ………..58
4.8 Confronto dei valori (in Pa) di WSSmeanmean e WSSmeanmax ………...…60
4.9 Confronto dei valori (in Pa) di WSSsistolemean e WSSsistolemax ……….61
4.10 Confronto dei valori (in 1/s) di Vorsistolemean e Vorsistolemax ……….……..…...66
4.11 Confronti dei valori di LNHsistolemean ………..…..68
4.12 Confronto dei valori (in Pa) di WSSmeanmean e WSS meanmax ………..…………...…69
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Abstract
Blood fluid dynamics in the ascending aorta has been widely studied due to its complexity. The presence of helical flow in this artery has been generally accepted and its causes can be traced back to the aortic arch curvature and to the ventricular torsion. In this computational study, the rotational velocity due to the cardiac muscle contraction has been modeled and used as the inlet boundary condition in real geometry aortas with both tricuspid and bicuspid aortic valves. Aim of this work is to evaluate the effect of this additional term on significant hemodynamics indexes, such as WSS and TAWSS. Based on the achieved results, it is advisable to include this additional velocity term in hemodynamic studies with a high-degree of detail when evaluating important fluid dynamic indexes.
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Sommario
La fluidodinamica del sangue in aorta ascendente è oggetto di numerosi studi a causa della complessità della materia. La presenza di moto elicoidale in questa arteria è ormai accertata ed è possibile ricondurre alla curvatura dell’arco aortico e alla torsione ventricolare le cause di tale moto. In questo studio computazionale si è modellato il contributo di velocità rotatoria dovuto alla contrazione del muscolo cardiaco, al fine di imporlo come condizione al contorno all’inlet di geometrie reali di aorte con valvola aortica tricuspide e bicuspidi. L’obiettivo del presente lavoro è valutare l’incidenza di tale apporto aggiuntivo su indici emodinamici significativi quali ad esempio WSS e TAWSS. Dai risultati ottenuti, è possibile affermare come sia consigliabile includere tale termine aggiuntivo di velocità in studi emodinamici in cui si voglia un elevato grado di dettaglio nella valutazione di indici fluidodinamici importanti.
1
Capitolo 1
Introduzione
Sommario_____________________________________________________________ 1.1 Il moto elicoidale in aorta ascendente……….. ……….1 1.2 Emodinamica computazionale.……….2 1.3 Obiettivo...………...2
1.1 Il moto elicoidale in aorta ascendente
Il flusso sanguigno in aorta ascendente, a causa della sua complessità, è oggetto di numerosi studi scientifici. Particolarmente importante è l’investigazione della presenza e della successiva quantificazione di moto elicoidale all’interno di questa arteria: è ormai accertato che l’emodinamica in aorta sia influenzata dalla curvatura dell’arco aortico [17] e dalla torsione ventricolare durante la contrazione del muscolo cardiaco [26]. Tali fattori contribuiscono a indurre fisiologicamente un moto elicoidale al flusso sanguigno: si è visto come la presenza di elicità in aorta ascendente sia rilevante per ridurre l’ipossia in aorta e come stabilizzi il flusso di sangue [59], particolarmente influenzato dall’alto numero di Reynolds raggiunto [44, 46]. Questo moto è presente per tutta la durata del ciclo cardiaco, dalla fase di eiezione sino alla diastole, quando il sangue, rimescolandosi, genera moto elicoidale anche a valle dell’arco aortico [18].
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1.2 Emodinamica computazionale
Uno dei primi approcci matematici nel campo medico è stato sviluppato da Eulero nel 1775, il cui intento era quello di descrivere il flusso sanguigno nelle arterie umane. L’applicazione di modelli matematici era originariamente ristretto all’ingegneria aerospaziale, ma negli ultimi decenni si sono sviluppati anche nel settore bioingegneristico e medico [34, 36]. Le ragioni sono da imputare ad una richiesta sempre maggiore da parte della comunità medica di studi quantitativi e scientificamente rigorosi, associata ad un incremento della potenza di calcolo e a metodi di imaging sempre più accurati.
L’utilizzo di metodi matematici per il settore medico è da ricollegare al vantaggio che essi offrono: sono studi meno invasivi rispetto alle tradizionali investigazioni in vivo e solitamente più adattabili in confronto agli studi in vitro.
In particolare, nel campo dell’emodinamica, tali metodi sono utilizzati per studiare situazioni sia fisiologiche che patologiche del sistema circolatorio, con la prospettiva di fornire indicazioni patient-specific nelle pianificazioni chirurgiche.
Solitamente vengono calcolate quantità fisiche, come ad esempio lo sforzo tangenziale, quasi impossibili da misurare in vivo e in vitro, utilizzando geometrie reali grazie al supporto di tecnologie non-invasive di acquisizione di dati e immagini.
1.3 Obiettivo
In questo lavoro di tesi sono state svolte simulazioni numeriche al fine di investigare la fluidodinamica del flusso sanguigno in aorta ascendente. In particolare, sono state svolte delle prove computazionali in geometrie reali di aorte ascendenti con valvole aortiche tricuspidi e bicuspidi. È stato modellato ed introdotto nelle simulazioni il contributo di
3 moto elicoidale all’ingresso dell’arco aortico, presente fisiologicamente in aorta e dovuto alla torsione ventricolare durante la contrazione del cuore.
L’obiettivo di questo studio è valutare l’incidenza che tale contributo aggiuntivo ha su quantità emodinamiche significative quali ad esempio WSS e TAWSS, particolarmente importanti in clinica. Inizialmente si è proceduto nella valutazione degli effetti di tale contributo in una geometria semplice (cilindro) e successivamente si è passati a dei casi reali, effettuando prove numeriche su geometrie vere con valvole aortiche tricuspidi e bicuspidi.
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Capitolo 2
Fluidodinamica del sangue in aorta ascendente:
fisiologia di base
Sommario_____________________________________________________________
2.1 Descrizione fisiopatologica del cuore………...……….5
2.1.1 Breve descrizione anatomica del cuore………...……….….5
2.1.2 Valvola aortica bicuspide………7
2.1.3 Il ciclo cardiaco …………...………….8
2.2 Fluidodinamica in aorta ascendente………….………...…………9
2.2.1 Breve descrizione anatomica dell’aorta………..…………...9
2.2.2 Flusso laminare o turbolento………..11
2.2.3 Fluidodinamica con valvola aortica bicuspide………...13
2.2.4 Presenza di moto elicoidale………...13
2.2.5 Studi computazionali……..………...16
2.1 Descrizione fisiologica del cuore
2.1.1 Breve descrizione anatomica del cuoreIl cuore è un organo cavo che ha la funzione di pompare sangue nelle arterie della circolazione sistemica e polmonare e di raccolta dello stesso attraverso le vene. È composto da quattro camere, due atri e due ventricoli (si veda Figura 2.1); ogni coppia di
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atrio e ventricolo costituisce una delle due parti dell’organo: cuore destro e cuore sinistro. Gli atri dai ventricoli sono separati fisicamente dalla valvola tricuspide nel cuore destro e dalla valvola mitrale nel sinistro; i ventricoli, invece, sono connessi con l’arteria polmonare e l’aorta, rispettivamente tramite la valvola polmonare e la valvola aortica. I muscoli papillari, dislocati nei ventricoli, si attaccano a queste valvole attraverso le corde tendinee, prevenendo così il loro prolasso durante la fase di chiusura.
