Esercizi di calcolo delle matrici

(1)

ESERCIZI SUL CALCOLO DEL DETERMINANTE E DELLA MATRICE INVERSA ESERCIZI SULLA SOMMA, SOTTRAZIONE E PRODOTTO TRA MATRICI

(2)

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?

RISOLVI

NASCONDI

(3)

Eseguire , quando possibile , le seguenti operazioni di somma , sottrazione e moltiplicazione tra matrici : 1. _      − + − − =       − + + − = 2 1 1 4 , 1 3 2 1 B A       − − − =       + − − − − + =       − + − −       − + + − =       + + + + =       − + − − −       − + + − = −       − + + − =       − + − − +       − + + − = + 1 13 3 6 2 3 1 12 4 1 2 4 2 1 1 4 * 1 3 2 1 * 1 2 3 3 2 1 1 4 1 3 2 1 3 4 1 5 2 1 1 4 1 3 2 1 B A B A B A 2. _      − + + − =       − − = 1 6 2 2 , 1 2 5 0 B A       + − + − =       + − − + − =       − + + −       − − =       − − + =       − + + − −       − − = −       − + − − =       − + + − +       − − = + 5 10 5 30 1 4 6 4 5 0 30 0 1 6 2 2 * 1 2 5 0 * 0 4 7 2 1 6 2 2 1 2 5 0 2 8 3 2 1 6 2 2 1 2 5 0 B A B A B A

?

(4)

3. _      − − + − =           + + − − = 2 1 4 3 , 3 1 1 1 2 1 B A           − + − =       − − + − +           + + − − = + 3 5 0 3 2 7 2 1 4 3 3 1 1 1 2 1 B A           + − + =           − + − − + − + =       − − + −           + + − − =           + + − + =       − − + − −           + + − − = − 3 10 3 10 0 2 5 3 2 4 3 1 3 2 2 1 2 3 2 1 4 3 * 3 1 1 1 2 1 * 3 7 2 5 2 5 2 1 4 3 3 1 1 1 2 1 B A B A 4.           − + − − + =           − − + − − + + − = 1 1 1 0 2 1 , 1 1 2 0 1 1 1 1 1 B A           − + + − =           + + − − + + + + + + + − − − + + + − =           − + − − +           − − + − − + + − = 2 1 3 1 0 0 1 1 4 1 0 2 0 1 2 0 0 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 2 1 * 1 1 2 0 1 1 1 1 1 * B A

?

(5)

5.           + − − + − − − =           + − − + + + = 0 0 1 4 2 1 1 1 1 , 0 4 0 0 3 2 3 1 2 B A           + − + + + − − − + =           + − − + − − −           + − − + + + =           + − + − − + + + =           + − − + − − − −           + − − + + + = −           + + − − − + + =           + − − + − − − +           + − − + + + = + 16 8 4 14 8 1 6 4 2 0 0 1 4 2 1 1 1 1 * 0 4 0 0 3 2 3 1 2 * 0 4 1 4 1 3 4 2 3 0 0 1 4 2 1 1 1 1 0 4 0 0 3 2 3 1 2 0 4 1 4 5 1 2 0 1 0 0 1 4 2 1 1 1 1 0 4 0 0 3 2 3 1 2 B A B A B A 6.           + − − − + =           + − − + = 2 2 3 1 1 6 , 4 1 0 0 3 2 B A           + + − + − − =           + − − − + −           + − − + = −           + − + − − + =           + − − − + +           + − − + = + 2 1 3 1 2 4 2 2 3 1 1 6 4 1 0 0 3 2 6 3 3 1 4 8 2 2 3 1 1 6 4 1 0 0 3 2 B A B A

?

(6)

7.

