Algoritmi di regolarizzazione con variazione totale nella ricostruzione di immagini di tomosintesi

Alma Mater Studiorum

·

Università di Bologna SCUOLA DISCIENZE

CorsodiLaureaMagistraleinMatemati a

Algoritmi di Regolarizzazione on Variazione Totale

nella Ri ostruzione di Immagini di Tomosintesi

Tesi di Laurea in Analisi Numeri a

Relatore:

Chiar.ma Prof.ssa

Elena Loli Pi olomini

Correlatore:

Dott.ssa Elena Morotti

Presentata da:

Lu ia Traini

se non Lo sentissi più parlare

Introduzione 4 1 La Tomosintesi 7 1.1 Breve Cronologia . . . 7 1.2 Apparatodi Tomosintesi . . . 8 1.3 Appli azioniinmammograa . . . 11 1.4 Algoritmidi Ri ostruzione . . . 13 1.4.1 Metodidiretti: FBP . . . 14 1.4.2 MetodiIterativi . . . 15

2 Regolarizzazione mediante Variazione Totale 20 2.1 ProblemiInversi eMal Posti . . . 20

2.1.1 I ProblemiMal Posti . . . 22

2.1.2 MalPosizioneperOperatorie Regolarizzazione . . . 26

2.2 Regolarizzazione. . . 30

2.3 Ottimizzazione . . . 31

2.4 Regolarizzazione se ondo Tikhonov . . . 36

2.4.1 Penalty Fun tional . . . 36

2.4.2 Fit-to-dataFun tional . . . 36

2.4.3 Analisi . . . 37

2.5 Regolarizzazione on VariazioneTotale . . . 38

2.5.2 Dis retizzazione . . . 44

2.6 LaggedDiusivity Fixed Point . . . 49

2.6.1 Convergenza . . . 50

2.7 AlgoritmoSGP . . . 54

2.7.1 Denizionie ProprietàPreliminari . . . 54

2.7.2 Il Metodo . . . 57

2.7.3 Convergenza peril metodoSGP . . . 60

2.8 UnAlgoritmo perla Ri ostruzionedi Immaginidi Tomosintesi on TV . 67 2.8.1 Ca olodel GradientedelTV e Realizzazionedei Vin oli . . . 68

2.8.2 L'algoritmo . . . 69

3 Risultati Numeri i 72 3.1 I ProblemiTest . . . 72

3.2 Il Parametro

α

. . . 75

3.3 Confrontotra i tre Metodi . . . 80

1.1 Geometria ir olare . . . 9

1.2 Geometrie lineari . . . 10

1.3 Movimentotubo-dete tor. . . 10

1.4 Sistemaper tomosintesi presente all'OspedaleMaggiore diBologna . . . 11

1.5 Confornto tramammograae tomosintesi mammaria . . . 12

1.6 Spettro dell'oggettoperTC e pertomosintesi . . . 15

1.7 Geometria arilevatore sso e sorgente inmovimento ir olare . . . 16

1.8 Intersezione del raggio

i

-esimo olpixel

j

-esimo . . . 17

2.1 Signi atogeometri o della TV . . . 42

3.1 Cirs-mini: fanto io . . . 72

3.2 Cirs-mini: oggettidensi nei tre piani entrali. . . 73

3.3 Cirs-mini ompleto. . . 73

3.4 Cirs. . . 74

3.5 Shepp-Logan. . . 75

3.6 Ri ostruzioni on diversi valoridi

α

. . . 76

3.7 Cirs-mini: ri ostruzione,dettagliodel piano entrale. . . 76

3.8 Cirs-mini: ri ostruzione on erroremassimo pari a

0.09

. . . 77

3.9 Cirs-mini: gra i pererrore massimo

0.09

. . . 78

3.10 Cirs-mini: ri ostruzione on erroremassimo pari a

0.2

. . . 79

3.11 Cirs-mini: gra i pererrore massimo

0.2

. . . 79

3.13 Cirs-mini: ri ostruzione on punto sso. . . 82

3.14 Cirs-mini: ri ostruzione on terzo metodo. . . 83

3.15 Shepp-Logan: ri ostruzione on SGP. . . 84

3.16 Shepp-Logan: ri ostruzione on punto sso. . . 85

3.17 Shepp-Logan: gra idegli errori relativi on i due metodi . . . 86

3.18 Cirs: ri ostruzione on puntosso. . . 87

La Tomograa Computerizzata (CT) è una metodi a di diagnosti a per immagini

he onsiste inuna parti olare appli azionedei Raggi X. Essa, grazie ad una

valutazio-ne statisti o-matemati a( omputerizzata) dell'assorbimentodi taliraggi daparte delle

strutture orporee esaminate, onsente di ottenere immaginidi sezioni assiali del orpo

umano. Nonostante le dosi di radiazioni somministrate durante un esame siano

onte-nute, questa te ni a rimane s onsigliata per pazienti sensibili, per iò nas e il tentativo

dellatomosintesi: ottenerelostessorisultatodellaCTdiminuendoledosisomministrate.

Infattiunesameditomosintesi ri hiedepo he proiezionidistribuite suunrangeangolare

di appena

40

◦

.

Se dauna partelapossibilitàdiunaingentediminuzionedidosietempidi

somministra-zione ostituis e ungrosso vantaggiodalpuntodivistamedi o-diagnosti o,dalpuntodi

vistamatemati oesso omportaun nuovoproblemadiri ostruzionediimmagini: infatti

non èbanaleottenere risultativalidi omeperlaCT onun numerobassodiproiezioni,

osa he va ainerire sulla malposizione delproblema diri ostruzione.

Unpossibileappro ioalproblemadellari ostruzionidiimmaginiè onsiderarloun

pro-blema inverso mal posto e studiare te ni he di regolarizzazione opportune. In questa

tesi viene dis ussa la regolarizzazione tramite variazionetotale: verranno presentati tre

algoritmi he implementano questa te ni a in modi dierenti. Tali algoritmi verranno

mostratidal punto di vistamatemati o, e valutati dalpuntodi vistaqualitativo,

attra-verso al une immaginiri ostruite.

Lo s opo èquindi stabilirese i sia un metodo più vantaggioso e se si possano ottenere

to-mosintesia livellodiagnosti o. Per lari ostruzionesiè fattoriferimentoa problemi-test

ui è stato aggiunto del rumore, osì da onos ere l'immagine originale e poter vedere

quantola ri ostruzionesia adessa fedele.

Il lavoro prin ipale dunque è stata la sperimentazione degli algoritmi su problemi

test e la valutazione deirisultati, inparti olare per glialgoritmiSGP e diVogel, he in

letteratura sono proposti perproblemidi image deblurring.

Nel dettaglio, il primo apitolo presenta la te ni a di tomosintesi, i on etti he ne

stanno alla base, le sue evoluzioni no ad oggi e l'utilizzo attuale. Sarà fatto un breve

a enno alla ostruzione della matri edelsistema ditomosintesi eai più noti metodi di

ri ostruzione. Nel se ondo apitolosi trattanole basi matemati he di questo elaborato,

ossia metodidiregolarizzazione e ottimizzazionee inparti olare laregolarizzazione on

variazione totale. Saranno analizzati i tre metodi trattati sia dal punto di vista

algo-ritmi o sia dal punto di vista della onvergenza teori a alla soluzione esatta. Inne il

La Tomosintesi

La tomosintesi è una forma di tomograa ad angoli limitati he usa proiezioni

bidi-mensionaliper ri ostruire immaginivolumetri he.

Nel apitolo verranno visti i vantaggi e gli svantaggi di questa te ni a: essa viene

ap-pli ata in radio-diagnosti a e onsente una riduzione del tempo d'esame e della dose di

radiazioni somministrata al paziente; saranno inoltre valutate le dierenze on gli

ap-pro itradizionali intale ambito.

1.1 Breve Cronologia

La tomosintesi viene studiata a partire dagli anni

′

₇₀

per ovviare ad al une la une

della tomograa tradizionale quali la onfusione nell'immagine ri ostruita, dovuta alla

presenza di dettagli sfo ati fuori dal piano di interesse, l'elevato tempo di a quisizione

e l'e essiva dose di radiazionine essari per realizzare la ri ostruzionevolumetri a, he

rendono questa te ni apo oadatta asoggetti sensibilie aparti del orpo deli ate.

