Esercizi sulle matrici 1) Calcolare AB e BA con A = 1 −2 3 0 −1 2 e B = 2 −3 −1 0 1 0 .
2) Verificare la proprieta’ associativa per il seguente prodotto di matrici:
1 2 0 1 0 1 2 1 1 3 1 4 3 . 3) Calcolare A3dove A = 2 1 0 1 1 0 −1 3 2 .
4) Dire quando si verifica che (A + B)(A − B) = A2− B2 e determinare un esempio in cui
vale e uno in cui non vale (basta cercarli nelle matrici quadrate di ordine 2).
5) Siano A = 1 −3 0 0 −2 7 0 0 0 0 2 0 0 0 −5 −1 B = 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 5 2
Calcolare AB, BA, A2, B2.
6) Calcolare il prodotto 1 0 0 0 2 0 0 0 3 −1 0 0 0 −1 0 0 0 0
(*) Provare che il prodotto di due matrici diagonali `e una matrice diagonale.
7) Data la matrice A = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 calcolare A 2,A3, A4, (A − I)2,(A − I)3, (A − I)4. 8) Data la matrice A = a 0 0 b
con a 6= b, determinare tutte le matrici B tali che AB = BA.
9) Verificare che le uniche matrici A ∈ M2(k) che commutano (AB = BA ) con tutte le
matrici 2 × 2 sono le matrici della forma λI con λ ∈ k.
10) Provare con un esempio che se A e B sono matrici simmetriche, AB non `e necessaria-mente simmetrica.
12) Sia A ∈ Mn(k) tale che
A2+ 3A + 2I = 0. Provare che A `e invertibile.
13) Sia A = 1 −1 0 3
e φA: M2(R) → M2(R) definita da φA(B) = AB. Provare che
φA`e un’applicazione iniettiva e surgettiva.
14) Calcolare i determinanti delle seguenti matrici:
A = 2 0 1 0 1 0 1 0 2 B = 1 4 1 3 2 3 5 0 4 1 0 0 2 0 0 0 C = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 D = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
15) Sia A una matrice n × n. Calcolare det(−A).
16) Provare che
det A C 0 B
= det A · det B se A e B sono blocchi quadrati.
17) Sapendo che det x y z 3 0 2 1 1 1 = 1, calcolare det x y z 3x + 3 3y 3z + 2 x + 1 y + 1 z + 1 e det x − 1 y − 1 z − 1 4 1 3 1 1 1 .
17) Calcolare l’inversa delle seguenti matrici: 2 3 4 2 1 1 −1 1 2 , 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1
18) Calcolare la caratteristica delle seguenti matrici: 1 2 2 0 4 −1 1 2 −1 1 1 −1 2 4 1 1 5 −2 0 0 3 −1 3 0 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 2 1 0 0 0 3 0 1 2 2
