Quesiti

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Scuole italiane all’estero (Calendario australe) 2003

QUESITO 1

Quale è il dominio della funzione 𝑓(𝑥) = 𝑥𝜋 _{− 𝜋}𝜋 _{? Quale ne è il segno della derivata}

prima e quale quello della derivata seconda nel punto 𝜋 ? Dominio: 𝑥 ≥ 0 .

𝑓′(𝑥) = 𝜋 𝑥𝜋−1_{> 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 0}

𝑓′′(𝑥) = 𝜋(𝜋 − 1)𝑥𝜋−2 _{> 0 𝑝𝑒𝑟 𝑥 > 0}

Quindi: 𝑓′_{(𝜋) > 0 𝑒 𝑓}′′_{(𝜋) > 0 .}

N.B.

Probabilmente il testo della funzione è 𝑓(𝑥) = 𝑥𝜋 _{− 𝜋}𝑥_{. In tal caso:}

Dominio: 𝑥 ≥ 0 . 𝑓′_{(𝑥) = 𝜋 𝑥}𝜋−1_{− 𝜋}𝑥_{ln 𝜋 ; 𝑓}′_{(𝜋) = 𝜋 ∙ 𝜋}𝜋−1_{− 𝜋}𝜋_{ln 𝜋 = 𝜋}𝜋_{(1 − ln 𝜋) < 0 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè 𝜋 > 𝑒} 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 ln 𝜋 > 1 , 1 − ln 𝜋 < 0 . 𝑓′′_{(𝑥) = 𝜋(𝜋 − 1)𝑥}𝜋−2 _{− ln 𝜋 (𝜋}𝑥_{ln 𝜋) ; 𝑓}′′_{(𝑥) = 𝜋(𝜋 − 1)𝜋}𝜋−2 _{− ln 𝜋 (𝜋}𝜋_{ln 𝜋) =} = (𝜋 − 1)𝜋𝜋−1 _{− ln 𝜋 (𝜋}𝜋_{ln 𝜋) = 𝜋}𝜋 _{− 𝜋}𝜋−1 _{− 𝜋}𝜋_ln2_{𝜋 = 𝜋}𝜋_{(1 − ln}2_{𝜋) − 𝜋}𝜋−1 _{< 0} 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè ln 𝜋 > 1 , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 ln2_{𝜋 > 1, 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 1 − ln}2_{𝜋 < 0}

QUESITO 2

Calcolate il rapporto tra la superficie totale di un cilindro equilatero e la superficie della sfera ad esso circoscritta.

Detti R ed r i raggi della sfera e della base del cilindro, essendo il cilindro equilatero l’altezza è uguale al diametro di base, quindi: ℎ = 2𝑟 ; ℎ

2 = 𝑟 ; 𝑅 = 𝑟√2 . Perciò: 𝑆_𝑇(𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) = 2(𝜋𝑟2_{) + 𝑆} 𝑙 = 2𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟ℎ = 2𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟(2𝑟) = 6𝜋𝑟2 𝑆(𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) = 4𝜋𝑅2 _{= 4𝜋(2𝑟}2_{) = 8𝜋𝑟}2 𝑆_𝑇(𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) 𝑆(𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) = 6𝜋𝑟2 8𝜋𝑟2 = 3 4

QUESITO 3

QUESITO 4

Dimostrate che la somma di qualsiasi numero reale positivo e del suo reciproco è almeno 2.

Indicato con x un numero reale positivo, dobbiamo dimostrare che: 𝑥 +1

𝑥≥ 2, 𝑐𝑖𝑜è:

𝑥2+ 1 − 2𝑥

𝑥 ≥ 0

Siccome x>0, basta che sia:

𝑥2_{+ 1 − 2𝑥 ≥ 0 , (𝑥 − 1)}2 _{≥ 0 ∶ 𝑣𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑖 𝑥 .}

QUESITO 5

I gradi sessagesimali, i radianti e i gradi centesimali sono le più comuni unità per la misura degli angoli. Date di ciascuna di esse una esauriente definizione.

Il grado sessagesimale è la novantesima parte dell’angolo retto. Il grado centesimale è la centesima parte dell’angolo retto.

Il radiante è definito nel seguente modo: si consideri una qualsiasi circonferenza con centro nel vertice dell’angolo e sia 𝑙 la lunghezza dell’arco interno all’angolo avente per

estremi le intersezioni dei lati dell’angolo con la circonferenza stessa. Detto 𝑟 il raggio della circonferenza, il rapporto fra 𝑙 𝑒𝑑 𝑟 è indipendente dalla circonferenza ma dipende solo dall’ampiezza dell’angolo: tale rapporto è definito come misura in radianti

dell’angolo. Per avere 1 radiante basta prendere 𝑙 = 𝑟 .

Il 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 è quindi l’angolo che intercetta un arco di circonferenza, con centro nel suo vertice, che, rettificato, ha lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa

QUESITO 6

Sia 𝐴𝑃̂𝐵 un angolo la cui misura in radianti è data dal numero 𝑒 di Nepero, base dei logaritmi naturali. Quale è la misura in gradi sessagesimali di 𝐴𝑃̂𝐵 e quale quella in gradi centesimali? Motivate la vostra risposta.

