Sulla teoria delle frazioni continue

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea Magistrale in Matematica

SULLA TEORIA

DELLE

FRAZIONI CONTINUE

Tesi di Laurea in Teoria dei Numeri

Relatore:

Chiar.mo Prof.

SALVATORE COEN

Presentata da:

FEDERICO GRECO

Seconda Sessione

Anno Accademico 2011/2012

conoscenza `e limitata, l’immaginazione abbraccia il mondo,

stimolando il progresso, facendo nascere l’evoluzione...”

(A. Einstein)

La tesi si propone di fornire una introduzione completa ai fondamenti della teoria delle frazioni continue (numeriche).

Questo dar`a adito anche alla illustrazione ed alla soluzione di vari pro-blemi specialmente nell’ambito della teoria dei numeri che, in vari modi, si rifanno alle frazioni continue.

Il primo capitolo `e dedicato ai fondamenti della teoria: definizioni, prime propriet`a e notazioni. Questo capitolo serve principalmente ad introdurre il linguaggio e gli strumenti elementari della teoria delle frazioni continue: si introducono gradualmente notazioni pi`u generali e si dimostrano i teoremi preliminari. Viene data la definizione di frazione continua f inita ed esami-nate da vicino le relative propriet`a aritmetiche. Viene poi messo a tema il problema della rappresentazione dei numeri razionali come frazioni conti-nue finite: viene dimostrato che ogni numero razionale si pu`o rappresentare come frazione continua finita (o limitata) e di queste rappresentazioni ce ne sono esattamente due che si rapportano facilmente l’una all’altra. Vediamo poi come le frazioni continue si dimostrino utili nella risoluzione effettiva delle equazioni lineari indeterminate note anche come equazioni diof antee : equazioni in una o pi`u incognite con coefficienti interi di cui si ricercano le soluzioni intere.

Passiamo, poi, nel secondo capitolo alla trattazione delle frazioni continue inf inite (o illimitate) ed allo studio dei loro valori. Questo ci permette di dimostrare l’esistenza e l’unicit`a dello sviluppo in frazione continua infinita, determinato univocamente, dei numeri irrazionali concludendo quindi che

ogni numero reale si pu`o rappresentare in frazione continua e la frazione continua associata a un reale `e illimitata se e solo se il numero `e irrazionale. Il terzo capitolo tratta delle frazioni continue periodiche mediante le quali vengono studiati i numeri irrazionali quadratici cio`e gli irrazionali che sono soluzioni di equazioni algebriche del secondo grado a coefficienti interi ma che non sono soluzioni di equazioni di grado uno. Infine dimostriamo il teorema di Lagrange sugli irrazionali quadratici secondo cui lo sviluppo in frazioni continua di un numero reale α `e periodico se e solo se α `e irrazionale qua-dratico, ovvero algebrico di grado 2. Un particolare interesse viene dedicato, naturalmente, alla sezione aurea che presenta lo sviluppo in frazione conti-nua pi`u semplice di tutti: sviluppo puramente periodico tutto composto da unit`a.

Nel quarto capitolo l’attenzione `e rivolta a particolari problemi di

approssimazione diof antea, il campo della matematica che tratta dell’ap-prossimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Euristicamente la ”piccolezza’ della distanza (in valore assoluto) del numero reale da approssi-mare al numero razionale che lo approssima `e una semplice misura di quanto buona sia l’approssimazione.

Definiamo migliore approssimazione razionale di un reale α un numero razionale che ha la caratteristica di essere pi`u prossimo a α di qualunque altra approssimazione con un denominatore pi`u piccolo. Dimostriamo che le ridotte, o convergenti,

cn=

pn

qn

di una frazione continua aritmetica, di ordine maggiore od uguale ad 1 so-no le migliori approssimazioni per il numero irrazionale α e, di pi`u, ogni convergente pn qn `e tale che    α− p q    < 1 q2.

Il capitolo si chiude ricordando il celebre teorema di Hurwitz che mostra come la precedente disuguaglianza si possa migliorare: per ogni irrazionale

α esistono infiniti razionali p q tali che    α− p q    < 1 √ 5q2 (q≥ 1).

Il numero √5 `e il migliore possibile: l’affermazione sarebbe falsa se a √5 si sostituisse un qualsiasi numero maggiore.

Si individua, poi, una opportuna relazione di equivalenza sui reali in modo che la disuguaglianza del teorema di Hurwitz si possa migliorare ancora con la sola eccezione della classe di equivalenza rappresentata dal numero aureo che pur essendo il pi`u semplice dal punto di vista dello sviluppo in frazione continua `e il peggior numero approssimabile. Vale infatti: per ogni numero irrazionale α non equivalente alla sezione aurea ϕ = √5−1

2 esistono infinite approssimazioni razionali p q che soddisfano    α− p q    < 1 √ 8q2 (q≥ 1).

Nel quinto capitolo ci si propone di fornire, senza troppi dettagli, un quadro sulle origini storiche delle frazioni continue. Le frazioni continue si ritengono tradizionalmente originate da Euclide con il ben noto algoritmo di divisione euclidea al quale sono strettamente legate, tuttavia il formalismo algebrico che comportano non sembra fosse familiare ad Euclide ed ai suoi im-mediati successori. E’ al genio di Eulero (1707-1783) che dobbiamo la prima sistematizzazione e formalizzazione organica delle frazioni continue. Prima di Eulero si registra soltanto l’uso di frazioni continue per risolvere una equazio-ne diofantea liequazio-neare da parte del matematico indiano Aryabhata, attorno al 550. Secondo alcuni storici, `e appunto alla matematica indiana che si pu`o far risalire il primo uso delle frazioni continue, anche se anche precedentemente nel periodo ellenistico gi`a si potrebbero intravvedere metodi di questo tipo. In tempi molto pi`u tardi cominciamo a trovare l’uso di questi metodi corre-dato da una certa consapevolezza. La scuola degli algebristi bolognesi si era cimentata con questi con il Bombelli e poi con Cataldi. Si occuparono anche

di frazioni continue Wallis (1616-1703) Lord Brouncker (1620-1684) che fu il primo presidente della Royal Society e Christian Huygens(1629-1695) che applic`o il calcolo con le frazioni continue per approssimare i rapporti tra gli ingranaggi necessari per la costruzione di un planetario meccanico. In tempi pi`u moderni, Brezinski, Jacobi, Perron, Hermite, Gauss, Cauchy, Stieltijes diedero contributi allo studio delle frazioni continue e recentemente sono sta-te utilizzasta-te all’insta-terno di algoritmi di calcolo per le approssimazioni di un numero reale e in relazione alla teoria del caos.

Introduzione i 1 Numeri razionali come frazioni continue limitate 1 1.1 Introduzione . . . 1 1.2 Definizioni e notazioni . . . 3 1.3 Rappresentazione di un numero razionale come frazione

con-tinua finita (o limitata) . . . 5 1.4 Frazioni continue finite e relative propriet`a aritmetiche . . . . 12 1.4.1 Regola di Eulero . . . 15 1.4.2 Convergenti di una frazione continua limitata e relative

propriet`a aritmetiche . . . 18 1.5 Frazioni continue ed equazioni lineari diofantee . . . 23 1.5.1 L’equazione indeterminata ax− by = ±1 (a, b) = 1 . . 23 1.5.2 La soluzione generale di ax_{− by = c, (a, b) = 1 . . . 26} 1.5.3 La soluzione generale di ax + by = c, (a, b) = 1 . . . 26 1.5.4 L’equazione generale Ax_{± By = ±C . . . 27} 2 Numeri Irrazionali come frazioni continue illimitate 29 2.1 Premessa: le frazioni continue infinite . . . 29 2.2 Definizioni e notazioni . . . 31 2.3 Rappresentazione di un numero irrazionale come frazione

con-tinua infinita (o illimitata) . . . 34 v

3 Frazioni continue periodiche 41

3.1 Definizioni e primi esempi . . . 41

3.2 Irrazionali quadratici . . . 42

3.3 Frazioni continue puramente periodiche . . . 50

3.4 Il teorema di Lagrange sugli irrazionali quadratici . . . 60

3.5 Un irrazionale quadratico particolare: la sezione aurea . . . 63

4 Approssimazione razionale di numeri irrazionali 67 4.1 Posizione del problema . . . 67

4.2 Teoremi di approssimazione . . . 68

4.3 Le migliori approssimazioni razionali . . . 72

4.4 Numeri equivalenti . . . 74

4.5 Teorema di Hurwitz . . . 76 5 La storia della teoria delle frazioni continue 79

Numeri razionali come frazioni

continue limitate

1.1

Introduzione

Esistono diversi algoritmi per calcolare il massimo comune divisore di due numeri naturali: uno di questi ha origini antiche e risale a Euclide (settimo libro degli Elementi), si tratta del cosiddetto ”metodo della divisione eucli-dea”. C’`e un altro modo per esprimere l’algoritmo, per effetto del quale il quoziente di due numeri naturali viene rappresentato sotto forma di frazione. Vediamolo con un semplice esempio.

Applichiamo l’algoritmo di Euclide ai due numeri naturali 59 e 25 e vediamo come ottenere la rappresentazione del numero razionale 59

25 sotto forma di

frazione continua. I passi sono i seguenti: 59 = 2_{× 25 + 9,}

25 = 2_{× 9 + 7} 9 = 1_{× 7 + 2} 7 = 3× 2 + 1.

L’ultimo resto non nullo `e 1, come dovevamo aspettarci, essendo i numeri 59 e 25 relativamente primi. Ora scriviamo ciascuna equazione sotto forma di

frazione: 59 25 = 2 + 9 25, 25 9 = 2 + 7 9, 9 7 = 1 + 2 7, 7 2 = 3 + 1 2,

L’ultima frazione di ciascuna equazione `e il reciproco della prima fra-zione dell’equafra-zione successiva. Quindi possiamo eliminare tutte le frazioni intermedie ed esprimere la frazione originale nella forma:

59 25 = 2 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 2

Chiameremo tale espressione frazione continua (aritmetica) finita o limitata. Per convenienza sia tipografica che di notazione, si porr`a:

59 25 = 2 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 2 := [2, 2, 1, 3, 2]

I numeri 2, 2, 1, 3, 2 si diranno termini della frazione continua o quozienti parziali. Mentre i numeri 59

25, 25 9, 9 7, 7

2 saranno chiamati quozienti completi.