Losviluppodellate ni aditomosintesiavvieneneglianni

′

₉₀

,quandolate nologiarende

possibile la sostituzione deldete tor radiogra o tradizionale (il sistema

s hermo/pelli- ola) on dete tordigitali omeiat-panel; questa modi apermettedia quisire idati

instudio on un solomovimento ombinatodel sistemaemettitore/dete tor.

Se perla ri ostruzionedi un'immaginevolumetri a on la tomograa omputerizzatasi

devono a quisire proiezionia

360

◦

attorno alpaziente e ias una sezione diinteresse del

volume da ri ostruire viene al olata sfruttando tali proiezioni, la tomosintesi è inve e

una forma di tomograa ad angoli limitati he produ e sezioni (o sli e) dell'immagine

da una serie di proiezioni a quisite on un movimento dell'emettitore/ri evitore su un

pre iso per orso. Il range angolare totale si ridu e al massimo a

40

◦

, onsentendo la

diminuzionedeltempodi esposizioneai raggi X.

L'idea di base è prendere varie proiezioni 2D dell'oggetto 3D a diverse angolazioni in

modo he ogni proiezione fornis a una diversa informazione sull'oggetto in esame. La

tomosintesi quindi ridu e di molto il tempo e la quantità di esposizione ai raggi X da

parte del paziente; inoltre in quanto te ni a di ri ostruzione volumetri a diminuis e i

asi di falsi negativi e falsi positivi tipi i della valutazione di immagini tridimensionali

on te ni he bidimensionali.

1.2 Apparato di Tomosintesi

Per apire bene il metododella ri ostruzione volumetri a in esame si deve prima di

tuttostudiarelageometriadegli apparatiutilizzati: un sistemaditomosintesièformato

da un emettitore di raggi X e un dete tor he si muovono in senso opposto attorno al

paziente on un rangeangolarelimitato. I movimenti he il sistemaemettitore/dete tor

svolgeattornoalpianodiful ropossonoesseredidiversotipo,unodiessihaunarilevanza

stori a parti olare per hé venne presentato inun lavoro di Grant ri onos iuto da quasi

tutti gli esperti ome la base della tomosintesi. Si tratta della geometria ir olare, in

ui l'emettitore ruota attorno all'oggetto rispetto all'asse

z

e la retta he idealmente onnetteemettitoreeri evitorehain linazionessarispetto allostessoasse. Emettitore

Figura1.1:Geometria ir olare

Unaltrotipodigeometriaèquellolineare,inletteraturasenepossonotrovaretrediverse

tipologie:

1) Parallel Geometry,nota an he omeTwinning Geometry. In questo aso

l'emetti-tore si muove suun pianoparallelo alpiano deldete tor. Quest'ultimopuò essere

sso o mobilelungo il piano,in direzione opposta all'emettitore.

2) Complete-Iso entri Geometry, an he nota ome Grossman Geometry. In questo

s hema dete tor ed emettitore sono onnessi allostesso bra io esi muovono

on-temporaneamente on traiettorie ir olari attorno al paziente, naturalmente on

movimentioppostil'uno all'altro.

3) Partial-Iso entri Geometry. Inquest'ultimos hemaildete toroèssoosimuove

Figura1.2:(a)ParallelGeometry;(b)Complete-Iso entri Geometry;( )Partial-Iso entri Geometry

Per a quisire i dati dal paziente l'emettitore a raggi X manda un fas io di raggi

attraverso ilpazienteno araggiungereil re evitore, quest'ultimo potrà osì ostruire il

segnale he denis e laproiezionedell'oggetto perunadeterminataangolazione. Questo

pro edimento verrà poi attuato per tutte le angolazioni ne essarie no ad ottenere un

set di proiezioniutiliper lari ostruzionedell'oggetto 3D.

Figura1.3:Movimentotubo-dete tor

In tomograa esistonodue modi dilavorare on oggetti 3D:

•

siesaminaunasli e pervolta. Inquesto asoilfas iodiRaggiXèpiattoeil dete -torèformatodaunastris iadiri evitori he a quisis onoilsegnale. Laproiezione

he si ottiene è in questo modo una funzione unidimensionale rappresentante la

•

Ilse ondoèunmetodopropriodellatomosintesieprevedela onsiderazione dell'in-tero oggetto3D. In questo aso viene utilizzatoun fas iotridimensionaledi raggi,

ilri evitoreèun piano elaproiezione he siottieneè unafunzione adue variabili.

Basta a questo punto ripetere l'a quisizione del segnale 2D per ogni angolazione

desiderata ottenendo osì il set diproiezioni ditutto l'oggetto.

In entrambi i asi la proiezione è funzione della densità dei tessuti. L'intensità del

se-gnale è proporzionale all'assorbimento del raggio da parte del tessuto: un tessuto più

densoassorbemaggiormenteilraggioedi onseguenza inquelpuntol'immagineapparirà

meno intensa. Ogni punto del segnale è la somma dei valori di assorbimento lungo un

singoloraggiodel fas io he orrispondespazialmenteaquelpunto. Utilizzandounasola

proiezione non si ries e a determinareogni dettagliodell'oggetto, per questo si ripete il

pro edimentoperpiùangolazioni,naturalmentepiù angolisiutilizzanomaggioresarà la

pre isione, mainquesto modo res erà an he iltempodi esposizione alleradiazionie la

quantitàdi radiazioniassorbita.

Unpossibileutilizzodellatomosintesi èdatodalla prevenzione deitumorialseno: in

questo ambito la mammograa lassi aspesso in orre infalsi positivi, dati per esempio

dalsovrapporsidipiù tessutinormali,o infalsinegativi, dovutiaduna massa tumorale

nas osta da tessuti ghiandolaridensi.

Latomosintesi digitaledella mammella(Digital Breast Tomosynthesis oDBT)

permet-te di ri ostruire immagini volumetri he della mammella a partire da po he proiezioni

bidimensionali a bassa dose ottenute on angolazioni diverse del tubo radiogeno. La

ri ostruzionevolumetri a, inlinea diprin ipio, onsente disuperare uno deilimiti

prin- ipali dell'imaging bidimensionale, ovvero il mas heramento di lesioni ( ome masse e

mi ro al i azioni) ausato dalla sovrapposizione di strutture normali; è proprio

l'op-portunitàdidisso iare pianidiversi he rendepossibileunariduzione delnumerodifalsi

negativi edi falsi positividovuti allasovrapposizione.

Figura1.5:Conforntotramammograa(a)etomosintesimammaria(b): ilrumoreapportatodallasommazionediombre

distruttureubi ateneidiversipianidellamammellamas heranell'immaginemammogra alapi olaformazionenodulare

presentenell'area er hiata,beneevidenziatanell'immaginetomogra a.

È intuitivo he l'elevato spessore può produrre su una super ie un eetto di elevata

densità an he se tra le strutture ghiandolari esistono piani di grasso più o meno estesi,

in presenza di tali ondizioni onsegue la man ata o s adente visualizzazione e la non

per ezione delle lesioni espansive (masse e distorsioni) e delle al i azioni. In virtù di

una nitida rappresentazione in assenza di sovrapposizioni, la tomosintesi è in grado di

le. La DBT permette un sostanziale miglioramento nel rilevamento e nell'analisi delle

lesioni, inuendo nella ertezza tantodella loropresenza quantodella loroassenza.

Tuttavia la DBT non è in grado, allo stato attuale, di denire on su iente

a ura-tezza il quadrante nel quale la lesione è situata: il rilevamentotomogra o onsente di

apprezzare solo isolatamente le lesioni he più sorono della sovrapposizione e quindi

della onfusione deipiani nella mammograa standard. Al uni entri in Italia

utilizza-no questa te ni a per la rilevazione di eventuali noduli al seno, essa però an ora non è

un'alternativaallamammograamasolounesamedaaan areaquest'ultima; sean he

i primi risultati omparativi dimostreranno la non inferiorità della tomosintesi rispetto

allete ni he lassi he, laDBT potrà sostituirele te ni he attualmente inuso.

