Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Velocità istantanea
Percorriamo il tratto di strada tra Udine e
Trieste
Udine
Trieste
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Velocità istantanea
Percorriamo il tratto di strada tra Udine e
Trieste
Udine
Trieste
75km
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Velocità istantanea
Percorriamo il tratto di strada tra Udine e
Trieste
Udine
Trieste
75km
Tempo impiegato
:
1h
velocità media
=
spazio percorso
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Velocità istantanea
Percorriamo il tratto di strada tra Udine e
Trieste
Udine
Trieste
75km
Tempo impiegato
:
1h
velocità media
=
spazio percorso
tempo impiegato
= 75 km/h
Questo non vuol dire che abbiamo avuto una
velocità costante!
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Dividendo il tratto di strada in due parti
30km
45km
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Dividendo il tratto di strada in due parti
30km
45km
Udine
Trieste
Tempo impiegato primo tratto:
0.7h
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Dividendo il tratto di strada in due parti
30km
45km
Udine
Trieste
Tempo impiegato primo tratto:
0.7h
Tempo impiegato secondo tratto:
0.3h
velocità media primo tratto
= 64.28 km/h
velocità media secondo tratto
= 100 km/h
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Dividendo il tratto di strada in due parti
30km
45km
Udine
Trieste
Tempo impiegato primo tratto:
0.7h
Tempo impiegato secondo tratto:
0.3h
velocità media primo tratto
= 64.28 km/h
velocità media secondo tratto
= 100 km/h
Si può dividere la strada in intervalli sempre
più piccoli su cui calcolare la velocità media
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
s(t) = la distanza percorsa al tempo t
La velocità media nell’intervallo di tempo
[t
0
, t
0
+ h] è
s(t
0
+ h) − s(t
0
)
h
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
s(t) = la distanza percorsa al tempo t
La velocità media nell’intervallo di tempo
[t
0
, t
0
+ h] è
s(t
0
+ h) − s(t
0
)
h
Più
h è vicino a 0, più è precisa l’informazione
sull’andamento della velocità.
Esempio introduttivo Velocità istantanea Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
s(t) = la distanza percorsa al tempo t
La velocità media nell’intervallo di tempo
[t
0
, t
0
+ h] è
s(t
0
+ h) − s(t
0
)
h
Più
h è vicino a 0, più è precisa l’informazione
sull’andamento della velocità. Il limite
lim
h→0
s(t
0
+ h) − s(t
0
)
h
Esempio introduttivo Definizione di derivata Derivabilità e derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Esempio introduttivo Definizione di derivata Derivabilità e derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Derivabilità e derivata
Sia
f :]a, b[→ R una funzione e x
0
∈]a, b[
f è
derivabile nel punto
x
0
se esiste finito
lim
h→0
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
detto
derivata di
f nel punto x
0
, indicato
usualmente con uno dei simboli
f
′
(x
0
)
df
Esempio introduttivo Definizione di derivata Derivabilità e derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Derivabilità e derivata
Sia
f :]a, b[→ R una funzione e x
0
∈]a, b[
f è
derivabile nel punto
x
0
se esiste finito
lim
h→0
f (x
0
+ h) − f(x
0
)
h
rapporto
incrementale
detto
derivata di
f nel punto x
0
, indicato
usualmente con uno dei simboli
f
′
(x
0
)
df
Esempio introduttivo Definizione di derivata Derivabilità e derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Si dice che
f è
derivabile in un
sottoinsie-me
A
del suo dominio se è derivabile in ogni
