Raccolta di esercizi sui radicali e sulle equazioni

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 2a

I - Prof. Francesco Daddi

Verifica scritta 11 gennaio 2010

Punteggio di partenza: 2/10

Esercizio 1. Risolvere la seguente equazione:

x

+ 4 (x − 2) = −x + 2 (0,5 punti)

Esercizio 2. Risolvere la seguente equazione:

2 x (x − 3) − x

2

= x

2

_{+ 2 (x − 3) (1 punto)}

Esercizio 3. Risolvere con verifica la seguente equazione:

x

+ 1

2

−

2 − 3 x

4

= 2 + x

(1 punto)

Esercizio 4. Risolvere la seguente equazione:

x − 1

4

+ x

2

=

6 x

2

− 5

6

−

3

2

x

(1 punto)

Esercizio 5. Risolvere la seguente equazione:

(x

2

_{− 3}

x

+ 2)

2

+ x

4

= 2 x

4

_{− 6}

x

3

+ 13 x (x − 1) + 4 x − 2 (1 punto)

Esercizio 6. Svolgi la seguente espressione:



_√

3 − 1



·



2 −

√

3



(1 punto)

Esercizio 7. Svolgi la seguente espressione:



3 −

√

2



2

(1 punto)

Esercizio 8. Svolgi la seguente espressione:



1 +

√

5



3

−



2 +

√

5



3

(1 punto)

Esercizio 9. E’ assegnata la radice

√

405. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 2a

I - Prof. Francesco Daddi

Soluzione verifica scritta 11 gennaio 2010

Esercizio 1. Risolvere la seguente equazione:

x+ 4 (x − 2) = −x + 2 Soluzione. x+ 4 x − 8 = −x + 2 5 x + x = 8 + 2 6 x = 10 6 x 6 = 10 6 x= 5 3 Esercizio 2. Risolvere la seguente equazione:

2 x (x − 3) − x2 = x2 + 2 (x − 3) Soluzione. 2 x2 − 6x − x2 = x2+ 2 x − 6 2 x2 − 6x − 2 x2− 2x= −6 −8x= −6 −8x −8 = −6 −8 x= 3 4

Esercizio 3. Risolvere con verifica la seguente equazione: x+ 1 2 − 2 − 3 x 4 = 2 + x Soluzione. 2(x + 1) − (2 − 3 x) 4 = 4(2 + x) 4 2(x + 1) − (2 − 3 x) = 4(2 + x) 2 x + 2 − 2 + 3 x = 8 + 4 x

2 x + 3 x − 4 x = 8 x= 8 verifichiamo: 8 + 1 2 − 2 − 3 · 8 4 = 2 + 8 9 2− 2 − 24 4 = 9 2− −22 4 = 9 2+ 11 2 = 9 + 11 2 = 20 2 = 10 (ok) Esercizio 4. Risolvere la seguente equazione:

x − 1 4 + x 2 = 6 x 2 − 5 6 − 3 2x Soluzione. 3(x − 1) + 12 x2 12 = 2(6 x2 − 5) − 6 · 3x 12 3(x − 1) + 12 x2 = 2(6 x2 − 5) − 6 · 3x 3 x − 3 + 12 x2 = 12 x2 − 10 − 18x 3 x + 18 x = −10 + 3 21 x = −7 21 x 21 = −7 21 x= −1 3 Esercizio 5. Risolvere la seguente equazione:

(x2 − 3x+ 2)2+ x4= 2 x4_{− 6}x3+ 13 x (x − 1) + 4 x − 2 Soluzione. x4+ 9 x2+ 4 − 6 x3+ 4 x2 − 12x+ x 4 = 2 x4 − 6x 3 + 13 x2 − 13x+ 4 x − 2 −12x+ 13 x − 4 x = −4 − 2 −3x= −6 x= 2 2

