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ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
1) Si considerino due urne: la prima contenente 2 palline rosse e 8 verdi e la seconda contenente 4 palline rosse e 6 verdi.
a) Si consideri un esperimento che consiste nell’estrarre con ripetizione due palline dalla prima urna e si determini la probabilità che entrambe le palline siano rosse.
b) Si consideri l’esperimento che consiste nell’estrarre una pallina dalla prima urna, nell’inserirla nella seconda urna e nell’estrarre una pallina dalla seconda urna. Determinare la probabilità che la pallina estratta sia rossa.
c) Sapendo che la pallina estratta dalla seconda urna è rossa, calcolare la probabilità che la pallina estratta dalla prima urna sia verde.
Soluzione
a) Indicati con
R1 l’evento “pallina rossa alla prima prova”
R2 l’evento “pallina rossa alla seconda prova”
la probabilità di estrarre una pallina rossa dalla prima urna è pari a 2/10 in entrambe le prove, dato che l’estrazione è con ripetizione, per cui gli eventi sono indipendenti. Si ottiene quindi
𝑃(𝑅1∩ 𝑅2) = 𝑃(𝑅1) × 𝑃(𝑅2) = 1 5×1
5= 1
25 = 0.04 b) Indicati con
R1 l’evento “pallina rossa dalla prima urna”
V1 l’evento “pallina verde dalla prima urna”
le probabilità corrispondenti sono 𝑃(𝑅1) = 1
5 𝑃(𝑉1) = 4
5
La seconda urna può risultare composta da:
- 5 palline rosse e 6 verdi, se dalla prima urna sia stata estratta una pallina rossa, per cui
𝑃(𝑅2|𝑅1) = 5 11
2
- 4 palline rosse e 7 verdi, se dalla prima urna sia stata estratta una pallina verde, per cui
𝑃(𝑅2|𝑉1) = 4 11
Indicato con R2 l’evento “pallina rossa dalla seconda urna”, si ha 𝑅2 ≡ (𝑅1∩ 𝑅2) ∪ (𝑉1∩ 𝑅2)
La probabilità di ottenere una pallina rossa dalla seconda urna risulta quindi
𝑃(𝑅2) = 𝑃(𝑅1∩ 𝑅2) + 𝑃(𝑉1 ∩ 𝑅2) =
= 𝑃(𝑅1) × 𝑃(𝑅2|𝑅1) + 𝑃(𝑉1) × 𝑃(𝑅2|𝑉1) = = 1
5× 5 11+4
5× 4
11 = 21 55
c) Si chiede di calcolare la probabilità 𝑃(𝑉1|𝑅2).
Dalla formula di Bayes risulta
𝑃(𝑉1|𝑅2) = 𝑃(𝑉1) × 𝑃(𝑅2|𝑉1)
𝑃(𝑅2) = 4/5 × 4/11 21/55 =16
21
3
2) Di tutti gli ATM collocati in Toscana, il 45% non ha subito attacchi nel periodo 2009-2011, il 75% non ha subito attacchi nel periodo 2012-2014, il 60% non ha subito attacchi in nessuno dei due periodi. Si selezioni casualmente un ATM.
Sia A l'evento che si verifica se l'ATM selezionato non ha subito attacchi nel periodo 2009-2011 e B l'evento che si verifica se l'ATM selezionato non ha subito attacchi nel periodo 2012-2014.
a) Calcolare P(B).
b) Sapendo che un ATM non ha subito attacchi nel periodo 2012-2014, calcolare la probabilità che l’ATM non abbia subito attacchi nel periodo 2009-2011 (ovvero calcolare P(A|B)) e specificare se i due eventi sono indipendenti.
c) Calcolare 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).
