Derivate di funzioni

(1)

Derivate di funzioni

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

(2)

Approssimazione

Problema.

Data una funzione f definita in un intorno di x0, ci poniamo il

problema di approssimarla localmente, cio`e in un intorno sufficientemente piccolo di x0, con una retta di equazione

y = ax + b, passante per (x0, f (x0)) e quindi tale che

f (x0) = ax0+ b.

Notazione.

Dicendo che una funzione f `e uguale a o(x − c)intenderemo che

lim x →c

(3)

Nota sugli o

Nota.

Osserviamo che se limx →x0f (x ) = 0, limx →x0g (x ) = 0 allora

avevamo gi`a visto che f = o(g ) se lim

x →x0

f

g = 0.

Con questa vecchia notazione, g (x ) = x − c e x0 = c, scrivevamo

f `e uguale ao(x − c)qualora

lim x →c

f (x ) x − c = 0.

(4)

Approssimazione

Esempio

La funzione sin(x ) − x `e o(x ) (cio`e o(x − 0)).

Svolgimento.

Da limx →0 sin(x )_x = 1 abbiamo che

lim x →0 sin(x ) − x x = limx →0 sin(x ) x − limx →0 x x = 1 − 1 = 0

e quindi sin(x ) − x `e o(x ).

(5)

Approssimazione

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1 0 1 2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 x 10−3 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 −8

(6)

Retta tangente al grafico di f in (x

0

, f (x

0

))

Definizione (Retta tangente)

Sia I un intervallo (anche illimitato), e x0 sia interno ad I (cio`e non

sia un estremo di I ). Si dice che la retta passante per (x0, f (x0))

y = f (x0) + m(x − x0)

`etangente al grafico di f in (x0, f (x0)) se

f (x ) − [f (x0) + m(x − x0)] = o(x − x0).

Usando l’abuso di notazione precedente, che torner`a utile, ci`o si scrive pure

(7)

Approssimazione

Nota. (1)

Potrebbe dar fastidio l’abuso di notazione. Vediamone la ragione. Quando scriviamo

f (x ) − g (x ) = o(x − c)

intendiamo che h(x ) = f (x ) − g (x ) (cio`e f (x ) = g (x ) + h(x )) `e

una funzione tale che limx →ch(x )/(x − c) = 0. Quindi, portando

a secondo membro g (x ) con

f (x ) = g (x ) + o(x − c) intendiamo dire

(8)

Approssimazione

Teorema Se f (x ) = o(x − c) per x → c allora lim x →cf (x ) = 0. Dimostrazione. (Facoltativa)

Infatti, per definizione, limx →c f (x )_{x −c} = 0, dice che

∀ > 0, ∃δ() > 0 : |x − c| < δ() ⇒ |f (x)/(x − c)| < ovvero

∀ > 0, ∃δ() > 0 : |x − c| < δ() ⇒ |f (x)| < · |x − c| e quindi, esiste un intorno di c per cui|f (x)| < · |x − c|e visto che |x − c| → 0 per x → c, per il teorema del confronto, da

(9)

Retta tangente al grafico di f in (x

0

, f (x

0

))

Nota.

Ricordando la definizione di o(x − x0)

(10)

Derivata

Definizione (Rapporto incrementale)

La quantit`a

f (x ) − f (x0) x − x0

si chiamarapporto incrementale di f in x relativamente a x0. Definizione (Derivabilit`a )

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R → R, con x0 interno ad I .

Diremo che f `e derivabile in x0 se esiste finito il limite

f0(x0) = limx →x0

f (x )−f (x0)

x −x0 .

Tale limite f0(x0) viene chiamato derivata (prima) di f in x0 e

(11)

Derivabilit`

a : definizione alternativa

Nota.

Osserviamo che posto x = x0+ h, abbiamo

f0(x0) = lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 = lim h→0 f (x0+ h) − f (x0) h .

Per questo motivo spesso si definisce

f0(x0) = lim h→0

f (x0+ h) − f (x0)

(12)

Derivata, esempio 1

Esercizio

Mostrare che laderivata prima di sin(x ) in 0 vale 1.

Svolgimento.

Per quanto detto basta sia, per f (x ) = sin(x )

f0(0) = lim h→0 f (0 + h) − f (0) 0 + h − 0 = limh→0 sin(h) − sin(0) h = lim h→0 sin(h) h = 1

cosa nota per il limite notevole lim

x →0

sin(x )

(13)

Derivata, esempio non derivabile, 1

Esercizio

La funzione√3_x _{non `}_{e derivabile in x}

0= 0. Traccia.

