1 Potenze e Radicali
Dato un numero positivo, negativo o nullo a e un numero intero positivo n, si definisce potenza di base a ed esponente n il prodotto di n fattori tutti uguali ad a :
an = a · a · · · a·| {z } n volte Se a 6= 0 si definisce
a0 = 1 mentre la scrittura
00
`e priva di significato.
Inoltre si pone
a−n= 1 an
Propriet`a fondamentali delle potenze
an· am = a · a · · · a| {z }· a · a · · · a| {z }= a · a · · · a| {z }= an+m n volte m volte n+m volte
an· bn = a · a · · · a| {z }· b · b · · · b| {z }= (a · b) · (a · b) · · · (a · b)
| {z }= (a · b)n
n volte n volte n volte m volte
(an)m = a|n· a{zn· · · an}= a
z }| {
n + n + · · · n = an·m m volte
Le propriet`a
an· am = an+m an· bn= (a · b)n
(an)m = an·m
valgono qualunque sia il segno di n e m e per ogni valore di a e di b.
Valgono inoltre
1n= 1 per ogni intero n
se n `e pari, an> 0 per ogni numero a 6= 0 se n `e dispari
( an> 0 per a > 0 an< 0 per a < 0
Attenzione!
• an·m 6= an· am
• an+m 6= an+ am
• (a + b)n 6= an+ bn
• (an)m 6= a(nm)
Esempio 1 Semplificare l’espressione 2n−1
2n Soluzione.
2n−1
2n = 2n−1−n
= 2−1 = 1 2 Esempio 2 Calcolare la met`a di
µ1 2
¶50
Soluzione. µ
1 2
¶50
· 1 2 =
µ1 2
¶51
Esempio 3 Sommare 215 con 215
215+ 215= 2 · 215 = 216
Esempio 4
a = 2011 `e compreso tra a) 1012< a < 1013
b) 1013< a < 1014 c) 1014< a < 1015 d) 1015< a < 1016
La risposta giusta `e la c) perch`e
2011 = (2 · 10)11 = 211· 1011= 2048 · 1011= 2.048 · 103· 1011= 2.048 · 1014 da cui
1 · 1014< 2.048 · 1014 < 1 · 1015
2 Il simbolo √
na
Il simbolo √n
a ∈ IR si chiama radicale e rappresenta la radice n-esima di a.
• n ∈ IN − {0} `e l’indice del radicale
• a `e il radicando;
• √ `e genericamente il segno di radice
Esempio 5
√3
5, √2 7, √5
−2 Per sapere cosa si intende per √n
a distinguiamo due casi:
n pari √n
a `e definita solo per a ≥ 0 e rappresenta l’unico numero non negativo che elevato ad n d`a come risultato a
√16 = 4, √4
81 = 3, √
0 = 0, √
−16 non `e definita n dispari √n
a `e definita per ogni a ∈ IR e rappresenta l’unico numero che elevato ad n d`a come risultato a
√3
−125 = −5, √5
32 = 2, √5 0 = 0
2.1 Propriet` a dei radicali
Nell’ipotesi che i radicandi siano positivi o nulli valgono le seguenti propriet`a, per ogni n, m, p ∈ IN − {0}
1) √n
am = np√
amp propriet`a invariantiva 2) √n
am = (√n a)m 3) qn m√
a = n·m√ a 4) √n
a · √n b = √n
a · b 5) n
ra b =
√n
a
√n
b b 6= 0.