E’ semplice dimostrare che ogni numero razionale si pu`o scrivere come frazione continua finita e di rappresentazioni ce ne sono esattamente due che si rapportano facilmente l’una all’altra.

1.2

Definizioni e notazioni

Una frazione continua semplice `e una espressione della forma a0 + 1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · + _a1 n

dove a0 `e un intero mentre gli altri ai (i = 1, ..., n) sono interi positivi.

Pi`u formalmente diamo la seguente definizione.

Definizione 1.1. Si chiama f razione continua (aritmetica) limitata una successione che scriviamo

a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · + _a1 n = [a0, a1, ..., an]

per la quale valgono le seguenti regole: [a0] = a0 [a0, a1] = a0 + 1 a1 = a0a1+ 1 a1 [a0, a1, a2] = [a0,[a1, a2]] = a0+ 1 a1+ 1 a2 [a0, a1, a2, ..., a_n−1, an] = [a0, a1, ..., a_n−2[a_n−1, an]] [a0, a1, a2, ..., a_n−1, an] = [a0, a1, ..., a_h−1[ah,· · · , an]] (1≤ h ≤ n − 1)

Gli elementi a0, a1, a2, ..., an che sono numeri reali si dicono termini della

frazione continua o quozienti parziali. La frazione continua si dice aritmetica semplice se tutti i termini ai sono interi positivi ad eccezione di a0 che pu`o

La scrittura a0 + 1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · + _a1 n

risulta scomoda e ingombrante. Un modo pi`u conveniente `e scrivere questa espressione come: a0+ 1 a1+ 1 a2+· · · 1 ai+· · · 1 an

dove i segni + che seguono il primo sono scritti pi`u in basso per ricordare la scrittura ”in discesa” che compare nelle frazioni continue. Altrettanto utile `e la notazione [a0, a1, ..., an].

Definizione 1.2. Sia α un numero razionale. E sia [a0, a1,· · · , an] una

frazione continua finita. Se risulta α= a0+ 1 a1+ 1 a2 + 1 a3+ 1 · · · + 1 an

allora il numero razionale α si dice valore della frazione continua [a0, a1, a2, ..., an]1

e si pone α = [a0, a1,· · · , an].

Un numero razionale `e una frazione della forma p<sub>q</sub> con p e q interi e q <sub>6= 0. Dimostreremo nel prossimo paragrafo, mediante l’algoritmo euclideo</sub> delle divisioni successive, che ogni frazione, cio`e ogni numero razionale, si pu`o esprimere come frazione continua aritmetica limitata e viceversa ogni frazione continua aritmetica limitata corrisponde a un numero razionale che `e il valore della frazione continua stessa.

1_{Con abuso di notazione α indica sia la frazione continua che il suo valore. Non c’`e}

ambiguit`a: ogni frazione continua finita rappresenta un numero razionale che `e appunto il suo valore.

1.3

Rappresentazione di un numero razionale

come frazione continua finita (o limitata)

E’ noto che ogni numero reale positivo o nullo si pu`o rappresentare in uno ed un solo modo come α = Int(α) + Mt (α) dove Int(α) `e un numero intero positivo o nullo chiamato parte intera di α definito come:

Int(α) = max{n ∈ Z, n ≤ α}

mentre Mt(α) `e un elemento di [0, 1[ chiamato parte f razionaria o mantissa di α:

M t(α) := α− Int(α).

Si `e preferito utilizzare le notazioni Int(α) e Mt(α) anzich`e le usuali [α] e {α} per denotare, rispettivamente, la parte intera e la parte frazionaria di un numero perch`e in questo contesto i simboli [ ] e _{{ } potrebbe generare} confusione.

Ora, ogni frazione continua aritmetica limitata `e un numero razionale e, vi-ceversa, ogni numero razionale p<sub>q</sub> si pu`o esprimere come frazione continua aritmetica limitata e la rappresentazione (detta anche sviluppo) `e essenzial-mente unica. Vale infatti il seguente teorema fondamentale.

Teorema 1.3.1. Sia α un numero razionale non negativo e sia a0 = Int(α).

Allora sono univocamente determinati un numero naturale n e una sequenza ordinata di numeri naturali a1, a2, ..., an con an ≥ 2 tali che α sia il valore

della frazione continua limitata di termini a0, a1, ..., an cio`e:

α = Int(α) + 1 a1+ 1 a2+ 1 a3 + 1 · · · + 1 an = [a0, a1, a2, ..., an]

avendo posto a0 = Int(α). Il numero naturale n si dice prof ondita′ di α.

`e associata, nel modo indicato, ad uno ed un solo numero razionale non intero α avente come parte intera un numero naturale a0 arbitrariamente fissato.

Osservazione 1. L’ipotesi che l’ultimo intero an sia maggiore o uguale a 2 `e

essenziale per l’unicit`a della rappresentazione. Infatti, ad esempio: 3 8 = [0, 2, 1, 2] = 0 + 1 2 + 1 1+1 2 = 1 2 + 1 1+ 1 1+ 1 1 = [0, 2, 1, 1, 1]

Visto il largo uso che ne faremo e il ruolo cruciale che esso gioca in questa parte richiamiamo il celebre elementare lemma euclideo della divisione con resto.

Teorema 1.3.2 (Di divisione euclidea). Dati due interi a e b con b non nullo esiste ed `e unica la coppia di interi q ed r detti, rispettivamente, quoziente e resto tali che:

a= b× q + r con 0≤ r < |b| dove |b| denota il valore assoluto del divisore.

Premettiamo alla dimostrazione del teorema un piccolo lemma anche se potrebbe risultare banale.

Lemma 1.3.3. Ogni numero razionale della forma y= 1 k1+ 1 k2+ 1 k3+ 1 · · · + _k1 n

con ki numero naturale (i = 1, 2, ..., n) verifica:

• y non nullo • y ≤ 1

• y = 1 se e solo se n = 1 e k1 = 1.

Dimostrazione. (Dimostrazione del teorema[1.1.1])

La seconda osservazione del teorema (cio`e che ogni frazione continua finita individua un numero razionale) `e evidente: se uno sviluppo `e finito possiamo sempre fare il ”cammino a ritroso” e riportare lo sviluppo a una frazione ordinaria.

Proviamo la seconda affermazione del teorema anzitutto per 0 _{≤ α < 1. Il} risultato sar`a valido per ogni razionale non negativo α essendo: α = Int(α)+ M t(α) con 0≤ Mt(α) < 1.

Ora, si tratta di una dimostrazione di tipo costruttivo. Sia α = a

b con a < b.

In virt`u del lemma di divisione,essendo b > a, possiamo certamente scrivere: b = q1 · a + r1. I due numeri naturali q1 e r1, il secondo dei quali `e diverso

da zero risultano univocamente determinati e r1 < b: il resto deve essere

minore del divisore b. Se r1 = 0 siamo a posto: certamente q1 ≥ 2 e x = a_b.

Se invece r1 > 0, la disuguaglianza r1 < a permette di iterare l’algoritmo

della divisione con resto al caso dei due numeri naturali a ed r1, ottenendo

allora una nuova identit`a del tipo a = q2 · r1 + r2, con un nuovo quoziente

q2 e un nuovo resto r2 < r1. Se per esempio r2 `e diverso da zero, possiamo

riscrivere r1 = q3 · r2 + r3, e cosi’ via. E’ possibile che non si arrivi mai

ad un resto rn nullo, cosi’ che il procedimento di divisione continui sempre?

Ci`o `e evidentemente impossibile: l’insieme dei resti {r1, r2, r3...} costituisce

un sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali e quindi `e dotato di minimo; questo minimo `e necessariamente zero (altrimenti ci troveremmo nell’assurda situazione di infiniti interi positivi fra loro diversi e tutti minori di un dato intero positivo q). Per semplicit`a supponiamo che sia proprio il terzo resto r3

ad essere nullo. Riscriviamo le tre identit`a ottenute, e cerchiamo di dedurne delle nuove:

(i) b = q1· a + r1

(ii) a = q2· r1+ r2

Risulta necessariamente, nelle attuali condizioni, q3 ≥ 2, perch`e altrimenti

sarebbe r1 = r2, contro l’ipotesi r2 < r1. Ora, si comprende subito che

r2, l’ultimo resto non nullo nella catena di divisioni successive, deve essere

esattamente il massimo comune divisore (MCD) dei numeri a e b. 2

. Ora, cerchiamo di dedurre dalle tre identit`a (i) (ii) (iii) un’altra identit`a, quella per i nostri scopi pi`u interessante. Da (iii) si ricava r2 = r_q1

3, e sostituendo in (ii) si ottiene: a = q2r1+ r2 = q2r1 +r_q1 3 = r1  q2 + 1 q3  , ovvero: r1 = _q a 2+1 q3 . Sostituendo quest’espressione in (i) , si otteniamo:

b = q1a+ r1 = q1a+ a q2+ 1 q3 = a    q1 + 1 q2+ 1 q3    , ossia: α= a b = 1 q1+ 1 q2+ 1 q3 .

