Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2 Prima prova parziale - 02/11/2015
Due sfere di raggio eguale R = 40 cm sono disposte come in figura e cariche uniformemente con densit`a di carica eguale ρ = 4 · 10−7 C/m3 (si toccano
al centro). Determinare: a) il campo elettrico a distanza 10 R sull’asse delle x e y ; b) l’intensit`a del campo elettrico nel centro della sfera di destra ; c) la differenza di potenziale tra il centro del sistema e il centro della sfera di destra x = R .
Soluzione: a)
A grande distanza dalla distribuzione (non all’interno delle sfere) il campo non differisce da quello di due cariche puntiformi:
q = 4 3πR
3ρ = 0.11 µC
poste rispettivamente in (-R,0) e (R,0). Quindi il campo prodotto lungo l’asse delle x `e semplicemente: Ex = q 4πεo 1 (x + R)2 + q 4πεo 1 (x − R)2 = q 2πεo x2+ R2 (x2 − R2)2 x > 2R Ex(x = 10R) = 124 V /m
Mentre sull’asse delle y solo le componenti nella direzione y del campo si sommano, la componente x `e nulla (tutti i punti sono all’esterno delle sfere):
Ey = 2q 4πεo y (R2+ y2)3/2 Ey(y = 10R) = 119 V /m
Notiamo che i due campi non differiscono molto da quello prodotto da una carica 2q nell’o-rigine delle coordinate:
|E(r = 10R)| = 2q 4πεo(10R)2
b)
Al centro della sfera di destra il campo `e dato dalla sovrapposizione del campo prodotto da una carica q posto a distanza 2R (l’altra sfera) e di quello della sfera di destra che `e nullo, quindi: Ex(x = R) = q 4πεo(2R)2 = 1.51 kV /m c)
Il campo elettrico sull’asse delle x per 0 ≤ x ≤ 2R nella sfera di destra `e dato dalla sovrapposizione del campo della sfera di destra:
Exd = ρ
x − R 3εo
Pi`u quello della sfera di sinistra Exs = q 4πεo(x + R)2 = ρR 3 3πεo(x + R)2 Quindi: Ex= ρ 3εo " R3 (x + R)2 + x − R #
Quindi la differenza di potenziale vale:
DV = ρ 3εo Z R 0 " R3 (x + R)2 + x − R # dx = ρ 3εo " R3 Z R 2R dy y2 + Z R 0 xdx − R Z R 0 dx # DV = ρ 3εo " R3 1 R − 1 2R +R 2 2 − R 2 # = 0 V