1.4 Algoritmi di Ri ostruzione

Inizialmente la ri ostruzione delle immagini di tomosintesi avveniva on la te ni a

detta Shift And Add, basata sul fatto he oggetti ad altezze dierenti all'interno del

volume dari ostruire, al muoversi dell'emettitorevengono proiettatisul dete tor in

po-sizioni he dipendono dalle altezze trai piani; dunque la te ni a onsiste nello spostare

ogni proiezione a quisita di una quantità he dipende solamente dall'altezza del piano

(fasediShift)efarepoiuna mediafralenuoveproiezioniottenute(fasediAdd). Questo

metodo, molto vantaggioso dal punto di vista omputazionale, risente del fatto he le

sezioni ri ostruite ontengono, oltre ai dettagli del piano di interesse, an he dei

ontri-buti degli altripiani, he appaiono ome rumore. Nel tempo si è er ata una soluzione

a tali limitazioni, in parti olare alla ne degli anni

′

₆₀

Edholm e Quiding proposero la

rimozione dello sfo amento in tomograa mediante l'appli azione di ltri passa-alto al

tomogrammaoriginale.

Un'altra te ni a per eliminare lo sfo amento è introdotta nel 1985 da Ghosh Roy: si

prevede la onos enza delle funzioni he regolano lo sfo amento per togliere

ompleta-menteladistorsionegenerata daipiani adia entiaquellodimessaafuo o; èunate ni a

stime dello sfo amento tomogra o sono al olate oinvolgendo un numero limitato di

piani on lelorofunzioni disfo amento,inquestomodolate ni anon vieneinuenzata

dall'ampli azione delrumore a basse frequenze ma ri hiede un alto osto

omputazio-nale.

Altri metodi per ridurre lo sfo amento nella tomosintesi fanno uso delle wavelets,

for-me d'onda os illanti he permettono di mettere in evidenza oggetti pi oli ed ad alto

ontrasto.

1.4.1 Metodi diretti: FBP

Laretroproiezioneèunodeimetodiinuso perlari ostruzionedioggetti3Dapartire

daloroproiezioni; lebasi matemati hedi questometodovengonoattribuite al

matema-ti o viennese Johann Radon e alla sua Trasformata di Radon (1917), he permette di

proiettare un oggetto 2D lungo raggi paralleli ome parte del lavoro dell'oggetto stesso

sugli integrali dilinea.

La Filterd Ba k Proje tion o FBP nas e per la lassi a Tomograa Computerizzata e

il fatto he le proiezioni siano prese in un range angolare ompleto attorno al paziente

è rilevante per la ri ostruzione dello spettro dell'oggetto onsiderato e penalizza

l'ap-pli azione di questo metodo in tomosintesi, dove le proiezioni a quisite non fornis ono

informazionisu ientiperuna ri ostruzione orretta. Nelleimmaginiseguentipossiamo

onfrontare ildominiodelle frequenzerelativoallari ostruzione on TCequellorelativo

allatomosintesi: inquest'ultimo aso l'informazioneinfrequenzaindirezione

z

è arente e iò omportauna bassa risoluzionesulla profonditàdell'oggettori ostruito. Tale

Figura1.6:SpettrodiFourierperri ostruzione onTC(a)e ontomosintesi(b)

Nonostantelalimitazionedettaquestometodoètuttoramoltostudiatoperl'appli azione

in tomosintesi.

1.4.2 Metodi Iterativi

Unaltro possibileappro io è onsiderarelari ostruzionediimmaginiditomosintesi

ome un problema mal-posto:

•

lamal-posizionenas edalbassonumerodiproiezioniutilizzateedallamal-posizione dell'operatore diproiezione;

•

a ausa del basso numero di proiezioni la ri ostruzione delle immagini onsiste nellarisoluzione diun sitemalineareindeterminato( on innitesoluzionipossibili

inquanto ilsistema ottenuto hameno equazionie più in ognite).

Trai metodinumeri idirisoluzione deisistemilinearimal-postisi onsideranoin

parti- olareimetodiiterativi;inquestoambitoglialgoritmidiri ostruzioneiterativisibasano

sulla risoluzionedisistemilinearile uiin ognite rappresentano i oe ienti di

Figura1.7:Geometriaarilevatoressoesorgenteinmovimento ir olaresuunrangediangolilimitato

•

L'oggettoinesame viene divisoin

J

voxel;

•

il oe ientedi attenuazionedel

j

-esimo voxel èindi ato on

x

j

,

1 ≤ j ≤ J

;

•

ildete tor èsuddiviso in una grigliadi

I

pixel;

•

iraggiXsono ostituitidaunsegmentodiestremilasorgentedeglistessieil entro diogni pixel;

•

per ogni angolazionesi hannotanti raggi quantisono ipixel deldete tor.

Ad esempio, se il dete tor è monodimensionale, esso si presenta ome un array di 512

rilevatori o dete tor-bins ed è grande abbastanza per hé il ampo visivo sia la

ir onfe-renza ins rittanella matri e

256 × 256

dell'immagine.

Le misure della TC possono essere orrelate al ammino integrale del oe iente di

at-tenuazione dei raggi X lungo i raggi deniti dalla sorgente e da un singolo dete tor-bin

deldete tor (siveda lagura(1.7)). Neldis retogliintegralipossonoesseres ritti ome

sommepesate suipixelattraversati daogni raggio,per modellareleproiezionidi

j

-esimo, ome ingura (1.8).

Figura1.8: Intersezionedelraggio

i

-esimo olpixel

j

-esimo:inquestoesempio

5 × 5

ilpeso

M

i,j

ènonnullosoloneipixel

f

1

, f

6

, f

7

, f

8

, f

9

, f

14

, f

15

per hésonoisoliadinterse areilraggio.

La matri e

A

dei oe ienti del sistema è data proprio dall'intersezione dei raggi on i pixel,dunque onsiderando

N

proiezioni,ossia

N

angolipresi inun ertorangelimitato, per ogni angolo

n

ilmodello di ri ostruzioneè dato dalsistema:

A

n

x

= y

n

(1.1)

dove

y

n

rappresenta la

i

-esima proiezione,

A

n

è la matri e di proiezione per l'

n

-esimo angoloe

A

ij,n

rappresentail ontributodella lunghezza deltrattodelraggio

i

-esimo he interse a il voxel

j

-esimo. Dette

I

0,n

l'intensità delraggio in idente e

I

i,n

l'intensità del raggio trasmesso si ha la seguente relazione tra il valore della

i

-esima proiezione e le intensità:

y

i,n

= k ln

 I

0,n

I

i,n



(1.2)

tomosin-











A

1

A

2

. . .

A

N













x

=













y

1

y

2

. . .

y

N













−→ Ax = y

(1.3)

Il sistema 1.3 è la base della te ni a di ri ostruzione dell'immagine in tomosintesi. In

ondizioni ideali il sistema può essere risolto esattamente invertendo la matri e

A

; in realtà quest'appro io è irrealizzabile a ausa dell'enorme dimensione del sistema. A

questo proposito entrano ingio oi metodi iterativi: l'idea èquelladimigliorareil

risul-tato ad ogni iterazione, aggiornando ad ogni passo i oe ienti di attenuazione lineare

dei voxel e er ando di minimizzare l'errore fra le proiezioni al olate e quelle reali. Al

terminedel pro essosi avrà una soluzione approssimata delproblema.

Inletteraturapossiamotrovare numerosimetodi he sidierenzianoperl'appro io

ma-temati outilizzato per in rementare le in ognite. Il primo di questi algoritmi adessere

implementatoè hiamatoAlgebrai Re onstru tionte hnique (ART):i oe ientidi

at-tenuazione sono aggiornati onsiderando singolarmente ogni equazione del sistema 1.3;

inprati a l'aggiornamentoavvieneraggio per raggio. ART onverge velo ementema le

ri ostruzionirisentono dellapresenzadirumoresalt andpepper, soprattuttonelpresente

aso, in ui ilproblema è mal ondizionato.