Esempio introduttivo Definizione di derivata Derivabilità e derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Si dice che
f è
derivabile in un
sottoinsie-me
A
del suo dominio se è derivabile in ogni
punto di
A
Operando il cambiamento di variabile
x = x
0
+ h si ottiene
f
′
(x
0
) = lim
x→x
0
f (x) − f(x
0
)
x − x
0
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
x
0
P
0
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Tracciamo la
retta
secan-te
passante per i punti di
ascissa x
0
e x
0
+ h
x
0
P
0
f
(x
0
)
x
0
+ h
P
h
f
(x
0
+ h)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Tracciamo la
retta
secan-te
passante per i punti di
ascissa x
0
e x
0
+ h
Facciamo tendere h a zero,
quindi x
0
+ h tenderà a x
0
x
0
P
0
f
(x
0
)
x
0
+ h
P
h
f
(x
0
+ h)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Tracciamo la
retta
secan-te
passante per i punti di
ascissa x
0
e x
0
+ h
Facciamo tendere h a zero,
quindi x
0
+ h tenderà a x
0
Corrispondentemente
il
punto P
h
tenderà a P
0
lungo la curva
x
0
P
0
f
(x
0
)
x
0
+ h
P
h
f
(x
0
+ h)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Tracciamo la
retta
secan-te
passante per i punti di
ascissa x
0
e x
0
+ h
Facciamo tendere h a zero,
quindi x
0
+ h tenderà a x
0
Corrispondentemente
il
punto P
h
tenderà a P
0
lungo la curva
x
0
P
0
f
(x
0
)
x
0
+ h
P
h
f
(x
0
+ h)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Tracciamo la
retta
secan-te
passante per i punti di
ascissa x
0
e x
0
+ h
Facciamo tendere h a zero,
quindi x
0
+ h tenderà a x
0
Corrispondentemente
il
punto P
h
tenderà a P
0
lungo la curva
x
0
P
0
f
(x
0
)
x
0
+ h
P
h
f
(x
0
+ h)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Per h → 0, la retta secante
tende alla
retta tangente al grafico
nel punto x
0
, f
(x
0
)
x
0
P
0
f
(x
0
)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Per h → 0, la retta secante
tende alla
retta tangente al grafico
nel punto x
0
, f
(x
0
)
Se f è derivabile in x
0
,
pas-sando al limite h → 0
nel-l’equazione della retta
se-cante si trova l’equazione
della retta tangente
x
0
P
0
f
(x
0
)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Per h → 0, la retta secante
tende alla
retta tangente al grafico
nel punto x
0
, f
(x
0
)
Se f è derivabile in x
0
,
pas-sando al limite h → 0
nel-l’equazione della retta
se-cante si trova l’equazione
della retta tangente
x
0
P
0
f
(x
0
)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
+ f (x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Retta tangente
Sia f
:]a, b[→ R e x
0
∈]a, b[
Per h → 0, la retta secante
tende alla
retta tangente al grafico
nel punto x
0
, f
(x
0
)
Se f è derivabile in x
0
,
pas-sando al limite h → 0
nel-l’equazione della retta
se-cante si trova l’equazione
della retta tangente
x
0
P
0
f
(x
0
)
Equazione della secante
:
y
= (x − x
0
)
f
(x
0
+ h) − f(x
0
)
h
+ f (x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Retta tangente
Significato geometrico
Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Significato geometrico
Dall’equazione
y = (x − x
0
)f
′
(x
0
) + f (x
0
)
si ottiene l’
interpretazione geometrica della derivata
:
La derivata della funzione
f nel punto
x
0
è il coefficiente angolare della
ret-ta ret-tangente al grafico della funzione nel
punto
(x
0
, f (x
0
))
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Tabella di derivate
Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Derivate delle funzioni
elementari
Tabella di derivate
Funzione
Derivata
costante
0
x
α
αx
α
−1
sen x
cos x
cos x
− sen x
tg x
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x
arcsen x
√
1
1 − x
2