Dobbiamo soltanto provare che la rappresentazione cosi’ determinata per il numero razionale x `e univocamente determinata, cio`e dobbiamo provare che

2_{Infatti ogni numero naturale d che divida a e b deve dividere necessariamente r} 1 =

b− q1a, e quindi anche r2 = a− q2r1. Viceversa, `e chiaro che r2 `e un divisore di a e

di b, dal momento che esso risulta un divisore di r1 (dall’ultima identit`a), e quindi un

divisore di a in virt`u della seconda identit`a, e infine un divisore di b in virt`u della prima (r2 divide a ed r1, e quindi divide pure q1a+ r1 = b). Dalle tre identit`a riportate si

deduce,fra l’altro,la famosa identit`a di Bezout, che esprime il MCD di due numeri a e b come combinazione lineare a coefficienti interi, ovviamente con segno, degli stessi a e b: M CD(a, b) = λa + µb, per certi valori λ e µ interi. Una possibile coppia di valori λ e µ che realizzano l’identit`a in oggetto si trova in questo modo: dalla penultima identit`a si ricava r2= a− q2r1, e sostituendo qui il valore di r1 che si trova dall’identit`a precedente

(nel nostro caso subito la prima), vale a dire: r1 = b− q1a, ecco che si ottiene infine:

se: α = a b = 1 q1+ 1 q2+ 1 q3 = 1 k1+ 1 k2+ 1 ...+ 1 kn (1.1) allora necessariamente vale n = 3, e q1 = k1, q2 = k2 e q3 = k3. Ora diventa

fondamentale l’ipotesi che l’ultimo termine di questa rappresentazione sia maggiore o uguale di 2. Passando agli inversi dei due termini dell’identit`a (1.1), si ottiene: q1+ 1 q2+ 1 q3 = k1+ 1 k2+ 1 ...+_kn1

e n = 1 non pu`o essere, perch`e sappiamo che il primo membro dell’ultima uguaglianza non `e un intero (`e un numero razionale diverso da 0 e minore di 1). Se n_{≥ 2, ossia se il termine} 1

k2+ 1 ...+

1

kn compare effettivamente, esso `e

un numero razionale minore di 1, in virt`u dell’ipotesi kn ≥ 2, e del lemma

[1.1.3]. Quindi dall’identit`a in esame si deduce che q1 e k1 sono le rispettive

parti intere dei numeri in considerazione, quindi certamente q1 = k1.

Venia-mo ricondotti quindi all’identit`a , che, uguagliando gli inversi di entrambi i membri diventa q2+ 1 q3 = k2+ 1 ...+ 1 kn .

Possiamo ripetere il ragionamento: n = 2 non potr`a essere, perch`e altrimenti avremmo q2+

1

q3 = k2, mentre al primo membro c’`e un numero non intero, e

quindi n_{≥ 3. Poich`e k}n≥ 2, il secondo addendo 1 ...+ 1

kn

`e un numero razionale maggiore di 0 e minore di 1, quindi q2 e k2 sono esattamente le parti intere

dei numeri in questione, da cui

q2 = k2 1 q3 = 1 k3+ 1 ...+ 1 kn

q3 = k3+_...+11 kn

non pu`o sussistere se n > 3 e kn≥ 2.

Teorema 1.3.4. Ogni numero razionale p_q si pu`o esprimere mediante una frazione continua aritmetica limitata nella quale l’ultimo termine pu`o essere scelto in modo che il numero dei termini dello sviluppo sia pari o dispari. Dimostrazione. Siano a0, a1, ..., an i termini dello sviluppo di p_q individuati

dall’algoritmo euclideo come nella dimostrazione del teorema precedente: p_q = [a0, a1, ..., an]. Possiamo sempre modificare l’ultimo termine an in modo che il

numero dei termini sia a nostra scelta pari o dispari. Per dimostrare questo fatto osserviamo che, se an `e maggiore di 1 si pu`o scrivere:

1 an = 1 (an− 1) + 1 1 e quindi p q = [a0, a1, ..., an−1, an− 1, 1].

Esempio 1.1. Osserviamo la ”stratificazione” dei numeri razionali compresi tra 0 e 1 in base alla loro profondit`a:

profondit`a 0: 0 e 1

(e naturalmente al di fuori di I : 2, 3, 4...) profondit`a 1: gli inversi di 2, 3, ..., vale a dire:

1 2 > 1 3 > 1 4 > 1 5 > ... > 1 10 > ... > 1 n e naturalmente al di fuori di I: 1 + 1 2 = 3 2 >1 + 1 3 = 4 3 >1 + 1 4 = 5 4 >1 + 1 5 > ... >1 + 1 n

profondit`a 2: gli inversi dei numeri riportati sopra al di fuori di I, vale a dire: 2 3 < 3 4 < 4 5 < 5 6 < ...

2 5 < 3 7 < 4 9 < 5 11 < ... e naturalmente al di fuori di I : 1 + 2 3 = 5 3 <1 + 3 4 = 7 4 <1 + 4 5 = 9 5 <1 + 5 6 = 11 6 < ...

Osservazione 2. Si dice anche che noi con queste ipotesi abbiamo adoperato la divisione con resto positivo. Nulla vieta di considerare i resti negativi e di conseguenza avere (eventualmente) anche quozienti negativi, ma general-mente in sede di sviluppo di un numero reale in frazione continua si preferisce questa posizione.

Osservazione 3. Osserviamo esplicitamente che, dato un numero razionale α (in realt`a questo, come vedremo in seguito, vale anche per i numeri irraziona-li), la rappresentazione in frazione continua limitata (per α irrazionale sar`a invece illimitata) che si pu`o univocamente associare ad esso si ottiene sem-plicemente attraverso la seguente regola dei quozienti parziali. Si comincia a considerare la parte intera di α ossia

Int(α) := max_{{n ∈ Z, n ≤ α}} e si ha evidentemente

α= Int(α) + α_{− Int(α) = Int(α) + Mt(α).} Se Mt(α)_{6= 0 possiamo prenderne l’inverso e porre}

α1 = 1 α_{− Int(α)} e ottenere α= Int(α) + 1 α1 .

A questo punto se Mt(α1),cio`e α1 `e intero, ci fermiamo, altrimenti

procedia-mo ponendo

α2 =

1 α1− Int(α1)

e cosi’ via. Si tratta di una costruzione sempre pi`u difficile da scrivere sotto l’aspetto simbolico ma concettualmente chiara e semplice. Considerando

questa costruzione abbiamo una ”caratterizzazione” dei razionali.

Si incontra una parte frazionaria nulla dopo n passi, e quindi l’inverso non si pu`o fare, se e solo se α `e razionale di profondit`a n. Proveremo in seguito, infatti, che per gli irrazionali questo procedimento non avr`a mai termine e la rappresentazione in frazione continua sar`a infinita.

1.4

Frazioni continue finite e relative propriet`

a

aritmetiche

Consideriamo la frazione continua [a0, a1,· · · , an] = a0+ 1 a1+ 1 a2+· · · 1 an . (1.2) Prima di analizzare le propriet`a aritmetiche delle frazioni continue `e op-portuno ricercare alcune loro relazioni puramente algebriche. Tali relazioni sono in effetti identit`a, la cui validit`a non dipende dalla natura dei termini a0, a1, a2, ..., an.Per ora tratteremo questi termini come variabili, non

neces-sariamente numeri naturali. Se lavoriamo sulla frazione continua (1.2) per gradi, otteniamo una sua riformulazione equivalente come quoziente di due somme costituite da prodotti formati con i termini a0, a1, a2, ..., an.

Se n = 1 si ha [a0, a1] = a0+ 1 a1 = a0a1 + 1 a1 . Se n = 2 otteniamo [a0, a1, a2] = a0+ 1 a1+ 1 a2 = a0+ a2 a1a2+ 1 = a0a1a2+ a0+ a2 a1a2+ 1

dove nel passaggio intermedio abbiamo inserito il valore per a1+

1 a2

ottenuto col calcolo precedente, ponendo a1 e a2 al posto di a0 e a1.

Analogamente, se n = 3, si ha [a0, a1, a2, a3] = a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3 = a0+ a2a3+ 1 a1a2a3+ a1+ a3 = = a0a1a2a3+ a0a1+ a0a3+ a2a3+ 1 a1a2a3+ a1+ a3 .

Anche qui `e stato usato il risultato del passaggio precedente.

Quindi possiamo costruire le frazioni continue generalizzate in questo modo. In accordo con le notazioni che adotteremo per la regola di Eulero nel pros-simo paragrafo, il numeratore della frazione continua (1.2), qualora venga calcolato in questo modo, con:

P(a0, a1,· · · , an).

Cosi’ P (a0) = a0;

P(a0, a1) = a0a1+ 1;

P(a0, a1, a2) = a0a1a2+ a2+ a0;

P(a0, a1, a2, a3) = a0a1a2a3+ a2a3+ a0a3 + a0a1+ 1;

e cosi’ via. Osserviamo che negli esempi considerati sopra, il denominatore dell’espressione ottenuta per la frazione continua `e

P(a1, a2, ..., an).

Ci`o `e vero in generale. Infatti se consideriamo ad esempio il terzo passaggio in a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3 = a0+ a2a3+ 1 a1a2a3+ a1+ a3 = = a0a1a2a3+ a0a1+ a0a3 + a2a3+ 1 a1a2a3 + a1+ a3 (1.3) il denominatore finale proviene dal numeratore di a1+

1 a2+ 1 a3 ,e pertanto ha il valore P(a1, a2, a3).

Ragionando come sopra, si prova facilmente per induzione che la frazione continua generale ha dunque un valore dato da

[a0, a1,· · · , an] = a0+ 1 a1+ 1 a2+· · · 1 an = P(a0, a1, ..., an) P(a1, a2, ..., an) . (1.4) E’ chiaro dal calcolo effettuato in (1.3) come la funzione P (a0, a1, a2, a3) si

costruisca a partire da P (a1, a2, a3) e P (a2, a3). Infatti il calcolo mostra che:

Ci`o `e ovviamente tipico del caso generale, e vale la regola

P(a0, a1,· · · , an) = a0· P (a1, a2,· · · , an) + P (a2, a3,· · · , an).

Questa `e una relazione di ricorrenza che definisce la funzione P passo dopo passo. Cosi’ come `e scritta, la formula si applica solo da n = 2 in poi. Si applica anche quando n = 1 con la convenzione P ( ) = 1 e la formula diventa:

P(a0, a1) = a0P(a1) + 1 = a0a1+ 1.

Esempio 1.2. Il numero razionale 11

31 ha il seguente sviluppo in frazione continua: 31 11 = 2 + 1 1 + 1 4 + 1 2 := [2, 1, 4, 2] . Si ha: P(4, 2) = 4· 2 + 1 = 9, P(1, 4, 2) = 1_{· P (4, 2) + P (2) = 9 + 2 = 11} P(2, 1, 4, 2) = 2_{· P (1, 4, 2) + P (4, 2) = 2 · 11 + 9 = 31} Dunque: 31 11 = 2 + 1 1 + 1 4 + 1 2 := [2, 1, 4, 2] = P(2, 1, 4, 2) P(1, 4, 2) .

