i) (3 p) Supponiamo che A esca con probabiltà 0.05

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12/05/2012

Esercizio 1. Un sistema di preallarme su un velivolo segnala una A (= allarme) oppure una N (= non allarme) ogni dieci secondi, a seconda di certe misurazioni rilevate da sensori. Anche in stato di perfetto funionamento, per ragioni casuali, ogni tanto viene segnalata una A. Consideriamo indipendenti i valori che escono ogni dieci secondi.

i) (3 p) Supponiamo che A esca con probabiltà 0.05. Supponiamo che un sistema di elaborazione prenda i valori relativi ad un minuto e segnali vero pre-allarme se almeno 3 su 6 sono A. Con che probabilità questo avviene? Formalizzare la soluzione tramite variabili aleatorie e relativi teoremi, non solo col calcolo combinatorico.

ii) (3 p) Supponiamo invece che il sistema di elaborazione, elaborando i 6 valori di un generico minuto, segnali vero pre-allarme solo se almeno tre consecutivi sono pari ad A (il sistema viene azzerato ogni minuto, per cui se sono A gli ultimi due, questo non basta e si ricomincia da capo il minuto successivo). Con che probabilità questo avviene? A priori, era possibile stabilire se fosse più sicuro questo o l’altro metodo, rispetto ai falsi allarmi?

iii) (3 p) Consideriamo 60 minuti di osservazione. Che probabilità c’è che compaia una A più di 20 volte?

Esercizio 2. Si consideri la funzione

f (x) = C (x + 1) e ^x per x 2 ( 1; 1) 0 per x =2 ( 1; 1) :

i) (4 p) Trovare per quali valori di la funzione f è una densità di probabilità (non si chiede di calcolare C ). Calcolare C per = 1.

ii) (4 p) Detta X una v.a. con tale densità, posto Y = _jX+1j¹ , calcolare la densità di Y esprimendo il risultato …nale complessivo.

iii) (3 p) Stabilire per quali valori di la v.a. Y ha media …nita.

iv) (3 p) Se X1 ed X2 sono copie indipendenti di X, calcolare P (min (X1; X2) < 1) quando = 1.

Esercizio 3. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5; 6g associata alla seguente matrice di transizione

P = 0 BB BB BB

@

1=2 0 0 0 1=2 0

0 0 1=2 0 1=2 0

0 0 1=8 2=8 0 5=8

0 0 1=2 1=4 0 1=4

1=2 0 0 0 1=2 0

0 0 1=4 1=4 0 1=2

1 CC CC CC A

:

i) (3 p) Disegnare il grafo, classi…care gli stati, trovare le classi irriducibili, descrivere a priori la struttura generale di tutte le misure invarianti.

ii) (3 p) Calcolare tutte le probabilità invarianti della catena. Se possibile, mantenere i risultati in forma di numeri razionali esatti (frazioni di interi) per maggior tracciabilità dei calcoli.

iii) (4 p) Indicata con p⁽ⁿ⁾_ij la probabilità di trovarsi nello stato j al tempo n dopo essere partiti dallo stato i al tempo 0, calcolare il limite a cui converge p⁽ⁿ⁾_ij , per i valori di i; j per cui si riesce.

x = ^x1+:::+x_n ⁿ, S² = _{n 1}¹ Pn

i=1(x_i x)², dCov = _{n 1}¹ Pn

i=1(x_i x) (y_i y), r = _S^Covd

x{XSY =

Pn

i=1(xi x)(yi y)

pPn

i=1(xi x)²Pn

i=1(yi y)². Pn

i=1(xi x)² = Pn

i=1x²_i nx²,Pn

i=1(xi x) (yi y) = (Pn

i=1xiyi) nxy.

n! = n (n 1) 2 1, 0! = 1. ⁿ_k = _{k!(n k)!}^n! = n (n 1) (n k+1)

k! .