arccos x
−
√
1
1 − x
2
arctg x
1
1 + x
2
Funzione
Derivata
a
x
a
x
log a
log
a
x
1
x log a
senh x
cosh x
cosh x
senh x
tgh x
1
cosh
2
x
setsenh x
√
1
1 + x
2
setcosh x
√
1
x
2
− 1
settgh x
1
1 − x
2
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Operazioni con le derivate
Se
f e g sono derivabili in un punto x allora sono
derivabili in
x anche αf , f + g, f g e f /g (purché
g(x) 6= 0), e valgono
(αf )
′
(x) = αf
′
(x)
(f + g)
′
(x) = f
′
(x) + g
′
(x)
(f g)
′
(x) = f
′
(x)g(x) + f (x)g
′
(x)
f
g
′
(x) =
f
′
(x)g(x) − f(x)g
′
(x)
g
2
(x)
se
g(x) 6= 0
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Operazioni con le derivate
Se
f e g sono derivabili in un punto x allora sono
derivabili in
x anche αf , f + g, f g e f /g (purché
g(x) 6= 0), e valgono
(αf )
′
(x) = αf
′
(x)
(f + g)
′
(x) = f
′
(x) + g
′
(x)
(f g)
′
(x) = f
′
(x)g(x) + f (x)g
′
(x)
f
g
′
(x) =
f
′
(x)g(x) − f(x)g
′
(x)
g
2
(x)
se
g(x) 6= 0
Se
g è derivabile in x ed f è derivabile in g(x) allora
la funzione composta
f ◦ g è derivabile in x e vale
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Derivata n-esima
Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Derivata n-esima
Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Derivata n-esima
Se
f : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,
allora si può considerare la
funzione derivata
f
′
: ]a, b[ → R
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Derivata n-esima
Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Derivata n-esima
Se
f : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,
allora si può considerare la
funzione derivata
f
′
: ]a, b[ → R
x 7→ f
′
(x)
Se
f
′
è derivabile in
x
0
∈ ]a, b[ diremo che la
sua derivata
(f
′
)
′
(x
0
) è la
derivata seconda
di
f nel punto x
0
, denotata con uno dei simboli
f
′′
(x
0
)
d
2
f
dx
2
(x
0
)
D
2
f (x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Derivata n-esima
Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Derivata n-esima
Se
f : ]a, b[→ R è derivabile in ogni punto,
allora si può considerare la
funzione derivata
f
′
: ]a, b[ → R
x 7→ f
′
(x)
Se
f
′
è derivabile in
x
0
∈ ]a, b[ diremo che la
sua derivata
(f
′
)
′
(x
0
) è la
derivata seconda
di
f nel punto x
0
, denotata con uno dei simboli
f
′′
(x
0
)
d
2
f
dx
2
(x
0
)
D
2
f (x
0
)
Procedendo oltre, potremo parlare di derivata
terza e così via. Useremo il simbolo
f
(n)
o
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Andamento di crescita delle
funzioni derivabili
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Consideriamo il
gra-fico di una funzione
crescente e derivabile.
x
f
(x)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Consideriamo il
gra-fico di una funzione
crescente e derivabile.
Ogni retta tangente
al grafico “punta
ver-so l’alto”
x
f
(x)
x
0
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Consideriamo il
gra-fico di una funzione
crescente e derivabile.
Ogni retta tangente
al grafico “punta
ver-so l’alto”, ovvero ha
un coefficiente
ango-lare positivo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Consideriamo il
gra-fico di una funzione
crescente e derivabile.
Ogni retta tangente
al grafico “punta
ver-so l’alto”, ovvero ha
un coefficiente
ango-lare positivo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Consideriamo il
gra-fico di una funzione
crescente e derivabile.
Ogni retta tangente
al grafico “punta
ver-so l’alto”, ovvero ha
un coefficiente
ango-lare positivo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Consideriamo il
gra-fico di una funzione
crescente e derivabile.