Osservazione 4. In virt`u di (1.4) si pu`o esprimere la frazione continua gene-rale nella forma

[a0, a1,· · · , an] = a0+ 1 a1+ 1 a2+· · · 1 an = P(a0, a1, ..., an) P(a1, a2, ..., an)

dove la funzione P `e somma di certi prodotti delle variabili a0, a1,· · · , an.

Dimostriamo nel prossimo paragrafo che non si pu`o semplificare nulla tra numeratore e denominatore in questa espressione. Questo `e vero in due sen-si: uno algebrico e uno aritmetico. Per quanto riguarda il primo, numeratore

e denominatore sono polinomi nelle variabili a0, a1,· · · , ane si pu`o

dimostra-re che questi sono irriducibili. Nel secondo senso, se a0, a1, ..., ansono numeri

interi, numeratore e denominatore sono interi e coprimi. Dimostreremo que-sto fatto in seguito. Il primo fatto (numeratore e denominatore sono polinomi irriducibili) `e ”semplice da dimostrare, ma non ha interesse dal punto di vista della teoria dei numeri” (cfr Davenport).

1.4.1

Regola di Eulero

A Eulero si deve la prima esposizione organica e sistematica della teoria delle frazioni continue nella ”Introductio in analysis infinitorum” (1748). La teoria, come vedremo in seguito, `e stata poi ripresa e sviluppata ulterior-mente da Lagrange (1770), nelle note aggiunte alla traduzione francese dell’

′′_Algebra′′ _{di Eulero, e da Legendre (1830),}

Le frazioni continue, come abbiamo gi`a osservato, hanno diversi tipi di nota-zione e di trattanota-zione, e una delle pi`u efficaci `e data dalla cosiddetta regola di Eulero che non `e altro che una ”formalizzazione” sistematica di quanto visto nel paragrafo precedente e risulta particolarmente comoda per esprimere lo sviluppo in frazioni continue.

Definizione 1.3. Se a0, a1, a2,· · · , a_n−1, an sono indeterminate, si definisce:

P(a1, a2, ..., an)

il polinomio ottenuto sommando i seguenti monomi:

1. il prodotto di tutti gli n + 1 fattori a0, a1, a2, a3, ...an;

2. i prodotti di n _{− 1 fattori ottenuti dal precedente prodotto} omet-tendo (in tutti i modi possibili) un paio di fattori contigui del tipo a0a1, a1a2, a2a3,· · · , a_n−1an. Questo contributo alla somma `e dunque:

a2a3a4· · · a_n−1an+a0a3a4· · · a_n−1an+a0a1a4· · · a_n−1an+a0a1a2· · · a_n−3an+

3. i prodotti di n_{− 3 fattori, ottenuti dal precedente prodotto 1)} omet-tendo (in tutti i modi possibili) due paia disgiunte di fattori con-tigui come a0a1 e a2a3, a0a1 e a3a4,· · · , a0a1 e a_n−1an,· · · , a1a2 e

a3a4,· · · , a_n−3a_n−2 e a_n−1an. Questo contributo alla somma `e dunque:

a4a5· · · a_n−1an+ a2a5· · · a_n−1an+ a2a3a6· · · a_n−1an+· · · + a0a1· · · a_n−4

e cosi’ via.

4. Quando n− 1 `e pari l’ultimo contributo `e 1.

In altri termini prima si prende il prodotto di tutti gli n+ 1 termini; poi si prende ciascun prodotto che pu`o essere ottenuto omettendo (in tutti i modi possibili) un paio di termini consecutivi; poi si prende ciascun prodotto che pu`o essere ottenuto omettendo (in tutti i modi possibili) due paia disgiunte di termini consecutivi, e cosi’ via. E’ chiaro che se n + 1 `e pari, termineremo con il prodotto ottenuto omettendo tutti i termini, il cui valore convenzionale `e 1.

Con abuso di notazione indicheremo, a seconda del contesto, sempre con il simbolo P (a0, a1, a2,· · · , a_n−1, an) sia il polinomio nelle n indeterminate

a0, a1, a2,· · · , a_n−1, an sia il valore numerico che esso assume quando alle

indeterminate si sostituiscono n numeri interi.

Proposizione 1.4.1 (Regola di Eulero). Nelle ipotesi precedenti: per n = 1 si ha [a0, a1] = a0+ 1 a1 = a0a1 + 1 a1 = P(a0, a1) P(a1) per n = 2 si ha [a0, a1, a2] = a0+ 1 a1+ 1 a2 = a0a1a2+ a0+ a2 a1+ a2+ 1 = P(a0, a1, a2) P(a1, a2) per n = m si ha [a0, a1,· · · , am] = P(a0, a1,· · · , am) P(a1, a2,· · · , am)

Dimostrazione. I casi n = 1, 2, 3 sono stati provati nel paragrafo precedente. Il caso generale si ottiene direttamente per induzione su n.

Esempio 1.3. I primi esempi della regola di Eulero sono i seguenti: P(a0) = a0;

P(a0, a1) = a0a1+ 1;

P(a0, a1, a2) = a0a1a2+ a2+ a0;

P(a0, a1, a2, a3) = a0a1a2a3+ a2a3+ a0a3 + a0a1+ 1;

Qui, ad esempio, abbiamo preso prima il prodotto di tutti i termini, poi il prodotto in cui `e stata omessa prima la coppia a0, a1 poi la coppia a1, a2, e

ancora la coppia a2, a3, e infine il prodotto in cui sono state omesse sia la

coppia a0, a1, sia a2, a3.

P(a0, a1, a2, a3, a4) = a0a1a2a3a4+ a2a3a4+ a0a3a4+ a0a1a4+ a0a1a2+ a4+

a2+ a0;

e cosi’ via.

Proposizione 1.4.2. Valgono le seguenti propriet`a:

i) Invarianza per riordinamento delle indeterminate a0, ..., an:

P(a0, a1,· · · , an) = P (an, an−1,· · · , a1, a0)

ii)

P(a0, a1,· · · , a_n−1an) = a0P(a1, a2,· · · , a_n−1an) + P (a2, a3· · · , a_n−1an) =

= P (a0, a1, a2,· · · , a_n−2, a_n−1)an+P (a0, a1· · · , a_n−2)

Dimostrazione. i) Segue semplicemente dal fatto che la definizione di P (a0, a1,· · · , an)

`e combinatoria e la propriet`a di due termini, di non essere contigui, si con-serva quando si inverte l’ordine dei simboli ai. ii) Il secondo membro dell’

uguaglianza, cio`e l’addendo a0p(a1, a2,· · · , a_n−1an) contiene tutti e soli gli

addendi di P (a0, a1,· · · , a_n−1an) in cui `e presente il paio a0, a1. Invece

P(a2, a3,· · · , a_n−1, an) contiene tutti e soli gli addendi di P (a0, a1, a2,· · · , a_n−1, an)

in cui il paio a0, a1 non `e ammesso. Pertanto il valore al secondo membro

`e esattamente il valore al primo membro. Analogamente per la successiva uguaglianza che si ottiene scambiando a0 con an, a1 con a_n−1, a2 con a_n−2, e

1.4.2

Convergenti di una frazione continua limitata e

relative propriet`

a aritmetiche

Definizione 1.4. Sia data una frazione continua finita qualsiasi α= [a0, a1, a2,· · · , a_n−1, an] .

Ogni frazione continua cm = [a0, a1, a2,· · · , am], con 0 ≤ m ≤ n, si chiama

ridotta m_{−esima (o di ordine m) di α o convergente m−esima (o di ordine} m) ad α.

Cosi’ a0 `e la ridotta di ordine zero,

c1 = [a0, a1] = a0a1+ 1 a1 `e la ridotta di ordine 2 c2 = [a0, a1, a2] = a0a1a2+ a2+ a0 a1a2+ 1 `e la terza ridotta e cosi’ via.

Esempio 1.4. I convergenti del numero razionale 251 137 sono [1], [1, 1], [1, 1, 4], [1, 1, 4, 1], [1, 1, 4, 1, 22].

Le ridotte, per definizione, sono numeri razionali per cui ha senso indicarle come frazioni

cm =

pm

qm

dove pm e qm sono interi primi tra loro e qm 6= 0. Vedremo nel corso della

dimostrazione del seguente teorema [1.4.2] che valgono delle relazioni partico-lari per i numeratori pm e denominatori qm delle convergenti di una frazione

continua e, in particolare, si ha:

Teorema 1.4.3 (Relazioni ricorrenti di Eulero-Wallis). Sia data una frazione continua finita qualsiasi

α= [a0, a1, a2,· · · , a_n−1, an] .

Per i numeratori e i denominatori delle convergenti cm =

pm

qm

valgono le seguenti formule ricorrenti a tre termini:

i) pm = ampm−1 + pm−2

ii) qm = amqm−1+ qm−2

con le condizioni iniziali p₋₁ = 1 e p0 = a0 per i numeratori mentre q₋₁ = 0

e q0 = 1 per i denominatori.

Dimostrazione. Dimostriamo che risulta:

pm = P (a0, a1,· · · , a_m−1, am) qm = P (a1, a2,· · · , a_m−1, am).

Ne verr`a, dal lemma [1.2.1], la tesi:

pm = P (a0, a1,· · · , a_m−1, am) = P (a0, a1, a2,· · · , a_m−2, a_m−1)am+P (a0, a1· · · , a_m−2) =

= ampm−1+ pm−2

qm = P (a1, a2,· · · , a_m−1, am) = P (a1, a2,· · · , a_m−2, a_m−1)am+P (a1· · · , a_m−2) =

ampm−1+ pm−2 = amqm−1+ qm−2

Per i valori iniziali si ha che:

p0 = P (a0) = a0 ; p1 = P (a0, a1) = a0a1+ 1 ;

q0 = 1 ; q1 = P (a1) = a1 ;

Per induzione su m sia pi = P (a0, a1, ..., a_i−1, ai) e qi = P (a1, ..., a_i−1, ai) per

ogni i < m. Dalla definizione di frazione continua si ha che: pm qm = [a0, a1, a2,· · · , am] = a0+ 1 [a1, a2,· · · , am] = = a0+ 1 P(a1, a2, ..., am) P(a2, a3, ..., am) = a0+ P(a2, a3,· · · , am) P(a1, a2, ..., am) =

= a0P(a1, a2, ..., am) + P (a2, a3, ..., am) P(a1, a2,· · · , am) = = P(a0, a1, ..., am−1, am) P(a1, a2,· · · , a_m−1, am) .