La parete del cuore è composta fisiologicamente da tre strati: l’endocardio, ovvero lo strato più interno e sottile, il miocardio, strato muscolare molto spesso, ed infine l’epicardio, a sua volta circondato dal pericardio, membrana con la funzione di isolare l’organo cuore da altre parti anatomiche vicine.
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2.1.2 Valvola aortica bicuspide
La valvola aortica bicuspide (BAV) è la forma più diffusa di patologia congenita del cuore, con un’incidenza sulla popolazione mondiale del 0.5-2% in cui sono presenti solo due foglietti nella valvola aortica, invece che tre, come mostrato in Figura 2.2 [14]. Tale patologia può essere associata ad un soffio cardiaco sistolico, la cui diagnosi è spesso coadiuvata da ecocardiografia e MRI [25].
I metodi di classificazione di tale patologia sono svariate (ecocardiografica, anatomica) e spesso in disaccordo. Due configurazioni sono però facilmente distinguibili: valvola aortica bicuspide anteroposteriore, in cui è avvenuta una fusione dei due foglietti coronarici; valvola aortica bicuspide latero-laterale, in cui è avvenuta una fusione del foglietto coronarico destro con il foglietto non-coronarico [38].
Figura 2.2: Rappresentazione delle differenze tra valvola aortica tricuspide e valvola aortica bicuspide
Tale patologia è spesso associata ad un aumento della prevalenza di dilatazione dell’arco aortico ed aneurisma in regime valvolare funzionante quando comparato con la valvola aortica tricuspide. È infatti stimato che circa il 40-60% dei pazienti affetti da BAV presentano o presenteranno dilatazione aortica [41]. Le ragioni di questa incidenza sono
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spesso controverse: da una parte si crede che sia un’origine genetica a condurre ad un indebolimento della parete aortica [14], dall’altra si conferisce la causa più importante alla fluidodinamica osservata in aorta ascendente, diversa rispetto al caso fisiologico [9]. Per tali motivi, in questo studio verrà esaminato sia il caso di aorta con valvola aortica tricuspide, che quello con valvola aortica bicuspide.
2.1.3 Il ciclo cardiaco
L’eiezione di sangue dal ventricolo sinistro avviene ritmicamente secondo un ciclo ben definito, detto appunto ciclo cardiaco, visibile in Figura 2.3, della durata complessiva di circa 0.8 secondi. È solito distinguerlo in due parti: la sistole, ovvero la fase di contrazione del cuore (circa 0.3 s) e la diastole, la fase di rilassamento del muscolo cardiaco (circa 0.5 s). Più dettagliatamente, si susseguono quattro parti ben distinte:
riempimento ventricolare: in seguito all’apertura della valvola mitrale, il sangue inizia a riempire il ventricolo sinistro; successivamente avviene la sistole atriale, ovvero la contrazione dell’atrio;
contrazione isovolumetrica: in questa fase avviene la chiusura della valvola aortica; la contrazione del ventricolo causa un aumento della pressione ventricolare pur senza alcun cambiamento in termini di volume di sangue grazie alla sua caratteristica di incomprimibilità;
eiezione ventricolare: al raggiungimento di circa 70 mmHg, la valvola aortica si apre, mentre la mitrale rimane chiusa, ed il sangue è libero di fluire all’interno dell’aorta ascendente;
rilassamento isovolumetrico: la pressione ventricolare diminuisce drasticamente a causa del continuo rilascio di energia del ventricolo con entrambe le valvole chiuse, senza avere così cambiamenti in termini di volume di sangue.
9 Gli stessi meccanismi sopra elencati sono validi anche per il ciclo cardiaco del cuore destro: l’unica differenza risiede nei valori di pressione raggiunti che sono nettamente più bassi nell’atrio e ventricolo destro.
Figura 2.3: Pressioni e volumi che si raggiungono durante un battito cardiaco nel cuore sinistro
2.2 Fluidodinamica in aorta ascendente
2.2.1 Breve descrizione anatomica dell’aortaL’aorta, detta arteria magna, è la più importante e grande arteria nel corpo umano (diametro di circa 2.5 cm); ha origine dal ventricolo sinistro del cuore e si estende fino all’addome, dove si divide in due arterie più piccole (arterie iliache).
Un modo per classificare le diverse porzione dell’aorta, visibili in Figura 2.4, è mediante la sua posizione anatomica: viene detta toracica la parte che va dal cuore allo iato diaframmatico, addominale la restante porzione fino alla biforcazione. L’aorta toracica è ulteriormente suddivisa nei segmenti ascendente, dell’arco (dall’origine del tronco
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anonimo all’origine della succlavia di sinistra) e discendente (dal margine sinistro della succlavia di sinistra fino allo iato diaframmatico).
Figura 2.4: Schematizzazione delle varie sezioni che compongono l’aorta
L’aorta ascendente è lunga circa 5 cm ed è formata da due parti distinte. Il segmento inferiore è la radice aortica, che inizia a livello dell'anello fibroso aortico, si estende fino alla giunzione senotubulare ed è la porzione dell’aorta ascendente più larga. Le inserzioni delle tre cuspidi della valvola aortica sono sostenute dalla radice aortica, da cui sporgono esternamente i tre seni di Valsalva che permettono la completa escursione dei lembi valvolari aortici durante la sistole e da dove originano le due coronarie.
11 Tre tonache, mostrate in Figura 2.5, costituiscono istologicamente la parete dell’aorta: intima, media ed avventizia:
La tonaca intima è costituita da uno strato di cellule endoteliali a diretto contatto con il sangue che scorre lungo il vaso;
La tonaca media è costituita da cellule muscolari lisce e da tessuto elastico. Si posiziona tra la tonaca intima e la tonaca avventizia;
La tonaca avventizia, lo strato più esterno, è composta principalmente da collagene il quale ha la funzione di ancorare il vaso sanguigno agli organi circostanti.
Figura 2.5: Schematizzazione dei tre strati che compongono un’arteria: tonaca intima, tonaca media e tonaca avventizia
2.2.2 Flusso laminare o turbolento
In aorta ascendente, a causa delle sue notevoli dimensioni, si possono raggiungere numeri di Reynolds molto elevati al picco sistolico (~4000). Tale numero è solitamente indicato come valore di transizione tra un flusso laminare ed un flusso turbolento. Una rappresentazione schematica è presente in Figura 2.6.
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Numerosi studi si sono incentrati nel determinare qualora il flusso che si genera in aorta ascendente durante il ciclo cardiaco possa essere considerato turbolento e quali sono gli effetti di tale risultato sulla fisiologia del cuore [44, 46, 47].
Figura 2.6: Disegno schematico illustrativo di un flusso turbolento ed un flusso laminare
A causa della natura pulsatile del flusso sanguigno, non è possibile raggiungere uno stato di turbolenza completamente sviluppato; il dibattito rimane aperto invece sulla possibilità di incontrare alcuni effetti dello stadio di transizione misto a turbolenza: misurazioni effettuate con MRI e hot-wire anemometry supportano tale idea [45, 48, 49]. Inoltre alcuni autori hanno ipotizzato che il profilo di velocità elicoidale presente in aorta, causato dalla natura torsionale della contrazione cardiaca, possa fungere da inibitore per la transizione al flusso turbolento [26]. Per tale motivo quindi, la tesi per cui la turbolenza nel corpo umano sano non è osservabile, prende credito.
Con i lavori di Stein e Sabbah [47] si è dimostrato come in presenza di uno stato fisiopatologico (ad esempio stenosi aortica), la densità di energia turbolenta fosse più alta rispetto ad un caso sano come conseguenza di un restringimento della sezione di passaggio, risultando quindi in un aumento delle velocità raggiunte; sangue con un ematocrito tra il 20% e il 30% scorre con una più alta intensità di turbolenza rispetto a sangue con presenza di eritrociti fisiologica (45%).