[

]

          + − + − + = − + − = 3 1 1 0 3 1 , 5 1 2 B A

[

]

[

2 0 5 6 1 15

]

[

3 8

]

3 1 1 0 3 1 * 5 1 2 * = − + + + + − = + −           + − + − + − + − = B A 8.           − − − − + − + − =           − + + − − + + = 3 1 0 1 2 4 2 1 2 , 2 1 1 1 5 5 0 1 1 B A           + + + + + − − − + =           − − − − + − + −           − + + − − + + =           + + + + − − + + =           − − − − + − + − −           − + + − − + + = −           − + − − − + − =           − − − − + − + − +           − + + − − + + = + 3 1 2 12 4 10 3 1 2 3 1 0 1 2 4 2 1 2 * 2 1 1 1 5 5 0 1 1 * 1 2 1 2 3 9 2 0 3 3 1 0 1 2 4 2 1 2 2 1 1 1 5 5 0 1 1 5 0 1 0 7 1 2 2 1 3 1 0 1 2 4 2 1 2 2 1 1 1 5 5 0 1 1 B A B A B A 9. _      − − + + − − =       + + − + − = 1 0 1 0 3 1 2 1 , 0 1 1 1 0 0 2 1 B A       + + + − − − + =       − − + + − − −       + + − + − = −       − + − + + − =       − − + + − − +       + + − + − = + 1 1 2 1 3 1 4 0 1 0 1 0 3 1 2 1 0 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 3 1 0 2 1 0 1 0 3 1 2 1 0 1 1 1 0 0 2 1 B A B A

?

(7)

Calcolare il determinante e , quando possibile , la matrice inversa delle seguenti matrici : 10. _      − + + − =         − + + − = 1 1 3 4 , 1 2 1 2 1 B A

( )

(

)

      − − − − = ⇒             − = − ⋅ + = − = + ⋅ − = − = ⋅ − = − = − ⋅ + = = − = − + + − = = − = − + + − = − 4 1 3 1 4 1 4 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 3 4 1 1 3 4 0 1 1 1 2 1 2 1 1 22 21 12 11 B b b b b B A

infatti come da verifica : _      + + =       − − − − ⋅       − + + − = ⋅ − 1 0 0 1 4 1 3 1 1 1 3 4 1 B B

?

(8)

11. _      − + + − =       − − = 1 7 1 1 , 1 3 2 0 B A

(

)

(

)

          = ⇒             = − − ⋅ + = = − ⋅ − = = − + ⋅ − = = − − ⋅ + =           − − = ⇒             = ⋅ + = − = ⋅ − = = − ⋅ − = − = − ⋅ + = − = − = − + + − = + = + = − − = − − 6 1 6 7 6 1 6 1 6 1 6 1 1 6 7 6 7 1 6 1 6 1 1 6 1 6 1 1 , 0 2 1 3 1 6 1 0 6 0 1 2 1 6 3 1 3 1 6 2 1 6 1 6 1 1 6 7 1 1 7 1 1 6 6 0 1 3 2 0 1 22 21 12 11 1 22 21 12 11 B b b b b A a a a a B A

infatti come da verifica :

      + + =           − − ⋅       − − = ⋅ − 1 0 0 1 0 2 1 3 1 6 1 1 3 2 0 1 A A _      + + =           ⋅       − + + − = ⋅ − 1 0 0 1 6 1 6 7 6 1 6 1 1 7 1 1 1 B B 12. _      + − + − =       + − = 1 1 4 4 , 2 1 1 0 B A

(

)

(

)

      − + = − ⇒             = ⋅ + = − = ⋅ − = = − ⋅ − = = ⋅ + = = + − = + − + − = + = + = + − = 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 4 4 1 1 4 4 1 1 0 2 1 1 0 22 21 12 11 A a a a a B A

infatti come da verifica : _      + + =       − + ⋅       + − = ⋅ − 1 0 0 1 0 1 1 2 2 1 1 0 1 A A

?