Esercizio 6. Svolgi la seguente espressione: _√ 3 − 1·  2 −√3 Soluzione. _√ 3 − 1·  2 −√3 = 2√_{3 − 3 − 2 +}√3 = 3√_{3 − 5} Esercizio 7. Svolgi la seguente espressione:

 3 −√2 2 Soluzione.  3 −√2 2 = 9 + 2 − 6√2 = 11 − 6√2 Esercizio 8. Svolgi la seguente espressione:

 1 +√5 3 −  2 +√5 3 Soluzione.  1 +√5 3 −  2 +√5 3 = (1)3 + 3 · (1)2 · √ 5 + 3 · 1 ·√5 2 +√5 3 −  (2)3 + 3 · (2)2 · √ 5 + 3 · 2 ·√5 2 +√5 3 = 1 + 3√_{5 + 3 · 5 + 5}√_{5 −}h8 + 12√_{5 + 6 · 5 + 5}√5i= 16 + 8√_{5 −}h38 + 17√5i= −22 − 9 √ 5

Esercizio 9. E’ assegnata la radice √405. Trasporta tutti i fattori possibili fuori dalla radice. Soluzione. Poich´e risulta 405 = 34

· 5 abbiamo √ 405 =√34 · 5 = 3 4 2 _·√5 = 32_·√5 = 9√5 .

Esercizi 2i - 14 dicembre 2009 - Prof. Francesco Daddi

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

-1

Esercizio 9

Esercizio 10

(

4



3

)

2



19

8 3

(

1



3 2

)

3



55

63 2

(

1



2 2

)

4



113

72 2

(

3



2 (

)

1



2

)



 

3

6

2

2

(

2



3



2 2 (

)

3



2 5

)











6

4 5

3 3

2 15

6 2

4 10

(

1



2

)

6



99

70 2

 



(

x



₁

)

2

x

x

2



4

3

1

3

 

 

x

4

3

4

(

x



₁

)

2

2

x



2

(

1



x

)

2

2

-1

 



(

x



₃

)

2

4

(

x



₁

)

3

2

 

x

3

2

1

4

7 (

2



x

)

2

4

9

14

  (x ₂ x2) 2     x4 _{5 (}x₄₎2 _{2 (}x₁₎2 _{2 x}2 _{2 x}3

37

16

Esercizi sulle radici quadrate – Francesco Daddi

Classe 2i - 3 dicembre 2009

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5

Esercizio 6

Esercizio 7

Esercizio 8

Esercizio 9

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 12

( 32)2  7 4 3 ( 52)2  9 4 5 ( 33)2  12 6 3 (2 2)3  20 14 2 (1 3)4  28 16 3 (1 2)2( 24)2  22 12 2 (3 2 () 2 21)  7 2 7 ( 51 () 3 2)    3 5 10 3 2 ( 1 5)3  16 8 5 (1 3)2_{(3 3}₂₎2  52 14 3 (3 2 3)2    14 6 2 6 3 2 6 (1 32 2)2    12 2 3 4 2 4 6