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2.2.3 Fluidodinamica con valvola aortica bicuspide
Come anticipato in Sezione 2.1.2, la fluidodinamica in aorta ascendente in presenza di valvola aortica bicuspide risulta alterata rispetto al caso fisiologico con valvola aortica tricuspide [9]. A supporto di tale teoria, studi ecocardiografici hanno trovato sforzi di taglio massimi alla parete dell’arco aortico ascendente [2], mentre studi con risonanza magnetica hanno evidenziato flussi aortici disturbati [16]. In particolare, la fluidodinamica alla sistole in aorta ascendente con valvola bicuspide normalmente funzionante presenta alcune particolarità [3, 55]:
flusso eccentrico in uscita dal ventricolo sinistro; sforzi di taglio alla parete elevati;
alti flussi retrogradi;
presenza di flusso elicoidale, specialmente nei casi di arco dilatato.
Questi fattori, interconnessi l’un l’altro, aumentano la probabilità di formazione di aneurisma rispetto al caso con valvola tricuspide, a causa di un progressivo allargamento del tratto di aorta ascendente [1].
La differenza fluidodinamica rispetto al caso con valvola tricuspide può essere riscontrata anche analizzando le streamlines delle due configurazioni durante prove numeriche: la formazione di vortici è maggiormente evidenziata rispetto al caso fisiologico, in cui le streamlines, invece, risultano parallele rispetto alla parete aortica.
2.2.4 Presenza di moto elicoidale
La meccanica del flusso sanguigno nelle arterie, ed in particolare in aorta, ha un ruolo predominante per la salute degli individui. Numerosi studi sono stati svolti al fine di visualizzare e successivamente quantificare la presenza di flusso elicoidale in un soggetto sano. L’utilizzo tramite indici specifici potrebbe aiutare in fase diagnostica e terapeutica:
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sarebbe possibile infatti caratterizzare e classificare il moto del sangue, in modo da poter confrontare diversi gruppi di pazienti [8, 57].
Ad esempio, l’Helical Flow Index è stato utilizzato per avere una quantificazione accurata del moto elicoidale presente in aorta: si è visto come l’emodinamica sistolica sia caratterizzata da un flusso elicoidale in evoluzione (24% di differenza in termini di quantità di elicità presente tra la mid e early systole) [26].
I lavori a riguardo presenti in letteratura distinguono tra varie tipologie di moto elicoidale, classificandolo in base alla causa generante:
1. Moto elicoidale dovuto alla curvatura dell’arco aortico. La particolare geometria dell’arco aortico incide significativamente sulla fluidodinamica del sangue, in quanto provoca la formazione di flussi secondari elicoidali e retrogradi. Di fatti, in uno studio effettuato da Kilner [17] si è visto, con metodi non invasivi, che 9 individui sani su 10 presentavano flusso elicoidale in aorta ascendente, che variava in base al raggio di curvatura dell’arco stesso; tale risultato veniva replicato anche in un esperimento in vitro simulando l’arco aortico con un tubo in plastica con le pareti corrugate [17]. I risultati di un altro studio sul trasporto di lipoproteine a bassa densità (LDL) confermano quanto precedentemente detto: la torsione aortica induce elicità, stabilizzando così il flusso sanguigno e compensando gli effetti negativi della curvatura dell’aorta sul trasporto di tali LDL; in particolare, il flusso elicoidale riduce il rischio di una polarizzazione grave di LDL all’ingresso dei tre rami sull’arco aortico, evitando così la possibilità di aterogenesi [24]. La presenza di elicità di questo genere è significativamente rilevante per ridurre l’ipossia: tale informazione risulta utile nell’ambito della progettazione di device vascolari a flusso rotatorio [59].
15 2. Moto elicoidale dovuto alla torsione ventricolare durante la contrazione. Studi in letteratura dimostrano anche la presenza di un moto elicoidale dovuto alla torsione ventricolare durante la contrazione. Ad esempio, è stato svolto un lavoro al fine di quantificare la presenza in un soggetto sano di flusso elicoidale utilizzando tecniche come la cine phase contrast MRI per ottenere una descrizione spazio-temporale completa dei pattern tridimensionali del flusso sanguigno pulsatile in aorta. Il flusso elicoidale nella prima parte della sistole è conseguenza dell’asimmetria del flusso sanguigno nel ventricolo sinistro [26].
3. Moto elicoidale dovuto al rimescolamento del sangue nel tratto a valle dell’arco aortico durante la diastole. Mappature di velocità con MRI hanno evidenziato la presenza
di flussi secondari durante la diastole: il sangue, infatti, si rimescola, generando moto elicoidale [18].
Figura 2.7: Disegno schematico illustrativo di uno sviluppo del flusso aortico in un soggetto sano
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2.2.5 Studi computazionali
Altrettanto importanti nella ricerca medica, e scientifica in generale, sono gli studi di carattere computazionale da affiancare agli esperimenti tradizionali in vitro ed in vivo, spesso accompagnati, però, da limitazioni di natura pratica ed etica. La domanda crescente da parte della comunità medica di studi sul sistema cardiovascolare sempre più scientificamente rigorosi e quantitativi, ha portato allo sviluppo e all’applicazione di modelli matematici al fine di interpretare la funzionalità del sistema circolatorio e determinare alcune grandezze fisiche difficili o addirittura impossibili da misurare nei pazienti come ad esempio il campo di velocità puntuale o lo sforzo tangenziale.
Differenti sono gli scopi dell’emodinamica computazionale:
determinazione della genesi e dello sviluppo di alcune patologie: ad esempio lo studio numerico su arterie polmonari di neonati affetti da ipoplasia ventricolare sinistra che ha permesso di chiarire l’impatto del sangue sullo sforzo superficiale [23];
sviluppo di protesi: ad esempio lo studio numerico sui drug eluting stents nel progettare la pellicola di rivestimento dello stent al fine di garantire un rilascio ottimale del farmaco nel sangue [54, 60];
analisi degli effetti di tecniche chirurgiche: ad esempio lo studio sulla fluidodinamica nelle carotidi dopo trattamento di endoarteriectomia [13];
determinazione ed ottimizzazione di alcuni parametri fisici [32].
Lo sviluppo della computational fluid dynamics (CFD) associato all’incremento della potenza di calcolo ha fornito ai medici, ai bioingegneri e ai matematici un nuovo strumento di indagine, ovvero gli esperimenti numerici (in silico).
17 Per quanto riguarda studi computazionali in aorta ascendente, in numerosi di essi sono state utilizzate geometrie reali per le simulazioni: in generale si parte da immagini CT o MRI e si ricostruisce tramite algoritmi di segmentazione le aorte degli individui coinvolti. Valore aggiunto a questi studi è la non idealizzazione della geometria aortica, avendo come vantaggio il fatto di poter aver soluzioni patient-specific. In termini di condizioni al bordo all’inlet, però, non è stata aggiunta alcuna velocità rotatoria per modellare l’effetto di swirl dovuto alla meccanica ventricolare, trascurando di fatti questo termine [5, 6, 22].
Non sono stati trovati in letteratura lavori che includessero il contributo di velocità rotatoria dovuto alla meccanica ventricolare associato a geometrie reali.