Ricordiamo che, detti 𝛼° 𝑒𝑑 𝛼 le misure in gradi sessagesimali ed in radianti dell’angolo, si ha la seguente relazione:

𝛼°: 𝛼 = 180°: 𝜋 , 𝛼° =𝛼 ∙ 180°

𝜋 =

𝑒 ∙ 180°

𝜋 ≅ 155.75° = 𝛼° Indichiamo ora con 𝛼𝑔 _{la misura in gradi centesimali dell’angolo. Si ha:}

𝛼𝑔_{: 𝛼 = 200}𝑔_{: 𝜋 , 𝛼}𝑔 ₌𝛼 ∙ 200 𝑔 𝜋 = 𝑒 ∙ 200𝑔 𝜋 ≅ 173.05 𝑔 _{= 𝛼}𝑔

QUESITO 7

𝑓(𝑥) = arctan 𝑥 − arctan𝑥 − 1 𝑥 + 1 .

Quali conclusioni ne potete trarre per la f(x)? La funzione è una costante? Se sì, quale è la costante?

La derivata della funzione è:

𝑦′= 1 1 + 𝑥2 − 1 1 + (𝑥 − 1_{𝑥 + 1)} 2∙ ( 𝑥 − 1 𝑥 + 1) ′ = 1 1 + 𝑥2 − (𝑥 + 1)2 2𝑥2_{+ 2} ∙ 2 (𝑥 + 1)2 = 0

Siccome la funzione è definita per x<-1 e x>-1, possiamo dire che funzione è costante a tratti; posto 𝑎 = arctan 𝑥 𝑒 𝑏 = arctan𝑥−1

𝑥+1 abbiamo: 𝑥 = tan 𝑎 , 𝑥−1 𝑥+1= tan 𝑏 da cui: 𝑥 − 1 = (𝑥 + 1) tan 𝑏 , 𝑥 =tan 𝑏 + 1 1 − tan 𝑏: tan 𝑎 = tan 𝑏 + 1 1 − tan 𝑏 = tan𝜋_{4 + tan 𝑏} tan𝜋_{4 − tan 𝑏 tan}𝜋₄ =

= tan (𝜋 4+ 𝑏) , 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖: 𝑎 = 𝜋 4+ 𝑏 + 𝑘𝜋, 𝑎 − 𝑏 = 𝜋 4+ 𝑘𝜋 Studiamo il segno di 𝑎 − 𝑏 = arctan 𝑥 − arctan𝑥−1

𝑥+1 : arctan 𝑥 − arctan𝑥−1 𝑥+1> 0; se 𝑥 > 𝑥−1 𝑥+1 , 𝑥2+1 𝑥+1 > 0: 𝑥 > −1 Quindi 𝑎 − 𝑏 =𝜋 4 𝑠𝑒 𝑥 > −1 𝑒 𝑎 − 𝑏 = 𝜋 4− 𝜋 = − 3 4𝜋 𝑠𝑒 𝑥 < −1 . Pertanto: 𝑓(𝑥) = arctan 𝑥 − arctan𝑥 − 1 𝑥 + 1 = { −3 4𝜋 𝑠𝑒 𝑥 < −1 𝜋 4 𝑠𝑒 𝑥 > −1 Secondo metodo

Se x>-1, essendo f derivabile in un intervallo con derivata nulla ovunque, la funzione è costante (conseguenza del teorema di Lagrange); posso calcolare il valore di tale costante prendendo per esempio x=0:

𝑓(0) = arctan 0 − arctan(−1) =𝜋 4

In modo analogo per x<-1, il valore della costante lo posso calcolare per esempio prendendo 𝑥 = −√3, quindi: 𝑓(−√3) = arctan(−√3) − arctan (−√3 − 1 −√3 + 1) = − 𝜋 3− arctan(2 + √3) = − 𝜋 3− 5 12𝜋 = − 3 4𝜋

Quindi, come trovato con il primo metodo: 𝑓(𝑥) = arctan 𝑥 − arctan𝑥 − 1 𝑥 + 1 = { −3 4𝜋 𝑠𝑒 𝑥 < −1 𝜋 4 𝑠𝑒 𝑥 > −1

QUESITO 8

Verificate che la funzione: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥_{+ 𝑥}−1 _{è invertibile e detta g la funzione}

inversa, calcolate 𝑔′_{(1 + 𝑒}−1_{) .}

La funzione è definita per ogni x non nullo. Analizziamo la derivata prima: 𝑓′(𝑥) = −𝑒−𝑥₋ 1

𝑥2 < 0 𝑖𝑛 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑜 𝑖𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜

La funzione è quindi strettamente decrescente per x<0 e per x>0 (ma non è decrescente in tutto il dominio); da uno studio sommario della funzione (basta calcolare i limiti agli estremi del dominio) segue che: LA FUNZIONE NON E’ INVERTIBILE IN TUTTO IL DOMINIO; E’ INVERTIBILE PER X<0 OPPURE PER X>0.

Un grafico qualitativo della funzione è il seguente:

Osserviamo che se 𝑦 = 1 + 𝑒−1 _{𝑟𝑖𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎: 1 + 𝑒}−1 _{= 𝑒}−𝑥_{+ 𝑥}−1_{, 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖: 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 𝑎 < 0}

Se consideriamo la restrizione di f con x>0 avremo:

𝑔′(1 + 𝑒−1_{) =} 1 𝑓′₍₁₎= 1 −𝑒−1_{− 1} = −𝑒 1 + 𝑒