(9)

13.           − + − + + − + − =           − − + + − + + + − = 1 1 1 3 1 0 1 1 1 , 2 1 1 1 1 2 3 2 2 B A

(

) (

)

                                   − − = − ⇒ − = − + + − ⋅ + = = − + + − ⋅ − = − = − + − + ⋅ + = = + + + − ⋅ − = + = − + + − ⋅ + = + = − + + + ⋅ − = = + − + + ⋅ + = = − − + + ⋅ − = = − − + − ⋅ + = = + − + − − − + − = − + − + + − + + + − − − + − − = − − + + − + + + − = 2 0 1 8 1 5 5 1 3 1 2 1 1 2 2 2 1 , 0 1 1 1 2 2 1 , 1 1 1 1 1 2 1 8 1 1 2 3 2 1 , 1 1 2 1 3 2 1 , 5 1 2 1 1 2 1 5 1 1 1 3 2 1 , 1 1 2 1 3 2 1 , 3 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 1 4 2 1 2 2 1 1 1 2 3 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3 2 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A a a a a a a a a a A

          =           − − ⋅           − − + + − + + + − = ⋅ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1 8 1 5 5 1 3 2 1 1 1 1 2 3 2 2 1 A A 0 1 1 1 3 1 0 1 1 1 = − + − + + − + − =

B non esiste quindi l'inversa.

(10)

14.           − − − − − =           + + − − + − + = 0 1 0 4 2 1 1 1 0 , 0 4 0 1 1 2 3 1 1 B A                                             ₋ ₋ = ⇒ = − − − − + ⋅ + = = − + − + ⋅ − = = − + − − ⋅ + = = − + − + + ⋅ − = = − + + ⋅ + = = − + − ⋅ − = − = − + − + − ⋅ + = − = − + + − ⋅ − = = − + + − ⋅ + = − = + − + + − = + + − − + − + = − 28 3 7 1 7 2 4 1 0 0 14 1 7 3 7 1 28 3 28 1 2 1 1 1 , 7 1 28 4 0 1 1 1 , 7 2 28 4 0 1 2 1 4 1 28 1 2 3 1 1 , 0 28 0 0 3 1 1 , 0 28 0 0 1 2 1 14 1 28 1 1 3 1 1 , 7 3 28 0 4 3 1 1 , 7 1 28 0 4 1 1 1 28 1 2 3 1 4 0 4 0 1 1 2 3 1 1 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 A a a a a a a a a a A

          =                 ₋ ₋ ⋅           + + − − + − + = ⋅ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 28 3 7 1 7 2 4 1 0 0 14 1 7 3 7 1 0 4 0 1 1 2 3 1 1 1 A A

?

(11)

                                   + − − + + − = ⇒ = − + − ⋅ + = = − − ⋅ − = − = − − + ⋅ + = − = − + − ⋅ − = = − ⋅ + = = − + ⋅ − = = − − − − ⋅ + = = − − − ⋅ − = − = − − − ⋅ + = + = − − − − = − − − + − − = − 1 0 1 1 0 0 2 1 4 1 1 2 1 1 0 1 , 0 1 1 0 1 0 1 , 1 1 1 0 2 1 1 1 1 4 1 1 0 1 , 0 1 0 0 1 0 1 , 0 1 0 0 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 , 1 1 0 1 1 1 1 , 4 1 0 1 4 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 B b b b b b b b b b B

          =           + − − + + − ⋅           − − − + − − = ⋅ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 2 1 4 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 B B 15.             + + − − + − − − − − =             + − − + − − + − − + − + − = 0 3 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 , 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 B A 2^ . 2^ . 3^ . 1 1 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 col col col A ⇒ → −             + − + − − + − + − + − ≅             + − − + − − + − − + − + − =

?