L’ambizione di questa tesi è quella di svolgere uno studio computazionale con l’obiettivo di simulare il contributo elicoidale del flusso sanguigno in aorta con valvola tricuspide e bicuspide dovuto al ventricolo sinistro e di valutarne l’impatto su quantità fluidodinamiche significativa. È stata utilizzata una geometria reale dell’arco aortico di un paziente, sia in caso di valvola aortica tricuspide che in caso di valvola aortica bicuspide; come condizione al bordo all’inlet è stato imposto un contributo di velocità rotatoria fisiologico oltre a quello assiale. L’obiettivo di questo lavoro è quindi valutare l’incidenza che tale contributo aggiuntivo al profilo di velocità in ingresso ha su quantità emodinamiche significative quali ad esempio WSS e TAWSS, particolarmente importanti in clinica. La prima parte del lavoro si è incentrato nella valutazione di tale contributo in una geometria semplice (cilindro) e successivamente si è passati a dei casi reali, effettuando prove numeriche su geometrie vere con valvole aortiche tricuspidi e bicuspidi.
18
La novità di questo studio risiede nel fatto di introdurre un contributo di velocità rotatoria come condizione al bordo all’ingresso dell’aorta, al fine di poter stabilire quali sono gli effetti complessivi di questo termine durante le simulazioni numeriche sulla fluidodinamica nell’arco aortico e valutare quindi la necessità di includere tale termine in successive prove.
19
Capitolo 3
Descrizione matematica e numerica del problema
Sommario_____________________________________________________________ 3.1 Assunzioni generali………...………...19 3.1.1 Modellazione del sangue……….………...………20
3.1.2 Assunzioni sul problema fisico …...……….20
3.2 Le equazioni di Navier-Stokes………….………...…………..…..21 3.3 Discretizzazione numerica………….………...…………..………25
3.3.1 Problema di Galerkin……….………...………...25 3.3.2 Metodo degli elementi finiti…………..…………...………...26 3.3.3 Discretizzazione temporale………...28 3.3.4 Stabilizzazione SUPG-PSPG….………...30
3.1 Assunzioni generali
Per descrivere matematicamente un problema riguardante la fluidodinamica del sangue è necessario fare alcune assunzioni semplificative riguardanti le proprietà fisiche del sangue e del problema fisico stesso. È evidente come queste scelte influenzeranno il modello matematico e i risultati ottenuti, ma sono state adottate al fine di ottenere una formulazione accurata per i nostri scopi trascurando degli effetti (come l’interazione con la parete aortica) a questo livello non necessari [34, 35].
20
3.1.1 Modellazione del sangue
A causa della natura complessa del sangue si utilizzano alcune assunzioni semplificative per definire un opportuno modello matematico in grado di descriverlo:
Fluido Newtoniano. Il sangue viene considerato in generale come fluido non-Newtoniano, ovvero un fluido la cui viscosità varia a seconda dello sforzo di taglio che viene applicato. Viene classificato come pseudoplastico poiché la viscosità diminuisce all’aumentare dello sforzo di taglio: il valore minimo (3.5 cP, 1 P = 10-3 Pa·s) si registra ad alti shear rates (maggiori di 100 s-1). L’effetto
Fahraeus-Lindqvist, per cui si ha una diminuzione di viscosità in tubi di piccolo diametro, non è presente in vasi di grosso calibro [40]. Risultano inoltre trascurabili le dimensioni del corpuscolato (globuli rossi, globuli bianchi, piastrine) rispetto al diametro del vaso [42]. Per tali motivo, in questo lavoro incentrato sull’aorta il sangue verrà considerato come fluido Newtoniano con una viscosità di 3.5 cP. Fluido omogeneo ed incomprimibile. In vasi di medio e grosso calibro, il sangue
può essere considerato come un fluido omogeneo, ovvero composto da una singola fase. La densità del sangue viene assunta costante e pari a 1060 kg/m3, poiché la comprimibilità del fluido può essere trascurata [50].
3.1.2 Assunzioni sul problema fisico
Il flusso di sangue potrà essere descritto dalle equazioni di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile, omogeneo e Newtoniano. Alcune assunzioni riguardano anche il problema fisico:
Pareti rigide. L’ipotesi di utilizzare pareti rigide non è un’assunzione fisicamente realistica, soprattutto nelle arterie, essendo gli spostamenti non trascurabili (ad esempio in aorta sono dell’ordine dei millimetri) [49]. Questa semplificazione permette di trascurare gli effetti dell’interazione tra il sangue e la parete arteriosa,
21 evitando così di utilizzare modelli FSI che complicherebbero ulteriormente il problema. L’assunzione di pareti rigide può essere accettata se considerata come punto di partenza di questo studio, focalizzandosi così sull’obiettivo finale, ovvero la valutazione dell’incidenza del contributo di moto elicoidale su alcuni parametri fisiologici [34].
Flusso laminare. Un regime laminare di flusso è stato assunto per tutto lo studio. Le motivazioni di questa scelta sono state introdotte nella Sezione 2.2.2. Alcuni lavori in letteratura sono incentrati su modelli di turbolenza in aorta [19, 20, 21, 30].
3.2 Le equazioni di Navier-Stokes
Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono il comportamento di un fluido, ottenibili dalle leggi di conservazione della massa e del momento [33].
Sia ρ = ρ(𝐱, t) la densità di un fluido in un dominio Ω ⊂ R3e u = u(x, t) la sua velocità; la legge di conservazione della massa può essere espressa come segue:
∂ρ
∂t+ ∇ ∙ (ρ𝐮) = 0, ∀𝐱 ∈ Ω, t ∈ (0, T]. (3.1)
Per un fluido omogeneo ed incomprimibile, la densità è costante, per cui la legge di conservazione di cui sopra si semplifica
∇ ∙ 𝐮 = 0, ∀𝐱 ∈ Ω, t ∈ (0, T]. (3.2) La legge di conservazione del momento conduce a
ρ [∂𝐮
22
dove 𝐓 è il tensore degli sforzi di Cauchy e 𝐟(𝐱, t) una forzante, la cui funzione è rappresentare le forze che agiscono sul fluido. In emodinamica la 𝐟 rappresenta la forza di gravità, e per tale motivo viene trascurata [34].
Ricordando l’espressione del tensore di Cauchy [33] per un fluido Newtoniano incomprimibile, la legge di conservazione del momento si semplifica a
ρ [∂𝐮
∂t+ (𝐮 ∙ ∇)𝐮] + ∇P − ∇ ∙ [μ(∇𝐮 + (∇𝐮)
T)] = ρ𝐟, ∀𝐱 ∈ Ω, t ∈ (0, T], (3.4)
indicando con P la pressione. Le due leggi di conservazione assieme portano alle equazioni di Navier-Stokes per un fluido Newtoniano omogeno ed incomprimibile: determinare 𝐮 e P tali che
{ρ
∂𝐮
∂t− ∇ ∙ [μ(∇𝐮 + (∇𝐮)
T)] + ρ(𝐮 ∙ ∇)𝐮 + ∇𝐏 = ρ𝐟, ∀𝐱 ∈ Ω, t ∈ (0, T],
∇ ∙ 𝐮 = 0 (3.5) Per poter parlare di problema ben posto, è necessario imporre una condizione iniziale
𝐮(𝐱, 0) = 𝐮0(𝐱), ∀𝐱 ∈ Ω (3.6) assieme alle condizioni al bordo, che possono essere di due tipi [35]: si può assegnare una condizione di Dirichlet, che corrisponde ad un’imposizione di campo di velocità noto (ad esempio è stata posta alla parete del vaso una condizione omogenea di questo tipo a causa dell’ipotesi di parete rigida) [34]:
𝐮(𝐱, t) = 𝐠(𝐱, t), ∀𝐱 ∈ ΓD, (3.7) oppure una condizione di Neumann che corrisponde a prescrivere uno sforzo applicato [52]: −P ρ𝐧 + μ ρ(∇𝐮 + (∇𝐮) T)𝐧 = 𝐡(𝐱, t) , ∀𝐱 ∈ Γ N, (3.8) ∀𝐱 ∈ Ω, t ∈ (0, T]
23 𝐧
dove ΓD e ΓN sono le regioni del contorno ∂Ω tale che ΓD∪ ΓN= ∂Ω, g e h sono funzioni date, 𝐧 = 𝐧(𝐱) è il versore normale a ∂Ω, come mostrato in Figura 3.1 [15].