P (AjB) =^{P (A\B)}_{P (B)} , P (A \ B) = P (AjB) P (B). A; B indipendenti: P (A \ B) = P (A) P (B), P (AjB) = P (A), P (BjA) = P (B). P (A) =P

kP (AjB^k) P (Bk). P (BjA) = P (AjB)P (B) P (A) . X discreta, valori a_j, P (X = a_j) = p_j, allora E [X] = P

ja_jp_j, E [g (X)] = P

jg (a_j) p_j, E X² = P

ja²_jp_j. P (X 2 A) =P

i:ai2AP (X = ai) =P

i:ai2Api. X 2 N, P (X n) =Pn

i=0pi, P (X n) =P₁

i=npi. X continua, densità f (x), allora E [X] =R₁

1xf (x) dx, E [g (X)] =R₁

1g (x) f (x) dx, in particolare E X² = R₁

1x²f (x) dx. P (X 2 A) =R

Af (x) dx.

V ar [X] = _X² := Eh

(X _X)²i

dove _X = E [X]. V ar [X] = E X^{2 2}_X. Cov (X; Y ) = E [(X _X) (Y _Y)], Cov (X; Y ) = E [XY ] _{X Y}. (X; Y ) = ^{Cov(X;Y )}

X Y . 1 (X; Y ) 1.

E [aX + bY + c] = aE [X] + bE [Y ] + c. V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] + 2Cov (X; Y ). V ar [aX] = a²V ar [X].

Standardizzazione di X: ^{X X}

X .

X; Y indipendenti: P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X; Y ) = 0, (X; Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].

F (x) = P (X x). F (t) =Rt

1f (x) dx. F⁰(t) = f (t). F (q ) = .

' (t) = E e^tX , '⁰(0) = E [X], '⁰⁰(0) = E X² ; 'aX(t) = E e^taX = 'X(at). X; Y indipendenti implica '_X+Y (t) = '_X(t) '_Y (t).

X B (n; p) : P (X = k) = ⁿ_k p^k(1 p)^{n k}, E [X] = np, V ar [X] = np (1 p), = p

np (1 p), ' (t) = q + pe^{t n} dove q = 1 p. X₁; :::; X_n B (1; p) indipendenti implica S = X₁+ ::: + X_n B (n; p).

X ipergeometrica di parametri N , M e n : P (X = k) =

N k

M n k N +M

n

con k = 0; 1; ; n.

X P ( ): P (X = k) = e _k!^k, E [X] = , V ar [X] = , = p

, ' (t) = e (^{et 1}). Se npn = allora lim_n!1 ⁿ_k p^k_n(1 pn)^{n k}= e _k!^k.

X N ; ² : f (x) = p¹

2 ² exp ^(x₂ 2⁾² . E [X] = , V ar [X] = ², ' (t) = e ^te^{t2 22} . X; Y gaussiane indipendenti, a; b; c 2 R implica aX + bY + c gaussiana. X N ; ² si può scrivere come X = Z + , con Z N (0; 1). F _; 2(x) = ^x . ( x) = 1 (x). q = q₁ . Soglie q .

X Exp ( ): f (x) = e ^x per x 0, zero per x < 0. E [X] = ¹, V ar [X] = ¹2, = ¹, ' (t) = _t per t < . F (x) = 1 e ^x per x 0, zero per x < 0.

TLC: Posto S_n= X₁+ ::: + X_n, si ha P ^Snp ⁿ

n 2 A P (Z 2 A), con Z N (0; 1).

Correzione di continuità: P (S_n k) ^{k+0;5 n}p

n , con k 2 N X = ^X1+:::+X_n ⁿ N ; _n² . E S² = ². ^S2²(n 1) ²_{n 1}.

= X ^qp^{1 2}

n ; = X

S t^{(n 1)}

1 2

pn .

x 0p n > q₁

2. ^x_S⁰p

n > t^{(n 1)}₁

2 . P jZj > ^x_S ⁰p

n , P X 2h

0 q₁

p 2

n ; ₀+ ^qp^{1 2} n

i

. ^S2²(n 1) >

2

;n 1. T = nPk i=1

(pbi pi)² pi =Pk

i=1

(^Xbi npi)²

npi > ²_{;k 1}. y = A + Bx, B = ^Covd_S2

X

= r^S_S^Y

X, y = A + Bx.