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 2a

I - Francesco Daddi - 2 dicembre 2009

Esercizi svolti sulle radici quadrate

Esercizio 1. ₍√_{3 + 1)}2_{= (}√₃₎2_{+ (1)}2 + 2 ·√3 · 1 = 3 + 1 + 2√3 = 4 + 2√3 . Esercizio 2. _{(2 +}√₅₎2_{= (2)}2_{+ (}√₅₎2 + 2 · 2 ·√5 = 4 + 5 + 4√5 = 9 + 4√5 . Esercizio 3. _{(4 −}√₃₎2 _{= (4)}2 + (−√3)2_{+ 2 · 4 · (−}√_{3) = 16 + 3 − 8}√_{3 = 19 − 8}√3 . Esercizio 4. ₍√_{3 −}√₂₎2_{= (}√₃₎2 + (−√2)2 + 2 ·√3 · (−√2) = 3 + 2 − 2√6 = 5 − 2√6 . Esercizio 5. _{(6 + 2}√₃₎2 _{= (6)}2 + (2√3)2 + 2 · 6 · (2√3) = 36 + 22 · 3 + 24 √ 3 = = 36 + 4 · 3 + 24√3 = 36 + 12 + 24√3 = 48 + 24√3 . Esercizio 6. _{(3 +}√_{2 +}√₃₎2 _{= (3)}2_{+ (}√₂₎2_{+ (}√₃₎2_{+ 2 · 3 ·}√_{2 + 2 · 3 ·}√_{3 + 2 ·}√_{2 ·}√₃ = 9 + 2 + 3 + 6√2 + 6√3 + 2√6 = 14 + 6√2 + 6√3 + 2√6 . Esercizio 7. ₍√_{2 − 1 −}√₅₎2_{= (}√₂₎2_{+ (−1)}2_{+ (−}√₅₎2_{+ 2 ·}√_{2 · (−1) + 2 ·}√_{2 · (−}√₅₎₊ +2 · (−1) · (−√5) = 2 + 1 + 5 − 2√2 − 2√10 + 2√_{5 = 8 − 2}√_{2 − 2}√10 + 2√5 . Esercizio 8. ₍√_{2 + 4) · (3 −}√_{2) =} √_{2 · 3 +}√_{2 · (−}√_{2) + 4 · 3 + 4 · (−}√_{2) =} = 3√_{2 − 2 + 12 − 4}√_{2 = 10 −}√2 . Esercizio 9. ₍√_{2 + 3) · (1 −}√₃₎2_{= (}√_{2 + 3) ·} (1)2 + (−√3)2 + 2 · 1 · (−√3) = = (√_{2 + 3) · 1 + 3 − 2}√3 = (√_{2 + 3) · 4 − 2}√3 =√_{2 · 4 +}√_{2 · (−2}√_{3) + 3 · 4 + 3 · (−2}√3) = = 4√_{2 − 2}√_{6 + 12 − 6}√3 . Esercizio 10. ₍√_{2 + 1)}2_{· (−4 +}√₃₎2 ₌ = (√2)2 + (1)2 + 2 ·√2 · 1 · (−4)2+ ( √ 3)2 + 2 · (−4) ·√3 = = 2 + 1 + 2√2 · 16 + 3 − 8 √ 3 =  3 + 2√2 · 19 − 8 √ 3 = = 3 · 19 + 3 · (−8√3) + 2√_{2 · 19 + 2}√_{2 · (−8}√_{3) = 57 − 24}√3 + 38√_{2 − 16}√6 . Esercizio 11. ₍√_{2 − 3)}3_{= (}√_{2 − 3)}2_{· (}√_{2 − 3) =(}√₂₎2 + (−3)2 + 2 ·√2 · (−3) · ( √ 2 − 3) = =_{ 2 + 9 − 6}√2 · ( √ 2 − 3) = 11 − 6√2 · ( √ 2 − 3) = 11 ·√2 + 11 · (−3) + (−6√2) ·√2+ +(−6√2) · (−3) = 11√2 − 33 − 6 · 2 + 18√2 = 11√_{2 − 33 − 12 + 18}√2 = 29√_{2 − 45 .}

Esercizio 12. Scrivere in ordine decrescente i numeri seguenti: √5, 4√2, 2√3, . Mettiamo tutto sotto la radice quadrata: √5, 4√2 = √42

· 2 = √ 32, 2√3 = √22 · 3 = √ 12. L’ordine voluto, pertanto, `e il seguente: 4√2, 2√3,√5.

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 2a

I - Francesco Daddi - 26 novembre 2009

Esercizi sulle radici quadrate

Semplifica le seguenti espressioni:

Esercizio 1.

√

_{32 =}

Esercizio 2.

√

_{260 =}

Esercizio 3.

√

_{3000 =}

Esercizio 4.

√

_{12 ·}

√

_{5 =}

Esercizio 5.

_{3 ·}

√

_{7 ·}

√

_{5 ·}

√

_{2 =}

Esercizio 6.