Figura 3.1: Esempio di dominio Ω, il cui contorno ∂Ω è composto dalle due regioni ΓD e ΓN; è inoltre rappresentata la normale n alla superficie del dominio.
Nell’ottica della discretizzazione numerica delle equazioni (3.5), (3.6), (3.7) e (3.8) si introduce la cosiddetta formulazione debole del problema [35]. Sono elencati gli spazi funzionali utili nella seguente trattazione matematica:
Q = L2(Ω),
𝐕D = [HΓ1D(Ω)]3 = {𝐯 ∈ [H1(Ω)]3: 𝐯|Γ
D = 𝟎},
𝐕g = {𝐯 ∈ [H1(Ω)]3: 𝐯|Γ
D = 𝐠}, (3.9)
dove L2(Ω) e H1(Ω) sono spazi funzionali definiti come:
L2(Ω) = {v ∶ Ω → R ∶ ∫ v(𝐱)2dΩ Ω < +∞}, [H1(Ω)]3 = {𝐯 ∈ [L2(Ω)]3: ∇𝐯 ∈ [L2(Ω)]3x3}. (3.10) 𝚪𝐍 𝚪𝐃
24
Moltiplicando le equazioni di Navier-Stokes (3.5) rispettivamente per delle funzioni 𝐯 ∈ VD e q ∈ Q, e integrando su Ω, si presenta il seguente problema: dato 𝐮|t=0 = 𝐮0, si trovino 𝐮 ∈ 𝐕g e p ∈ Q tali che, per ogni t ∈ (0, T]:
{(
∂𝐮
∂t, 𝐯) + a(𝐮, 𝐯) + c(𝐮, 𝐮, 𝐯) + b(p, 𝐯) = (𝐟, 𝐯) + (𝐡, 𝐯)L2(ΓN)
b(q, 𝐮) = 0, , (3.11) per ogni 𝐯 ∈ 𝐕𝐃 e q ∈ Q.
Le seguenti notazioni sono state adottate:
(𝐯, 𝐰) = ∫ 𝐯 ∙ 𝐰 Ω dΩ, a(𝐯, 𝐰) = v ∫ (∇𝐯 + (∇𝐯)T): ∇𝐰 Ω dΩ b(q, 𝐯) = − ∫ q∇ ∙ v Ω dΩ c(𝐯, 𝐰, 𝐳) = ∫ (v ∙ ∇)𝐰 ∙ 𝐳Ω dΩ (3.12)
La risoluzione di problemi in formulazione forte non garantisce di trovare una soluzione classica ad un particolare problema, specialmente con domini complessi [33]. Per ovviare a queste difficolta, si preferisce la formulazione debole del problema, appena esposta. Inoltre, la formulazione debole è il “ponte” verso la discretizzazione numerica [35]. Come vedremo nel prossimo paragrafo, la formulazione Elementi Finiti è una particolare approssimazione della formulazione debole.
25
3.3 Discretizzazione numerica
Tramite i metodi numerici si ha la possibilità di trovare una soluzione approssimata del problema, poiché è impossibile trovare una soluzione analitica delle equazioni di Navier-Stokes. È necessario quindi effettuare una discretizzazione sia in spazio che in tempo: il metodo degli elementi finiti verrà utilizzato per lo spazio, il metodo delle differenze finite per il tempo [43].
3.3.1 Problema di Galerkin
Per poter determinare una soluzione numerica approssimata è necessario passare dalla risoluzione di un problema definito in uno spazio continuo alla risoluzione di tale problema in uno spazio discreto: lo spazio di Hilbert viene sostituito da sottospazi di dimensione finita 𝐕h ⊂ 𝐕 e Qh ⊂ Q in cui trovare le soluzioni approssimate 𝐮h e 𝐩h [52]. 𝐕 e Q sono spazi di test generici per velocità e pressione; h è riferito alla discretizzazione del dominio, tale che, quando h → 0, 𝐕h e Qh risulteranno approssimazioni migliori per gli spazi 𝐕 e Q [35].
Il problema esposto precedentemente (3.11) può essere riscritto utilizzando spazi e soluzioni approssimati: data 𝐮0,h (approssimazione di 𝐮0), si trovino 𝐮h∈ 𝐕g,h e ph∈ Qh
tali che, per (quasi) ogni t ∈ (0, T]:
{(
∂𝐮h
∂t , 𝐯h) + a(𝐮h, 𝐯h) + c(𝐮h, 𝐮h, 𝐯h) + b(ph, 𝐯h) = (𝐟, 𝐯h) + (𝐡, 𝐯h)L2(ΓN)
b(qh, 𝐮h) = 0, , (3.13) per ogni 𝐯h ∈ 𝐕D,h e qh∈ Qh.
È necessario scegliere 𝐕h e Qh in modo tale che la condizione inf-sup discreta sia verificata. Questo forza la scelta dei sottospazi 𝐕h e Qh che non possono essere scelti arbitrariamente [33].
26
3.3.2 Metodo degli elementi finiti
Per la discretizzazione in spazio è necessario che il dominio Ω venga suddiviso in una mesh Th, ovvero una triangolazione ad esempio composta da tetraedri [43]. Il dominio
discretizzato Ωh viene definito come
Ωh = int ( ⋃ K
K∈Th
) (3.14)
dove int(A) è la parte interna di A e K il generico tetraedro. Ωh può quindi essere ricoperto
dai tetraedri K. L’intersezione di due tetraedri può essere vuota o si può ridurre ad una singola entità comune, come un vertice, uno spigolo o una faccia. I nodi della mesh Th sono i vertici del tetraedro K che compone la mesh [34].
Sia hK la lunghezza dello spigolo dell’elemento più grande e ρK il diametro della più grande sfera inscritta; la mesh deve essere regolare, ovvero deve esistere δ > 0 tale che
hK
ρK ≤ δ, ∀K ∈ Th. (3.15)
Sia Pr l’insieme dei polinomiali p con coefficienti scalari di R3 in R di grado inferiore o
uguale a r, con r = 1,2, …:
Pr= {p(x, y, z) = ∑ αijlxiyjzl, α
ijl ∈ R 0≤i+j+l≤r
}. (3.16)
Lo spazio degli elementi finiti può essere definito come lo spazio delle funzioni che sono globalmente continue e polinomiali di ordine r sugli elementi K della mesh Th:
xhr: {vh ∈ C0(Ω): v
27 Si possono scegliere ora i seguenti spazi 𝐕h = [Xhr]3 e Q
h= Xhs in merito al problema di
Galerkin (3.13) per la discretizzazione in spazio [33]. Ad esempio, scegliendo r=2 e s=1, si ottengono gli elementi finiti P2-P1 che soddisfano la condizione inf-sup [35]; un altro esempio di elementi finiti che soddisfa tale condizione sono gli elementi P1bolla-P1: si aggiunge agli elementi P1-P1 un grado di libertà per ogni componente della velocità nei baricentri dei tetraedri [43, 52]. Invece, gli elementi finiti Pr-Pr, con r ≥ 1, come ad
esempio P1-P1, sono instabili, ovvero non soddisfano la condizione inf-sup discreta: il risultante sistema lineare è singolare [33]. Tuttavia, è possibile considerare elementi finiti di ugual ordine purché si aggiunga un termine stabilizzante che permetta di rendere coercivo il problema pur essendo violata la condizione inf-sup discreta: un esempio è dato dalla stabilizzazione SUPG-PSPG [33]. Si veda la Sezione 3.3.4 per ulteriori dettagli in merito a tale stabilizzazione.