Ogni retta tangente
al grafico “punta
ver-so l’alto”, ovvero ha
un coefficiente
ango-lare positivo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Analogamente accade
per le funzioni
de-crescenti e
derivabi-li.
x
f
(x)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Analogamente accade
per le funzioni
de-crescenti e
derivabi-li. Ogni retta
tangen-te al grafico “punta
verso il basso”,
ovve-ro ha un coefficiente
angolare negativo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Analogamente accade
per le funzioni
de-crescenti e
derivabi-li. Ogni retta
tangen-te al grafico “punta
verso il basso”,
ovve-ro ha un coefficiente
angolare negativo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Analogamente accade
per le funzioni
de-crescenti e
derivabi-li. Ogni retta
tangen-te al grafico “punta
verso il basso”,
ovve-ro ha un coefficiente
angolare negativo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Analogamente accade
per le funzioni
de-crescenti e
derivabi-li. Ogni retta
tangen-te al grafico “punta
verso il basso”,
ovve-ro ha un coefficiente
angolare negativo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Monotonia delle funzioni derivabili
Analogamente accade
per le funzioni
de-crescenti e
derivabi-li. Ogni retta
tangen-te al grafico “punta
verso il basso”,
ovve-ro ha un coefficiente
angolare negativo.
x
f
(x)
x
0
f
(x
0
)
Poiché la pendenza della tangente al grafico di
f nel punto (x
0
, f (x
0
)) è data da f
′
(x
0
), ci si
può aspettare che il segno della derivata prima
sia legato all’andamento di monotonia della
funzione.
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Criterio di monotonia
Teorema (criterio di monotonia). Sia
f una funzione
derivabile in
]a, b[. Allora
f
′
(x) ≥ 0 ∀ x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è crescente in ]a, b[
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Criterio di monotonia
Teorema (criterio di monotonia). Sia
f una funzione
derivabile in
]a, b[. Allora
f
′
(x) ≥ 0 ∀ x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è crescente in ]a, b[
f
′
(x) ≤ 0 ∀ x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è decrescente in ]a, b[
Riguardo la monotonia in senso stretto:
f
′
(x) > 0 ∀ x ∈]a, b[ =⇒
f è strettamente
crescente in ]a,b[
f
′
(x) < 0 ∀ x ∈]a, b[ =⇒
f è strettamente
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Monotonia delle funzioni derivabili Criterio di monotonia
Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Criterio di monotonia
Teorema (criterio di monotonia). Sia
f una funzione
derivabile in
]a, b[. Allora
f
′
(x) ≥ 0 ∀ x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è crescente in ]a, b[
f
′
(x) ≤ 0 ∀ x ∈]a, b[ ⇐⇒ f è decrescente in ]a, b[
Riguardo la monotonia in senso stretto:
f
′
(x) > 0 ∀ x ∈]a, b[ =⇒
f è strettamente
crescente in ]a,b[
f
′
(x) < 0 ∀ x ∈]a, b[ =⇒
f è strettamente
decrescente in ]a,b[
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Curvatura del grafico
Talvolta è utile conoscere non solo dove la
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Curvatura del grafico
Talvolta è utile conoscere non solo dove la
funzione cresce/decresce ma anche come lo fa.
Ad esempio le tre funzioni
x
f
(x)
f
(x) = x
x
g(x)
g
(x) = x
2
x
h(x)
h
(x) =
√
x
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Curvatura del grafico
Talvolta è utile conoscere non solo dove la
funzione cresce/decresce ma anche come lo fa.
Ad esempio le tre funzioni
x
f
(x)
f
(x) = x
x
g(x)
g
(x) = x
2
x
h(x)
h
(x) =
√
x
sono tutte crescenti in
[0, +∞[, ma i grafici si
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Curvatura del grafico
Talvolta è utile conoscere non solo dove la
funzione cresce/decresce ma anche come lo fa.
Ad esempio le tre funzioni
x
f
(x)
f
(x) = x
x
g(x)
g
(x) = x
2
x
h(x)
h
(x) =
√
x
sono tutte crescenti in
[0, +∞[, ma i grafici si
“curvano” in maniera differente:
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Curvatura del grafico
Talvolta è utile conoscere non solo dove la
funzione cresce/decresce ma anche come lo fa.