La frazione continua generale ha dunque un valore dato da: pm qm = [a0, a1, ..., am] = a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 ...+ 1 am = P(a0, a1, ..., am−1, am) P(a1, a2, ..., a_m−1, am)

Tornando alla penultima uguaglianza si ha che: pm qm = a0P(a1, a2, ..., am) + P (a2, a3, ..., am) P(a1, a2, ..., am) = amP(am−1, am−2, ..., a0) + P (a_m−2, a_m−3, ..., a0) P(am, am−1, ..., a1) = = ampm−1+ pm−2 amqm−1+ qm−2 .

Teorema 1.4.4. Nello sviluppo in frazioni continue di un numero,una qua-lunque coppia di convergenti consecutive, soddisfa la relazione:

pmqm−1− pm−1qm = (−1)m−1

Dimostrazione. Sia m = 1 allora:

p0 = P (a0) = a0; p1 = P (a0, a1) = a0a1+ 1;

q0 = 1; q1 = P (a1) = a1;

Pertanto p1q0− p0q1 = (a0a1+ 1)· 1 − a0a1 = 1.

In virt`u delle relazioni (i) e (ii) di [1.2.2] si ottiene che: pmqm−1− pm−1qm =

= (ampm−1+ pm−2)qm−1− pm−1(amqm−1+ qm−2) =

Pertanto posto ∆m = pmqm−1 − pm−1qm si ha che:

∆m =−∆m−1

e continuando

∆m =−∆m−1 = +∆m−2 =· · · = ±∆1

ma, come visto sopra,∆1 = 1, perci`o

∆m = (−1)m−1

e questo prova che pmqm−1− pm−1qm = (−1)m−1.

Osservazione 5. Una immediata conseguenza `e che pm e qm sono

relativa-mente primi (ogni eventuale fattore comune deve dividere 1). Pertanto la frazione pm

qm che rappresenta una convergente generica `e ridotta ai minimi

termini.

Proviamo ora che le convergenze cm ottenute sviluppando un numero

razio-nale a

b sono alternativamente minori e maggiori del valore finale a

b.Pi`u

preci-samente tutte le convergenze di ordine pari sono minori di a

b, e le convergenze

di ordine dispari sono maggiori di a b.

Corollario 1.4.5. Nelle notazioni precedenti, per n_{≥ 2 vale:} cm− cm−1 = pm qm − p_m−1 q_m−1 = (−1)m−1 q_m−1qm .

Dimostrazione. I numeratori e denominatori delle ridotte αm = p_qmm

soddisfa-no la relazione fondamentale (teorema [1.4.3]): pmqm−1− pm−1qm = (−1)m−1

e, dividendo entrambi i membri per la quantit`a qnqn−1,si ottiene la tesi.

Corollario 1.4.6. Nelle notazioni precedenti, per n_{≥ 3 vale:} cm− cm−2 = pm qm − p_m−2 q_m−2 = am(−1)m−1 q_m−1qm .

Dimostrazione. Evidentemente cm− cm−2 = pm qm − p_m−2 q_m−2 = pmqm−2 − pm−2qm qmqm−2 . Nel numeratore dell’ultima frazione eseguiamo le sostituzioni

pm = ampm−1+ pm−2 qm = amqm−1+ qm−2, e si ottiene pmqm−2− pm−2qm qmqm−2 = (ampm−1+ pm−2)qm−2− pm−2(amqm−1+ qm−2) = = am(pm−1qm−2 − pm−2qm−1) = am(−1)m−1

nelle quali l’ultima uguaglianza segue da [1.4.3] sostituendo m− 1 a m. Teorema 1.4.7. Data una frazione continua aritmetica limitata le ridotte di ordine dispari c2m+1 costituiscono una successione crescente mentre le le

ridotte di ordine pari c2mcostituiscono una successione decrescente e le prime

sono tutte minori delle seconde; di pi`u, ogni ridotta di ordine maggiore o uguale a 3 `e compresa fra le due che la precedono:

c1 < c3 < c5 <· · · < c2m+1 <· · · < c2m <· · · < c4 < c2.

Dimostrazione. Ponendo n = 2 e n = 3 in [1.4.4] e tenendo presente che i qm

sono positivi (m > 0), si vede che c2− c1 = 1 q2q1 >0 c3− c2 =− 1 q3q2 <0

rispettivamente. Queste disuguaglianze provano che c1 < c2 e c3 < c2.

D’altra parte il corollario [1.4.5], per n = 3, ci dice che c3− c1 = a3(−1) 2 q3q1 = a3 q3q1 >0,

essendo a3, q1 e q1 interi positivi. Dunque c1 < c3 e quindi per quanto visto

poco sopra

Analogamente ponendo n = 3 e n = 4 in [1.4.4] e poi n = 4 in [1.4.5] troviamo che

c3 < c4 < c2.

Procedendo successivamente in questo modo si ottengono le disuguaglianze c3 < c5 < c4

c5 < c6 < c4

e cosi’ via. Combinando tutte queste disuguaglianze si ottiene c1 < c3 < c5 <· · · < c2m+1 <· · · < c2m <· · · < c4 < c2.

1.5

Frazioni continue ed equazioni lineari

dio-fantee

1.5.1

L’equazione indeterminata ax

− by = ±1 (a, b) = 1

Facciamo vedere come si possano usare le frazioni continue per risolvere l’equazione indeterminata ax_{− by = ±1 dove a e b sono interi positivi dati e} x e y sono interi incogniti. Consideriamo l’equazione diofantea ax_{− by = 1} (l’equazione ax− by = −1 `e della stessa forma salvo lo scambio di posto tra x e y). Gli interi a e b non possono avere divisori comuni maggiori di 1: infatti se un intero d divide sia a che b esso divide pure l’intero 1 del secondo membro dell’equazione e quindi deve essere necessariamente d = 1. In altre parole gli interi a e b devono essere coprimi: (a, b) = 1.

Teorema 1.5.1. L’equazione diofantea ax_{− by = 1, dove a e b sono interi} positivi primi tra loro, ha infinite soluzioni intere (x, y).

Dimostrazione. Se a e b sono due numeri coprimi, `e possibile, grazie all’algo-ritmo di Euclide, trovare due numeri naturali x e y che soddisfano l’equazione

ax_{− by = 1. Il procedimento usato per convertire} a

b in frazione continua for-nisce un buon procedimento per la costruzione di questi due numeri x e y. Supponiamo che la frazione continua sia

a b = a0 + 1 a1+· · · 1 an . L’ultima ridotta pn qn `e a

b stessa. La ridotta precedente p_n−1

q_n−1 verifica: pnqn−1− qnpn−1 = (−1)n−1

cio`e

aq_{n−1− bpn−1} = (₋₁₎n−1,

dal corollario [1.4.3]. Quindi, se prendiamo x = q_n−1 e y = p_n−1, abbiamo proprio una soluzione dell’equzione ax− by = (−1)n−1_{, con x e y numeri}

naturali. Questa tuttavia `e una soluzione particolare e non la soluzione ge-nerale. Indichiamo con (x0, y0) la soluzione particolare. Se n `e dispari, si ha

l’equazione proposta. Se n `e pari, si ha (₋₁₎n−1 _{=−1, quindi il procedimento}

usato finora non risulta adatto. Ci sono per`o altri due metodi (che in realt`a sono equivalenti), che ci permettono di risolvere questo problema. Il primo metodo consiste nel prendere x = b− qn−1 e y = a− pn−1 ottenendo

ax_{− by = a (b − qn−1})_{− b (a − pn−1}) =_−aqn−1+ bp_n−1= 1.

Il secondo consiste nel modificare la frazione continua sostituendo l’ultimo termine ancon (an−1) +11.La nuova frazione continua avr`a cosi’ un termine

in pi`u rispetto all’originaria, e quindi la sua penultima ridotta fornir`a una soluzione dell’equazione diofantea ax− by = 1 (n `e diventato dispari, quindi (<sub>−1)</sub>n−1 <sub>= 1). Questa costruzione fornisce la soluzione per cui si ha che x `e</sub>

minore di b e y `e minore di a.

Una volta che si `e determinata una soluzione particolare (x0, y0) allora la

soluzione generale sar`a data da

dove t `e un qualsiasi intero, positivo o zero. Proviamo questo fatto. Sia (x0, y0) una soluzione particolare e sia (x, y) una qualunque altra soluzione.

Allora: ax_{− by = 1} e ax0− by0 = 1, e sottraendo si ottiene: a(x− x0) = b(y− y0).

Questo prova che b divide il primo membro dell’uguaglianza ma b non ha divisori comuni con a quindi b deve dividere x_{− x}0 cio`e x− x0 multiplo

intero di b e, per t intero, possiamo scrivere: x= x0+ tb

da cui si ha a(tb) = b(y− y0) cosi’ che:

y= y0+ ta.

Quindi tutte le soluzioni (x, y) dell’equazione ax_{−by = 1 hanno questa forma.} E viceversa si verifica direttamente che data una soluzione particolare (x0, y0)

ogni coppia (x0+ ta, y0+ tb) per t intero `e soluzione dell’equazione. Diciamo

che i valori di x e y dati da (x0 + ta, y0 + tb) costituiscono la soluzione

generale dell’equazione indeterminata ax_{− by = 1.}

Esempio 1.5. Risolviamo l’equazione diofantea 27x + 43y = 1. Sviluppando in frazione continua il numero razionale 27

43 si ha: 27 43 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 5

Il calcolo diretto prova che la penultima ridotta, cio`e la quarta convergente (o ridotta di ordine 4), vale 5

8. Allora:

27· 8 − 43 · 5 = 1 quindi x = 8 e y = 5 `e la soluzione che cercavamo.