(12)

e quindi : 1 1 0 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 2 1 − = + + − − + + + − ⋅ + ⇒ + − + − − + − + − + − = A                                              + = − − − + − + + − ⋅ − = − = − + − + − + + − ⋅ + = + = − + − + − − + + + − ⋅ − = − = − + − + − − + − ⋅ + = − = − − + − + − − ⋅ + = + = − + − + − + − − ⋅ − = − = − + − + − + + − − ⋅ + = + = − + − + − + − ⋅ − = = − − − − − + − + ⋅ − = + = − + − − − − + − + ⋅ + = − = − + − − − − + − + ⋅ − = + = − + − − − − − − ⋅ + = 1 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 , 5 1 1 1 2 0 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 , 3 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 1 , 5 1 1 1 2 0 1 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 1 , 3 1 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 , 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a

(13)

              + = − − + − − − + − ⋅ + = − = − − − − − − + − ⋅ − = + = − − − + − + − + − ⋅ + = − = − − − + − + − − ⋅ − = 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 , 4 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 , 2 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 1 44 43 42 41 a a a a e di qui :             + − + − + − + − − + − + + − + = − 1 4 1 2 1 5 1 3 1 5 2 3 0 2 1 1 1 A

            =             + − + − + − + − − + − + + − + ⋅             + − − + − − + − − + − + − = ⋅ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 4 1 2 1 5 1 3 1 5 2 3 0 2 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 A A 0 0 3 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 = + + − − + − − − − − =

(14)

16.           + − + − + =       − + − = 3 1 1 0 3 1 , 1 0 2 1 B A

(

1 0

)

1 1 0 2 1 + = − + = − + − = A       − − − = − ⇒             − = − ⋅ + = = ⋅ − = − = + ⋅ − = − = − ⋅ + = 1 0 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 1 22 21 12 11 A a a a a

infatti come da verifica : _      =       − − − ⋅       − + − = ⋅ − 1 0 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 A A           + − + − + = 3 1 1 0 3 1

B non esiste il determinante

17.           − − − + + − =           − + + + − − + = 1 5 0 1 0 3 1 0 1 , 4 1 2 4 1 2 0 1 0 B A 0 4 2 4 2 1 4 1 2 4 1 2 0 1 0 = − + + − − = − + + + − − + =

A non esiste l'inversa .

?

(15)

10 1 3 1 1 5 1 5 0 1 0 3 1 0 1 − = − + + − + = − − − + + − = B        = − − + ⋅ + = = − − − + ⋅ − = = − − − − ⋅ + = 0 10 1 0 1 0 1 , 2 1 10 1 5 1 0 1 , 2 1 10 1 5 1 0 1 13 12 11 b b b                                       + + − − − + + = ⇒ = − + − ⋅ + = = − − − ⋅ − = = − − + ⋅ + = − = − − + + − ⋅ − = − = − − + − ⋅ + = − = − − − + ⋅ − = − 0 2 1 2 3 5 1 10 1 10 3 0 2 1 2 1 0 10 0 3 0 1 1 , 2 1 10 5 0 0 1 1 , 2 3 10 5 0 0 3 1 5 1 10 1 3 1 1 1 , 10 1 10 1 0 1 1 1 , 10 3 10 1 0 1 3 1 1 33 32 31 23 22 21 B b b b b b b

          =                 + + − − − + + ⋅           − − − + + − = ⋅ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 3 5 1 10 1 10 3 0 2 1 2 1 1 5 0 1 0 3 1 0 1 1 B B

(16)

18.                 + + − + − + − − − + − − − + − − + − − = 1 2 1 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 A

con opportune operazioni elementari tra linee :

≅                 + + − + − + − − − + − − − + − − + − − ≅                 + + − + − + − − − + − − − + − − + − − ≅                 + + − + − + − − − + − − − + − − + − − = 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 A 1 det 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 3 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 = ⇒                 − − + − − − − + − − + − ≅                 − + − − − − − + − − + − ≅ ≅                 + + − − − − − − + − − + − ≅                 + + − − − − − − + − − + − ≅                 + + + − − + − − − + − − − − + − − + − ≅ A

procedendo come nei precedenti esercizi otteniamo infine :

                + − − + − + + + − + + − + − = − 0 2 0 1 3 1 2 0 2 3 1 3 0 3 4 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 A

?