Si può derivare ora la forma algebrica del problema di Galerkin. Siano φj e ψj le funzioni di base di Vh e Qh. Si definisca 𝛗j(x)nel seguente modo:
𝛗j(𝐱) =
Tutte le funzioni di 𝐕h e Qh possono essere scritte come combinazione lineare delle basi:
𝐯h(𝐱) = ∑ vj𝛗j(𝐱) 3Nu j=1 , qh(𝐱) = ∑ qkψk(𝐱) Np k=1 , (3.18) per j = 1, … , Nu per j = Nu+1, … , 2Nu per j = 2Nu+1, … , 3Nu ,
28
indicando con Nu e Np le dimensioni di Vh e Qh.
Notando che anche 𝐮h e ph si possono scrivere come combinazione lineare delle funzioni
di base, ovvero uh(x, t) = ∑ uj(t)φj(x) 3Nu j=1 , ph(x, t) = ∑ pk(t)ψk(x) Np k=1 ,
la formulazione algebrica delle equazioni di Navier-Stokes discrete è data dal sistema non-lineare di equazioni differenziali:
{M
d𝐔
dt + A𝐔 + C(𝐔)𝐔 + B
T𝐏 = 𝐅 + 𝐇,
B𝐔 = 𝟎,
dove M = [mij] = (𝛗j, 𝛗i) è la matrice di massa, A = [aij] = a(𝛗j, 𝛗i) la matrice di rigidezza, C(𝐔) = [cij] = c(𝐮h, 𝛗j, 𝛗i) la matrice relativa al termine convettivo
dell’equazione, B = [bij] = b(ψk, 𝛗j), 𝐅 = [fj] = (f, 𝛗j), 𝐇 = [hj] = (𝐡, 𝛗j)L2(ΓN). In
conclusione, 𝐔 = [uj] e 𝐏 = [pK] sono i vettori incogniti di velocità e pressione [43].
3.3.3 Discretizzazione temporale
Una volta discretizzato in spazio, è necessario procedere alla discretizzazione rispetto al tempo: l’intervallo [0; T] può essere suddiviso in sotto-intervalli di grandezza costante ∆t, tale che tn= n∆t, n = 0,1, … .
Le derivate temporali sono state discretizzate seguendo la Backward Difference Formula (BDF) di ordine uno, un metodo implicito. Per trattare la non-linearità, il campo convettivo è invece trattato in esplicito, ottenendo per tale motivo un metodo
(3.20) (3.19)
29 implicito [14]. Il sistema lineare da risolvere ad ogni timestep è lineare: da qui il vantaggio dell’utilizzo di questo metodo [33].
Siano 𝐔n e 𝐏n rispettivamente le approssimazioni di 𝐔(tn) e di 𝐏(tn), e ponendo 𝐆n+1= 𝐅(tn+1) + 𝐇(tn+1), il sistema lineare derivante dalla discretizzazione spaziale
(3.20) può essere riscritto:
{M
𝐔n+1−𝐔n ∆t + A𝐔
n+1+ C(𝐔n)𝐔n+1+ BT𝐏n+1 = 𝐆n+1,
B𝐔n+1= 𝟎.
La formulazione algebrica del problema discreto può essere descritta come il seguente sistema lineare, da risolvere ad ogni timestep:
[ 1 ∆tM + A + C(𝐔 n) BT B 0 ] (𝐔 n+1 𝐏n+1) = ( 𝐆n+1+∆t M𝐔1 n 𝟎 ) .
Esiste una condizione che deve essere soddisfatta affinché un metodo semi-implicito sia stabile [43]:
∆t ≤ β h
maxx∈Ω‖𝐮n‖ .
Tuttavia, tale vincolo non è severo alla luce della scelta del passo di discretizzazione, in quanto, per questioni di accuratezza, la sua scelta è ben al di sotto del valore richiesto dalla stabilità [33].
Nelle simulazioni presenti in questo lavoro è stato usato il metodo GMRES con un precondizionatore di Schwarz a due livelli per la risoluzione del sistema algebrico. Per maggiori dettagli riguardo questo metodo e altre possibili tecniche per l’approssimazione numerica e la risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes, si rimanda il lettore a [33], [34] e [35].
(3.21)
(3.22)
30
3.3.4 Stabilizzazione SUPG-PSPG
Le equazioni di Navier-Stokes con la formulazione ad elementi finiti possono soffrire di problemi di instabilità. Una delle possibili cause di instabilità è dovuta alla presenza di un termine convettivo che domina il termine diffusivo: di fatti, in problemi fluidodinamici con alti numeri di Reynolds, la richiesta di una mesh sufficientemente fine, con lo scopo di ottenere risultati stabili [33], potrebbe rendere proibitivo il costo computazionale. Per questo motivo, il problema di Navier-Stokes può essere stabilizzato permettendo di utilizzare una mesh di calcolo non troppo fine. Per ovviare a tale problematica, ad esempio, è possibile utilizzare una stabilizzazione Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) [43]. Un’altra fonte di instabilità è la scelta di elementi finiti che non soddisfano la condizione inf-sup discreta. Tale SUPG, in associazione con la stabilizzazione Pressure-Stabilizing Petrov-Galerkin (PSPG), permette di controllare anche le instabilità provocate dalla condizione inf-sup discreta [43].
La stabilizzazione SUPG-PSPG risulta consistente poiché è basata sull’aggiunta di termini locali proporzionali al residuo dell’equazione del momento in forma forte [52].
Per tali motivi, in un problema di Navier-Stokes in cui il termine convettivo è dominante, è possibile utilizzare gli elementi finiti P1-P1, in origine instabili, con la stabilizzazione SUPG-PSPG per ovviare ai problemi causati dall’alto numero di Reynolds e dalla condizione inf-sup discreta. L’utilizzo di tali elementi abbatte ulteriormente i tempi di calcolo.
31
Capitolo 4
Risultati numerici
Sommario_____________________________________________________________ 4.1 Setting delle simulazioni numeriche……….…...32 4.1.1 Mesh delle geometrie………...………...32 4.1.2 Calcolo del contributo di velocità rotatoria..………...…………34
4.1.3 Condizioni al bordo…………..…...……….37 4.1.4 Setting del risolutore………..42
4.2 Indici fluidodinamici……….……….…...43 4.3 Cilindro………..44
4.3.1 Velocità………..45 4.3.2 WSS………...49
4.4 Aorta con valvola aortica tricuspide………51
4.4.1 Velocità………..52 4.4.2 WSS………...57
4.5 Aorta con valvola aortica tricuspide………61
4.5.1 Velocità………..62 4.5.2 WSS………...66
32
4.1 Setting delle simulazioni numeriche
Le simulazioni numeriche sono state effettuate con la libreria Elementi Finiti (FEM) LifeV (versione 2.1.1) [23], una libreria open-source scritta in C++, sviluppata da una collaborazione congiunta tra il Politecnico di Milano (MOX), École Polytechnique Fédérale de Lausanne (CMCS) in Svizzera, INRIA (REO, ESTIME) in Francia e Emory University (Sc. Comp.) negli USA. LifeV fornisce implementazioni allo stato dell’arte di metodi matematici e numerici per la soluzione di equazioni alle derivate parziali con FEM. La scelta di FEM è motivata dalla sua flessibilità nella gestione di geometrie complesse assieme al suo background matematico rigoroso.
