Esercizi Svolti - Massimi e minimi relativi e assolu..>

Prof. Chirizzi Marco

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Esercizi svolti

Massimi e minimi relativi e assoluti

1) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione: 3 15 9 ) (x  x3 x2 x f

considerata nel proprio insieme di esistenza.

La funzione è definita nel seguente insieme di esistenza:





 ,

Z

Calcoliamo la derivata prima:

15 18 3 ) (  2    x x x f

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui la derivata prima si annulla: . 1 , 5 0 15 18 3x2 x   x x

Calcoliamo la derivata seconda:

18 6 ) (    x x f

Calcoliamo il valore della derivata seconda nei punti di ascissa x5 e x1_:

. 0 12 ) 1 ( ; 0 12 ) 5 (       f f

In conclusione, il punto di ascissa x5 _{è un punto di minimo relativo, mentre} x1 _{è un punto}

di massimo relativo. Il massimo ed il minimo relativi della funzione f(x) _{sono rispettivamente:} . 22 ) 5 ( , 10 ) 1 (  f  f

2) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione: 2 3 1 ) ( x x x x f   

considerata nel proprio insieme di esistenza.

La funzione è definita nel seguente insieme di esistenza:

       

 ,0 0, 1 1,

Z

Calcoliamo la derivata prima :

, ) ( 1 2 3 ) ( ) 2 1 ( ) 3 1 ( ) ( 3 ) ( 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x f             

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata prima:

. 3 1 , 1 0 1 2 3 0 ) ( 1 2 3 ₂ 2 2 2             x x x x x x x x

Calcoliamo la derivata seconda:

. ) ( ) ( ) 2 6 6 6 ( ) ( ] ) 1 2 3 ( ) 2 1 ( 2 ) ( ) 2 6 ( [ ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( 2 ) 1 2 3 ( ) ( ) 2 6 ( ) ( 4 2 2 2 3 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f                                    

Calcoliamo il valore della derivata seconda nei punti di ascissa : 3 1 1    e x x 0 2 9 9 2 9 8 3 1 , 0 1 ) 1 ( 4 4                 f f .

In conclusione, i punti di ascissa

3 1

1 



 e x

x _{sono rispettivamente punti di massimo e minimo}

relativi per la funzione f(x)_{. Il massimo ed il minimo relativi della funzione} f(x) _sono

rispettivamente: 9. 3 1 , 1 ) 1 (         f f

3) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione:

1 4 ) ( 2     x x x x f

considerata nel proprio insieme di esistenza.

La funzione è definita nel seguente insieme di esistenza:

Calcoliamo la derivata prima: . ) 1 ( 5 2 ) 1 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ₂ 2 2 ₂              x x x x x x x x x f

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata prima:

. 0 5 2 0 ) 1 ( 5 2 ₂ 2 2 x di reale valore nessun per x x x x x        

Possiamo concludere dicendo che la funzione f(x) _{non ha né massimi, né minimi relativi, in}

quanto la sua derivata prima non si annulla mai.

4) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione:

1 ) 1 ( ) ( 2 2_{  }  x x x x f

considerata nel proprio insieme di esistenza.

La funzione è definita nel seguente insieme di esistenza:

   

 ,

Z

Calcoliamo la derivata prima:

. ) 1 ( 1 ) 2 1 ( ) 1 ( ) 3 1 ( 1 ) 1 ( 1 3 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 ) 1 ( 1 2 1 ) 1 ( ) ( 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2                                             x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata prima:

. 2 2 , 2 2 0 2 1 0 1 ) 2 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 2 1 ( 2 2 2 3 2 2 2                    x x x x x x x x

Calcoliamo la derivata seconda e i valori che essa assume nei punti in cui si annulla la derivata prima:

. 1 ) 1 ( 3 6 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 2 ( ) 1 ( 1 2 2 ) 1 2 ( 1 4 ) ( 2 3 2 3 6 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2                                       x x x x x x x x x x x x x x x x f . 0 2 2 3 2 2 6 2 2 , 0 2 2 3 8 2 2 6 2 2 _{    }                       f f

In definitiva, i punti di ascissa

2 2 2

2 _

 e x

x sono rispettivamente punti di massimo e di minimo relativi per la funzione f(x)_{. Il massimo ed il minimo relativi della funzione} f(x) _sono

rispettivamente: . 3 3 2 2 2 , 3 3 2 2 2                   f f

5) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione:

x x sen x f 2 cos 2 1 ) (   

considerata nel proprio insieme di esistenza.