Esempio 6 1) √3
8 = 3·2√
82 =√6
64 = 2 ; 2) √
43 =³√
4´3 = 23
↓ ↓
√64 = 8;
3)
q
√3
64 =³√6
64´= 2
↓ ↓
√4 = 2;
4) √ 25 ·√
16 =³√
25 · 16´=√ 400
↓ ↓
5 ·4 = 20;
Osservazione 1 Se l’indice del radicale `e dispari le propriet`a 2), 3), 4), 5) valgono anche per radicandi negativi
a) q3 (−8)2 =³q3(−8)´2 = (−2)2
↓ ↓
√3
64 = 4
b) 3
q
√5
−32768 = 15√
−32768
↓ ↓
√3
−8 = −2
c) √3
−8 ·√3
−27 =q3(−8)(−27) = √3 216
↓ ↓
(−2)(−3) = 6
d) 3
s
− 8 27 =
√3
−8
√3
27
↓ ↓
−2
3 = −2 3;
Osservazione 2 Per a < 0 non vale la propriet`a invariantiva c) q3 (−8) 6= 3·2q(−8)2 = √6
64
↓ ↓
−2 6= 2;
Osservazione 3 Per radicandi negativi e indice pari non vale la propriet`a 4)
d) q(−2)(−8) 6= q(−2)q(−8)
↓ ↓
√16 = 4 non sono definiti;
Osservazione 4 Per esprimere √
x2 si ricorre al valore assoluto
√x2 = |x| =
( x x ≥ 0
−x x < 0 Per cui da
x2 = 4
si ha √
x2 =√ 4
|x| = 2 ⇒ x = ±2
La propriet`a invariantiva
√n
am = np√ amp
valida se a ≥ 0 n, p ∈ IN − {0} pu`o essere letta da destra verso sinistra e pu`o essere interpretata come l’operazione che semplifica il radicale.
1) √9
64 =√9
26 = 3·3√
22·3 =√3
22 =√3 4 2) √4
144 = √4
122 = 2·2√
122 =√ 12
Alcuni radicali sono irriducibili cio`e l’indice del radicale e l’esponente del radicando non hanno fattori comuni, come ad esempio
√5
32
La stessa propriet`a invariantiva si usa per ridurre due o pi`u radicali allo stesso indice, cio`e si riducono in radicali equivalenti, aventi come indice il m.c.m. degli indici.
Esempio 7 Ridurre allo stesso indice √
3 e √3 5
√2
3 = 2·3√
33 =√6 33
√3
5 = 3·2√
52 =√6 52 In tale modo, volendo confrontare i due radicali, √
3 e √3
5, basta con- frontare i radicandi dei due radicali equivalenti ottenuti
33 > 52 quindi √ 3 > √3
5
2.2 Trasporto dentro e fuori dal segno di radice
Si possono trasportare fuori dal segno di radice quei fattori che hanno espo- nente maggiore o uguale all’indice del radicale. Tali fattori si portano fuori dal segno di radice elevati a potenza data dal quoziente della divisione tra l’esponente e l’indice del radicale. Se il resto della divione non `e nullo gli stessi fattori rimangono sotto il segno di radice elevati a potenza con espo- nente uguale a tale resto .
Esempio 8
√3
23· 310· 517 =√3
23· 39· 515· 3 · 52
= 2 · 33· 55√3 3 · 52
Se non si conosce il segno del fattore, si usa il valore assoluto
Esempio 9 q
x2y4 = |x| · y2
Per trasportare dentro il segno di radice un fattore basta elevarlo alla potenza di esponente uguale all’indice del radicale.
2√3 5 = √3
23 · 5 =√3 40 MA ATTENZIONE!
Se il numero da portare dentro una radice di indice pari `e negativo, bisogna lasciare il segno meno fuori dal segno di radice:
−2√
5 = −√
22· 5 = −√ 20 Per lo stesso motivo
x√ 7 =
√7x2 se x ≥ 0
−√
7x2 se x < 0
(1)
Per semplificare o eseguire trasporti fuori dal segno di radice, relativa- mente a radicali di indice pari, con radicandi di cui non si conosce il segno, occorre procedere nel seguente modo:
1) Si determinano le condizioni di esistenza del radicale: Se l’indice del radicale `e pari il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
Se l’indice `e dispari il radicando pu`o essere anche negativo ; 2) Si applica la propriet`a invariantiva √n
am = np√
amp se a ≥ 0 ;
3) Nella semplificazione se qualche fattore, che per la condizione di esi- stenza pu`o essere anche negativo, si venisse a trovare sotto un radicale di indice pari o fosse trasportato fuori da un radicale di indice pari, bisogna introdurre il valore assoluto .
Ribadiamo che per radicali di indice dispari si pu`o operare senza intro- durre il valore assoluto.
Vediamo alcuni esempi di semplificazione di radicali
Esempio 10
0 ≤ √
x4y2 C.E. x, y ∈ IR
= q(x2y)2 = |x2y| = x2|y|
Si scrive valore assoluto di y perch`e pu`o essere anche negativo per la C.E., e il primo termine a sinistra, maggiore o uguale a zero, potrebbe uguagliare una quantit`a negativa.