Scrivendo il rapporto incrementale f (0 + h) − f (0) h = 3 √ h h = h −2/3_{→ ±∞}

(14)

Derivata, esempio

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

(15)

Derivata, esempio non derivabile, 2

Definizione (Punto angoloso)

Se f−0(x0) = lim h→0− f (x0+ h) − f (x0) h , f₊0(x0) = lim h→0+ f (x0+ h) − f (x0) h

sono finiti ma distinti, il punto x0 si diceangolosoper f .

Nota.

In questo caso la funzione non risulta derivabile, si ha quando f+0(x0) = lim h→0+ f (x0+ h) − f (x0) h 6= limh→0− f (x0+ h) − f (x0) h = f 0 −(x0)

(16)

Derivata, esempio non derivabile, 2

Esercizio

La funzionef (x ) = |x | ha un punto angoloso in x0= 0. Traccia.

Si vede subito che 1 = lim h→0+ |h| − 0 h 6= limh→0− |h| − 0 h = limh→0− −h − 0 h = −1.

(17)

Derivata, esempio

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

(18)

Derivata, cuspide

Definizione (Cuspide)

Se uno tra f₊0(x0) e f−0(x0) vale +∞ e l’altro −∞, il punto x0 si

dicecuspideper f .

Nota.

Tale funzione non risulta derivabile, si ha quando f+0(x0) = lim h→0+ f (x0+ h) − f (x0) h 6= limh→0− f (x0+ h) − f (x0) h = f 0 −(x0)

(19)

Derivata, cuspide

Esempio

La funzionep|x|ha una cuspide in x0 = 0.

(20)

Derivabilit`

a

Definizione (Derivabilit`a in un intervallo)

Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R → R, derivabile per ogni x∗ interno ad I . Diremo che f `ederivabile in I e con

f0(x )

intenderemo la funzione che ad x associa il valore della derivata nel punto x .

Nota.

A volte

df dx(x )

(21)

Derivata, derivate sinistre e destre

Definizione (Derivata destra)

Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0< b. Diremo che f `e derivabile a destrain x0 se esiste finitoil limite destro

lim x →x₀+

f (x ) − f (x0) x − x0

:= f+0(x0)

Definizione (Derivata sinistra)

Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0< b. Diremo che f `e derivabile a sinistrain x0 se esistefinito il limite sinistro

(22)

Derivata, teorema sulla derivazione, dalle derivate sinistre e

destre

Teorema (Legame derivabilit`a e derivate destre e sinistre)

Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. La funzione f `e

derivabile in x0 se e solo se

esistono finite f−0(x0), f+0(x0),

(23)

Derivabilit`

a e continuit`

a

Teorema (Legame derivabilit`a e continuit`a)

Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. Sia la funzione f

derivabile in x0. Allora la funzione `e continua in x0. Dimostrazione. Dalla definizione, f0(x0) = lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 ⇔ lim x →x0 f (x ) − f (x0) − f0(x0)(x − x0) x − x0 = 0 ⇔ f (x ) − f (x0) − f 0 (x0)(x − x0) = o(x − x0) ⇔ f (x ) = f (x0) + f 0 (x0)(x − x0) + o(x − x0)

ed essendo f0(x0)(x − x0) → 0, o(x − x0) → 0, per x → x0, ricaviamo

(24)

Derivabilit`

a e continuit`

a

Nota.

Il teorema precedente di che laderivabilità di una funzione si studia solo nei punti in cui f è continua perchè dove è discontinua

sicuramente non `e derivabile.

Nota.

Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, come ad esempio, la funzione f (x ) = |x | che `e ovunque continua ma non `e derivabile in x0= 0.

(25)

Derivabilite delle funzioni elementari: monomi

Teorema (Derivata di f (x ) = xα.)

La derivata dif (x ) = xα`e, internamente al dominio di f ,

(26)

(27)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: monomi

Dal limite notevole

(28)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: monomi

se α 6= 0, α 6= 1, x0= 0 e ha senso considerare il limite per x → 0

(pensare quanto differenti siano i casi x2e√x !) lim

h→0

(0 + h)α_{− 0}α

h = limh→0h α−1

che vale 0, come xα−1_{per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,}

come xα−1per x = 0 (con abuso di notazione).

se α 6= 0, α 6= 1, x0= 0 e ha senso considerare esclusivamente il limite

per x → 0+ lim h→0+ (0 + h)α− 0α h = limh→0+h α−1

che vale 0, come xα−1per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞, come xα−1per x = 0 (con abuso di notazione).

(29)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: sin(x )

Teorema (Derivata di f (x ) = sin(x ).)

La derivata dif (x ) = sin(x )`e f0(x ) = cos(x ).

Dimostrazione.

Osserviamo che da sin(x0+ h) = sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0)

lim h→0 sin(x0+ h) − sin(x0) h = lim h→0

sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0) − sin(x0)

h

= lim

h→0

sin(x0)(cos(h) − 1) + cos(x0) sin(h)

(30)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: cos(x )

Teorema (Derivata di f (x ) = cos(x ).)

