Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Seconda prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 settembre 2015
(1) La funzione f (x) = (
√31+x2−√3 1−x2
x2+xα
se x > 0
tan(βx) se x ≤ 0 , nel punto x
0= 0 a ` e continua per ogni α > 1 e β ∈ IR
c ` e derivabile solo per α < 1 e β = 0
b ` e derivabile per ogni α ≤ 1 e β ∈ IR d nessuna delle precedenti
(2) Tra le aree di tutti i rettangoli di diagonale uguale a d > 0 quella massima ` e a d
2c
d22b 2d
2d nessuna delle precedenti (3) La funzione f
α(x) = √
1 − x − e
αx− sin(cos x − 1) per x → 0 ha ordine di infinitesimo a 2 per ogni α ∈ IR
c 4 per qualche α ∈ IR
b 1 per ogni α ∈ IR
d nessuna delle precedenti
(4) L’integrale Z
20
x
2e
|x−1|dx vale a 8e − 6
c 0
b
4e− 3
d nessuna delle precedenti
(5) La serie numerica
∞
X
n=1
(2n)! log
n1n
αnn! con α ∈ IR risulta a convergente solo se α ≥ 0
c divergente per ogni α ∈ IR
b convergente per ogni α ∈ IR d nessuna delle precedenti
1
Risoluzione
1. La risposta esatta ` e d . Infatti, osservato che per x → 0 si ha
√
31 + x
2− √
31 − x
2= 1 +
13x
2+ o(x
2) − 1 −
13x
2+ o(x
2) =
23x
2+ o(x
2) otteniamo che
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
√
31 + x
2− √
31 − x
2x
2+ x
α=
23lim
x→0+
1 1 + x
α−2=
0 se α < 2
1
3
se α = 2
2
3
se α > 2 ed essendo lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
tan(βx) = 0 = f (0), otteniamo che la funzione risulta continua solo per α < 2, per ogni β ∈ IR.
Riguardo la derivabilit` a, per α < 2, dai precedenti sviluppi abbiamo lim
x→0+
f (x) − f (0)
x = lim
x→0+
√
31 + x
2− √
31 − x
2x(x
2+ x
α) = lim
x→0+
√
31 + x
2− √
31 − x
2x
α+1=
23lim
x→0+
1 x
α−1=
0 se α < 1
2
3
se α = 1 +∞ se α > 1
e quindi la funzione ammette derivata destra in x
0= 0 con f
+0(0) =
23se α = 1, f
+0(0) = 0 se α < 1. Essendo invece f
0(x) =
cos2β(βx)per ogni x < 0 e lim
x→0−
f
0(x) = β, si ha che la funzione ammette derivata sinistra in x
0= 0 con f
−0(0) = β. Ne concludiamo allora che la funzione risulta derivabile in x
0= 0 solo per α = 1 e β =
23e per α < 1 e β = 0.
2. La risposta esatta ` e c . Osserviamo che, detta b la base del rettangolo, h l’altezza e d la diagonale, dal Teorema di Pitagora risulta h = √
d
2− b
2. L’area di un rettangolo di diagonale d e base b sar` a quindi data dal prodotto b · √
d
2− b
2. Determiniamo allora il massimo della funzione A(b) = b · √
d
2− b
2con b ∈ [0, d]. La funzione risulta derivabile in ogni b ∈ (0, d) con A
0(b) = d
2− 2b
2√ b
2− d
2Avremo allora che A
0(b) > 0 se b <
√d2
, A
0(b) < 0 se b >
√d2
e quindi che la funzione risulta crescente in [0,
√d2
], decrescente in [
√d2
, d]. Il punto b
0=
√d2
risulta allora punto di massimo
2
assoluto con A(b
0) =
d22. Osserviamo che il rettagolo di diagonale d di area massima ` e un quadrato di lato
√d2
.
In alternativa, detto α ∈ [0,
π2] l’angolo tra la base del rettangolo e la sua diagonale, la base del rettagolo sar` a uguale a d cos α, l’altezza a d sin α. L’area del rettangolo di diagonale d sar` a allora data da d
2cos α sin α e si poteva determinare il massimo della funzione A(α) = d
2cos α sin α al variare di α ∈ [0,
π2]. Il valore massimo di tale funzione risulta
d22e si ottiene in corrispondenza di α
0=
π4.
3. La risposta esatta ` e d . Infatti, per ogni α > 0, per x → 0 risulta f
α(x) = √
1 − x − e
αx− sin(cos x − 1)
= 1 −
12x −
18x
2+ o(x
2) − (1 + αx +
α22x
2+ o(x
2)) − (cos x − 1 + o((cos x − 1)
2))
= −(
12+ α)x − (
18+
α22)x
2+ o(x
2) − (−
12x
2+ o(x
2))
= −(
12+ α)x − (
α22−
38)x
2+ o(x
2)
Ne deduciamo che se α 6= −
12allora f
α(x) = −(
12+ α)x + o(x) e la funzione ha ordine di infinitesimo 1, se α = −
12allora f
α(x) =
14x
2+ o(x
2) e la funzione ha ordine di infinitesimo 2.
Quindi la risposta esatta ` e d .
4. La risposta corretta ` e d . Infatti, dalla propriet` a di additivit` a dell’integrale abbiamo che Z
20
x
2e
|x−1|dx = Z
10
x
2e
1−xdx + Z
21
x
2e
x−1dx Integrando per parti si ottiene che
Z
x
2e
1−xdx = −x
2e
1−x+ Z
2xe
1−xdx = −x
2e
1−x− 2xe
1−x+ Z
2e
1−xdx
= −x
2e
1−x− 2xe
1−x− 2e
1−x+ c = −e
1−x(x
2+ 2x + 2) + c, c ∈ IR da cui
Z
1 0x
2e
1−xdx = −e
1−x(x
2+ 2x + 2)
10
= 2e − 5.
Mentre Z
x
2e
x−1dx = x
2e
x−1− Z
2xe
x−1dx = x
2e
1−x− 2xe
x−1+ Z
2e
x−1dx
= x
2e
x−1− 2xe
x−1+ 2e
x−1+ c = e
x−1(x
2− 2x + 2) + c, c ∈ IR
3
e quindi
Z
2 1x
2e
x−1dx = e
x−1(x
2− 2x + 2)
21
= 2e − 1.
Ne concludiamo che Z
20
x
2e
|x−1|dx = Z
10
x
2e
1−xdx + Z
21
x
2e
x−1dx = 2e − 5 + 2e − 1 = 4e − 6
5. La risposta esatta ` e d . Posto a
n=
(2n)! log1 n
nαnn!
(a)
, per n → +∞ si ha a
n+1a
n= (2n + 2)! log
n+11(n + 1)
αn+α(n + 1)! · n
αnn!
(2n)! log
1n= (2n + 2)(2n + 1) (n + 1)
α+1log(n + 1) log n
n
n + 1
αn∼ 4n
2n
α+1e
−α= 4
n
α−1e
−α→
0 se α > 1
4
e
se α = 1 +∞ se α < 1
Dal criterio del rapporto, essendo
4e> 1, ne segue che la serie converge se α > 1 e diverge se α ≤ 1.
(a)