Ad esempio le tre funzioni
x
f
(x)
f
(x) = x
x
g(x)
g
(x) = x
2
x
h(x)
h
(x) =
√
x
sono tutte crescenti in
[0, +∞[, ma i grafici si
“curvano” in maniera differente:
■
il grafico di
f
è un retta
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Curvatura del grafico
Talvolta è utile conoscere non solo dove la
funzione cresce/decresce ma anche come lo fa.
Ad esempio le tre funzioni
x
f
(x)
f
(x) = x
x
g(x)
g
(x) = x
2
x
h(x)
h
(x) =
√
x
sono tutte crescenti in
[0, +∞[, ma i grafici si
“curvano” in maniera differente:
■
il grafico di
f
è un retta
■
il grafico di
g
“si curva verso l’alto”
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Funzioni convesse e concave
Si può dire che una funzione
è
convessa
se il grafico si
flet-te verso l’alto, assumendo una
forma del tipo
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Funzioni convesse e concave
Si può dire che una funzione
è
convessa
se il grafico si
flet-te verso l’alto, assumendo una
forma del tipo
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Funzioni convesse e concave
Si può dire che una funzione
è
convessa
se il grafico si
flet-te verso l’alto, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
convessa in
]a, b[
, se, comunque
pre-si due punti del grafico di
f , il segmento che
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Funzioni convesse e concave
Si può dire che una funzione
è
convessa
se il grafico si
flet-te verso l’alto, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
convessa in
]a, b[
, se, comunque
pre-si due punti del grafico di
f , il segmento che
li congiunge sta sopra il grafico, cioè se
f λx + (1 − λ)y
≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Funzioni convesse e concave
Si può dire che una funzione
è
convessa
se il grafico si
flet-te verso l’alto, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
convessa in
]a, b[
, se, comunque
pre-si due punti del grafico di
f , il segmento che
li congiunge sta sopra il grafico, cioè se
f λx + (1 − λ)y
≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Funzioni convesse e concave
Si può dire che una funzione
è
convessa
se il grafico si
flet-te verso l’alto, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
convessa in
]a, b[
, se, comunque
pre-si due punti del grafico di
f , il segmento che
li congiunge sta sopra il grafico, cioè se
f λx + (1 − λ)y
≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Analogamente, una funzione è
concava
se il grafico si flette
verso il basso, assumendo una
forma del tipo
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Analogamente, una funzione è
concava
se il grafico si flette
verso il basso, assumendo una
forma del tipo
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Analogamente, una funzione è
concava
se il grafico si flette
verso il basso, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
concava in
]a, b[
, se, comunque presi
due punti del grafico di
f , il segmento che li
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Analogamente, una funzione è
concava
se il grafico si flette
verso il basso, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
concava in
]a, b[
, se, comunque presi
due punti del grafico di
f , il segmento che li
congiunge sta sotto il grafico, cioè se
f λx + (1 − λ)y
≥ λf(x) + (1 − λ)f(y)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Analogamente, una funzione è
concava
se il grafico si flette
verso il basso, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
concava in
]a, b[
, se, comunque presi
due punti del grafico di
f , il segmento che li
congiunge sta sotto il grafico, cioè se
f λx + (1 − λ)y
≥ λf(x) + (1 − λ)f(y)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Analogamente, una funzione è
concava
se il grafico si flette
verso il basso, assumendo una
forma del tipo
x
y
Più precisamente, data
f: ]a, b[→ R
f si dice
concava in
]a, b[
, se, comunque presi
due punti del grafico di
