• Non ci sono risultati.

tan(βx) se x ≤ 0 , nel punto x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "tan(βx) se x ≤ 0 , nel punto x"

Copied!
4
0
0

Testo completo

(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale

Seconda prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 settembre 2015

(1) La funzione f (x) = (

3

1+x2−√3 1−x2

x2+xα

se x > 0

tan(βx) se x ≤ 0 , nel punto x

0

= 0 a ` e continua per ogni α > 1 e β ∈ IR

c ` e derivabile solo per α < 1 e β = 0

b ` e derivabile per ogni α ≤ 1 e β ∈ IR d nessuna delle precedenti

(2) Tra le aree di tutti i rettangoli di diagonale uguale a d > 0 quella massima ` e a d

2

c

d22

b 2d

2

d nessuna delle precedenti (3) La funzione f

α

(x) = √

1 − x − e

αx

− sin(cos x − 1) per x → 0 ha ordine di infinitesimo a 2 per ogni α ∈ IR

c 4 per qualche α ∈ IR

b 1 per ogni α ∈ IR

d nessuna delle precedenti

(4) L’integrale Z

2

0

x

2

e

|x−1|

dx vale a 8e − 6

c 0

b

4e

− 3

d nessuna delle precedenti

(5) La serie numerica

X

n=1

(2n)! log

n1

n

αn

n! con α ∈ IR risulta a convergente solo se α ≥ 0

c divergente per ogni α ∈ IR

b convergente per ogni α ∈ IR d nessuna delle precedenti

1

(2)

Risoluzione

1. La risposta esatta ` e d . Infatti, osservato che per x → 0 si ha

3

1 + x

2

− √

3

1 − x

2

= 1 +

13

x

2

+ o(x

2

) − 1 −

13

x

2

+ o(x

2

) =

23

x

2

+ o(x

2

) otteniamo che

lim

x→0+

f (x) = lim

x→0+

3

1 + x

2

− √

3

1 − x

2

x

2

+ x

α

=

23

lim

x→0+

1 1 + x

α−2

=

 

 

0 se α < 2

1

3

se α = 2

2

3

se α > 2 ed essendo lim

x→0

f (x) = lim

x→0

tan(βx) = 0 = f (0), otteniamo che la funzione risulta continua solo per α < 2, per ogni β ∈ IR.

Riguardo la derivabilit` a, per α < 2, dai precedenti sviluppi abbiamo lim

x→0+

f (x) − f (0)

x = lim

x→0+

3

1 + x

2

− √

3

1 − x

2

x(x

2

+ x

α

) = lim

x→0+

3

1 + x

2

− √

3

1 − x

2

x

α+1

=

23

lim

x→0+

1 x

α−1

=

 

 

0 se α < 1

2

3

se α = 1 +∞ se α > 1

e quindi la funzione ammette derivata destra in x

0

= 0 con f

+0

(0) =

23

se α = 1, f

+0

(0) = 0 se α < 1. Essendo invece f

0

(x) =

cos2β(βx)

per ogni x < 0 e lim

x→0

f

0

(x) = β, si ha che la funzione ammette derivata sinistra in x

0

= 0 con f

0

(0) = β. Ne concludiamo allora che la funzione risulta derivabile in x

0

= 0 solo per α = 1 e β =

23

e per α < 1 e β = 0.

2. La risposta esatta ` e c . Osserviamo che, detta b la base del rettangolo, h l’altezza e d la diagonale, dal Teorema di Pitagora risulta h = √

d

2

− b

2

. L’area di un rettangolo di diagonale d e base b sar` a quindi data dal prodotto b · √

d

2

− b

2

. Determiniamo allora il massimo della funzione A(b) = b · √

d

2

− b

2

con b ∈ [0, d]. La funzione risulta derivabile in ogni b ∈ (0, d) con A

0

(b) = d

2

− 2b

2

√ b

2

− d

2

Avremo allora che A

0

(b) > 0 se b <

d

2

, A

0

(b) < 0 se b >

d

2

e quindi che la funzione risulta crescente in [0,

d

2

], decrescente in [

d

2

, d]. Il punto b

0

=

d

2

risulta allora punto di massimo

2

(3)

assoluto con A(b

0

) =

d22

. Osserviamo che il rettagolo di diagonale d di area massima ` e un quadrato di lato

d

2

.

