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0, allora esiste un unico punto Qt sul grafico della parabola y = x2 tale che la retta tangente in Pt`e ortogonale alla retta tangente in Qt

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Academic year: 2021

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Prova scritta di Analisi Matematica I - C. L. in Matematica - 29 luglio 2015 Nome e cognome:

1. Determinare le soluzioni (z, w) ∈ C × C del seguente sistema ( w(zw − 1) = i(zw − 1)

8w2z2 = |z|3 .

Svolgimento:

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2. Calcolare il seguente limite al variare di a ∈ R+, lim

x→1+

e2x− e2√ 2 − x sin(π(x + (x − 1)a)).

Svolgimento:

(4)

3. Sia Pt = (t, t2) con t > 0, allora esiste un unico punto Qt sul grafico della parabola y = x2 tale che la retta tangente in Pt`e ortogonale alla retta tangente in Qt. Sia d(t) la lunghezza del segmento PtQt.

i) Determinare l’insieme {d(t) : t ∈ (0, +∞)}.

ii) Calcolare lim

t→+∞ d(t) − t2.

Svolgimento:

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(6)

4. Sia f una funzione continua in (−1, 1) tale che f0 (x0) < 0 e f+0 (x0) > 0 per un certo x0 ∈ (−1, 1).

Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni.

i) x0 `e un punto di minimo relativo.

ii) Esiste r > 0 tale che la funzione f `e decrescente in (x0 − r, x0) ed `e crescente in (x0, x0+ r).

Svolgimento:

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(8)

5. Per ogni k ∈ N, determinare (nel caso esista) l’equazione di una retta y = mkx + qk che intersechi il grafico della funzione f : R \ {0} → R,

f (x) = 1 x − 1

x3 in esattamente k punti distinti.

Svolgimento:

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