I Esonero di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 28 novembre 2012 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Sia
G =
{( a b
−b a )
|a, b ∈ R }
.
Si studino le propriet`a della struttura algebrica (G, +,·) essendo + e · rispettivamente l’usuale addizione e la moltiplicazione righe per colonne tra matrici.
2 Sia
A =
0 2 1
0 1 h
−1 −2 0
∈ M3(R).
Si calcoli S = A2−AT+ I3 e si stabilisca per quali valori del parametro reale h la matrice S `e invertibile.
Inoltre, posto h = 0 si calcoli, se esiste, la matrice inversa di S.
3 Si stabilisca al variare di h∈ R la dimensione del seguente sottospazio vettoriale di R4 K = L((0, 0, h, 1 + h), (h, 1, 0, 0), (h + 2, 0, 4,−h)).
Inoltre, posto h =−2 si determini una base di K e la si completi ad una base di R4.
Argomenti teorici
• Si scriva la definizione di base di uno spazio vettoriale V e si dimostri che se V ha una base di n vettori allora ogni sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti di V possiede al pi´u n vettori.
• Si scriva la definizione di sistema lineare di Cramer e se ne enunci qualche propriet`a.
Traccia I — 1