4.1.1 Mesh delle geometrie
Per la generazione delle mesh del cilindro (CYL) è stato utilizzato Tetgen [58], un software open-source che permette di dividere qualsiasi geometria tridimensionale in tetraedri, sfruttando una tipologia di triangolazione di Delaunay sviluppata dall’autore del programma. Le dimensioni del cilindro utilizzato sono 75mm di lunghezza e 20mm di diametro.
Per la generazione delle mesh dell’aorta con valvola aortica tricuspide (Aorta_TAV) e dell’aorta con valvola aortica bicuspide (Aorta_BAV) si è utilizzato il Vascular Modeling Toolkit (VMTK, versione 1.2) [56]. VMTK comprende numerose librerie e strumenti per la ricostruzione 3D, l’analisi delle geometrie, la generazione delle mesh per modelli image-based di vasi sanguigni.
33 Si è partiti da modelli di superficie preesistenti ottenuti da immagini MRI fornite dall’Ospedale Borgo Trento di Verona, i quali sono stati successivamente trasformati in mesh volumetriche di tetraedri lineari. In particolare, è stato utilizzato uno script in Phyton che offre la possibilità di scegliere la dimensione degli elementi della mesh, h, utilizzando due parametri α e γ, in relazione tra loro:
h(R) = α Rγ ,
dove R è il raggio del vaso al livello dell’elemento della mesh considerato. Da ciò ne consegue che la dimensione dell’elemento dipende dal raggio e, nello specifico, diventa più piccolo al decrescere della dimensione del vaso. Per la generazione delle mesh è stato posto γ = 0.45 e α = 0.5.
Per le simulazioni in aorta, non sono stati considerati i foglietti valvolari né per la configurazione Aorta_TAV né per Aorta_BAV.
Nella Figura 4.1 sono rappresentate le mesh utilizzate per le simulazioni, assieme al numero di tetraedri e vertici. Si noti che la sezione di inlet delle mesh dell’aorta coincide con la proiezione sul piano valvolare della configurazione aperta.
34
Tetraedri Vertici
CYL 120966 23398
Aorta_TAV 597526 100899 Aorta_BAV 600444 101346
Figura 4.1: Rappresentazione delle mesh utilizzate per le simulazioni, assieme al numero di tetraedri e vertici: a sinistra la mesh di CYL, al centro la mesh della Aorta_TAV e a destra la mesh dell’Aorta_BAV. In blu, sono state raffigurate le estremità della superficie di inlet, coincidente con la configurazione a valvola aperta.
4.1.2 Calcolo del contributo di velocità rotatoria
In questa parte verrà esposto il procedimento utilizzato per calcolare il contributo di velocità rotatoria alla sezione di ingresso. Infatti, come detto, l’obiettivo di questo lavoro è quello di valutare l’incidenza che tale contributo aggiuntivo al profilo di velocità in ingresso ha su quantità emodinamiche significative.
Sia Q(t) il dato di partenza del problema, ovvero il flusso sanguigno da imporre alla sezione di ingresso delle geometrie, e ω la velocità angolare a cui è soggetto il sangue all’ingresso dell’arco aortico. Per poter quantificare il valore di tale velocità angolare ω da imporre successivamente nelle simulazioni numeriche, si è partiti da uno studio in letteratura in cui venivano misurate le velocità assiali e non-assiali massime registrate alla sistole [17].
35 In particolare, sono state fatte le seguenti ipotesi:
Ipotesi 1. L’andamento nel tempo della velocità rotatoria massima in spazio è uguale, a meno di un fattore moltiplicativo β, all’andamento nel tempo della velocità assiale media in spazio.
Ipotesi 2. Non avendo a disposizione dati riguardanti le velocità massime in spazio se non al picco sistolico, tale coefficiente β non risulta essere funzione del tempo, bensì assume un valore costante per l’intero battito cardiaco.
Dal dato di flusso sanguigno Q(t) è possibile calcolare ad ogni instante di tempo la velocità media in spazio vASSIALEmedia (t), definita come segue:
vASSIALEmedia (t) = Q(t)
Ainlet, (4.1)
dove Ainlet è l’area della sezione di ingresso della geometria presa in considerazione. La velocità assiale media in spazio vASSIALEmedia (t), sarà massima in tempo all’istante della sistole, in cui anche Q(t) è massima: ci riferiremo a questa quantità nel seguito come vASSIALEmedia,max.
Supponiamo di conoscere dai dati di letteratura la velocità rotatoria all’inlet massima in spazio ed in tempo. Ci riferiremo a questa quantità nel seguito come vROTmax,max. Grazie alle ipotesi 1 e 2, possiamo introdurre il seguente fattore di proporzionalità β definito come segue:
β = vROTmax,max
vASSIALEmedia,max , (4.2)
ovvero il rapporto tra la velocità rotatoria massima in spazio ed in tempo vROTmax,max e la velocità assiale media in spazio e massima in tempo vASSIALEmedia,max. Come detto, il valore di β è calcolabile in pratica conoscendo il flusso sistolico imposto ed una stima della velocità
36
rotatoria massima. Indichiamo con vROTmax(t) l’andamento nel tempo della velocità rotatoria massima in spazio, raggiunta vicina al bordo dell’inlet.
Grazie all’ipotesi 2, essa è definita da vROTmax(t) = β ∙ v
ASSIALEmedia (t) (4.3), che è una quantità
nota grazie alle (4.1) e (4.2).
Notiamo che la velocità rotatoria massima in spazio vROTmax(t) è comunque nulla al bordo per compatibilità con la no-slip condition imposta su Γwall (si veda Sezione 4.1.3 per maggiori dettagli).
Ricordando che la velocità rotatoria massima è ubicata nei punti in prossimità del bordo, è possibile ricavare la velocità angolare ω:
ω(t) =vROTmax(t)
(R−h), (4.4)
indicando con R il raggio della sezione di inlet e con h la dimensione del tetraedro della mesh.
Dalla (4.3) e (4.4), l’espressione della velocità angolare può essere riscritta nel seguente modo:
ω(t) =vASSIALEmedia (t)∙β
(R−h) . (4.5)
In conclusione, le componenti lungo x e y della velocità rotatoria, rispettivamente vROT,x(y, t) e vROT,y(x, t) da imporre all’ingresso avranno la seguente espressione:
vROT,x(y, t) = −vASSIALEmedia (t) β (R−h) y ,
vROT,y(x, t) = vASSIALEmedia (t) β
37 Il valore di β usato nelle simulazioni di questo lavoro è stato per l’appunto ricavato dai valori trovati in letteratura [17], immessi nella (4.2): la velocità assiale media in spazio e massima in tempo vASSIALEmedia,max risulta essere dai dati di letteratura pari a circa 150 cm/s, mentre la velocità rotatoria massima in spazio e massima in tempo vROTmax,max risulta essere pari a circa 15 cm/s. Dunque, il valore di β nel caso fisiologico è pari a 0.10.