Soluzione
Dal testo si ottengono le seguenti probabilità P(A)=0.45
P(B)=0.75
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.60
a) La probabilità di B è fornita dal testo: P(B)=0.75
b) Per calcolare la probabilità P(A|B) si utilizza la legge delle probabilità composte, per la quale risulta
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) = 0.6
0.75 = 0.8 Dato che
𝑃(𝐴|𝐵) = 0.8 ≠P(A)=0.45
gli eventi non sono indipendenti
c) Dato che A e B sono compatibili, la probabilità della loro unione è 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.45 + 0.75 − 0.6 = 0.6
4
3) Si considerino due dadi: il primo è equilibrato, mentre il secondo è truccato in modo che la probabilità che si verifichi una faccia contrassegnata da un numero dispari è doppia della probabilità che si verifichi una faccia contrassegnata da un numero pari.
a) Lanciando il secondo dado, calcolare la probabilità che esca una faccia con un numero di punti superiore a tre.
Si consideri l’esperimento che consiste nel lanciare una moneta equilibrata.
Se esce la faccia croce si lancia il dado equilibrato, se esce testa si lancia il dado truccato.
b) Calcolare la probabilità che esca la faccia con tre punti.
c) Sapendo che è uscita la faccia con tre punti, calcolare la probabilità che sia stato lanciato il dado truccato.
Soluzione
a) Indicati con 𝜔𝑖 (per i=1, 2, …, 6) i possibili risultati sul secondo dado, l’evento D “punteggio dispari” corrisponde a
𝐷 = {𝜔1, 𝜔3, 𝜔5} mentre l’evento 𝐷𝑐 “punteggio pari” corrisponde a
𝐷𝑐 = {𝜔2, 𝜔4, 𝜔6}
Per ottenere le probabilità delle singole facce basta considerare il sistema {𝑃(𝐷) + 𝑃(𝐷𝑐) = 1
𝑃(𝐷) = 2𝑃(𝐷𝑐)
da cui, sostituendo 2𝑃(𝐷𝑐) al posto di 𝑃(𝐷) nella prima uguaglianza si ottiene
2𝑃(𝐷𝑐) + 𝑃(𝐷𝑐) = 1 e quindi
𝑃(𝐷𝑐) = 1 3
A ciascuna faccia pari è associata quindi una probabilità pari a 𝑃(𝜔2) = 𝑃(𝜔4) = 𝑃(𝜔6) = 1
9
Dato che le facce dispari hanno probabilità doppia si ottiene
5
𝑃(𝜔1) = 𝑃(𝜔3) = 𝑃(𝜔5) = 2 9
La probabilità dell’evento “faccia superiore a tre” corrisponde a 𝑃(𝜔4) + 𝑃(𝜔5) + 𝑃(𝜔6) = 1
9+2 9+1
9 =4 9 b) Indicando con
A l’evento “punteggio pari a 3” sul dado T l’evento “faccia testa” sulla moneta C l’evento “faccia croce” sulla moneta l’evento A può essere scritto nella forma
𝐴 ≡ (𝐴 ∩ 𝑇) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶) per cui la sua probabilità è
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝑇) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝑇) × 𝑃(𝐴|𝑇) + 𝑃(𝐶) × 𝑃(𝐴|𝐶) dove
𝑃(𝑇) = 𝑃(𝐶) = 1
dato che la moneta è equilibrata. 2 𝑃(𝐴|𝑇) = 2
dato che se esce testa si lancia il dado truccato 9 𝑃(𝐴|𝐶) = 1
dato che se esce croce si lancia il dado non truccato 6
Risulta quindi
𝑃(𝐴) ≡ 1 2×2
9+1 2×1
6= 7 36
c) In questo caso si chiede la probabilità di (𝑇|𝐴), ossia la probabilità che la faccia 3 del dado derivi da un lancio della moneta che ha fornito la faccia testa.
