ESERCITAZIONE 1
Esercizio 1. Considera gli insiemi 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ | 1 < 𝑥 ≤ 31} e 𝐵 = {2𝑛 | 𝑛 ∈ ℕ}.
a) Determina il complementare di 𝐴 rispetto a ℤ, esprimendolo per elencazione e poi per caratteristica. b) Calcola il numero di elementi dell’insieme (𝐴 ∩ 𝐵) × (𝐴 − 𝐵).
c) Calcola il numero di elementi dell’insieme ℘(𝐴).
Esercizio 2. Sull’insieme 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ | − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2} definiamo la relazione 𝑥ℛ𝑦 ⟷ 𝑥 + 𝑦 ≤ 1
Dopo aver rappresentato ℛ con un diagramma a doppia entrata, e poi con i grafi, stabilisci se è simmetrica, riflessiva e transitiva.
Esercizio 3. Considera le funzioni 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 4 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 4. a) Disegnale in un sistema di riferimento cartesiano 𝑂𝑥𝑦
b) Determina algebricamente la soluzione dell’equazione 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), dopodiché individuala anche graficamente.
c) Determina algebricamente la soluzione dell’equazione 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), dopodiché individuala anche graficamente.
Esercizio 4. Semplifica la seguente espressione, specificandone le CE 𝑦 − 12𝑦 + 36 𝑦 − 𝑦 − 6 ∙ 𝑦 − 6𝑦 + 9 𝑦 − 2𝑦 + 4∙ 𝑦 + 8 2𝑦 − 18𝑦 + 36− 𝑦 − 6 4
Esercizio 5. Risolvi la seguente equazione, precisando se essa è risolvibile in ℚ e in ℤ. 1 − 2𝑥 𝑥 − 6𝑥 + 9= 7 − 3𝑥 𝑥 − 2𝑥 − 3+ 1 𝑥 + 1 Esercizio 6. Al variare del parametro 𝑏 considera la seguente equazione:
𝑏 + 2 2𝑥 − 1+ 1 − 𝑏 𝑥 = 1 − 𝑥 𝑥 + 1. a) Discutine la risolubilità al variare di 𝑏.
b) Calcola per quali valori di 𝑏 l’equazione ammette soluzione 𝑥 = 2
c) Calcola per quali valori di 𝑏 l’equazione ammette una soluzione positiva. Esercizio 7. Risolvi il seguente sistema
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 2 𝑥 − 7𝑥 + 12+ 2𝑥 − 1 𝑥 − 3 − 𝑥 𝑥 − 4> 1 𝑥 − 4𝑥 + 𝑥 + 6 ≥ 0 1 2𝑥 − 1 − 1 4(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≤ 5 − 𝑥
Esercizio 8. Sui lati 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 del triangolo isoscele 𝐴𝐵𝐶 di base 𝐵𝐶, considera rispettivamente due punti 𝐷 ed 𝐸 tali che 𝐴𝐷 ≅ 𝐴𝐸. Traccia le bisettrici degli angoli 𝐵𝐷𝐸 e 𝐷𝐸𝐶, e indica con 𝑃 il loro punto di intersezione. Dimostra che
a) Il triangolo 𝐷𝑃𝐸 è isoscele; b) 𝐴𝑃 è bisettrice dell’angolo 𝐷𝑃𝐸;
c) Il prolungamento di 𝐴𝑃 interseca 𝐵𝐶 nel suo punto medio.
Esercizio 9. Sia 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallelogramma di basi maggiori 𝐴𝐵 e 𝐷𝐶, e lati minori 𝐵𝐶 e 𝐴𝐷. a) Descrivi tutte le proprietà caratterizzanti di questo quadrilatero.
b) Dimostra che le diagonali 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 scompongono il parallelogramma in quattro triangoli a due a due congruenti.
Prolunga ora i lati 𝐴𝐵 e 𝐷𝐶 di due segmenti 𝐵𝐵′ e 𝐷𝐷′ tra loro congruenti. Prolunga poi i lati 𝐷𝐴 e 𝐵𝐶 di due segmenti 𝐴𝐴′ e 𝐶𝐶′ tra loro congruenti.
c) Che tipo di quadrilatero si ottiene unendo tra loro i punti 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷′? Argomenta la tua risposta dimostrando le opportune congruenze.
Supponi adesso che la costruzione dei segmenti 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 , 𝐶𝐶 , 𝐷𝐷′ renda i triangoli 𝐴′𝐷𝐷′ e 𝐶′𝐵𝐵′ entrambi isosceli rispettivamente sulle basi 𝐷′𝐷 e 𝐵𝐵′.
d) Sapendo che 𝐷 𝐴′𝐷 = 20°, utilizza il teorema dell’angolo esterno per determinare le ampiezze del parallelogramma 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Esercizio 10. Dal punto medio 𝑃 del lato 𝐵𝐶 di un triangolo 𝐴𝐵𝐶, conduci la parallela alla mediana 𝐵𝑄 che incontra le rette passanti dai lati 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 rispettivamente nei punti 𝐿 ed 𝑀. Dimostra che 𝐵𝑄 ≅ 𝐿𝑀.
QUESITI
Quesito 1. Utilizza l’algoritmo della divisione euclidea per effettuare la divisione (𝑥 + 17𝑥 − 7𝑥 + 18): (𝑥 − 4).
Quesito 2. Calcola (𝑎 − 2𝑏) .
Quesito 3. Determina le frazioni generatrici dei numeri 1,23 , 0, 75, 2,01 e 74%.
Quesito 4. Un agricoltore decide di suddividere in questo modo il proprio terreno: 3/5 seminato a grano; del rimanente, il 35% seminato a mais e il 45% a erba medica. I residui 1800 metri quadri vengono utilizzati per l’orto. Qual è la superficie totale del terreno coltivabile? E quella seminata a erba medica?
Quesito 5. Scomponi in fattori i seguenti polinomi 𝑥 + 6𝑥 𝑦 + 12𝑥𝑦 + 8𝑦 3𝑎 + 𝑎 𝑏 − 10𝑎𝑏 (2𝑥 − 1) − (𝑥 + 3) 𝑎 −𝑦 27− 𝑎 𝑦 + 𝑎𝑦 3 + 1
Quesito 6. (Matematica e Fisica) Un punto materiale è situato nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale 𝑂𝑥𝑦, ed è soggetto alle forze 𝐹⃗ (4, −1), 𝐹⃗ (3,2) e 𝐹⃗ (−1, −2).
b) Stabilisci se, dopo un certo tempo, il punto materiale può trovarsi nel punto (12, −2).
c) Calcola una forza 𝐹 da applicare al punto per farlo rimanere in equilibrio nell’origine degli assi. Quesito 7. Considera i vettori 𝑎⃗ = (2𝑘 + 3)𝚤⃗ + (𝑘 − 1)𝚥⃗ e 𝑏⃗ = (3ℎ + 1)𝚤⃗ + (ℎ + 1)𝚥⃗. Determina 𝑘 e ℎ in modo che i due vettori siano paralleli al vettore 𝑣⃗ = (4,3).