La funzione è definita nel seguente insieme di esistenza:

   

 ,

Z

Calcoliamo la derivata prima:

. 1 2 1 cos 2 cos ) ( 2 2 2 2 2               x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x x sen x x f

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata prima:

x sen y Poniamo:  Quindi si ha: . 2 1 , 1 0 1 2y2 y   y y Ciò implica: . 2 1 , 1    senx x sen dove: ,... 2 , 1 , 0 , 2 , 2 5 1 ,... 2 , 1 , 0 , 2 2 3 1                          k con k x k x x sen k con k x x sen      

Calcoliamo la derivata seconda e, se necessario, la derivata terza, nei punti trovati: . ) 1 4 ( cos cos cos 4 ) (          x senx x x x senx f 0 2 2 3 _       _{   }   k  f

Visto che la derivata seconda, calcolata nei punti di ascisse x   2k 2

3

è nulla, bisogna calcolare la derivata terza negli stessi punti, cioè:

. 4 cos 4 ) (x 2x sen2x senx f      . 0 3 2 2 3         _{   }   k  f I punti x   2k 2 3

non sono né di minimo relativo, né di massimo relativo, in quanto in corrispondenza di essi risulta diversa da zero la derivata di ordine dispari. Proseguendo nella ricerca dei punti di massimo e minimo relativi, si ha:

. 0 3 2 3 2 6 5 , 0 3 2 3 2 6        _{   }            _{  }   k  f  k  f

In definitiva, i punti di ascissa x  k e x  2k 6

5 2

6 sono rispettivamente punti di

massimo relativo e di minimo relativo per la funzione f(x). _{Il massimo ed il minimo relativi della}

funzione f (x) sono rispettivamente: .

2 3 4 3 2 6 5 , 2 3 4 3 2 6       _{   }         _{ k f  k } f

6) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione:





considerata nell’intervallo a fianco indicato.

Calcoliamo la derivata prima e le ascisse dei punti in cui essa si annulla:

. ) 2 1 ( ) 2 1 ( cos ) 2 1 ( cos 4 ) 2 1 ( cos ) ( 2 2 2 2 2 2 2 x sen x sen x x sen x x sen x sen x x f                 2 2 0 cos 0 ) 2 1 ( cos 0 ) 2 1 ( ) 2 1 ( cos 2 2 2 2              

 _{x sen x x oppure senx}

x sen

x sen x

Scartando le soluzioni non appartenenti all'intervallo





sen è soddisfatta per    4 3 4 e x

x . Per

determinare i punti di massimo e minimo relativi, in questo caso conviene studiare il segno della derivata prima, in quanto il calcolo della derivata seconda risulta piuttosto laborioso. Quindi, abbiamo: 0; ) 2 1 ( ) 2 1 ( cos 2 2 2       x sen x sen x

La funzione _(12sen2_x)2 _{è sempre positiva.}

Studiamo la disequazione: 12sen2x0

Ponendo ysenx, la disequazione diventa:

2 1 2 _ y la cui soluzione è: 2 2 2 2    y

quindi possiamo scrivere:

2 2 2

2 _{ }

 senx

Ricordando che le soluzioni devono appartenere all’intervallo





sopra ha per soluzioni:

4 0 x

La disequazione cosx0 _{ha per soluzione:}

2 0 x In definitiva, _ _           , 2 4 , 0 0 ) (x x f _;    _ _ 2 , 4 0 ) (x x   f _{, cioè la funzione} ) (x

f _{è crescente nei primi due intervalli e decrescente nel terzo intervallo. In conclusione,} 2

4



 _

 e x

x sono rispettivamente punti di massimo relativo e di minimo relativo per la funzione. Il massimo ed il minimo relativi della funzione f(x) _{sono rispettivamente:}

. 3 1 2 , 4 2 4             _f  f

N.B. Malgrado la derivata prima si annulli in   4 3

x _{, tale punto non è né di massimo, né di}

minimo relativo, in quanto appartiene all’intervallo _  , _

2 , dove la funzione è sempre

crescente.

7) Determinare i massimi e minimi relativi della funzione:

      2 , 0 cos ) (x x 3 senx in  f

considerata nell’intervallo a fianco indicato.

Calcoliamo la derivata prima e le ascisse dei punti in cui essa si annulla:

. 3 4 1 3 cos cos 3 1 cos ) ( 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 x sen x sen x sen x x sen x sen x x sen x x sen x sen x f                   . 2 1 , 2 1 4 1 0 4 1 0 3 4 1 2 2 3 2 2             

 _{sen x sen x senx senx}

x sen x sen L’equazione 2 1   x

sen non va considerata, in quanto non ammette soluzioni che appartengano all’intervallo _ _ 2 , 0  _{. L’equazione} 2 1  x

sen , è soddisfatta per

6





x . In definitiva, la derivata prima della funzione f(x), presa nell’intervallo _ _

2 ,

0  , si annulla solo nel punto di ascissa

6





x .

Studiamo il segno della derivata prima in un intorno completo di

6   x . . 2 1 2 1 4 1 0 4 1 0 3 4 1 2 2 3 2 2               x sen x sen x sen x sen x sen Nell’intervallo _ _ 2 , 0  _{, la disequazione} 2 1 2 1 _{ }

 senx ha per soluzione:

6 0 x

Ciò significa che la funzione f(x) _{è crescente nell’intervallo}

    6 , 0  _{, decrescente} nell’intervallo _ , _{2 } 6  

. In conclusione, il punto di ascissa

6





x è un punto di massimo relativo per la funzione f(x)_.

 2, 2  3 2 ) (x x2 x in  f

considerata nell’intervallo a fianco indicato.

Prima di tutto, determiniamo i punti di massimo e minimo relativi e confrontiamoli con i valori che la funzione in questione assume in corrispondenza degli estremi dell’intervallo





. 1 0 2 2 ; 2 2 ) (        x x x x f . 0 2 ) 1 ( , 2 ) (        x f f

In base a questo risultato, possiamo dire che il punto di ascissa x 1 è un punto di minimo relativo per la funzione f(x)_{, considerata nell’intervallo}





4 ) 1 (  f

Calcolando i valori di f(x) agli estremi dell’intervallo





. 5 ) 2 ( ; 3 ) 2 (  f  f

Visto che f(1) f(2) f(2), il punto di ascissa x 1 è di minimo assoluto, cioè il minimo relativo coincide con quello assoluto; mentre il punto di ascissa x2 è di massimo assoluto.

9) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione:  0,1 

)

(x 3 x3 x2 in

f  

considerata nell’intervallo a fianco indicato.

Prima di tutto, determiniamo i massimi e minimi relativi della funzione:

3 2 0 0 2 3 0 ) ( 3 2 3 ; ) ( 3 2 3 ) ( 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2                 x oppure x x x x x x x x x x x x f 3 2 0 0 ) 2 3 ( 0 2 3 0 ) ( 1 3 2 0 ) 2 3 ( 0 2 3 0 ) ( 2 2                         x x x x x x f x x x x x x f

Quindi, la funzione è crescente nell’intervallo _ ,1_ 3 2

e decrescente nell’intervallo _ 0, ₃2 __{. Ciò}

significa che il punto

3 2 

x è di minimo relativo per la funzione f(x)_{. Il minimo relativo risulta:} . 0 27 4 3 2 _{3  }       f

Confrontiamo il minimo relativo con i valori che la funzione f(x) assume agli estremi dell’intervallo





Possiamo concludere dicendo che i punti di ascisse x 0e x 1 _{sono punti di massimo assoluto,}

mentre

3 2 

x _{è un punto di minimo assoluto.}

10) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione:

         2 , 2 1 cos ) (x x senx x in   f

considerata nell’intervallo a fianco indicato. Calcoliamo la derivata prima:

1 cos ) (     x senx x f

Vediamo in quali punti si annulla:

senxcosx10  senxcosx10. _(*)

Ricordiamo che cosx  1sen2x , ma nell’intervallo _  _

2 , 2   la funzione coseno è positiva, per cui la relazione scritta sopra deve essere utilizzata senza il segno meno e sostituita nell’equazione (*), cioè: . 2 0 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 0 1 1 2 2 2 2 2                 _            x oppure x x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen x sen

Notiamo che la derivata prima si annulla in corrispondenza dell’estremo sinistro dell’intervallo

     2 , 2  

, quindi questo punto non può essere né di massimo, né di minimo relativo ( si ricordi la definizione di punti di massimo e minimo relativi ). Studiando il segno della derivata prima, si ha: . 2 2 0 ) 1 ( ; 2 0 0 ) 1 (                 x x sen x sen x x sen x sen

Il punto di ascissa x0 è un punto di minimo relativo per la funzione f(x)_{.Il minimo relativo è:} 0

) 0 (  f

Calcoliamo i valori che la funzione f(x) assume agli estremi dell’intervallo _  _

2 , 2   : 2 2 ; 2 2 2     _               f f _.

Confrontando questi valori, possiamo concludere dicendo che

2





x _{è un punto di minimo}