In alternativa, detto α ∈ [0,

π2

] l’angolo tra la base del rettangolo e la sua diagonale, la base del rettagolo sar` a uguale a d cos α, l’altezza a d sin α. L’area del rettangolo di diagonale d sar` a allora data da d

2

cos α sin α e si poteva determinare il massimo della funzione A(α) = d

2

cos α sin α al variare di α ∈ [0,

π2

]. Il valore massimo di tale funzione risulta

d22

e si ottiene in corrispondenza di α

0

=

π4

.

3. La risposta esatta ` e d . Infatti, per ogni α > 0, per x → 0 risulta f

α

(x) = √

1 − x − e

αx

− sin(cos x − 1)

= 1 −

12

x −

18

x

2

+ o(x

2

) − (1 + αx +

α22

x

2

+ o(x

2

)) − (cos x − 1 + o((cos x − 1)

2

))

= −(

12

+ α)x − (

18

+

α22

)x

2

+ o(x

2

) − (−

12

x

2

+ o(x

2

))

= −(

12

+ α)x − (

α22

38

)x

2

+ o(x

2

)

Ne deduciamo che se α 6= −

12

allora f

α

(x) = −(

12

+ α)x + o(x) e la funzione ha ordine di infinitesimo 1, se α = −

12

allora f

α

(x) =

14

x

2

+ o(x

2

) e la funzione ha ordine di infinitesimo 2.

Quindi la risposta esatta ` e d .

4. La risposta corretta ` e d . Infatti, dalla propriet` a di additivit` a dell’integrale abbiamo che Z

2

0

x

2

e

|x−1|

dx = Z

1

0

x

2

e

1−x

dx + Z

2

1

x

2

e

x−1

dx Integrando per parti si ottiene che

Z

x

2

e

1−x

dx = −x

2

e

1−x

+ Z

2xe

1−x

dx = −x

2

e

1−x

− 2xe

1−x

+ Z

2e

1−x

dx

= −x

2

e

1−x

− 2xe

1−x

− 2e

1−x

+ c = −e

1−x

(x

2

+ 2x + 2) + c, c ∈ IR da cui

Z

1 0

x

2

e

1−x

dx = −e

1−x

(x

2

+ 2x + 2) 

1

0

= 2e − 5.

Mentre Z

x

2

e

x−1

dx = x

2

e

x−1

− Z

2xe

x−1

dx = x

2

e

1−x

− 2xe

x−1

+ Z

2e

x−1

dx

= x

2

e

x−1

− 2xe

x−1

+ 2e

x−1

+ c = e

x−1

(x

2

− 2x + 2) + c, c ∈ IR

3

(4)

e quindi

Z

2 1

x

2

e

x−1

dx = e

x−1

(x

2

− 2x + 2) 

2

1

= 2e − 1.

Ne concludiamo che Z

2

0

x

2

e

|x−1|

dx = Z

1

0

x

2

e

1−x

dx + Z

2

1

x

2

e

x−1

dx = 2e − 5 + 2e − 1 = 4e − 6

5. La risposta esatta ` e d . Posto a

n

=

(2n)! log

1 n

nαnn!

(a)

, per n → +∞ si ha a

n+1

a

n

= (2n + 2)! log

n+11

(n + 1)

αn+α

(n + 1)! · n

αn

n!

(2n)! log

1n

= (2n + 2)(2n + 1) (n + 1)

α+1

log(n + 1) log n

 n

n + 1



αn

∼ 4n

2

n

α+1

e

−α

= 4

n

α−1

e

−α

 

 

0 se α > 1

4

e

se α = 1 +∞ se α < 1

Dal criterio del rapporto, essendo

4e

> 1, ne segue che la serie converge se α > 1 e diverge se α ≤ 1.

(a)

Nota, la serie ` e a termini negativi, i risultati visti per le serie a termini positivi continuano per` o a valere essendo i termini della serie di segno costante

4

Riferimenti

Documenti correlati

[r]

Quindi la parabola ℘ cercata appartiene al fascio di coniche bitangenti alla retta per V perpendicolare all’ asse di simmetria e alla retta impropria.. Le coniche spezzate del

Per esercitarvi con la definizione di limite (che per molti ` e nuova, altri hanno visto ma non ancora “metabolizzato” e, comunque, molti trovano difficile) pu` o essere utile

Uno studente ha nel proprio curriculum 9 esami da 6 crediti, nei quali ha riportato una media di 24/30 , e 6 esami da 9 crediti, nei quali ha riportato una media di 21/30.. Qual `e

Esame di MATEMATICA Cognome e Nome Matricola. Appello del 12

Esame di MATEMATICA Cognome e Nome Matricola Appello del 14 giugno

[r]

ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 3 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.. Risolvere gli esercizi 11-25 del libro