La derivata dif (x ) = cos(x )`e f0(x ) = − sin(x ).

Dimostrazione. (Facoltativa)

Osserviamo che da cos(x0+ h) = cos(x0) cos(h) − sin(h) sin(x0)

lim h→0 cos(x0+ h) − cos(x0) h = lim h→0

cos(x0) cos(h) − sin(h) sin(x0) − cos(x0)

h

= lim

h→0

cos(x0) · (cos(h) − 1) − sin(h) sin(x0)

(31)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: e

x

Teorema (Derivata di f (x ) = ex.)

La derivata dif (x ) = ex _`_e _f0_{(x ) = e}x_.

Dimostrazione.

Osserviamo che da limh→0e

(32)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: a

x

Teorema (Derivata di f (x ) = ax_.)

Per a 6= 1, la derivata dif (x ) = ax `e f0(x ) = axlog(a).

Dimostrazione.

Osserviamo che da limh→0a

(33)

Derivabilit`

a delle funzioni elementari: a

x

Nota.

Abbiamo visto che se a 6= 1, la derivata dif (x ) = ax `e

f0(x ) = axlog(a).

Nel caso particolare di a = e abbiamo che se f (x ) = ex

f0(x ) = exlog(e) = ex

(34)

Algebra delle derivate

Teorema

Siano f , g : I ⊆ R → R derivabili in x0interno ad I . Allora

(35)

Algebra delle derivate. Esempi.

Esempio

Abbiamo visto cheD sin(x ) = cos(x ), cheDx3 = 3x2 e che

Dex = ex. Di conseguenza

D(x3) = 3x2+ cos(x ),

D(2 · x3) = 2 · D(x3) = 2 · 3 · x2 = 6 · x2 D(x3· sin(x)) = 3x2· sin(x) + x3· cos(x)

(36)

Algebra delle derivate: tan(x ), cot(x )

Teorema (Derivata di f (x ) = tan(x ))

Sef (x ) = tan(x ) allora, per x 6= (π/2) + kπ, k ∈ Z,

f 0(x ) = 1 + tan2(x ).

Dimostrazione.

Dall’algebra delle derivate sopra esposta e cos2_{(x ) + sin}2_{(x ) = 1}

d dx tan(x ) = d dx sin(x ) cos(x ) = cos2(x ) + sin2(x ) cos2_{(x )} = 1 cos2_{(x )} = 1 + tan 2_{(x )} Teorema

Sef (x ) = cot(x ) := (cos(x )/ sin(x )) allora, per x 6= kπ, k ∈ Z,

(37)

Derivazione di funzioni composte

Teorema (Derivata di funzioni composte)

Sia I un intervallo e supponiamo che

f : I ⊆ R → R sia derivabile nell’interno di I , g : J ⊆ R → R sia derivabile nell’interno di J, f (I ) ⊆ J.

Allora g ◦ f `e derivabile e vale

(38)

Derivazione di funzioni composte

Esempio

Calcolare la derivata di

h(x ) = cos(x )

utilizzando la derivata di una funzione composta.

Svolgimento.

La funzione h(x ) = cos(x ) = sin(π/2 − x ) `e la composta di g (y ) = sin(y ) e f (x ) = π/2 − x . Quindi dalla regola appena vista, visto che g0(y ) = cos(y ) e f0(x ) = 0 − 1 = −1, ricaviamo

(39)

Derivazione di funzioni composte

Esempio

Calcolare la derivata di

h(x ) = esin(x ).

Svolgimento.

La funzione h(x ) = esin(x ) `e la composta di g (x ) = ex e f (x ) = sin(x ). Quindi dalla regola appena vista, visto che g0(x ) = ex e f0(x ) = cos(x ), ricaviamo

(40)

Derivazione della funzione inversa

Teorema (Derivata della funzione inversa)

Sia I un intervallo e supponiamo che

f : I ⊆ R → R sia derivabile in x0 appartenente all’interno di

I ,

f0(x0) 6= 0.

Allora f−1 `e derivabile in y0= f (x0) ed `e

(41)

Derivazione della funzione inversa

Traccia.

Basta applicare il teorema della funzione composta e ricordare che,

derivando ambo i membri di f−1(f (x )) = x visto che

D(f−1(f (x ))) = (f−1)0(f (x )) · f0(x ); Dx = 1,

deduciamo che

(f−1)0(f (x )) · f0(x ) = 1 ⇔ (f−1)0(f (x )) = 1 f0_{(x )}

(42)

Derivazione della funzione inversa: arcsin(x )

Teorema (Derivata di arcsin(x ))

Sef (x ) = arcsin(x ) alloraf0(x ) = √ 1

1−x2.

Traccia.

Posto f (x ) = sin(x ), abbiamo per il precedente teorema, visto che

d

dxsin(x ) = cos(x ), che

d

dxarcsin(y ) = 1 cos(arcsin(y )).