Per risolvere tale in onvenientesono stati propostialtridue metodi di tipoalgebri o, il

SIRT (SimultaneousIterative Re ostru tion Te hnique)ed ilSART (Simultaneous

(Su-perior)Algebrai Re onstru tionTe hnique). L'ideadifondoè,inentrambii asi,quella

di ART, ambia solo il metodo di aggiornamento dei valori dell'approssimazione di x.

Nelprimol'aggionamentodelvolumeapprossimatoavvienesolodopo aver presoin

on-siderazioneil ontributodituttiiraggiXintutteleproiezioni. Sihadunque he inogni

singola iterazione SIRT prevede un'uni a fase di aggiornamento dei oe ienti. ART

inve e prevede, adogniiterazione, un numerodiaggiornamentiparialnumero

Questo aspetto lo rende di ilmenteutilizzabileper la tomosintesi per hé le proiezioni

vengono a quisite ad alta risoluzione, provo ando un elevato tempo di ese uzione per

ogni iterazione.

Per questo motivo si preferis ono metodi he permettono di arrivare ad una soluzione

on un numerobasso diiterazioni,in quantoaumentandoan he dipo oquesto numero,

aumenta dimolto iltempo diese uzione: SART rappresentaun ompromessotraART

Regolarizzazione mediante Variazione

Totale

In questo apitolo si aronta l'aspetto matemati o e formale della ri ostruzione di

immagini: verranno presentati i problemi mal posti e i metodi di regolarizzazione più

adattiallalororisoluzione. Sientreràpoinellospe i odeimetodi heusanoilfunzionale

di Variazione Totale e in parti olare srarnno esposti i tre algoritmi testati per questo

lavoro.

2.1 Problemi Inversi e Mal Posti

Ilproblemadellari ostruzionediimmaginiappartiene,dalpuntodivistamatemati o,

alla lasse dei problemi inversi.

Di questa tipologia di problemi non esiste una denizione pre isa ome inve e a ade

peraltre strutture matemati he, per apiredi osa sitratta ène essariofare riferimento

adal uni esempie onsiderare he si presuppone l'esistenza diun altro problema, detto

diretto, al quale il problema inverso è strettamente orrelato: si di e he due problemi

sonouno l'inversodell'altroquandolaformulazionedelprimo oinvolge ne essariamente

il se ondo. Di questa oppia di problemi viene hiamato problema diretto quello he è

meno onsiderato o studiato solo in tempi re enti. Ad esempio è di fa ile risoluzione il

problema di determinare il prodotto di due numeri interi assegnati; l'inverso di questo

problema(datounnumerointero,trovareuna oppiadifattoridi uiessosiailprodotto)

sipresentainve epiù ompli ato,an heper hénonèdetto heabbiaunasoluzioneuni a.

Pergarantirel'uni itàdellasoluzionebisognerebberestringersialla lassedeinumeri on

fattorizzazioneuni a, i numeri primi, ompli andola situazione.

I problemidirettisono problemineiqualisifornis ono su ienti informazioniperpoter

avviare un pro edimentoben denitoe stabile he porta aduna uni a soluzione:

informazioni

procedimento

−−−−−−−→

soluzione

(2, 3)

_{−−−−−−−−→ 6}

moltiplicazione

Se il pro esso des rive un fenomeno si o, o omunque del mondoreale, si può

s hema-tizzareil problema diretto ome:

ausa

→

modello

→

eetto

x

_{−→ K −→ y}

ossia

Kx

= y

(2.1)

Il problema diretto onsistenell'assegnare la ausa

x

e ilmodello

K

e al olarel'eetto

y

, ma questo è solo uno dei tre modi nei quali si può leggere l'equazione (2.1): ogni problema diretto suggeris e immediatamentedue problemiinversi:

1) dati ilmodello

K

e l'eetto

y

, risalirealla ausa

x

;

Questeultimedueletturedell'equazione(2.1) orrispondonoaduetipidiproblemiinversi

e dalpunto di vistaappli ativo sono studiati,rispettivamente, perdue ragioni:

1) onos ere lo stato passato o i parametri he regolano un sistema (es: diagnosi

medi he, ri ostruzionediimmagini)

2) ontrollare lo stato nale del sistema modi ando lo stato presente o i parametri

delmodello (es: produzioneindustriale di manufatti)

Il problema della ri ostruzione di immagini orrisponde al primo aso e può essere

s hematizzato dalla seguenteequazione:

Z

Ω

input

_{× sistema dΩ = output}

(2.2)

Esso ha ome s opo ladeterminazione dell'oggettoda s ansionare(

input

) onos endo

•

lamisuradelladensitàdeiraggiX hearrivanoinognipuntodelri evitore(

output

)

•

il modello matemati o he des rive l'appare hio di emissione ed a quisizione dei raggi X (

sistema

)

Dunque periproblemioriginatidalleappli azionisipuòdire he siarontaunproblema

inverso quando si er ano le ausedi un determinato eetto osservato odesiderato.

Dal punto divista puramente matemati o esiste una ulteriore e de isiva distinzione tra

problema diretto e inverso: il problema direttogode di erte buone proprietà he

orri-spondonoalladenizionediproblemabenposto,mentreilproblemainversoèsolitamente

mal posto.

2.1.1 I Problemi Mal Posti

La formamatemati a he meglio modellizzala (2.2) è l'Equazione Integrale di

Fred-holm di Prima Spe ie:

Z

Ω

• L

2

_(Ω)

èuno spaziodi Hilbert di funzioni reali;

• K ∈ L

2

_{(Ω × Ω)}

, èdettonu leo dell'equazioneed è notoesattamenteattraverso un

modello matemati o;

• f ∈ L

2

_(Ω)

;

• g ∈ L

2

_(Ω)

,solitamenteè una quantitàmisurataed è notasoloinal uni punti, per

questo è ne essario parlaredi dis retizzazione delproblema.

Il problema (2.3) dis retizzatoviene indi ato on:

K

f

=

g (2.4)

dovef e g sono vettori didimensione

N

e

K

è un operatore ompatto.

I prblemi on questo tipo di mal posizione vengono risolti attraverso metodi di

regola-rizzazione, il ui s opo è evitare le soluzioni fortemente instabili, an he a s apito della

pre isione.

Notazioni

• Ω ⊆ R

n

insiemenon vuoto, sempli emente onnesso eaperto on bordo ontinuoe

Lips hitzianoindi ato on

∂

Ω

;

• C

1

_(Ω)

spazio delle funzioni

f

: Ω −→ R

per ui lederivate parziali

∂f

∂x

i

esistono e

sono ontinue;

• H

spazio di Hilbert reale on prodotto interno

h·, ·i

H

e norma indotta

k·k

H

, se il

ontesto è hiaro viene omessa la

H

a pedi e;

•

la onvergenza si intende insenso forte:

signi a he

lim

n−→∞

kf

n

− fk = 0

•

datouninsieme

S

,

S

⊥

indi ailsuo omplementareortogonale,valeadirel'insieme

degli elementi

f

∈ H

tali he

hf, si = 0 ∀ s ∈ S

;

•

dati dueinsiemi

S

e

T

siintende

S

+ T = {s + t|s ∈ S, t ∈ T }

,

s

+ T

èequivalente a

{s} + T

;

• R

n

+

= {

x

= (x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

|x

i

≥ 0 ∀ i}

•

si s rive

f

(α) = o(g(α))

α−→α

∗

⇐⇒ lim

α−→α

∗

f

(α)

g(α)

= 0

(2.5)

•

Ladelta di Krone kerè denitada

δ

i,j

=

(

1

se

i

= j

0

se

i

6= j

Operatori e Spazi di Hilbert

Sia

A

: H

1

−→ H

2

un operatore, si indi a on Range

(A)

la sua immagine in

H

2

. Si di e he

A

è ontinuose

A(f

n

) −→ A(f

∗

)

per

f

n

−→ f

∗

; nel aso in ui

A

sia lineare si sostituis e ad

A(f )

las rittura menopesante

Af

.

Si denis e ilNull Spa e di

A

: Null

(A) = {f ∈ H

1

|Af = 0}

.

