Probabilità

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CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

STORIA PROBABILITÀ

Il calcolo delle probabilità nasce nel 1654 quando un accanito giocatore d'azzardo, il cavaliere de Méré, pone una serie di domande al matematico

Pascal; la domanda principale è la seguente:

 È più probabile fare un “6” lanciando 4 volte un dado o fare un doppio “6” lanciando 24 volte una coppia di dadi?

Pascal inizia a lavorare al problema aiutato da Pierre Fermat.

COS’È IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

In matematica quando scriviamo qualcosa è sempre giusta (vera) o sbagliata (falsa);

per es. 2 + 2 = 4 è vera e 2 + 5 = 6 è falsa.

Nella vita di tutti i giorni non è sempre così; esistono affermazioni

(Es: “Domani piove”) che sono INCERTE; su queste affermazioni possiamo però definire una probabilità.

COME ESPRIMERE UNA PROBABILITÀ

• Un numero tra 0 e 1 – Es: 0,7

• Una percentuale – ES: 70% • Una frazione propria – ES: 7/10

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POSSIBILI AFFERMAZIONI

 Affermazione CERTA (tirando un dado faccio un numero maggiore di zero);

P = 1 o 100%

 Affermazione IMPOSSIBILE (tirando un dado faccio 8); P = 0 o 0%

 Affermazione PROBABILE (tirando un dado faccio 6); P= 1/6

 Due affermazioni sono EQUIPROBABILI se hanno la stessa probabilità di essere vere (es: fare 4 lanciando un dado è equiprobabile a fare 5 lanciando un dado)

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INTERPRETAZIONI

CLASSICA

ESEMPIO: se tiro un dado ho sei casi totali; per fare 4 ho un solo caso favorevole;

P = 1/6

ESEMPIO 2: calcola la probabilità di sopravvivere se bevo del detersivo; come la calcolo?

NON POSSO

FREQUENTISTA

Faccio moltissimi esperimenti o prove.

Ora posso risolvere l'esempio 2, magari prendendo i registri di tutti gli ospedali d'Italia.

SOGGETTIVA

La probabilità dipende dal numero di informazioni che ho.

ESEMPIO: se di gioca Napoli Chievo, la probabilità che vinca il Napoli è del

75% ma se vengo a sapere che il Napoli ha molti giocatori infortunati, la probabilità cambia.

N° casi favorevoli / N° casi totali

N° prove andate a buon fine / N° prove totali

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METODI GRAFICI

• GRAFICO AD ALBERO

• INSIEMI

• GRAFICO CARTESIANO

Calcola la probabilità che una coppia abbia 3 figlie femmine.

Esempio: se ho 4 magliette (Gialla, Rossa, Bianca, Verde), 3 pantaloni

(Blu, Neri e Bianchi) e 2 cappelli (Rosso e Nero), quante probabilità ho di vestirmi con maglietta gialla, cappello rosso e pantaloni Blu?

REGOLA DEL COMPLEMENTARE

La probabilità che qualcosa avvenga, si può calcolare come:

1 - “P (l'evento non avviene)”

ESEMPIO: la probabilità che faccio almeno un “6” lanciando due dadi.

PAROLA SIGNIFICATO PROBABILITÀ

NON

Vinco se non si

verifica l’evento

1 – P

E

Vinco se si verifica sia il primo evento sia il secondo

Conto solo i casi in cui si verificano entrambi

O - OPPURE

Vinco sia che si

verifica il primo evento sia che si verifica il secondo P(1° evento) + P(2° evento) – P(si verificano entrambi)

FORMULE:

“E” → PRODOTTO

P (A e B) = P(A) . P(B

)

“O” → SOMMA

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TIPI DI EVENTI

EVENTI INDIPENDENTI

Sono due eventi che non si influenzano l’uno con l’altro.

ES. Tiro un dado e una moneta (sono due cose diverse

indipendenti)

EVENTI DIPENDENTI

Sono eventi che non si influenzano a vicenda.

ES. Quante probabilità ha la nazionale di calcio italiana di

entrare nella classifica delle squadre che parteciperanno ai “Mondiali di calcio” (dipende dalle sue vittorie, pareggi,

sconfitte e dai risultati delle altre squadre).

EVENTI INCOMPATIBILI

Sono due eventi che non possono verificarsi insieme, o si verifica uno o si verifica l’altro.

ES. Non può piovere o non piovere nello stesso momento (o piove o non

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PROBLEMI

• I compleanni • Monty Hall

• Lancio di due dadi: il risultato è la moltiplicazione dei risultati dei due dadi (3 x 5 = 15); scommetteresti su pari o su dispari?

Applicazione ed esempi:

1) In quest'urna ci sono 5 biglie gialle e 3 rosse: Calcola la probabilità di estrarre:

una biglia gialla una biglia rossa

una biglia gialla "o" rossa 2) Nel lancio di un dado:

calcola la probabilità che: esca un numero pari esca un numero primo esca un numero dispari esca il numero 10

esca un numero compreso tra 1 e 5 compresi Rispondi:

Quale evento secondo te è più probabile? Ci sono eventi equiprobabili?

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3) In un mazzo di carte da poker (52 carte): Calcola la probabilità di estrarre: un asso di cuori

un asso un re una figura

un re di quadri "o" un re di cuori un asso di cuori "o" uno di picche 4) Nel lancio di una moneta:

Calcola la probabilità di estrarre: testa

croce

testa "o"croce