Osserviamo poi che essendo arcsin(y ) ∈ [−π/2, π/2], sicuramente cos(arcsin(y )) ≥ 0 in quanto cos(τ ) ≥ 0 per τ ∈ [−π/2, π/2] e quindi da sin2(x ) + cos2(x ) = 1 abbiamo

cos(arcsin(y )) = q

(43)

Derivazione della funzione inversa: arcsin(x )

Inoltre, poich`e sin2_{(τ ) := (sin(τ ))}2_{e sin(arcsin(y )) = y , necessariamente}

sin2(arcsin(y )) := (sin(arcsin(y )))2= y2. Assemblando i risultati

cos(arcsin(y )) = q

1 − sin2_{(arcsin(y ));}

e

sin2(arcsin(y )) := (sin(arcsin(y )))2= y2.

(44)

Lista di derivate

Teorema

Vale la seguente lista di derivate (nel dominio della funzione):

f (x ) f0(x ) nota xα α · xα−1 α ∈ R ex _ex ax (log a) · (ax) a > 0 sinh (x ) cosh (x ) cosh (x ) sinh (x ) log (|x |) 1/x

(45)

Derivazione della funzione inversa: log(x )

Teorema (Derivata di log(x ))

Mostrare che d dx loga(x ) = 1 x log a Dimostrazione.

Ricordato che log_aax = x , che _dxdax = (log(a)) · ax, dal teorema della funzione inversa e aloga(x )_{= x ,}

(46)

Massimi e minimi relativi

Definizione (Minimo locale)

Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0∈ I `e un minimo relativo (o locale)per f se esiste un intorno U di x0 tale

che

f (x ) ≥ f (x0), per ogni x ∈ U.

Definizione (Massimo locale)

Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0∈ I `e un massimo relativo (o locale)per f se esiste un intorno U di x0 tale

che

(47)

Massimi e minimi assoluti

Definizione (Minimo assoluto)

Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0∈ I `e un minimo assoluto (o globale)per f se

f (x ) ≥ f (x0), per ogni x ∈ I . Definizione (Massimo assoluto)

Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0∈ I `e un massimo assoluto (o globale)per f se

(48)

Massimi e minimi assoluti

Nota.

Se x0 `e un minimo assoluto allora `e anche un minimo relativo.

Se x0 `e un massimo assoluto allora `e anche un massimo

(49)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

Teorema (Fermat (1637))

Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .

Allora se x0 `e un punto di minimo relativo o massimo relativo per f

sia ha che f0(x0) = 0. Svolgimento.

Dalla derivabilit`a deduciamo che lim

x →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

:= f0(x0).

Se x0 `e un minimo relativo, esiste un intorno U ⊆ I tale che

f (x0) ≤ f (x ) per ogni x ∈ U, cio`e

(50)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

In particolare se x > x0 allora x − x0 > 0 e quindi

f (x ) − f (x0)

x − x0

≥ 0 per ogni x ∈ U, x > x0

e quindi per il teorema di permanenza del segno lim

x →x₀+

f (x ) − f (x0)

x − x0

≥ 0. Se invece x < x0 allora x − x0 < 0 e quindi

f (x ) − f (x0)

x − x0

≤ 0 per ogni x ∈ U, x < x0

da cui per il teorema di permanenza del segno lim

x →x₀−

f (x ) − f (x0)

x − x0

(51)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

Siccome la derivata in x0 esiste, necessariamente

0 ≤ lim x →x₀+ f (x ) − f (x0) x − x0 = lim x →x₀− f (x ) − f (x0) x − x0 ≤ 0 e quindi lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 = lim x →x₀+ f (x ) − f (x0) x − x0 = lim x →x₀− f (x ) − f (x0) x − x0 = 0.

Con la stessa tecnica si dimostra l’asserto nel caso x0 sia un

(52)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

Definizione (Estremi)

I massimi e minimi locali e globali di una funzione si chiamano

estremidi f .

Nota.

Gli estremi possono essere anche in punti nei quali f non `e continua o non derivabile!

Definizione (Punto critico o stazionario)

Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .

Diremo che x0 `e unpunto critico o stazionario per f se f0(x0) = 0. Nota.

(53)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Punti critici.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

(54)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Punti critici.

Teorema

Sia I un intervallo e f : I → R e supponiamo che x0 sia un minimo

o un massimo relativo per f . Allora vale una delle seguenti: x0 `e unpunto critico per f ;

x0 non è interno a I (è un estremo, anche ±∞ se l’intervallo è

illimitato);

(55)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Punti critici.

−3 −2 −1 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

(56)

Teorema di Rolle.

Teorema (Weierstrass (1860))

Sia f : [a, b] → R continua in [a, b]; −∞ < a < b < +∞

Allora esiste f ha un minimo e un massimo assoluto in [a, b].