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) Siano X1; :::; X6 v.a. di Bernoulli indipendenti che valgono 1 se esce A, 0 altrimenti, relative alle 6 decine di secondi di un generico minuto. Vale P (Xi= 1) = 0:05. Posto S = X1+ ::: + X6, S misura il numero di A in un minuto ed è una B (6; 0:05). Dobbiamo calcolare

P (S 3) = X6 k=3

6

k 0:05^k0:95^{6 k}

= 1 X2 k=0

6

k 0:05^k0:95^{6 k}= 2:229 8 10 ³:

ii) Le situazioni di vero pre-allarme sono: (A; A; A; ; ; ), (N; A; A; A; ; ), (N; N; A; A; A; ), (N; N; N; A; A; A), e nessun’altra. La prima accade con probabilità 0:05³, la seconda con probabilità 0:95 0:05³, la terza con probabilità 0:95² 0:05³, la quarta con probabilità 0:95³ 0:05³. Sono disgiunte, quindi la probabilità richiesta è

0:05³ 1 + 0:95 + 0:95²+ 0:95³ = 4: 637 3 10 ⁴: iii) Abbiamo ora le v.a. X1; :::; X360 e S360 come sopra e dobbiamo calcolare

P (S₃₆₀ > 20)

= P X₁+ ::: + X₃₆₀ 360 0:05 p360p

0:05 0:95 > 20 360 0:05 p360p

0:05 0:95 P (Z > 0:483 65) = 1 (0:483) = 1 0:685 = 0:315:

Si può anche migliorare un po’il risultato con la correzione di continuità.

Esercizio 2. i) > 1 (da spiegare, simile a vari altri esercizi).

Z ₊₁

1

f (x) dx = C₁ Z ₊₁

1

(x + 1) e ^xdx^y=x+1= C₁ Z ₊₁

0

ye ^y+1dy

= C₁e Z ₊₁

0

ye ^ydy = C₁e (si ricordi che la media di una Exp ( ) è ¹) quindi C₁= e ¹. ii)

F_Y (t) = P (Y t) = P 1

jX + 1j t uguale a zero per t 0, mentre, per t > 0,

= P jX + 1j 1

t = P X + 1 1

t + P (X + 1) 1 t

= P X 1

t 1 + P X 1

t 1

= 1 F_X 1

t 1 + F_X 1

t 1

da cui

fY (t) = fX

1

t 1 1

t² + fX

1

t 1 1

t²: Ora, se t > 0, ¹_t 1 > 1, quindi

f_X 1

t 1 = e ¹ 1

t 1 + 1 e (^{1t 1}) = e ¹t e^{1 1t}: Invece, ¹_t 1 < 1, quindi fX 1

t 1 = 0. Si poteva già, quando abbiamo distinto jX + 1j ¹t, osservare che X + 1 0 a causa delle proprietà di X, per cui il termine P (X + 1) ¹_t era uguale a zero.

Riassumendo, f_Y (t) = 0 per t 0,

fY (t) = e ¹t e^{1 1t} 1

t² = e ¹t ²e^{1 1t} per t > 0.

iii) Usando il cambio di variabile s = ¹_t, ds = _t¹2dt, E [Y ] = e ¹

Z ₁

0

t t ²e^{1 1t}dt = e ¹ Z ₁

0

s ¹e^{1 s}ds

= Z ₁

0

s ¹e ^sds < 1 per 1 > 1, cioè > 0.

iv) Sol:

P (min (X₁; X₂) < 1) = 1 P (min (X₁; X₂) 1)

= 1 P (X₁ 1 e X₂ 1)

= 1 P (X₁ 1) P (X₂ 1)

= 1 (1 F_X(1))²: Inoltre,

F_X(1) = Z 1

1

e ¹(x + 1) e ^xdx = Z 2

0

ye ^ydy

= e ^yy ²₀+ Z 2

0

e ^ydy = e ²2 + 1 e ²= 0:594 P (min (X₁; X₂) < 1) = 1 (1 0:594)² == 0:83516:

Esercizio 3. i) Lo stato 2 è transitorio, gli altri ricorrenti; f1; 5g e f3; 4; 6g sono irriducibili. Le distribuzioni invarianti hanno la forma