A

è limitatose esolose lanorma indotta dall'operatore

kAk

def

=

sup

kf k

_H1

=1

kAfk

H

₂

ènita. Operatorilineari elimitatisono an he ontinui;lospazio deglioperatori lineari

limitatida

H

1

a

H

2

si indi a on

L

(H

1

, H

2

)

. L'aggiuntodi un operatore

A

è

A

∗

_{∈ L(H}

2

, H

1

)

tale he

dove

f

∈ H

1

e

g

∈ H

2

.

A

si di e autoaggiuntose

A

= A

∗

(edunque

H

1

= H

2

=: H

), in questo aso

λ

min

(A)

def

=

inf

kf k

H

=1

hAf, fi

H

(2.7)

λ

max

(A)

def

=

sup

kf k

H

=1

hAf, fi

H

(2.8)

sono numeri reali niti.

A

è semidenito positivo se

λ

min

(A) ≥ 0

e denito positivo se

hAf, fi

H

>

0 ∀ f 6= 0

; si di e he

A

è oer ivo se

λ

min

(A) > 0

.

Se

A

è autoaggiunto allora

kAk = max{|λ

min

(A)|, |λ

max

(A)|}

; ingenerale inve e

kAk =

pλ

max

(A

∗

A)

.

Osservazione 1. Sia

M

(R

m×n

₎

l'insiemedellematri idi dimensione

m

× n

avalorireali. Esso è uno spazio diHilbert on il prodotto di Frobenius:

hA, Bi

F ro

=

m

X

i=1

n

X

j=1

a

i,j

b

i,j

(2.9)

Lanorma indotta èquelladi Frobenius:

kAk

F ro

=

v

u

u

t

m

X

i=1

n

X

j=1

a

2

i,j

(2.10)

Migliore approssimazione negli spazi di Hilbert

Sia

f

∈ H

e sia

S

⊆ H

. Si di e he

s

∗

è lamiglioreapprossimazione per

f

in

S

se

s

∗

= arg min

s∈S

ks − fk

H

(2.11)

vale a dire:

s

∗

∈ S

e

ks

∗

− fk

H

≤ ks − fk

H

∀ s ∈ S

. Se esiste un tale

s

∗

, esso è uni o; l'esistenza è garantitasolose

S

è hiuso in

H

, ioè se

S

è un sottospazio di

H

di

Teorema 2.1.1. Se

s

∗

è la migliore approssimazionedi

f

in un sottospazio

S

, allora

hs

∗

− f, si

H

= 0

∀ s ∈ S

(2.12)

Se

S

hadimensionenitaeunasua base è

(φ

1

, . . . , φ

n

)

,dalteoremapre edenteviene laseguente formulaperil al olodella migliore approssimazione:

s

∗

=

n

X

j=1

ˆa

j

φ

j

dove ilvettore dei oe ienti

ˆ

a

= (ˆa

1

, . . . ,

ˆa

n

)

risolveil sistemalineare

Gˆa = b

on

[G]

i,j

= hφ

j

, φ

i

i

H

[b]

i

= hf, φ

i

iH

2.1.2 Mal Posizione per Operatori e Regolarizzazione

Denizione 2.1. Sia

K

: H

1

−→ H

2

; l'equazione

K(f ) = g

(2.13)

si di e ben posta se

(i)

∀ g ∈ H

2

∃ f ∈ H

1

,detta soluzione, per uivalgala(2.13);

(ii) lasoluzione

f

è uni a;

(iii) la soluzione

f

è stabile rispetto alle perturbazioni in

g

. Questo signi a he se

Kf

∗

= g

∗

e

Kf

= g

allora

f

−→ f

∗

se

g

−→ g

∗

Un'equazione non ben posta èdetta malposta.

Se la (2.13) è ben posta, allora

K

haun operatoreinverso, ontinuoe ben denito

K

−1

tale he

K

−1

_{(K(f )) = f ∀ f ∈ H}

Operatori Compatti, Sistemi Singolari, SVD

Nel asotrattato l'operatore oinvoltonelproblema èun operatore ompatto,valea

dire un operatore

K

: H

1

−→ H

2

per ui la hiusura dell'immagineè ompatta in

H

2

.

Teorema 2.1.2 (Malposizione peroperatori ompatti).

Siano

H

1

, H

2

spazi di Hilbert di dimensione innita e sia

K

: H

1

−→ H

2

un operatore ompatto lineare. Se Range

(K)

ha dimensione innita allora la (2.13) è mal posta in quantosonoviolatele ondizioni(i)e(iii)delladenizione2.1. Inquesto asoRange

(K)

non è hiuso. Se inve e Range

(K)

ha dimensione nita è violata la ondizione (ii).

Se

K

è ompatto,

K

∗

_K

è ompatto e autoaggiunto, dunque esistono autovalori

po-sitivi e un orrispondente insieme di autovettori ortonormali he formano una base per

Null

(K

∗

_K)

⊥

₌

Null

(K)

⊥

. Da questa s omposizionesi ostruis e un sistema singolare.

Denizione 2.2 (Sistemasingolare).

Un sistema singolare per un operatore lineare ompatto

K

: H

1

−→ H

2

è un insieme numerabile di terne

{u

j

, s

j

, v

j

,

}

j

on le seguentiproprietà:

•

I vettori singolaridestri

v

j

formanouna base ortonormaleper Null

(K)

⊥

;

•

i vettori singolari sinistri

u

j

formano una base ortonormale per la hiusura di Range

(K)

;

•

i valorisingolari

s

j

sono numeri reali positiviin ordine non res ente:

s

1

≥ s

2

≥ . . . > 0;

• ∀ j

vale

Kv

j

= s

j

u

j

;

• ∀ j

vale

K

∗

_u

j

= s

j

v

j

;

•

seRange

(K)

ha dimensioneinnita, allora

lim

Sia ora

K

una matri e

m

× n

,

K

può essere visto ome un operatore ompatto

K

: H

1

−→ H

2

on

H

1

= R

n

e

H

2

= R

m

; questo operatore ammette un sistema

singolare

{

u

j

, s

j

,

v

j

,

}

r

j=1

on

r

= rank(K)

.

Siano

U

r

la matri e di dimensione

m

× r

e di olonne u

j

e

V

r

la matri e di dimensione

n

_{× r}

e di olonne v

j

, se

r < n

allora Null

(K)

è un sottospazio non banale di

R

n

ed

è possibile ostruire una matri e

V

0

di dimensione

n

× (n − r)

le ui olonne siano una base ortonormale per Null

(K)

. Analogamente, se

r < m

, Range

(K)

⊥

è un sottospazio

non banale di

R

m

e si può ostruire una matri e

U

⊥

di dimensione

m

× (m − r)

le ui olonneformino una base ortonormale per Range

(K)

⊥

.

La SVD (SingularValue De omposition) di

K

è las omposizione

K

= UDV

T

(2.14) dove

U

= [U

r

U

⊥

],

V

= [V

r

V

0

],

D

=

"

diag

(s

1

, . . . , s

r

) 0

0

0

#

(2.15)

Soluzioni ai Minimi Quadrati e Pseudo-Inversa

Sia

K

un operatore ompatto on sistema singolare

{u

j

, s

j

, v

j

,

}

j

, allora

K

ammette laseguente rappresentazione:

Kf

=

X

j

s

j

hf, v

j

i

H

₁

u

j

(2.16)

e dato

g

∈

Range

(K)

è possibile ostruire il vettore

K

†

g

=

X

j

hg, u

j

i

H

₂

s

j

heappartieneallospazioNull

(K)

⊥

eper uivale

K

(K

†

_g)

. Questooperatoreè hiamato

pseudo-inversa di

K

ed èdenito sugli spazi

K

†

:

Range

(K) +

Range

(K)

⊥

−→

Null

(K)

⊥

Se

K

è una matri esi appli a laSVD:

K

†

= V D

†

_U

T

dove

[D

†

]

i,j

=







1

s

j

se

i

= j

e

1 ≤ i ≤ r

0

altrimenti

Lapseudo-inversa diun operatorepuò essere aratterizzata inun altromodo,usando le

soluzioniai minimiquadrati:

Denizione 2.3 (Soluzione aiminimi quadrati).