Esempio 11
0 ≤ √
x10y C.E. x ∈ IR, y ≥ 0
= q(x10) ·√
y = |x5| ·√ y
Il segno del valore assoluto va solo alla x perch`e, potendo essere negativa, darebbe x5 < 0, mentre il primo membro `e positivo. La y `e invece positiva per la C.E. e pu`o essere argomento di una radice con indice pari.
Esempio 12
√3
x10y C.E. x, y ∈ IR
= √3
x9xy = x3√3 xy Esempio 13
√6
5x6y C.E. x ∈ IR, y ≥ 0
= √6
5x6y = |x|√6 5y Esempio 14
q
x3(y2+ 25) C.E. y ∈ IR, x ≥ 0
= |x|qx(y2+ 25) = xqx(y2+ 25)
La x non `e in valore assoluto perch`e nella C.E. x ≥ 0.
Esempio 15
√x2+ 4x + 4 C.E. x ∈ IR, x2+ 4x + 4 = (x + 2)2 ≥ 0 ∀x ∈ IR
= q(x + 2)2 = |x + 2|
Il binomio x + 2 va considerato in valore assoluto perch`e per x < −2 assume valori negativi.
Esempio 16
√4
x2+ 4x + 4 C.E. ∀ x ∈ IR, x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 ≥ 0 ∀x ∈ IR
= q4 (x + 2)2 =q|x + 2|
Il binomio x+2 va considerato in valore assoluto, sotto la radice di indice pari, perch`e per x < −2 assume valori negativi.
Esempio 17 √
a3b9c5 C.E. a, b, c ≥ 0
= qa2b8c4· (abc) = ab4c2√ abc Esempio 18
√x3+ x2 = qx2(x + 1) C.E. ∀ x : x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1
= |x|√
x + 1
Per ognuno dei radicali che seguono indicare i valori delle lettere per cui i radicali hanno significato, portando fuori dal segno di radice e usando, dove occorre, il valore assoluto.
Esempio 19 √
a9b C.E. a, b ≥ 0
= √
a9√
b = a4√ a√
b = a4√ ab
Esempio 20 √
16a3 C.E. a ≥ 0
= √
24a2a =√ 24√
a2√
a = 22a√ a Si fa notare che abbiamo posto √
a2 = |a| = a per la condizione di realt`a.
Esempio 21
q(a + 3)5 C.E. (a + 3) ≥ 0
= q(a + 3)5 =q(a + 3)4q(a + 3) = (a + 3)2q(a + 3)
Esempio 22
√x3− 3x2
= qx2(x − 3) C.E. x ∈ IR, (x − 3) ≥ 0
= |x|q(x − 3)
Esempio 23 √
a2b5 C.E. a ∈ IR, b ≥ 0
= √
a2b4b = |a|b2√ b
Sotto la radice b `e senza valore assoluto per la condizione di esistenza.
Negli esempi che seguono portare sotto il segno di radice il fattore esterno.
Esempio 24
a√ b =
√a2b a ≥ 0
−√
a2b a < 0 Esempio 25
a√
a − 3 C.E. (a − 3) ≥ 0 ⇒ a ≥ 3
= qa2(a − 3) Esempio 26
1 a
√a2b C.E. a ∈ IR b > 0
1 a
√a2b =
qa2 a2b = √
b a ≥ 0
−qaa22b = −√
b a < 0
Esempio 27 1 ab
√a3b2 C.E. a > 0 b ∈ IR − {0}
1 ab
√a3b2 =
sa3b2 a2b2 =√
a b > 0
−
sa3b2
a2b2 = −√
a b < 0
3 Somme e differenze di radicali
E’ possibile sommare o sottrarre espressioni del tipo a√
b solo nel caso in cui queste presentano lo stesso radicale, lo stesso indice e differiscono unicamente per il coefficiente numerico a; in questo caso i radicali sono simili:
−5√
3 + 7√
3 = 2√ 3
Quando si vuole semplificare una somma o una differenza di radicali, per mettere in evidenza gli eventuali termini simili, occorre prima semplificare tutti i radicali e poi trasportare fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.