√

_{3 ·}

√

_{5 ·}

√

_{10 =}

Esercizio 7.

√

_{2 ·}

√

_{5 ·}

√

_{5 · 6 ·}

√

_{3 =}

Esercizio 8.

√

_{2 ·}

√

_{3 · 4 ·}

√

_{7 =}

Esercizio 9.

_{(2 −}

√

₃₎

2

₌

Esercizio 10.

_{(5 +}

√

₂₎

2

₌

Esercizio 11.

₍

√

_{2 −}

√

₇₎

2

₌

Esercizio 12.

₍

√

_{3 + 5)}

2

₌

Esercizio 13.

₍

√

_{3 − 2)}

2

₌

Esercizio 14.

₍

√

_{5 +}

√

₆₎

2

₌

Esercizio 15.

_{(1 + 2}

√

₃₎

2

₌

Esercizio 16.

_{(5 − 3}

√

₃₎

2

₌

Esercizio 17.

_{(2 −}

√

_{3 +}

√

₂₎

2

₌

Esercizio 18.

₍

√

_{2 + 3) · (}

√

_{3 − 1) =}

Esercizio 19.

₍

√

_{5 + 2) · (}

√

_{2 + 2) =}

Esercizio 20.

₍

√

_{3 + 1) · (2 −}

√

_{3) =}

Esercizio 21.

₍

√

_{5 + 1 −}

√

_{2) · (1 +}

√

_{2) =}

√

√

2

√

Liceo “Falchi” Montopoli in Val d’Arno - Classe 2a

I - Francesco Daddi - 12 novembre 2009

Esercizi svolti sul trasporto fuori dal segno di radice

Esempio 1. E’ assegnata la radice

√

75. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

dalla radice.

Soluzione. Fattorizzando il numero 75 si trova:

75 = 5

2

· 3

quindi

√

75 =

√

5

2

· 3 = 5

2 2

·

√

3 = 5

√

3

.

Esempio 2. E’ assegnata la radice

√

720. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

dalla radice.

Soluzione. Fattorizzando il numero 720 si trova:

720 = 2

4

_{· 3}

2

_{· 5}

quindi

√

720 =

√

2

4

· 3

2

· 5 = 2

4 2

· 3

2 2

·

√

5 = 2

2

_{· 3 ·}

√

5 = 12

√

5

.

Esempio 3. E’ assegnata la radice

√

250. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

dalla radice.

Soluzione. Fattorizzando il numero 250 si trova:

250 = 5

3

_{· 2}

quindi

√

250 =

√

5

3

· 2 =

√

5

2

· 5 · 2 = 5

2 2

·

√

5 · 2 = 5

√

10

.

Esempio 4. E’ assegnata la radice

√

486. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

dalla radice.

Soluzione. Fattorizzando il numero 486 si trova:

486 = 3

5

_·2

quindi

√

486 =

√

3

5

· 2 =

√

3

4

· 3 · 2 = 3

4 2

·

√

3 · 2 = 3

2

·

√

6 = 9

√

6

.

Esempio 5. E’ assegnata la radice

√

864. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

dalla radice.

Soluzione. Fattorizzando il numero 864 si trova 864 = 2

5

· 3

3

quindi

√

864 =

√

2

5

· 3

3

=

√

2

4

· 2 · 3

2

· 3 = 2

4 2

· 3

2 2

·

√

2 · 3 = 2

2

· 3 ·

√

6 = 12

√

6

.

Esempio 6. E’ assegnata la radice

√

3456. Trasporta tutti i fattori possibili fuori

dalla radice.

Soluzione. Fattorizzando il numero 3456 si trova 3456 = 2

7

· 3

3

quindi

√

3456 =

√

2

7

· 3

3

=

√

2

6

· 2 · 3

2

· 3 = 2

6 2

· 3

2 2

·

√

2 · 3 = 2

3

· 3 ·

√

6 = 24

√

6

.