Sia

K

: H

1

−→ H

2

un operatore limitato e lineare. Una soluzione ai minimi quadrati di

Kf

= g

è

f

ls

tale he:

kKf

ls

− gk

H

₂

≤ kKf − gk

H

₂

∀ f ∈ H

1

(2.18)

Nonne essariamenteesiste una soluzione aiminimiquadrati, seesiste l'insiemeditutte

lepossibilisoluzioniai minimiquadrati èdato dalsottospazio ane

f

ls

+

Null

(K)

e tra tutte quelladiminima norma èdata da

f

ls

mn

= arg

min

f∈f

ls

+

Null

(K)

kfk

H

₁

(2.19)

Teorema 2.1.3. Se

g

∈

Range

(K) +

Range

(K)

⊥

allora

f

ls

mn

= K

†

_g

K

†

è limitatoseesolose Range

(K)

è hiuso. Inquesto aso

f

ls

2.2 Regolarizzazione

Si onsidera l'equazione (2.13),

Kf

= g

, e si assume he esista un operatore

R

∗

he portiogni

g

∈

Range

((K)

inun uni o

R

∗

(g) ∈ H

1

tale he

K(R

∗

(g)) = g

, se

K

èlineare generalmente si pone

R

∗

= K

T

. Si onsidera una famiglia di operatori regolarizzanti

R

α

: H

2

−→ H

1

, dove

α

∈ I

è detto parametro di regolarizzazione (

I

insiemedi indi i). Denizione 2.4 (S hema diregolarizzazione).

{R

α

}

α∈I

èuno s hema diregolarizzazione he onverge a

R

∗

se (i)

∀ α ∈ I

,

R

α

è un operatore ontinuo;

(ii) dato

g

∈

Range

(K)

, per ogni su essione

{g

n

} ⊂ H

2

he onverge a

g

è possibile estrarreuna su essione

{α

n

} ⊂ I

tale he

R

α

n

(g

n

) −→ R

∗

(g)

per

n

−→ ∞

Si di e he

{R

α

}

α∈I

è linearese loè ogni suo elemento.

Di parti olare interesse sono gli s hemi di regolarizzazione on rappresentazione

l-trata

R

α

(g) =

X

j

w

α

s

2

j

s

j

hg, u

j

i

H

₂

v

j

(2.20) he onverge a

R

∗

= K

†

. Esempi noti diltri diregolarizzazione

w

α

sono illtro TSVD e quellodiTikhonov, peri quali

α

∈ I = (0, ∞)

.

A partiredalla (2.20)si può dimostrare he

kR

α

k = sup

j

w

α

(s

2

j

)

s

j

(2.21)

Sia

g

∈

Range

(K)

, se

g

n

∈ H

2

e

δ

n

>

0

sono tali he

kg

n

− gk ≤ δ

n

(2.22)

allora per ladisuguaglianzatriangolare e perla (2.21)vale:

Il prossimo teorema garantis e l'esistenza di un

α

= α(δ)

per ui i due termini della parte destra della (2.23) onvergono a 0 per

δ

n

−→ 0

. Si indi a on

α

∗

il valore limite delparametro diregolarizzazione per uiil limite della(2.4) è

R

∗

.

Teorema 2.2.1 (Convergenza per s hemi di regolarizzazione).

Si assuma he per ogni

α

∈ I

,

sup

s>0









w

α

(s

2

)

s









<

_∞

e he

∀ s > 0

lim

α−→α

∗

w

α

(s

2

) = 1

(2.24)

Si assuma an he he esista una funzione

α

= α(δ) : R

+

−→ I

tale he

lim

δ−→0

α(δ) = α

∗

(2.25)

lim

δ−→0

kR

α(δ)

kδ = 0

(2.26)

Allora la (2.20) denis e uno s hema di regolarizzazione he onverge a

K

†

.

2.3 Ottimizzazione

Sia

J

: H −→ R

esia

C

un sottoinsiemedi

H

,si vuole al olareilminimodi

J

su

C

, indi ato on

f

∗

= arg min

f∈C

J(f )

Se

C

= H

il problema edetto diminimizzazionenon vin olata, seinve e

C

⊂ H

siparla diminimizzazionevin olata.

Se esiste

δ >

0

tale he

J(f

∗

) ≤ J(f)

per

f

∈ C, kf − f

∗

k

H

< δ

Denizione 2.5 (Convergenza debole).

Unasu essione

{f

n

}

in uno spazio diHilbert

H

onverge debolmente a

f

∗

se

lim

n−→∞

hf

n

− f

∗

, f

∗

i

H

∀ f ∈ H

e inquesto aso si s rive

f

n

⇀ f

∗

.

La onvergenza forte impli a la debole e in spazi nito-dimensionali le due si

equi-valgono.

Denizione 2.6 (Semi ontinuità debole dalbasso).

J

_{: H −→ R}

è debolmentesemi ontiuno dalbasso se

J

(f

∗

) ≤ lim inf

n−→∞

J(f

n

)

quando

f

n

⇀ f

∗

(2.27)

Denizione 2.7 (Funzionale onvesso).

J

_{: C ⊂ H −→ R}

èun funzionale onvesso se

J(τ f

1

+ (1 − τ)f

2

) ≤ τJ(f

1

) + (1 − τ)J(f

2

)

(2.28)

on

f

1

, f

2

∈ C

e

0 < τ < 1

.

J

si di e strettamente onvesso se la (2.7) è stretta per

f

1

6= f

2

.

I funzionali onvessi sono sempre debolmentesemi ontinui dalbasso.

Si ri orda he un insieme

C

è onvesso se per ogni sua oppia di elementi

(f

1

, f

2

)

una ombinazione lineare onvessa

τ f

1

+ (1 − τ)f

2

, on

0 < τ < 1

, appartiene an ora allo spazio

C

.

C

è hiuso seogni su essione onvergente halimite nello spazio stesso.

Denizione 2.8 (Funzionale oer ivo).

Un funzionale

J

: H −→ R

è oer ivose

Teorema 2.3.1. Sia

J

: H −→ R

debolmente semi ontinuo dal basso e oer ivo e sia

C

un sottoinsieme di

H

hiuso e onvesso. Allora

J

ha un minimo su

C

e se

C

è strettamente onvessotale minimoè uni o.

Dimostrazione. Sia

{f

n

}

una su essione minimizzante per

J

in

C

, ossia ogni suo ele-mento

f

n

∈ C

e

J(f

n

) −→ J

∗

def

= inf

f∈C

J

(f )

. Poi hè

J

è oer ivo

{f

n

}

è limitata, e lalimitatezza di una su essione in uno spazio di Hilbert impli a l'esistenza di una

sot-tosu essione

{f

n

j

}

debolmente onvergente, sia

f

∗

il suo limite;

f

∗

∈ C

per hé

C

è un sottoinsieme hiuso e onvesso in uno spazio di Hilbert e dunque è an he hiuso per la

onvergenza debole. Siha, perla semi ontinuità deboledalbasso di

J

:

J

(f

∗

) ≤ lim inf J(f

n

j

) = lim J(f

n

) = J

∗

e dunque

J(f

∗

) = J

∗

. Sia ora

J

strettamente onvesso e

J(f

0

) = J

∗

on

f

0

6= f

∗

. Prendendo

τ

=

1

2

nella (2.28) si ottiene

J(

f

0

+ f

∗

2

) < J

∗

he è in ontraddizione on quantodetto in pre edenza.

Si provvede ora alla aratterizzazione delminimo.

Denizione 2.9 (Dierenziabilitàse ondo Fré het).

Un operatore

A

: H

1

−→ H

2

è dierenziabile se ondo Fré het in

f

∈ H

1

se e solo se esiste

A

′

_{(f ) ∈ L(H}

1

, H

2

)

,detto derivata di Fré het di

A

in

f

, tale he

A(f + h) = A(f ) + A

′

_{(f )h + o(khk}

H

)

per

khk

H

−→ 0

(2.29)

Sidenis ono ri orsivamentele derivate diFré het di ordini maggiori,adesempio

A

′

(f + k) = A

′

(f ) + A

′′

_{(f )k + o(kkk}

H

)

denis e la derivata se onda di Fré het, on

A

′′

_{(f ) ∈ L(H, L(H, H}

2

))

. La mappa

(h, k) 7−→ (A

′′

_{(f )k)h}

è limitata ebilinearee va da

H

× H

in

H

, inoltre èsimmetri a:

Denizione 2.10 (Gradientedi

J

in

f

).