ATTENZIONE
√n
a ± √n b 6= √n
a ± b
e anche √
a2+ b2 6=√
a2+√ b2
Esempio 28 √
2 +√ 8 =√
2 + 2√
2 = 3√ 2
√3
27x − 3√3
x = 3√3
x − 3√3 x = 0
√45 +√
50 +√
20 +√4
25 = = 3√
5 + 5√
2 + 2√ 5 +√
5 = 6√
5 + 5√ 2
4 Razionalizzazione
Razionalizzare una frazione significa trasformarla in un’altra equivalente, ma priva di radicali al denominatore. Per fare questo si moltiplicano numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionalizzante. I casi pi`u comuni di razionalizzazione sono riassunti nella seguente tabella in cui `e indicato anche il fattore razionalizzante.
Frazione Fattore Razionalizzante Frazione Razionalizzata
1) 1
√a
√a 1
√a
√a
√a =
√a a
2) 1
a√ b
√b 1
a√ b
√b
√b =
√b ab
3) a
√n
bm m < n √n
bn−m a
√n
bm
√n
bn−m
√n
bn−m = a√n bn−m
b
4) 1
√a ± b
√a ∓ b
√a ∓ b a − b2
5) 1
√a ±√ b
√a ∓√ b
√a ∓√ b a − b
6) 1
√3
a −√3 b
√3
a2+√3
ab +√3 b2
√3
a2+√3
ab +√3 b2 a − b
7) 1
√3
a +√3 b
√3
a2−√3
ab +√3 b2
√3
a2−√3
ab +√3 b2 a + b
Esempio 29
√3 2
= 3√
√ 2 2√
2 = 3√ 2 2 Esempio 30
5 +√
√ 3 3
= (5 +√ 3)√
√ 3 3√
3 = 5√ 3 + 3
3
Esempio 31
3
√3
2
= 3√3 22
√3
2√3
22 = 3√3 4 2 Esempio 32
x + y x√4
x + y
= (x + y)q4(x + y)3 xq4(x + y)3q4(x + y)
= (x + y)q4(x + y)3 xq4(x + y)4
=
4
q
(x + y)3 x Esempio 33
√ 5
10 +√ 5
= 5(√
10 −√ 5) (√
10 +√ 5)(√
10 −√ 5)
= 5(√
10 −√ 5) 10 − 5
= √
10 −√ 5 Esempio 34
√ 4
6 − 3√ 2
= 4(√
6 + 3√ 2) (√
6 − 3√ 2)(√
6 + 3√ 2)
= 4(√
6 + 3√ 2) 6 − 18
= −1 3(√
6 + 3√ 2)
Esempio 35
√ 6 7 +√
2 +√
5 Si riduce al caso precedente
= 6³³√
7 +√
2´−√ 5´
³³√ 7 +√
2´+√
5´ ³³√ 7 +√
2´−√ 5´
= 6³³√ 7 +√
2´−√ 5´ 7 + 2 + 2√
14 − 5 = 6³³√ 7 +√
2´−√ 5´ 4 + 2√
14
= 3³³√ 7 +√
2´−√
5´ ³2 −√ 14´
³2 +√
14´ ³2 −√ 14´
= − 3 10
³√ 7 +√
2 −√
5´ ³2 −√ 14´
5 Radicale doppio
Si chiama radicale doppio il radicale
q
a +√
b o
q
a −√ b Se a, b, a2− b sono positivi vale
q
a +√ b =
s
a +√ a2− b
2 +
s
a −√ a2− b 2 ed anche
q
a −√ b =
s
a +√ a2− b
2 −
s
a −√ a2− b 2 Esempio 36
q
5 −√ 21
=
s5 +√
25 − 21
2 +
s5 −√
25 − 21 2
=
s5 + 2
2 +
s5 − 2
2 =
√7 +√
√ 3 2
6 Potenze con esponente razionale
Dopo la trattazione dei radicali siamo in grado di estendere la definizione di potenza con esponente intero alla definizione di potenza con esponente razionale.
Definizione 1 Sia a ≥ 0 e siano m ed n ∈ IN con n 6= 0, si pone per definizione
amn = √n am Esempio 37
212 =√
2, 353 = √3 35 Valgono le seguenti propriet`a
1) a−mn =
µ1 a
¶m
n ;
2) amn · apq = amn+pq; 3) amn ÷ apq = amn−pq; 4) ³amn´
p
q = ampnp; 5) (ab)mn = amnbmn ; 6) (a ÷ b)mn = amn ÷ bmn.