Teorema (Rolle (1691))

Sia f : [a, b] → R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo f continua in [a, b];

f derivabile in (a, b); f sia tale che f (a) = f (b).

(57)

Teorema di Rolle.

Dimostrazione.

Se f `e costante in [a, b], il teorema `e ovvio.

Se f non `e costante, certamente `e continua in quanto persino derivabile. Per il teorema di Weierstrass, essendo

−∞ < a < b < +∞, ha un massimo e minimo in [a, b] e quindi esistono x1, x2∈ [a, b] tali che

f (x1) ≤ f (x ) ≤ f (x2), per ogni x ∈ [a, b].

Siccome f (a) = f (b) e f non `e costante, necessariamente o x1∈ (a, b) o x2∈ (a, b) e quindi per il Teorema di Fermat, o

(58)

Teorema di Rolle.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −1 −0.5 0 0.5 1

(59)

Teorema di Lagrange.

Teorema (Lagrange (1797))

Sia f : [a, b] → R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo f continua in [a, b];

f derivabile in (a, b). Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

(60)

Teorema di Lagrange.

Dimostrazione.

Sia

g (x ) = f (x ) − f (b) − f (a)

b − a (x − a).

La funzione g `e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e f (b)−f (a)_b−a (x − a), e valendo l’algebra delle funzioni continue e derivabili lo `e pure g .

Inoltreg (a) = f (a), g (b) = f (a) e quindi, per il teorema di Rolle esiste ξ ∈ (a, b) tale che

0 = g0(ξ) = f0(x ) − f (b) − f (a) b − a d dx(x − a) = f 0_{(x ) −}f (b) − f (a) b − a cio`e per cui

(61)

Teorema di Lagrange.

0 1 2 3 4 5 6 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

(62)

Teorema di Cauchy.

Teorema (Cauchy)

Siano f , g : [a, b] → R, entrambe continue in [a, b] e derivabili in (a, b) con g (a) 6= g (b) e g06= 0. Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che

f0(ξ)

g0_(ξ) =

f (b) − f (a) g (b) − g (a)

Dimostrazione.

Si verifica facilmente che

(63)

Teorema di Cauchy.

Inoltre, da h(x ) = f (x )(g (b) − g (a)) − g (x )(f (b) − f (a)),

h(a) = f (a)(g (b) − g (a)) − g (a)(f (b) − f (a)) = f (a)g (b) − g (a)f (b),

h(b) = f (b)(g (b) − g (a)) − g (b)(f (b) − f (a)) = −f (b)g (a) + f (a)g (b).

Per il teorema di Rolle, da h(a) = h(b), esiste ξ ∈ (a, b) tale che 0 = h0(ξ) = f0(ξ)(g (b) − g (a)) − g0(ξ)(f (b) − f (a)) cio`e per cui

f0(ξ) g0_(ξ) =

(64)

Derivate prime e monotonia.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo e f : I → R

f sia derivabile in I Allora

f crescentein I se e solo se f0(x ) ≥ 0per ogni x ∈ I .

f decrescente in I se e solo se f0(x ) ≤ 0per ogni x ∈ I .

f strettamente crescentein I , se f0(x ) > 0per ogni x ∈ I .

f strettamente decrescente in I , se f0(x ) < 0 per ogni x ∈ I .

Nota.

(65)

Derivate prime e monotonia.

Dimostrazione. (⇒)

Siano x1, x2 ∈ I , x1 < x2, arbitrariamente scelti. Per il teorema di

Lagrange esiste ξ ∈ (x1, x2) tale che

f (x2) − f (x1) = f0(ξ)(x2− x1).

Se

f0(x ) > 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo `e in ξ, ed essendo x1 < x2

f (x2) − f (x1) = f0(ξ)(x2− x1) > 0

(66)

Derivate prime e monotonia.

f0(x ) < 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo `e in ξ, ed essendo x1 < x2

f (x2) − f (x1) = f0(ξ)(x2− x1) < 0

e vista l’arbitrariet`a della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamo

che f `e strettamente decrescente.

(67)

Derivate prime e monotonia.

Dimostrazione facoltativa. (⇐) Viceversa, se se f `e crescente in I , allora f (x ) − f (x0) x − x0 ≥ 0, x, x0 ∈ I in quanto se x > x0 allora f (x ) > f (x0) e quindi x − x0> 0, f (x ) − f (x0) > 0; se x < x0 allora f (x ) < f (x0) e quindi x − x0< 0, f (x ) − f (x0) < 0.