f , il segmento che li
congiunge sta sotto il grafico, cioè se
f λx + (1 − λ)y
≥ λf(x) + (1 − λ)f(y)
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Convessità e derivata seconda
Il seguente teorema caratterizza la convessità
di una funzione derivabile due volte:
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Curvatura del grafico Funzioni convesse e concave Convessità e derivata seconda Problemi di massimo e minimo Studio di funzioni
Convessità e derivata seconda
Il seguente teorema caratterizza la convessità
di una funzione derivabile due volte:
Teorema. Sia
f : ]a, b[→ R una funzione derivabile
due volte in
]a, b[. Allora
f
′′
(x) ≥ 0 ∀ x ∈]a, b[ =⇒ f è convessa in ]a, b[
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Problemi di massimo e
minimo
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Punti di massimo e minimo
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Punti di massimo e minimo
Sia
f : A → R, x
0
∈ A
x
0
∈ A si dice
punto di massimo di
f
se
f (x
0
) ≥ f(x) per ogni x ∈ A
cioè se
f (x
0
) è il più grande valore che f
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Punti di massimo e minimo
Sia
f : A → R, x
0
∈ A
x
0
∈ A si dice
punto di massimo di
f
se
f (x
0
) ≥ f(x) per ogni x ∈ A
cioè se
f (x
0
) è il più grande valore che f
assume
x
0
∈ A si dice
punto di minimo di
f
se
f (x
0
) ≤ f(x) per ogni x ∈ A
cioè se
f (x
0
) è il più piccolo valore che f
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Massimo e minimo
I valori assunti nei punti di massimo e minimo
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Massimo e minimo
I valori assunti nei punti di massimo e minimo
sono rispettivamente il
massimo
e
minimo di
f
x
0
punto di massimo
=⇒ f(x
0
) = max
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Massimo e minimo
I valori assunti nei punti di massimo e minimo
sono rispettivamente il
massimo
e
minimo di
f
x
0
punto di massimo
=⇒ f(x
0
) = max
x∈A
f (x)
x
1
punto di minimo
=⇒ f(x
1
) = min
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Massimo e minimo
I valori assunti nei punti di massimo e minimo
sono rispettivamente il
massimo
e
minimo di
f
x
0
punto di massimo
=⇒ f(x
0
) = max
x∈A
f (x)
x
1
punto di minimo
=⇒ f(x
1
) = min
x∈A
f (x)
x
y
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Massimo e minimo
I valori assunti nei punti di massimo e minimo
sono rispettivamente il
massimo
e
minimo di
f
x
0
punto di massimo
=⇒ f(x
0
) = max
x∈A
f (x)
x
1
punto di minimo
=⇒ f(x
1
) = min
x∈A
f (x)
x
y
x
max f
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Massimo e minimo
I valori assunti nei punti di massimo e minimo
sono rispettivamente il
massimo
e
minimo di
f
x
0
punto di massimo
=⇒ f(x
0
) = max
x∈A
f (x)
x
1
punto di minimo
=⇒ f(x
1
) = min
x∈A
f (x)
x
y
x
0
max f
x
1
min f
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Teorema di Weierstrass
In generale massimo e minimo di una funzione
non esistono
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
Teorema di Weierstrass
In generale massimo e minimo di una funzione
non esistono, ma per le funzioni continue vale
il seguente teorema:
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Teorema di Weierstrass
In generale massimo e minimo di una funzione
non esistono, ma per le funzioni continue vale
il seguente teorema:
Teorema (di Weierstrass)
Se
f è una funzione definita su un intervallo
chiuso e limitato
[a, b] ed è ivi continua allora
Esempio introduttivo Definizione di derivata Interpretazione geometrica Derivate delle funzioni elementari Operazioni con le derivate Derivate di ordine superiore Crescita delle funzioni derivabili Funzioni concave e convesse Problemi di massimo e minimo Punti di massimo e minimo Massimo e minimo Teorema di Weierstrass Massimi e minimi relativi Punti critici o stazionari Criterio della derivata seconda Ricerca dei massimi e minimi Studio di funzioni