Le prove numeriche nel cilindro, con l’imposizione all’inlet di un profilo parabolico, sono state svolte quindi con β = 0.10, da confrontare con il caso senza contributo aggiuntivo (β = 0). Per analizzare la sensitività dei risultati, ulteriori simulazioni sono state considerate nel caso di geometria cilindrica al variare di β: in particolare è stato scelto β = 0.05 e β = 0.15, rispettivamente pari al 50% e al 150% del valore fisiologico di β. Le simulazioni in aorta sono state svolte con β = 0 e β = 0.10.
4.1.3 Condizioni al bordo
Come anticipato nella Sezione 3.2, è necessario imporre delle condizioni al bordo appropriate alle sezioni fisiche ed artificiali del dominio computazionale, ovvero alla parete, all’inlet e agli outlet. In questa sezione verranno spiegate dettagliatamente le scelte riguardanti le condizioni al bordo imposte.
Nelle Figure 4.2, 4.3 e 4.4 sono raffigurate le mesh di volume delle geometrie considerate, in cui sono state indicate le superfici dove imporre le condizioni al bordo.
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Figura 4.2: Rappresentazione della mesh del cilindro: a sinistra una vista frontale, a destra una vista posteriore. È indicata in arancione la superficie denominata “wall”, in blu la superficie denominata “inlet” ed in verde la superficie denominata “outlet”
Figura 4.3: A sinistra la rappresentazione della mesh dell’Aorta_TAV e a destra quella dell’Aorta_BAV, in cui è indicata in arancione la superficie denominata “wall” e in giallo la superficie denominata “inlet”
Figura 4.4: A sinistra una vista dall’alto della mesh dell’aorta e a destra una vista laterale, in cui sono indicate in arancione le superficie denominata “wall” e in verde le superfici denominate “outlet” Γwall Γwall Γinlet Γinlet Γwall Γwall Γoutlet Γinlet Γoutlet Γwall Γwall Γoutlet_4 Γoutlet_1 Γoutlet_3 Γoutlet_2 Γinlet
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Parete
Sia nelle simulazioni del cilindro che in quelle dell’aorta, le pareti delle geometrie sono state considerate rigide ed una no-slip condition (aderenza completa tra parete e fluido) è stata imposta [34].
Dunque, è stata scelta una condizione di Dirichlet omogenea su Γwall, ovvero velocità
nulla:
𝐮(𝐱, t) = 0, ∀𝐱 ∈ Γwall .
Inlet
Per quanto riguarda le simulazioni del cilindro, è stato imposto un profilo parabolico di velocità alla sezione di ingresso. Tale profilo è stato ottenuto partendo dall’andamento del flusso sanguigno durante un ciclo cardiaco. Il picco sistolico raggiunge i 250 cm3
s ed
il suo andamento è esposto in Figura 4.5:
vZcyl(r, t) = 2 ∙Q(t)A cil ∙ (1 − ( r R) 2 ) su Γinlet . (4.7)
Nelle simulazioni di Aorta_TAV ed Aorta_BAV, invece, si è preferito imporre un profilo piatto all’ingresso dell’aorta:
vZaorta(r, t) = Q(t)
Aaorta su Γinlet . (4.8)
Questa scelta di condizione al bordo è stata già effettuata in altri lavori riguardanti l’emodinamica in aorta [6, 28, 36].
Per tutte le geometrie sono state eseguite simulazioni con imposizione di sola velocità assiale, e simulazioni con l’aggiunta del contributo di velocità rotatoria. I valori di β
40
utilizzati per il cilindro sono: 0, 0.05, 0.10, 0.15; i valori di β utilizzati per le aorte sono 0 e 0.10.
Figura 4.5: Rappresentazione dell’andamento del flusso sanguigno imposto alla sezione d’ingresso del cilindro
Nelle simulazioni di Aorta_BAV la velocità rotatoria è stata imposta in maniera diversa rispetto al caso tricuspide: non avendo una sezione di ingresso circolare come nel caso di Aorta_TAV, è stato ipotizzato che la velocità rotatoria fosse da imporre su una circonferenza immaginaria di inlet di diametro pari a quella del caso di Aorta_TAV. In Figura 4.6 una raffigurazione semplificativa dell’imposizione all’inlet della velocità rotatoria per Aorta_BAV:
Figura 4.6: Raffigurazione semplificativa dell’imposizione all’inlet della velocità rotatoria per Aorta_BAV
Γ
T41 Nella figura sopra è possibile vedere, delimitato in blu, il vero accesso all’arco aortico per la configurazione con valvola bicuspide (ΓB); in arancione, invece, è raffigurata la
circonferenza di ingresso per la configurazione con valvola tricuspide (ΓT). Per le
simulazioni numeriche si è proceduto come di seguito:
Nodi contenuti in ΓB e ΓT: imposizione di velocità assiale; imposizione di velocità
rotatoria definita in Sezione 4.1.2: la velocità massima rotatoria si avrà vicino al bordo di ΓT;
Nodi contenuti in ΓB ma non in ΓT: imposizione di velocità assiale; imposizione
di velocità rotatoria con valore costante e pari al valore di velocità massima rotatoria raggiunta vicino al bordo di ΓT.
Outlet
Sia nelle simulazioni del cilindro (Γoutlet) che in quelle dell’aorta (sezione distale dell’arco
aortico Γoutlet_1, arteria carotide comune sinistra Γoutlet_2, arteria succlavia sinistra Γoutlet_3,
arteria brachiocefalica Γoutlet_4), una condizione di Neumann omogena è stata imposta.
Questa condizione risulta in un’imposizione di una pressione nulla ad ogni punto della sezione di uscita, quando viene prescritta per una superficie piatta perpendicolare all’asse del vaso. La condizione di Neumann omogenea imposta ad almeno un outlet è necessaria per garantire la conservazione della massa [34]. Questa scelta è stata fatta anche perché la regione di vero interesse, cioè l’arco aortico, risulta lontano da questi outlet. Anche in altri lavori riguardanti la fluidodinamica in aorta ascendete è stata imposta questa condizione al contorno in uscita [3, 31, 55].
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4.1.4 Setting del risolutore
Per la discretizzazione numerica, ed in particolare per risoluzione del sistema lineare (3.22) ad ogni timestep, è stato usato il metodo GMRES con un precondizionatore di Schwarz a due livelli. La convergenza era considerata raggiunta quando il residuo normalizzato raggiungeva un valore di 10-10. Gli elementi finiti scelti sono stati P1bolla-P1
per le simulazioni del cilindro e dell’aorta con valvola aortica tricuspide. Questa decisione permetteva che la condizione inf-sup, necessaria affinché il problema risultasse ben posto, fosse soddisfatta [33]. Con tale scelta, il numero di gradi di libertà corrisponde a (3Nv +
Nt) per la velocità e Nv per la pressione, dove Nv e Nt rappresentava rispettivamente il
numero di vertici e di tetraedri della mesh. Per le simulazioni dell’aorta con valvola aortica bicuspide, invece, dove si raggiungevano numeri di Reynolds più alti, sono stati scelti gli elementi finiti P1-P1 con stabilizzazione SUPG-PSPG [19]. Si veda Sezione 3.3.4 per ulteriori dettagli in merito alla stabilizzazione. Infine, un timestep di 0.01s è stato impostato per la discretizzazione in tempo.
Velocità Pressione
CYL 191160 23398
Aorta_TAV 900223 100899
Aorta_BAV 101346 101346