Sia

J

: H −→ R

dierenziabilese ondoFré hetin

f

. Perilteoremadirappresentazione di Riesz esiste grad

J

(f ) ∈ H

, detto il gradientedi

J

in

f

tale he

J

′

_{(f )h = h}

grad

J

(f ), hi

H

(2.31)

Proposizione 2.3.2. Se

J

: H −→ R

è dierenziabile se ondo Fré het in

f

, allora

∀ h ∈ H

lamappa da

R

in

R

he porta

τ

7−→ J(f + τh)

è dierenziabilein

τ

= 0

on

d

dτ

J

(f + τ h)|

τ=0

= h

grad

J

(f ), hi

H

(2.32) Osservazione 2. La parte a sinistra dell'uguaglianza in (2.32) denis e laderivata

dire-zionaleo prima variazionedi

J

in

f

nella direzione

h

ed è spesso indi ata on

δJ

(f, h)

.

Teorema 2.3.3. Sia

J

: H −→ R

dierenziabile se ondo Fré het. Se ha minimo lo ale non vin olato in

f

∗

allora grad

J(f

∗

) = 0

.

Dimostrazione. Sia

g

=

grad

J(f

∗

)

. Perla (2.29) ela (2.31) siha:

J

(f

∗

− τg) = J(f

∗

) − τkgk

2

+ o(τ )

per

τ

−→ 0

(2.33)

Se

g

6= 0

la parte destra della (2.33) diventa minore di

J

(f

∗

)

prendendo

τ >

0

e su intemente pi olo.

Teorema 2.3.4. Sia

C

un sottoinsieme di

H

hiusoe onvesso. Se

f

∗

∈ C

è un minimo lo ale vin olato per

J

e

J

è dierenziabile se ondo Fré het in

f

∗

, allora

h

grad

J

(f

∗

), f − f

∗

i

H

≥ 0

∀ f ∈ C

(2.34)

Dimostrazione. Si ssi un generi o

f

∈ C

. Dato he

C

è onvesso,

f

∗

+ τ (f − f

∗

) =

τ f

_{+ (1 − τ)f}

∗

∈ C

per

0 ≤ τ ≤ 1

. Dunque, si ome

f

∗

è minimovin olato:

lim

τ−→0

+

J(f

∗

+ τ (f − f

∗

)) − J(f

∗

)

A questo puntola tesi segue dalla proposizione2.3.2.

Di seguitosono riportatial uniteoremi he aratterizzano ifunzionali onvessi

die-renziabili.

Teorema 2.3.5. Sia

J

dierenziabile se ondo Fré het su un insieme onvesso

C

.

J

è onvesso se e solose

h

grad

J

(f

1

) −

grad

J(f

2

), f

1

− f

2

i ≥ 0

(2.35) per

f

1

, f

2

∈ C

.

J

è strettamente onvesso se la (2.35) è una disuguaglianza stretta per ogni

f

1

, f

2

tali he

f

1

6= f

2

.

Denizione 2.11 (Derivata se onda diFré het).

Se la derivata se onda di Fré het esiste per

J

in

f

, allora per la (2.30) ha la seguente rappresentazione:

(J

′′

_{(f )h)k = h}

Hess

J

(f )h, ki

(2.36)

doveHess

J

(f )

èun operatoresu

H

lineare,limitatoed autoaggiuntoed èdettoHessiana di

J

in

f

.

Teorema 2.3.6. Sia

J

dierenziabiledue voltese ondoFré hetsuun onvesso

C

. Allora

J

è onvesso se e solo se Hess

J(f )

è semidenita positiva per ogni

f

nell'interno di

C

. Se Hess

J

(f )

è denita positiva allora

J

è strettamente onvesso.

Se

J

è due volte dierenziabilese ondo Fré het in

f

, allora

J

_{(f + h) = J(f ) + h}

grad

J

(f ), hi +

1

2

h

Hess

J

(f )h, hi + o(khk

2

H

)

(2.37) per

khk

H

−→ 0

. Questo fornis e le basi per ondizioni del se ond'ordine su ienti per minimizzazioninon vin olate.

Teorema 2.3.7. Se

J

è due volte dierenziabilese ondo Fré het in

f

∗

, grad

J(f

∗

) = 0

e Hess

J

(f

∗

)

è strettamente positiva, allora

f

∗

è un minimo lo alestretto per

J

.

2.4 Regolarizzazione se ondo Tikhonov

Un generi o funzionale diTikhonov peril problema

K(f ) = g

in (2.13)ha laforma

T

_α

_{(f ; g) = ρ(K(f ), g) + αJ(f )}

(2.38) dove

• α > 0

è il parametro diregolarizzazione;

• J : H

1

−→ R

èil penalty fun tional;

• ρ : H

2

× H

2

−→ R

è ilt-to-data fun tional. 2.4.1 Penalty Fun tional

Los opodelpenaltyfun tionalèquellodiindurrestabilitàepermetterel'inserimento

di informazionia priori sulla soluzione desiderata

f

. Il penalty fun tional standard di Tikhonov su uno spazio diHilbert

H

1

è

J(f )) =

1

2

kfk

2

H

₁

Un altro esempioè ilpenalty fun tional diSobolev

H

1

:

J

H

1

(f ) =

1

2

Z

Ω

d

X

i=1

 ∂f

∂x

i



2

Funzionalidiquesto tipopenalizzanole soluzioninon lis e.

2.4.2 Fit-to-data Fun tional

Il ompitodel funzionale

ρ

nella(2.38) èquellodivalutarequantobene laprevisione

uno spazio diHilbert,

ρ

LS

(g

1

, g

2

) =

1

2

kg

1

− g

2

k

2

H

₂

,

g

1

, g

2

∈ H

2

2.4.3 Analisi

Siri ordi,dalladenizione2.4, heunos hemaregolarizzanteèunafamigliadimappe

R

α

: H

2

−→ H

1

. Siaora

T

_α

_{(f ; g) =}

1

2

kKf − gk

2

H

₂

+ αhLf, fi

H

1

(2.39) si denis e

R

α

(g) = arg min

f∈C

T

_α

_{(f ; g)}

_{α >}

₀

Siassume he:

A1.

C

è un sottoinsieme hiuso e onvesso di

H

1

;

A2.

L

è un operatore autoaggiunto, lineare e strettamente positivo su

H

1

, questo impli a he esiste una ostante

c

0

>

0

tale he

hLf, fi

H

₁

≥ c

0

kfk

2

H

₁

(2.40)

A3.

K

èlimitato e lineare.

Il teoremaseguente è un risultatodi esistenza e ontinuità per

R

α

.

Teorema 2.4.1 (Esistenza e ontinuità di uno s hema regolarizzante).

Sotto le pre edenti ipotesi

R

α

esiste ed è ontinuo per ogni

α >

0

.

Dimostrazione. Dapprima si prova he l'operatore

R

α

è ben denito. Siano

g

∈ H

2

e

α >

0

ssati. Peralleggerire lanotazione sia

T

(f ) = T

α

(f ; g)

.

T

è onvesso e dunque è debolmente semi ontinuo dalbasso, inoltre per la A2 è an he oer ivo, dal momento he

T

(f ) ≥ αc

0

kfk

2

haun uni ominimo.