( ₁; 0; 0; 0; ₅; 0) + (1 ) (0; 0; ₃; ₄; 0; ₆)

con 2 [0; 1] e ( 1; ₅) invariante (unica) della sottocatena f1; 5g, ( 3; ₄; ₆) invariante (unica) della sottocatena f3; 4; 6g,

ii) La classe f1; 5g ha un’unica distribuzione invariante, uniforme per simmetria: ( 1; ₅) = ¹₂;¹₂ . L’altra, relativa alla classe f3; 4; 6g, va calcolata col bilancio di ‡usso o altro modo. Vale

3(p₃₄+ p₃₆) = ₄p₄₃+ ₆p₆₃

4(p43+ p46) = 3p34+ 6p64 3+ 4+ 6 = 1

ovvero

37=8 = 41=2 + 61=2

43=4 = ₃2=8 + ₆1=4

3+ ₄+ ₆ = 1 da cui ad esempio

3= ₄4=7 + ₆4=7

43=4 = 41=7 + 61=7 + 61=4

44=7 + ₆4=7 + ₄+ ₆ = 1

4(3=4 1=7) = ₆(1=7 + 1=4)

4(4=7 + 1) + ₆(4=7 + 1) = 1

6

(4=7 + 1) (1=7 + 1=4)

3=4 1=7 + (4=7 + 1) = 1

6

4=7 + 1 3=4 1=7 = 1

6 = 3=4 1=7 4=7 + 1 = 17

44

4 = 3=4 1=7 4=7 + 1

1=7 + 1=4

3=4 1=7 = 1=7 + 1=4 4=7 + 1 = 1

4

3= ₄4=7 + ₆4=7 = 1 7 + 17

11 7 = 4 11: Veri…chiamo per sicurezza: ₁₁⁴ +¹₄ +¹⁷₄₄ = ^16+11+17_{11 4} = ⁴⁴₄₄ = 1:

Tutte le distribuzioni della catena complessiva hanno la forma 1

2; 0; 0; 0;1

2; 0 + (1 ) 0; 0; 4 11;1

4; 0;17 44 con 2 [0; 1].

iii) Per i = 2 e j 2 f1; 5g vale

p⁽ⁿ⁺¹⁾_ij = 1 2p⁽ⁿ⁾_5j mentre per j 2 f3; 4; 6g vale

p⁽ⁿ⁺¹⁾_ij = 1 2p⁽ⁿ⁾_3j

quindi è su¢ ciente capire p⁽ⁿ⁾_ij per i 6= 2. Inoltre, per j = 2 tali probabilità sono nulle, quindi ci restringiamo anche a j 6= 2. In…ne, per l’irriducibilità, basta capire p⁽ⁿ⁾ij per i; j 2 f1; 5g e poi separatamente per i; j 2 f3; 4; 6g. A parte i valori numerici di ij, cerchiamo di capire p⁽ⁿ⁾_ij per i; j 2 f1; 5g. Qui si tratta della matrice di transizione

P = 1=2 1=2 1=2 1=2 :

che è regolare e quindi (essendo lo spazio degli stati …nito) vale la convergenza all’equilibrio, ovvero p⁽ⁿ⁾_ij tende alla misura invariante in j. E’però facile veri…care che Pⁿ= P , quindi p⁽ⁿ⁾_ij = 1=2, quindi tende a 1/2 anche senza l’uso di teoremi. Pertanto, per ora,

p⁽ⁿ⁾_2j ! 1 2

1

2 per j = 1; 5 p⁽ⁿ⁾_ij ! 1

2 per i; j = 1; 5:

I ragionamenti per la classe f3; 4; 6g sono analoghi; qui va usato il teorema di convergenza all’equilibrio e la condizione di regolarità, e vanno usati i valori speci…ci della misura invariante:

p⁽ⁿ⁾_2j ! 1 2

4

11 per j = 3 p⁽ⁿ⁾_2j ! 1

2 1

4 per j = 4 p⁽ⁿ⁾_2j ! 1

2 17

44 per j = 6 p⁽ⁿ⁾_ij ! j per i; j = 3; 4; 6: