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11 dominio e segno di logaritmiche irrazionali trigo..>

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Academic year: 2021

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(1)

23

Esempio 19

Studiare dominio e segno della seguente funzione:

1 2

( )

log (sin

cos )

f x

=

x

+

x

Periodicità

L’argomento del logaritmo è una combinazione lineare delle due funzioni seno e coseno, pertanto si ripete ogni quanto esse si ripetono. La funzione ha dunque periodicità

π.

Studio del Dominio

Ci sono due condizioni di esistenza: 1

2

log (sin cos ) 0 sin cos 0 x x x x  + ≥      + >   

ricordando l’andamento di un logaritmo con base compresa fra 0 ed 1 si ha per la prima disequazione:

0<sinx+cosx ≤ 1

che come si vede comprende anche la seconda. Si tratta di due disequazioni lineari in seno e coseno da risolvere graficamente ponendo

cos

X = x, Y =sinx e mettendo a sistema con la circonferenza goniometrica X2+Y2 = . Dalla prima: 1

2 2 1 1 X Y X Y  + ≤      + =    ⇒ 2 2 1 1 Y X X Y  ≤ −      + =   

si ottiene l’intersezione della circonferenza goniometrica con la regione 1

Y ≤ −X che nel grafico è rappresentata dalla zona di piano che giace al di sotto della retta Y = −1 X, che interseca la circonferenza nei due punti

(1; 0)

B , corrispondente all’angolo π2 e A(0;1), corrispondente all’angolo

, come si ricava facilmente risolvendo il sistema. Dalla seconda:

2 2 0 1 X Y X Y  + >      + =    ⇒ 2 2 1 Y X X Y  > −      + =   

si ottiene l’intersezione della circonferenza goniometrica con la regione Y > − che nel grafico è rappresentata dalla zona di piano che giace al X di sopra della retta Y = −X che interseca la circonferenza nei due punti

A 1 Y = −X B C Y = −X D 3 2π − 0 34π 2 π 2 π 7 4 π 4 π − 7 4π

(2)

24

(

2 ; 2

)

2 2

C, corrispondente all’angolo 3 4 π , e

(

22 ;− 22

)

, corrispondente all’angolo 7 4 π , come si trova facilmente risolvendo il sistema. Intersecando la due condizioni sulla circonferenza goniometrica si ottiene infine il dominio della funzione:

3 7 : 2 ; 2 2 ;2 2 2 4 4 D π+ π+    π+ π+  k∈         ℤ

Studio del Segno

Una radice di indice pari, laddove esiste è senz’altro positiva, quindi si ha f x( )≥0∀ ∈x D

Esempio 20

Studiare dominio e segno della seguente funzione: 2 ( ) 2 x f x x x + = − +

Studio del Dominio

Ci sono due condizioni di esistenza: 2 0 2 0 x x x  + ≥      − + ≠   

Risolviamo la seconda condizione, posta in forma di equazione x = x+ , elevando al quadrato ambo i 2 membri. Questa operazione introduce soluzioni aggiuntive, quindi dovremo verificare i risultati ottenuti inserendoli nell’espressione originaria:

2 2 1 2 1 1 8 2 2 0 2, 1 2 x =x+ ⇒ x − − =xx= ± + ⇒ x = x = −

Come si vede la soluzione x= − non soddisfa l’equazione originaria avendosi 11 − − − +1 2 = − ≠ , e 2 0 va pertanto scartata. Si ottiene allora:

[

) (

)

: 2;2 2;

D − ∪ +∞

Studio del Segno

Segno del numeratore:

2 0 2

x+ ≥ ⇒ x ≥ −

segno del denominatore:

2 0 2 xx+ > ⇒ x> x+ 2 π 3 4π 7 4π 0 2 2 −

(3)

25

risolviamo graficamente confrontando i grafici delle due

curve: y=x 2 2 2 2 2 0 0 y x x y y x y y    = +  = −     = + ⇒  ⇒  ≥ ≥      

La prima è la bisettrice del primo e terzo quadrante, la seconda il ramo di parabola orizzontale con vertice ( 2; 0)

V − e concavità nel verso crescente della ascisse. La soluzione è la regione in cui la retta sovrasta il grafico della parabola, quindi a destra del punto x0 in figura. Troviamo le intersezioni fra parabola e retta elevando al quadrato l’equazionex= x+2

:

2 2 1 2 1 1 8 2 2 0 2, 1 2 x =x+ ⇒ x − − =xx= ± + ⇒ x = x = −

Anche qui la soluzione x= − è da scartare, perché costituisce 1 l’intersezione con il ramo negativo di parabola, come si vede in figura. Pertanto il denominatore risulta positivo se x> . Eseguiamo il prodotto 2 dei segni: 0 x 2 − 2 2 1 − segno di: 2 2 x x x + − + 2 −

2 + +

+ +

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