1.5.2

La soluzione generale di ax

− by = c, (a, b) = 1

Abbiamo visto come risolvere l’equazione ax_{− by = 1 con a e b interi} positivi e primi tra loro. A questo punto `e facile risolvere l’equazione ax−by = c,nella quale a e b sono interi positivi con (a, b) = 1 e c `e un intero qualunque. Sia (x0, y0) una soluzione particolare di ax− by = 1 quindi

ax0− by0 = 1

e, moltiplicando per c si ottiene:

a(cx0)− b(cy0) = c

e quindi (cx0, cy0) `e soluzione particolare di ax− by = c. Si dimostra che la

soluzione generale `e della forma:

x= cx0 + bt, y= cy0+ at

con t intero. Questa si pu`o facilmente verificare sostituendola direttamente nell’equazione.

1.5.3

La soluzione generale di ax + by = c, (a, b) = 1

La discussione di questa equazione `e simile, a parte lievi modifiche, a quella dell’equazione ax_{−by = c. Supponendo ancora una volta che a e b siano} interi positivi, troviamo anzitutto una soluzione particolare dell’equazione ax+by = 1, (a, b) = 1. Sviluppiamo il numero razionalea_b in frazione continua con un numero pari di quozienti parziali. Sia pn−1

qn−1 la penultima ridotta. Certo

vale:

Ora, scriviamo l’equazione data nella forma:

ax+ by = c_{· 1 = c · (aqn−1}+ bp_n−1) e, cambiando l’ordine dei termini si ha:

a(cqn−1− x) = b (y + cpn−1) . (1.3)

Quindi l’intero b divide a (cqn−1− x) ma (a, b) = 1. Dunque b deve dividere

(cqn−1− x) : esiste un intero t tale che cqn−1 − x = tb cio`e x = cqn−1− tb.

Sostituendo questa espressione in (1.3) si ottiene: a(tb) = b(y + cpn−1)

e, risolvendo rispetto a y:

y= at− cpn−1.

Viceversa, qualunque sia l’intero t, posto x = cqn−1− tb e y = at − cpn−1 si

ha:

ax+ by = a (cq_{n−1− tb) b (at − cpn−1}) =

= acq_{n−1− tab + tab − bcpn−1} = c (aq_{n−1− bpn−1}) = c_{· 1 = c}

e l’equazione di partenza ax + by = c `e soddisfatta. Abbiamo quindi provato che la soluzione generale dell’equazione ax + by = c, (a, b) = 1 `e:

x= cqn−1− tb

y= at− cpn−1.

con t intero.

1.5.4

L’equazione generale Ax

± By = ±C

Osserviamo preliminarmente che, eventualmente moltiplicando per _−1, ogni equazione della forma _{±Ax ± By = ±C si pu`o ricondurre ad uno dei} due tipi seguenti:

dove A e B sono interi positivi.

Non tutte le equazioni in questa forma ammettono soluzioni. Infatti sia d il massimo comune divisore degli interi A e B. Allora, se d non divide C, nessuna delle due equazioni in (1.4) ammette soluzioni intere: il primo membro sarebbe divisibile per d mentre il secondo non lo `e. D’altra parte se C `e divisibile per d allora possiamo dividere entrambi i membri per d riducendo le equzioni in (1.4) alla forma gi`a trattata: ax_{± by = c con (a, b) = 1.}

Numeri Irrazionali come

frazioni continue illimitate

2.1

Premessa: le frazioni continue infinite

Fino a questo punto abbiamo considerato le frazioni continue finite e con l’algoritmo euclideo abbiamo trovato l’espressione dei numeri razionali in fra-zione continua:ogni numero razionale si pu`o sviluppare in frafra-zione continua in modo essenzialmente unico. In realt`a `e possibile rappresentare anche un numero irrazionale in termini di frazioni continue, ma in questo caso l’espan-sione va avanti all’infinito invece di giungere ad una fine.

Siano α un numero irrazionale, a0 la sua parte intera e α′ la sua parte

fra-zionaria; allora α = a0 + α′, e, data la supposta irrazionalit`a di α si ha

necessariamente 0 < α′ _{<1. Poniamo α}′ ₌ 1

α1 allora

α= a0+

1 α1

dove α1 > 1. Naturalmente α1 `e a sua volta irrazionale: a0 `e intero e α lo

stiamo supponendo irrazionale. Cosi’ possiamo ripetere il ragionamento fino ad αn che possiamo quindi esprimere come:

αn = an+

1 αn+1

dove αn+1>1 e αn+1 `e un intero positivo.

Quindi arriviamo alla seguente espressione per il numero irrazionale α : α= a0+ 1 a1 + 1 ...+ 1 an+ 1 αn+1 . (2.1)

I termini, o quozienti parziali a0, ..., ansono numeri naturali, e a0`e un intero

che pu`o essere positivo, negativo o uguale a zero. Il quoziente completo corrispondente a an `e αn, o, equivalentemente, an + _α1

n+1. Il processo non

potr`a mai avere una fine perch`e ogni quoziente completo α1, ..., αn `e a sua

volta un numero irrazionale.

L’equazione (2.1) ci permette di esprimere il numero irrazionale di partenza α in termini del quoziente completo αn+1 e delle due convergenti p_qn_n e p_qn−1_n−1.

Infatti (2.1) equivale a:

α= [a0, a1, ..., an, αn+1] [a1, a2, ..., an, αn+1]

. Ora, dalla relazione [1.2.1], segue che:

[a0, a1, ..., an, αn+1] = αn+1[a0, a1, ..., an] + [a0, a1, ..., a_n−1] = αn+1pn+ pn−1,

e analogamente il denominatore sar`a:

[a1, a2, ..., an, αn+1] = αn+1qn+ qn−1.

Dopo aver in qualche modo osservato che la (2.1) `e valida per ogni n, si avrebbe la tentazione di scrivere pi`u semplicemente

α= a0+ 1 a1 + 1 ...+ 1 an+ 1 an+1+ 1 ... .

2.2

Definizioni e notazioni

Euristicamente una f razione continua aritmetica illimitata o inf inita `e una espressione della forma:

a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · + _a 1 n+ ...

dove le somme ai denominatori procedono,appunto, all’infinito. Procediamo con un risultato di convergenza che ci servir`a per trattare in maniera in maniera pi`u rigorosa il concetto di frazione continua illimitata.

Lemma 2.2.1. Sia data una successione qualunque di numeri naturali (ak)_k≥1.

Allora la successione (cn)_n≥1 definita per ricorrenza ponendo:

c1 := 1 a1 c2 := 1 a1+ 1 a2 ... cn:= 1 a1 + 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · + _a1 n

converge ad un numero reale compreso tra 0 e 1 estremi esclusi; cio`e esiste α_{∈]0, 1[ tale che:}

lim

n→+∞cn= α.

Dimostrazione. Il termine cn della successione non `e altro che, per

definizio-ne, la frazione continua finita [a1, ...a_n−1, an] . Abbiamo provato

precedente-mente che tale frazione continua non `e altro che il numero razionale pn qn dove

i) pm = ampm−1+ pm−2

ii) qm = amqm−1+ qm−2

con le condizioni iniziali p₋₁ = 1 e p0 = a0 per i numeratori mentre q₋₁ = 0

e q0 = 1 per i denominatori. Abbiamo anche provato che le frazioni p_qm m sono

ridotte ai minimi termini essendo:

pmqm−1 − pm−1qm = (−1)m−1.

In particolare da questa ultima uguaglianza segue che: pm+1 qm+1 − pm qm = (−1) m qm+1qm

e, poich`e la successione dei denominatori qm `e strettamente monotona

cre-scente (e quindi divergente, essendo costituita da tutti numeri naturali), da questa identit`a si deduce che:

c2 < c4 < c6 < ... < c5 < c3 < c1

Basta sommare tra loro due identit`a ”successive” pm+2 qm+2 − pm+1 qm+1 = (−1) m+1 qm+2qm+1 e pm+1 qm+1 − pm qm = (−1) m qm+1qm per avere cm+2− cm = (−1)m qm+2 − qm qm+2qm+1qm .

Inoltre segue che le due successioni strettamente monotone c2, c4, c6, ... e

c1, c3, c5, ... (rispettivamente crescente e decrescente) non solo convergono ai

loro rispettivi estremi superiore e inferiore, in quanto limitate, ma che tali estremi (certamente diversi da 0 e da 1) coincidono.

Definizione 2.1. Sia data una qualunque successione (an)_n≥0 con a0

(aritmetica) illimitata di termini a0, a1, a2, ... a0 + 1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · + 1 ... . Il numero reale α= lim n→+∞[a0, a1, ..., an−1, an]

si definisce valore della frazione continua e si pone: α= a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3+ 1 · · · +_...1 .

Osservazione 6. La definizione `e ben posta in virt`u del lemma [1.3.1]. Con abuso di notazione i simboli

α, [a0, a1, ..., an, ...] a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 ...

denotano sia la frazione continua sia il suo valore, cio`e il numero reale che `e il limite della successione delle ”somme parziali”.

2.3

Rappresentazione di un numero

irrazio-nale come frazione continua infinita (o

illimitata)

Proposizione 2.3.1. Sia α un numero irrazionale arbitrario. Allora `e uni-vocamente individuata la successione di numeri naturali a1, a2, ..., an, ... tali

che, posto a0 = Int(α) risulti:

α = [a0, a1, a2, ..., an, ...] .

In altri termini α `e il valore della frazione continua [a0, a1, a2, ..., an, ...] cio`e

il limite della successione: a0+ 1 a1 , a0 + 1 a1+ 1 a2 , a0+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3 ,_{· · ·}

Viceversa,ogni successione di numeri naturali a1, a2, ..., an, ... rimane

asso-ciata nel modo indicato ad uno ed un solo numero irrazionale α avente come parte intera un numero naturale a0 arbitrariamente fissato.