Per dimostrare la ontinuità si ssa

g

0

∈ H

2

. Sia

g

n

−→ g

0

. Siano

f

0

= R

α

(g

0

)

e

f

n

= R

α

(g

n

)

; ome in pre edenza si sempli a la notazione indi ando

T

α

(f ; g

0

)

on

T

₀

_{(f )}

e

T

α

(f ; g

n

)

on

T

n

(f )

. Dal teorema2.3.4 siha:

0 ≥ h

grad

T

n

(f

n

), f

n

− f

0

i

H

1

= h(K

∗

K

+ αL)(f

n

− f

0

), f

n

− f

0

i

H

₁

+ hK

∗

(g

n

− g

0

), f

n

− f

0

i

H

₁

≥ αc

0

kf

n

− f

0

k

2

H

₁

− kK

∗

_(g

n

− g

0

)k

H

₁

kf

n

− f

0

k

H

₁

dove l'ultimadisuguaglianzasegue dalla (2.40). Di onseguenza

kf

n

− f

0

k

H

₁

≤

1

αc

0

kK

∗

_(g

n

− g

0

)k

H

₁

2.5 Regolarizzazione on Variazione Totale

Si indi a on

∇

il fradiente di una funzione regolare

f

: R

d

_{−→ R}

e on

C

1

0

(Ω, R

d

)

lo spazio dei vettori

~v

= (v

1

, . . . , v

d

)

on omponenti ontinuamente dierenziabili e a supporto ompatto su

Ω

. Ladivergenadi

~v

èdata da:

div

~v

=

d

X

i=1

∂v

i

∂x

i

Lanormaeu lideaèdenotatada

| · |

;lospaziodiSobolev

W

1,1

_(Ω)

èla hiusuradi

C

1

0

(Ω)

rispetto allanorma

kfk

1,1

=

Z

Ω



|f| +

d

X

i=1

∂f

∂x

i



Denizione 2.12 (Funzionale TV).

Lavariazionetotaledi una funzione

f

∈ L

1

_(Ω)

èdenita ome:

T V

(f ) = sup

~

v∈V

f

div

~vdx

(2.41)

dove

V

è lospazio delle funzioni test,

V

_{= {~v ∈ C}

₀

1

(Ω, R

d

)||~v(x)| ≤ 1 ∀ x ∈ Ω}

(2.42) La (2.41)si generalizza in2 e 3dimensioni:

T V

(f ) = sup

v

∈V

2

Z

1

0

Z

1

0

f

(x, y)

divv

dxdy

T V

(f ) = sup

v

∈V

3

Z

1

0

Z

1

0

Z

1

0

f

(x, y, z)

divv

dxdydz

dove

V

2

e

V

3

sono analoghi a

V

ma in

2

e

3

dimensioni.

L'equazione (2.41) hala seguente formadeboleper funzionilis e:

T V

(f ) =

Z

Ω

|∇f|dx

(2.43)

da ui derivano le generalizzazioni indue e tre dimensioni:

T V

(f ) =

Z

1

0

Z

1

0

k∇fkdxdy

(2.44)

T V

(f ) =

Z

1

0

Z

1

0

Z

1

0

k∇fkdxdydz

(2.45) Proposizione 2.5.1. Se

f

∈ W

1,1

_(Ω)

allora

T V

(f ) =

R

Ω

|∇f|

Denizione 2.13 (SpazioBV

(Ω)

).

funzioni

f

∈ L

1

_(Ω)

tali he

kfk

BV

def

= kfk

L

1

_(Ω)

+ T V (f ) < ∞

(2.46) Teorema 2.5.2.

k·k

BV

è una norma e on questa BV

(Ω)

è uno spazio di Bana h. In questo spazio il funzionale TV è una seminorma.

Si enun ianodiseguito importantirisultati sulla ompattezza, onvessità e

semi on-tinuità di

T V

(f )

.

Teorema 2.5.3 (Compattezza in

L

p

).

Sia

S

uninsiemeBV-limitatodifunzioni. Per

Ω ⊆ R

d

,

S

è unsottinsiemerelativamente ompattodi

L

p

_(Ω)

per

1 ≤ p ≤

d

d

_{− 1}

edèdebolmenterelativamente ompattoin

L

d

d−1

(Ω)

. Se

d

= 1

si onsidera

d

d

_{− 1}

= +∞

. Teorema 2.5.4 (Convessità di

T V

(f )

).

Il funzionale

T V

in (2.41) denito sullo spazioBV

(Ω)

è onvessoma non strettamente onvesso. La restrizione in

W

1,1

_(Ω)

è strettamente onvessa.

Teorema 2.5.5 (Semi ontinuità).

Il funzionale

T V

in (2.41) è debolmente semi ontinuo dal basso rispetto alla norma

L

p

per

1 ≤ p < ∞

.

Orasiesaminanol'esistenza,l'uni itàelastabilitàdellaminimizzazionedelfunzionale

TV on penalizzazioneai minimiquadrati, ossia delfunzionale

T

_{(f ) = kKf − gk}

2

L

2

_(Ω)

+ αkfk

BV

(2.47)

dove

α >

0

.

Teorema 2.5.6 (Uni itàdel minimovin olato di

T

). Sia

1 ≤ p <

d

d

_{− 1}

e sia

C

un sottinsieme di

L

p

_(Ω)

Sia

K

: L

p

_{(Ω) −→ L}

2

_(Ω)

lineare, limitato e tale he Null

(K) = {0}

. Allora per ogni

g

_{∈ L}

2

(Ω)

ssato, il funzionale (2.47) ha un uni o minimovin olato,

f

∗

= arg min

f∈C

T

_{(f )}

Dimostrazione. Ladimostrazionedell'esistenzaèanalogaalladimostrazionedelteorema

2.3.1. Si ome

K

èlinearee onnullspa e banale,epoi hèlanormaalquadratodiuno spaziodiHilbertèstrettamente onvessa, lamappa

f

7−→ kKf − gk

2

L

2

_(Ω)

èstrettamente onvessa. L'uni itàsegue daquesto.

Teorema 2.5.7 (Stabilità).

Siano valide leipotesi delteorema2.5.6. Allora il minimo

f

∗

è stabile rispetto a

(i) perturbazioni

g

n

del dato

g

tali he

kg

n

− gk

L

2

_(Ω)

−→ 0

;

(ii) perturbazioni

K

n

dell'operatore

K

tali he

kK

n

(f ) − K(f)k

L

2

_(Ω)

−→ 0

uniforme-mente sui sottinsiemi ompatti di

L

p

_(Ω)

;

(iii) perturbazioni

α

n

del parametro di regolarizzaizone

α >

0

.

Risultati analoghi diesistenza, uni ità e stabilitàsi ottengono sostituendo la norma

BVin (2.46) on ilfunzionale TVin (2.41):

T

_{(f ) = kKf − gk}

2

L

2

_(Ω)

+ αT V (f )

(2.48)

La ondizioneNull

(K) = {0}

puòessereinqual hemodoindebolita,ilseguenteteorema ne è un esempio.

Teorema 2.5.8. Sia

C

un sottinsieme di

L

p

_(Ω)

hiuso e onvesso on

1 ≤ p <

d

d

_{− 1}

. Sia

K

: L

p

_{(Ω) −→ L}

2

_(Ω)

limitato e lineare e sia

K

1 6= 0

, dove

1

indi a la funzione

1(x) = 1 ∀ x ∈ Ω

. Allora il funzionale in (2.48) ha un uni o minimo vin olato su

C

. Dunque laminimizzazionedel funzionalediTikhonov-TV neldis reto:

T

_α

₍

f

) =

1

2

kK

f

−

g

k

2

è laregolarizzazione dell'equazione

K

f

=

g in(2.4).

La variazionetotale di

f

,

T V

(f )

, può essere interpretata geometri amente ome l'area della super ie laterale del gra o di

f

. In parti olare, sia

S

una regione on un bordo

∂S

lis io ontenuto nelquadrato unitario

[0, 1] × [0, 1]

;sia:

f

(x, y) =

(

H >

0

se

_{(x, y) ∈ S}

0

altrimenti

T V

(f )

è allorala lunghezza delbordo

∂S

moltipli atoperl'altezza

H

delsalto in

f

.

Figura2.1:Signi atogeometri odellaTV:inrossoèrappresentatalasuper ielateraledellafunzione

f

, he orrisponde

allalunghezzadelbordodeldominioperilsaltodi

f

.

Se

f

ha delle os illazionimolto ampie ha an he una super e laterale ampia e dunque un'alta variazione totale. Questa è una proprietà ondivisa on il funzionale di

rego-larizzazione di Sobolev

H

1

norma quadrata del gradiente, ma a dierenza di esso la

regolarizzazione on la variazione totale può ri ostruire funzioni on deisalti. Nel aso

dell'imagedeblurringlaregolarizzazione on variazionetotaleprodu edelleri ostruzioni

qualitativamente orrette diimagini a blo hi, ioèun'immagine quasi ostante on dei