(68)

Derivate prime e monotonia.

se f `e decrescente in I , allora f (x ) − f (x0) x − x0 ≤ 0, x, x₀ ∈ I in quanto se x > x0 allora f (x ) < f (x0) e quindi x − x0> 0, f (x ) − f (x0) < 0; se x < x0 allora f (x ) > f (x0) e quindi x − x0< 0, f (x ) − f (x0) > 0.

e quindi per il teorema di permanenza del segno f0(x0) = limx →x0

f (x ) − f (x0)

x − x0

(69)

Derivate prime e monotonia, esercizio 1.

Esercizio

Mostrare che la funzione f (x ) = x3 `e strettamente crescente in R.

Svolgimento.

Da f0(x ) = 3x2 ≥ 0 `_{e crescente in R.}

Osserviamo che per ogni x 6= 0 `e strettamente crescente, in quanto f0(x ) = 3x2 > 0 per x 6= 0. Quindi siccome f0(x ) non `e

(70)

Derivate prime e monotonia, esercizio 2.

Esercizio

Determinare dove `e crescente o decrescente f (x ) = ex− x.

Svolgimento.

Da f0(x ) = ex − 1, essendo il logaritmo una funzione crescente, ex − 1 > 0 ⇔ ex _{> 1 ⇔ x > log(1) = 0,}

e quindi `e strettamente crescente per x > 0, altrimenti

strettamente decrescente. Si deduce che x = 0 `e un punto di

(71)

(72)

Derivate prime e monotonia, esercizio 3.

Esercizio

Determinare dove `e crescente o decrescente f (x )x_{x +1}2+1.

Svolgimento.

Osserviamo per prima cosa che il dominio della funzione `e D = R\{−1} e che in D la funzione `e continua. Da

f 0(x ) = 2x · (x + 1) − (x

2_{+ 1) · 1}

(x + 1)2 =

x2+ 2x − 1

(x + 1)2 ,

(73)

Derivate prime e monotonia, esercizio 3.

Vediamo quindi quando x2+ 2x − 1 > 0. Visto che x2+ 2x − 1 = 0 se e solo se

x = (−2 ±√4 + 4)/2 cio`e x = −1 ±√2. Considerato che x1= −1 − √ 2 = −2.4142 . . . , x2= −1 + √ 2 = +0.4142 . . . . deduciamo che

f0(x ) > 0, cio`e strettamente crescente, se e solo se

x ∈ (−∞, −1 −√2) ∪ (1 +√2, +∞), f0(x ) = 0 in x1= −1 − √ 2, x2= −1 + √ 2,

(74)

(75)

Derivate prime e monotonia, esempio.

Teorema

Supponiamo I sia un intervallo, f : I → R continua. Allora `e invertibile in Im(f ) se e soltanto se `e strettamente monotona.

Esempio

(76)

Derivate prime e monotonia, esercizio.

Esempio

Data f (x ) = x + sin (x ),

(77)

Asintoti orizzontali.

Definizione (Asintoto orizzontale)

La retta y = y0 `e unasintoto orizzontale per f a +∞ se

limx →+∞f (x ) = y0.

Definizione (Asintoto verticale)

La retta y = y0 `e unasintoto orizzontale per f a −∞ se

(78)

Asintoti verticali.

Definizione (Asintoto verticale per f a sinistra di x0)

La retta x = x0 `e unasintoto verticale per f a sinistra di x0 se

lim_{x →x}−

0 f (x ) = +∞ o limx →x −

0 f (x ) = −∞.

Definizione (Asintoto verticale per f a destra di x0)

La retta x = x0 `e unasintoto verticale per f a destra di x0 se

lim_{x →x}+

0 f (x ) = +∞ o limx →x +

(79)

Asintoti obliqui.

Definizione (Asintoto obliquo a +∞)

La retta y = mx + q (m 6= 0) `e inasintoto obliquo per f a +∞ se

(80)

Asintoti obliqui.

Definizione (Asintoto obliquo a −∞)

La retta y = mx + q (m 6= 0) `e inasintoto obliquo per f a −∞ se

(81)

Asintoti.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10−5 −5 0 5 10x 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 1.5 2 2.5 3

(82)

Asintoti, esempio.

Esempio

Si determinino i possibili asintoti della funzione f (x ) =√x2_{+ 1.} Svolgimento.

Si osservi che la funzione `e continua in [0, +∞) e quindi non ha asintoti verticali. Inoltre

lim

x →+∞

p

x2_{+ 1 = +∞}

e quindi `e possibile abbia un asintoto obliquo a +∞. Non ha

asintoto orizzontale, altrimenti il limite sarebbe finito. Se esiste un asintoto obliquo y = mx + q, allora esiste finito

m = lim

x →+∞

√ x2_{+ 1}

(83)

Asintoti, esempio.