Dimostrazione. Come nel caso dei numeri razionali, si tratta di una di-mostrazione di tipo costruttivo. Sia α un numero irrazionale arbitrario. Allora

α= a0+

1 α1

dove

a0 = Int(α) ( a0 = parte intera di α)

0 < 1 α1 <1 ( 1 α1= parte frazionaria di α). Ora, α1 >1 perci`o α1 = a1 + 1 α2 dove

a1 = Int(α1) ( a1 = parte intera di α1)

0 < 1

α2 <1 ( 1

α2= parte frazionaria di α1).

Iterando il procedimento si ottiene αn = an+

1 αn+1

dove

an= Int(αn) ( an = parte intera di αn)

e 0 < 1 αn+1 <1 ( 1 αn+1= parte frazionaria di αn). Quindi: α= a0+ 1 a1+ 1 a2+· · · 1 an+ 1 αn+1

dove a1, a2,· · · , an sono numeri naturali (notiamo che a0 pu`o essere positivo,

negativo o nullo, se α > 1 allora a0 > 0). Utilizzando la regola di Eulero,

valida anche per numeri reali qualsiasi, si ottiene: α= P(a0, a1,· · · , an−1, an, αn+1) P(a1, a2,· · · , a_n−1, an, αn+1) dove P(a0, a1,· · · , a_n−1, an, αn+1) = αn+1P(a0, a1,· · · , a_n−1, an)+P (a0, a1,· · · , a_n−1) = = αn+1pn+ pn−1 P(a1, a2,· · · , a_n−1, an, αn+1) = αn+1P(a1, a2,· · · , a_n−1, an)+P (a1, a2,· · · , a_n−1) = = αn+1qn+ qn−1 Quindi α = αn+1pn+ pn−1 αn+1qn+ qn−1 . (2.2)

A questo punto `e opportuno mostrare che la convergente pn qn

effettivamente tende al numero irrazionale α per n_{→ +∞. Mostriamo, quindi, che}

lim

n→+∞

pn

qn

o, equivalentemente, lim n→+∞    α− pn qn    = 0. Ora,     pn qn    =     αn+1pn+ pn−1 αn+1qn+ qn−1 − pn qn    = =     p_n−1qn− pnqn−1 qn(αn+1qn+ qn−1)    = = 1 qn(αn+1qn+ qn−1)

per il corollario [1.4.3]. Ora poich`e

αn+1> an+1 si ottiene che:    α− pn qn    < 1 qn(an+1qn+ qn−1) = 1 qnqn+1

ma essendo q0 < q1 < ... < qn naturali strettamente crescenti si ha che:

1 qnqn+1 → 0, n _{→ +∞} quindi    α− pn qn     →0, n → +∞ cio`e pn qn

converge all’irrazionale α per n_{→ +∞. Rimane adesso da stabilire,} come nel caso del teorema[1.1.1], che la rappresentazione cosi’ determinata `e unica, nel senso che da un’identit`a del tipo:

α = 1 q1+ 1 q2+ 1 q3+...+1 = 1 k1+ 1 k2+ 1 k3+...+1

si deduce necessariamente q1 = k1, q2 = k2.... La cosa sarebbe immediata se

si avesse ancora a disposizione il ”piccolo lemma” di cui ci siamo serviti nel corso della dimostrazione del teorema [1.1.1], ma in questo caso abbiamo di

fronte un algoritmo infinito.

Passiamo agli inversi delle identit`a in esame: q1+ 1 q2 + 1 q3+_...+1 = k1+ 1 k2+ 1 k3+_...+1

Le due frazioni continue che compaiono nella nuova identit`a corrispondono,in virt`u del lemma [2.2.1], a numeri reali diversi da zero e minori di 1 , quindi si deduce che q1 e k1 devono essere proprio le parti intere dei numeri in

questione, e quindi q1 = k1. Confrontiamo ora

1 q2+ 1 q3+_...+1 = 1 k2+ 1 k3+_...+1 ,

che essendo ancora due numeri reali diversi da zero possiamo invertire, tro-vando: q2+ 1 q3+ 1 ...+ = k2+ 1 k3+ 1 ...+ .

Ma possiamo ripetere il ragionamento, dovr`a essere q2 = k2, e cos`ı via.

Osservazione 7. Nel corso della dimostrazione di [2.3.1] abbiamo provato in particolare (2.2): la relazione tra α e un qualsiasi quoziente completo `e data dalla formula:

α = αn+1pn+ pn−1 αn+1qn+ qn−1

.

Ricapitolazione. Facciamo un piccolo riassunto di quanto abbiamo visto finora. Ogni numero reale α si pu`o rappresentare in uno e un solo modo come α= Int(α) + Mt(α) dove Int(α) `e un numero intero chiamato parte intera di α definito come:

Int(α) = max_{{n ∈ Z, n ≤ α}}

mentre Mt(α) `e un elemento di [0, 1[ chiamato parte f razionaria di α: M t(α) := α_{− Int(α)}

Risulta Mt(α) = 0 se e solo se x `e un numero reale intero. Se α `e razionale allora si pu`o rappresentare in modo essenzialmente unico come frazione con-tinua finita mentre se α `e irrazionale si pu`o scrivere in uno ed un solo modo come frazione continua inf inita. Mettendo insieme i teoremi [1.3.1][1.7.2] enunciamo il seguente teorema fondamentale di rappresentazione dei reali in frazione continua.

Teorema 2.3.2 (Sulla rappresentazione di un numero reale in frazione con-tinua). Sia α _{∈ R. Supponiamo che la parte frazionaria di α sia non nulla} (cio`e α non `e un numero intero). Allora, se α `e razionale, α si pu`o rappre-sentare in uno ed un solo modo come frazione continua limitata, vale a dire nella forma: α= [Int(α), a1, a2, ..., an] = Int(α) + 1 a1+ 1 a2+ 1 ...+ 1 an

con an ≥ 2. Se, invece, α `e irrazionale allora α si pu`o rappresentare

univo-camente come frazione continua illimitata: α= [Int(α), a1, a2, ..., an, ...] = Int(α) + 1 a1+ 1 a2 + 1 a3+ 1 ... .

Osservazione 8. Le frazioni continue forniscono un mezzo per costruire nume-ri irrazionali. Di pi`u: stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra gli irra-zionali maggiori di 1 e le sequenze infinite di interi positivi (a0, a1, a2, ..., an, ...).

Osservazione 9. Abbiamo definito la prof ondita′ _{di un numero razionale}

co-me la ”lunghezza” n della sequenza di interi a1, ..., an che interviene nello

sviluppo in frazione continua del numero stesso. Alla luce del teorema [1.6.3] `e ragionevole dire che la prof ondita′ <sub>dei numeri irrazionali `e inf inito. La</sub>

rappresentazione dei reali in frazione continua `e in un certo senso la miglio-re possibile: consente di compmiglio-rendemiglio-re la natura pi`u complessa dei numeri irrazionali e illustrare il rapporto tra numero irrazionale e inf inito.

Osservazione 10. Osserviamo esplicitamente che, dato un numero reale α, la rappresentazione in frazione continua che si pu`o univocamente associare ad esso si ottiene semplicemente attraverso la seguente regola dei quozienti parziali. Si comincia a considerare la parte intera di α ossia

Int(α) := max_{{n ∈ Z, n ≤ α}} e si ha evidentemente

α= Int(α) + α− Int(α) = Int(α) − Mt(α). Se Mt(α)_{6= 0 possiamo prenderne l’inverso e porre}

α1 = 1 α_{− Int(α)} e ottenere α= Int(α) + 1 α1 .

A questo punto se Mt(α1),cio`e α1 `e intero, ci fermiamo, altrimenti

procedia-mo ponendo

α2 =

1 α1− Int(α1)

e cosi’ via. Si incontra una parte frazionaria nulla dopo n passi, e quindi l’inverso non si pu`o fare, se e solo se α `e razionale di profondita’ n.1

1_{Una formalizzazione di questo procedimento per i numeri irrazionali positivi minori}

di 1 `e la seguente. Sia M :={x ∈ R − Q : 0 < x < 1}. L’insieme M `e l’insieme dei reali irrazionali positivi minori di 1.

Definiamo le funzioni K e T come segue:

K: [0, 1[→ Z K(x)≡ Kx := Int 1 x  T : [0, 1[→ [0, 1[ T(x)≡ T x := Mt 1 x  = 1 x− Int  1 x  = x− Kx

La funzione T `e la trasformazione da un resto al resto successivo della frazione continua. Definiamo la successione x1, x2, ...dei resti del numero irrazionale x :

x1= x x2= T x1 x3= T x2= T2x1= T2x x4= T x3= T3x .... xn+1:= T xn= Tnx

Ora le parti intere k1, k2... degli inversi dei resti sono le cifre della frazione continua del

numero irrazionale x. La successione delle parti intere degli inversi dei resti `e data da: k1= Kx1= Kx k2= Kx2= K(T x) .... kn:= K(xn) = K(Tn−1x) Dunque x= 1 k1+_k 1 2+ 1 k3+...1

Frazioni continue periodiche

3.1

Definizioni e primi esempi

Definizione 3.1. Una frazione continua aritmetica illimitata α = [a0, a1, a3, ...]

si definisce periodica se da un certo indice in poi, gli interi ai si ripetono

pe-riodicamente cio`e se esistono h _{≥ 0 e T ≥ 1 interi tali che per ogni indice} m_{≥ h si ha}

am+T = am. (∗)

In questo caso si pone

α= [a0, a1, ..., a_h−1, ah, ah+1, ..., ah+T −1]

Il minimo naturale T per cui vale la (*) si chiama periodo mentre il minimo naturale h > 0 per cui vale la (*) si chiama antiperiodo. Una frazione continua periodica si dice semplicemente periodica se h = 0 e si scrive [a0, a1, ..., ai, ..., aT −1]. In tal caso nella (*) pu`o essere m = h = 0.

Ricordiamo che un numero complesso si definisce algebrico di ordine n se `e radice di un’equazione algebrica a coefficienti interi di grado n

anxn+ ... + aixi+ ... + a1x+ a0 = 0

con ai ∈ Z, i = 0, ..., n; an6= 0 e non di una equazione di grado minore.