Raccogliendo x , m = lim x →+∞ √ x2_{+ 1} x =x →+∞lim xp1 + (1/x2₎ x = 1. Ora, razionalizzando q = lim x →+∞ p x2_{+ 1 − x =} _lim x →+∞( p x2_{+ 1 − x )} √ x2_{+ 1 + x} √ x2_{+ 1 + x} = lim x →+∞ x2+ 1 − x2 √ x2_{+ 1 + x} =x →+∞lim 1 √ x2_{+ 1 + x} = 0.

(84)

Derivate successive (di ordine superiore).

Definizione (Derivata seconda)

(85)

Derivate successive (di ordine superiore).

Definizione (Derivata k-sima)

Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che f(k−1) esista,

f(k−1) sia derivabile in I , per k ≥ 2.

(86)

Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.

Esercizio

(87)

Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.

Esercizio

(88)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Definizione (Funzione convessa)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `econvessase per

ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1 − t)x + ty ) ≤ (1 − t)f (x ) + tf (y ).

Definizione (Funzione concava)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `econcava se per ogni

x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

(89)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Definizione (Funzione strettamente convessa)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `estrettamente

convessase per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

f ((1 − t)x + ty ) < (1 − t)f (x ) + tf (y ).

Definizione (Funzione strettamente concava)

Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f `estrettamente

concavase per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha

(90)

Funzioni convesse e funzioni concave.

−3 −2 −1 0 1 2 3 −2 0 2 4 6 8 −3 −2 −1 0 1 2 3 −8 −6 −4 −2 0 2

(91)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Teorema

Sia f : I → R, con I chiuso. Se f `e concava o convessa, allora f `e continua in I .

Teorema

Sia f : I → R, con I chiuso. Se f `e convessa, allora

f `e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito o numerabile di punti X ;

la funzione f0_{, ove definita, `}_e_{monotona crescente}_.

Se f `e concava, allora

f `e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito o numerabile di punti X ;

(92)

Funzioni convesse e funzioni concave.

Teorema

Sia f : I → R, con I aperto. Si supponga f0, f00: I → R. Allora: f `econvessase e solo se

f00(x ) ≥ 0, per ogni x ∈ I ;

f `estrettamente convessase e solo se

f00(x ) > 0, per ogni x ∈ I ;

f `econcavase e solo se

f00(x ) ≤ 0, per ogni x ∈ I ;

f `estrettamente concavase e solo se

(93)

Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.

Definizione (Flesso)

Sia f : (a, b) → R. Un punto x0∈ (a, b) si dice di flessoper f se

f0(x0) ∈ R∗

per ogni intorno arbitrariamente piccolo di x0, la funzione f

cambia concavit`a.

Teorema

(94)

Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5

(95)

Funzioni convesse e funzioni concave: nota.

Teorema

Se f : (a, b) → R è strettamente convessa e derivabile in (a, b) allora ha al più un punto stazionario e questo sarà un minimo globale.

Teorema

(96)

Funzioni convesse e funzioni concave: esempio.

Esempio

La funzione f (x ) = ex _`_{e derivabile due volte ed `}_e

f(2)(x ) = ex > 0. Quindi `e strettamente convessa in R.

Esempio

La funzione f (x ) = log(x ) `e derivabile due volte ed `e

f(2)(x ) = −(1/x2) < 0. Quindi `e strettamente concava nel suo insieme di definizione R+_\0.

Esempio

Dire dove, al variare di α ∈ R, la funzione f (x) = xα_{, `}_{e derivabile}

(97)

Teorema di de l’Hopital.

Teorema (de l’Hopital (1696))

Siano f , g : I ⊆ R → R, con I = (a, b) intervallo aperto. Si supponga che

f , g siano entrambe derivabili in I ; valga una delle seguenti

1 limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = 0; 2 limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = −∞; 3 limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = +∞;

(98)

Teorema di de l’Hopital.

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo esclusivamente il caso limx →a+f (x ) = lim_{x →a}+g (x ) = 0.

(99)

Teorema di de l’Hopital.

Osserviamo che ˆ f (x ) ˆ g (x ) = ˆ f (x ) − 0 ˆ g (x ) − 0 = ˆ f (x ) − ˆf (a) ˆ g (x ) − ˆg (x ).

Fissato x ∈ [a, b), si ha che ˆf (x ), ˆg (x ) sono continue in [a, x ] e derivabili in (a, x ).

(100)

Teorema di de l’Hopital.

Quindi lim x →a+ f (x ) g (x ) = x →alim+ ˆ f (x ) ˆ g (x ) = lim x →a+ ˆ f (x ) − ˆf (a) ˆ

g (x ) − ˆg (a) = limx →a+

ˆ f0(ξ(x )) ˆ

g0_{(ξ(x ))}. (1)

Osserviamo ora che se x → a+, pure ξ(x ) → a+ poich`e ξ(x ) ∈ (a, x ). Inoltre limt→a+

ˆ f0(t) ˆ g0_(t) = limt→a+ f 0_(t) g0_(t). Posto

t = ξ(x ), si ha quindi che t → a+ da cui

(101)

Teorema di de l’Hopital, esempio.