Un numero algebrico di ordine n si dice intero algebrico di ordine n se 41

an = 1.

Un numero complesso si dice trascendente se non e algebrico ossia se non `e radice di un polinomio a coefficienti interi.

I numeri razionali e solo essi sono numeri algebrici del primo ordine.

Definizione 3.2. I numeri (reali) algebrici del secondo ordine ossia gli irra-zionali soluzioni di equazioni della forma

ax2+ bx + c = 0 con a, b, c ∈ Z, a 6= 0, c 6= 0 e b2

− 4ac > 0 si definiscono irrazionali quadratici. Se α _{∈ R `e irrazionale quadratico definiamo coniugato di α il</sub> numero reale α′ <sub>che `e l’altra soluzione dell’equazione del secondo grado a}

coefficienti interi di cui `e radice α.

3.2

Irrazionali quadratici

Gli irrazionali quadratici sono i pi`u semplici e familiari numeri irra-zionali, ossia i numeri irrazionali che sorgono come soluzioni di equazioni quadratiche con coefficienti interi. In particolare, la radice quadrata di un numero N, che non `e un quadrato perfetto, `e un irrazionale quadratico, poich`e `e soluzione dell’equazione x2

− N = 0. Le frazioni continue degli irra-zionali quadratici hanno notevoli propriet`a, che ora esamineremo. Iniziamo con qualche esempio numerico.

Esempio 3.1. Vediamo come determinare lo sviluppo in frazione continua di√2 che sappiamo essere irrazionale dai tempi di Pitagora (VI secolo a.C.). Poich`e 1 <√2 < 2 (infatti 1 <√2 < 2 ⇔ 1 < 2 < 4 vero! ) la parte intera `e 1 e quindi abbiamo a0 = 1 e

√

2 = 1 + 1 α1

con α1 >1. Da qui otteniamo:

α1 = 1 √ 2− 1 = √ 2 + 1 (√2− 1)(√2 + 1) = √ 2 + 1.

Da qui si ha: α1 = 2 + 1 α2 con α2 >1 e a1 = 2 e: √ 2 = 1 + 1 2 + 1 α2 . Da α1 = √ 2 + 1 e α1 = 2 + 1 α2 si ottiene: √ 2 + 1 = 2 + 1 α2 e quindi: α2 = 1 √ 2− 1 = √ 2 + 1 = 2 + 1 α3

con α3 >1 e a2 = 2. Come prima abbiamo avuto α1 =

√

2 + 1 e a1 = 2, ora

abbiamo α2 =

√

2 + 1 e a2 = 2. E’ chiaro che otterremo ancora una volta

α3 =

√

2 + 1 e a3 = 2 e che quindi risulter`a sempre a1 = 2∀i ∈ N. Ecco

quindi lo sviluppo in frazione continua che cercavamo: √ 2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ...+ = [1; 2, 2, 2, ...] := [1; ¯2] .

Osserviamo le convergenti di questa frazione continua.

La ridotta di ordine 0 cio`e 1 `e banalmente una approssimazione per difetto di√2; la ridotta di ordine 1:

1 + 1 2 =

3 2 = 1, 5

`e invece una approssimazione per eccesso. Andiamo meglio con la ridotta di ordine 2 cio`e: 1 + 1 2 + 1 2 = 7 5 = 1, 4

e andiamo ancora meglio con la terza ridotta: 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 17 12 = 1.46666666... La frazione 17

12 fu individuata sin dall’antichit`a come una buona

approssima-zione della costante di P itagora (nel senso che le prime due cifre decimali sono quelle esatte).

Analogamente per il numero irrazionale √3 si ottiene: √ 3 = 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + ... = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2...] := 1; 1, 2.

Esempio 3.2. Per un esempio un po’ pi`u complicato consideriamo il numero irrazionale α = 24−

√ 15

17 e cerchiamone lo sviluppo in frazione continua. Sappiamo gi`a che α si rappresenta in un modo unico in frazione continua illimitata.

Poich`e 24− √

15

17 si trova tra 3 e 4, la parte intera `e 1. Il primo passo, come prima, consiste nello scrivere:

α= 1 + 1 α1 cosi’ che: α1 = 1 α_{− 1} = 17 7₋√15 = 7 +√15 2 . La parte intera di α1 `e 5 quindi:

α1 = 5 + 1 α2 con α2 = 1 α1− 5 = √ 2 15− 3 = √ 15 + 3 3 .

La parte intera di α2 `e 2 quindi: α2 = 2 + 1 α3 dove α3 = 1 α2− 2 = √ 3 15− 3 = √ 15 + 3 2 . La parte intera di α3 `e 3 quindi:

α3 = 3 + 1 α4 dove α4 = 1 α3− 3 = _√ 2 15− 3 = √ 15 + 3 3 .

Poich`e α4 = α2, gli ultimi due passi saranno ripetuti all’infinito, e la frazione

continua che si ottiene `e periodica mista: 24−√15 17 = 1 + 1 5 + 1 2 + 1 3 + 1 2 + 1 3 + ... = [1; 5, 2, 3, 2, 3, 2...] :=1; 5, 2, 3.

Proviamo ora che gli irrazionali quadratici sono tutti e soli i numeri che si presentano nella forma

P _±√D Q

dove P, Q, D sono interi con P _{6= 0 e D positivo che non `e un quadrato} perfetto, o equivalentemente nella forma

A+ B√D

dove A e B 6= 0 sono razionali arbitrari e D intero positivo ma non un quadrato perfetto.

quadrato perfetto il numero P ± √

D

Q si pu`o scrivere in un solo modo, salvo variazioni banali come

3 2+ 1 3 √ 5 = 6 4 + 2 6 √ 5. Vale infatti la seguente proposizione.

Proposizione 3.2.1. Siano A1, A2, B1, B2 ∈ Z e D intero positivo ma non

un quadrato perfetto. Allora vale: A1+ B1

√

D= A2+ B2

√

D _⇐⇒ A1 = A2 e B1 = B2

Dimostrazione. Scriviamo l’uguaglianza come A1− A2 = (B2− B1) √ D. Se fosse B2 6= B1 allora √ D= A1− A2 B2− B1

sarebbe razionale contro l’ipotesi. Quindi deve essere B1 = B2 e

conseguen-temente A1 = A2 come si voleva dimostrare.

Osservazione 11. Tra i numeri della forma A + B√Dconsideriamo compresi anche quelli con B = 0 cio`e i numeri razionali e proveremo che vale

A_{± B}√D`e irrazionale quadratico ⇐⇒ B _{6= 0.}

Osservazione 12. Se α e β sono numeri della forma A + B√D allora lo sono anche

α+ β, α_{− β,} α_{· β,} α β. Proposizione 3.2.2. Ogni numero della forma

A+ B√D,

con A e B _{6= 0 razionali D intero positivo ma non un quadrato perfetto, `e} irrazionale quadratico, vale a dire radice di un’equazione del secondo grado ax2

+ bx + c = 0 i cui coefficienti a > 0, b, c sono interi tali che b2

− 4ac > 0. Di pi`u: il coniugato di x `e

Dimostrazione. Ricordiamo preliminarmente che ogni equazione del secondo grado

ax2

+ bx + c = 0, a >0 (3.1) ammette radici reali se e solo se b2

− 4ac ≥ 0 e, in questo caso, ha per radici x1 =− b 2a + √ b2 − 4ac 2a = A + B √ D x2 =− b 2a − √ b2 − 4ac 2a = A− B √ D dove D = b2

− 4ac. Conseguentemente valgono le relazioni1

x1 + x2 =− b a = 2A x1· x2 = c a = A 2 − B2 D Perci`o se a6= 0 possiamo scrivere l’equazione (3.1) come

x2 −  −b a  x+ c a e quindi come x2 − 2Ax + A2 − B2 D= 0 (3.2) Ora, sia x un numero reale della forma x = A+B√D,con A e B _{6= 0 razionali} e D intero positivo ma non un quadrato perfetto. Dobbiamo provare che x `e radice di un’equazione del secondo grado ax2

+ bx + c = 0 i cui coefficienti a > 0, b, c sono interi tali che b2

− 4ac > 0. I numeri x = A + B√D e x′ _{= A− B}√_{D soddisfano (3.2). Infatti si prova per sotituzione diretta che}

(A_{± B}√D)2

− 2A(A ± B√D) + A2

− B2

D=

1_{E’ noto che data un’equazione di secondo grado ax}2_{+ bx + c = 0 con b}2

− 4ac ≥ 0 valgono le seguenti relazioni che legano la somma e il prodotto delle radici x1, x2 con i

coefficienti dell’equazione: x1+ x2=− b a x1· x2= c a.

= A2 ± 2AB√D+ B2 D_{− 2A}2_{∓ 2AB}√D+ A2 − B2 D= 0. Ora, l’equazione x2 −2Ax+A2 −B2

D= 0 non `e necessariamente a coefficienti interi ma indicando con a in denominatore comune dei due numeri razionali 2A e A2

− B2

D e moltiplicando per a entrambi i membri di (3.2) si ottiene l’equazione del secondo grado

ax2+ bx + c = 0 i cui coefficienti a > 0, b =−2aA, c = a(A2

− B2

D) sono interi. Infine il discriminante di quest’ultima equazione b2

− 4ac `e positivo; infatti b2 − 4ac = (−2aA)2 − 4a2 (A2 − B2 D) = 4a2 B2 D >0 poich`e D si `e supposto positivo. Si osservi pure che b2

−4ac non `e un quadrato perfetto.

Proposizione 3.2.3. Un irrazionale quadratico A + B√D soddisfa a una ed una sola equazione del secondo grado ax2

+bx+c = 0 nella quale i coefficienti a, b, c sono interi primi tra loro.

Dimostrazione. Se A + B√D fosse radice di g1(x) = a1x 2 + b1x+ c1 = 0 ed anche di g2(x) = a2x 2 + b2x+ c2 = 0

allora sarebbe pure radice dell’equazione

a2g1(x)− a1g2(x) = (a2b1− a1b2) x + (a2c1− a1c2) = 0. Ora, se a2b1− a1b2 6= 0 si avrebbe x=₋a2c1− a1c2 a2b1− a1b2