Esempio Calcolare lim x →0 1 − cos2_{(x )} x Svolgimento.

(102)

Esercizi

(103)

Derivata, esercizio

Esercizio

Mostrare che la derivata prima di log(x ) in x0> 0 vale 1/x0.

Traccia. Ricordiamo che lim y →0 log(1 + y ) y → 1.

(104)

Derivazione: esercizi

Esercizio Calcolare le derivate di f (x ) = asin (x ); f (x ) = cos x +1 x3₊₂

f (x ) = sin(x )+e_x2_{cos(x )}1/x + log(x );

(105)

Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

La funzione f (x ) =p|x| `e ovunque derivabile nel suo1

dominio?

La funzione f (x ) =_{p|x| `e ovunque derivabile?}3

Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principali derivate, che

se f (x ) = 1/ sin(x ) allora f0(x ) = − cos(x )/ sin2(x ); f (x ) = 3x2_{+ e}x_{· sin(x) + (1/log (x)) allora}

f0(x ) = 6x + ex _{· sin(x) + e}x_{· cos(x) − 1/(x(log(x))}2_); f (x ) = sin(x2_{) allora f}0_{(x ) = 2x · cos(x}2_);

(106)

Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principali derivate, che

f (x ) = xx allora f0(x ) = xx · (log(x) + 1) (sugg. f (x )g(x ) = eg (x ) log(f (x )));

f (x ) = (sin(x ))sin(x )+ sin(sin(x )) allora f0(x ) =

(sin(x ))sin(x )_{· (cos(x) log(sin(x)) + cos(x)) + cos(sin(x)) cos(x);}

f (x ) = arccos(x ) allora f0(x ) = −1/(1 − x2)1/2 se x ∈ (−1, 1);

f (x ) = arctan(x ) allora f0(x ) = 1/(1 + x2)1/2;

g (x ) = sinh(x ), la sua inversa `e f (y ) = settsenh(y ) e allora f0(y ) = 1/p1 + y2 _{(sugg. se y = sinh(x ) allora}

cosh(x ) =p1 + y2_);

(107)

Esercizi di ricapitolazione.

Esercizio

Mostrare che | sin(x )| `e continua ma non `e derivabile in x = kπ, per k ∈ Z.

Esercizio

(108)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Esercizi.

Esercizio

Calcolare i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di f (x ) =

x2− 1, se x ≤ 1

(x − 1) sin(_{x −1}1 ), se x > 1

Esercizio

Calcolare, al variare di β, γ, i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di

f (x ) =

(109)

Massimi e minimi relativi e zeri di f

0

. Esercizi.

Esercizio

Calcolare, al variare di α, β, i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di

f (x ) = (

αx2+ β, se x ≤ 0

(110)

Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.

Esercizio

Calcolare i possibili asintoti di

(111)

Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

(112)

Esercizi di ricapitolazione. Teorema di de l’Hopital.

Esercizio

Usando il Teorema de L’Hopital, calcolare limx →0sin(x )/x ; limx →0+ e −1/x2 x = 0; limx →0(ex− 1)/x; limx →0e x 3/(x 4+x )_−cos(x) sin(x )(tan(x ))

limx →0sin(x )+cos(x )−e

(113)

Studi di funzione, esercizio 1.

Esercizio Sia f (x ) = x 2_{+ x + 1} 2x − 1 . Determinare il dominio di f ;

determinare dove f `e continua;

determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f `e derivabile e calcolare f0;

(114)

Studi di funzione, esercizio 2.

Esercizio Sia f (x ) = log x + 4 (x + 1)2 . Determinare il dominio di f ;

(115)

Studi di funzione, esercizio 3.

Esercizio Sia f (x ) = x + 2 x e − 1 (x +2)_. Determinare il dominio di f ;

(116)

Studio di funzione: esercizio 4.

Esercizio Sia f (x ) = arcsin(x2− 4|x| + 3). Si determini il dominio di f ; dove `e positiva

(117)

Studio di funzione: esercizio 5.

Esercizio Sia f (x ) = x log(x ). Si determini il dominio di f ; dove `e positiva

(118)

Studio di funzione: esercizio 6.

Esercizio Sia f (x ) = 3−1/| sin(x)|. Si determini il dominio di f ; dove `e positiva

(119)

Studio di funzione: esercizio 7.

Esercizio Sia f (x ) = log(ex+ e−x) + x . Si determini il dominio di f ; dove `e positiva

(120)

Studio di funzione: esercizio 8.

Esercizio Sia f (x ) = arcsin |x − 1| x + 3 . Si determini il dominio di f ; dove `e positiva

(121)

Esercizi di ricapitolazione. Studi di funzione

Esercizio