Dalla formula di Bayes si ottiene
𝑃(𝑇|𝐴) =𝑃(𝑇) × 𝑃(𝐴|𝑇)
𝑃(𝐴) = 1/2 × 2/9 7/36 = 4
7
6
4) Si lancino due dadi di cui il primo perfetto e il secondo truccato in modo che le probabilità che si verifichino le facce con 1 punto e con 2 punti siano doppie rispetto alla probabilità di ciascuna delle altre facce.
a) Calcolare la probabilità che si verifichi l’evento “uscita di una faccia dispari sul dado truccato”.
b) Calcolare la probabilità che si verifichi l’evento “uscita di una faccia dispari su entrambi i dadi”.
c) Dato un esperimento con spazio fondamentale ={𝜔1, 𝜔2, 𝜔3}, determinare la classe degli eventi
Soluzione
Per il dado truccato conviene indicare con p la probabilità associata a qualsiasi faccia compresa fra 3 e 6 e con 2p la probabilità associata alla faccia 1 e alla faccia 2.
In questo modo, considerando l’evento corrispondente all’unione di tutti i possibili risultati, che deve risultare pari a 1, si ottiene il valore di p
Dall’uguaglianza 8p = 1
si ottiene 𝑝 =1
8
a) Indicato con D1 l’evento “uscita di una faccia dispari sul dado truccato”, questo evento corrisponde all’unione di tutti i punteggi dispari sul dado truccato. Questi risultati sono incompatibili fra loro per cui
𝑃(𝐷1) = 𝑃{𝜔1} + 𝑃{𝜔3} + 𝑃{𝜔5} = 2𝑝 + 𝑝 + 𝑝 = 4 8=1
2
b) I risultati ottenuti sui due dadi sono indipendenti fra loro. Indicato quindi con D2 l’evento “uscita di una faccia dispari sul dado perfetto”, si deve calcolare la probabilità dell’evento
𝑃(𝐷1∩ 𝐷2) = 𝑃(𝐷1) × 𝑃(𝐷2) = 1 2×1
2 =1 4
c) La classe degli eventi è costituita da 23 = 8 elementi A= {∅, {𝜔1}, {𝜔2}, {𝜔3}, {𝜔1, 𝜔2}, {𝜔1, 𝜔3}, {𝜔2, 𝜔3}, Ω}
7
5) Dato un esperimento con spazio fondamentale Ω, siano A e B due eventi, entrambi sottoinsiemi di Ω, tali che P(A)=0.7 e P(A⋃B)=0.8.
a) Calcolare 𝑃(𝐴𝑐)
b) Calcolare P(B) supponendo che A e B siano incompatibili c) Calcolare P(B) supponendo che A e B siano indipendenti
Soluzione
a) L’evento 𝐴𝑐 è l’evento contrario di A, per cui la sua probabilità è 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0.7 = 0.3
b) Se i due eventi sono incompatibili, la probabilità della loro somma è pari alla somma delle probabilità associate ai due eventi. Pertanto
P(A⋃B) = P(A)+ P(B) da cui si ottiene
P(B)=P(A⋃B) − P(A) = 0.8 − 0.7=0.1
c) Se i due eventi sono indipendenti, la probabilità del loro prodotto è pari al prodotto delle probabilità associate ai due eventi. Pertanto
P(A∩B) = P(A)×P(B) da cui si ottiene
P(A⋃B) = P(A)+ P(B) − P(A)×P(B)
Sostituendo le probabilità note, fornite dal testo, risulta 0.8=0.7+ P(B) − 0.7P(B)
0.3P(B) = 0.1 da cui si ottiene
𝑃(𝐵) = 1 3
8
6) Si lancino due dadi perfetti. Sia A l'evento che si verifica se la somma dei punteggi sulle due facce è maggiore di dieci e sia B l'evento che si verifica se sul primo dado è uscita una faccia dispari.
a) Calcolare 𝑃(𝐴𝑐) b) Calcolare P(A∩B)
c) Calcolare P(B|A) e dire se i due eventi sono indipendenti
Soluzione
Dato che la somma dei punteggi ottenuti sui due dadi è superiore a 10 se i dadi presentano i risultati seguenti
𝐴 ≡ {(𝜔5, 𝜔6) ∪ (𝜔6, 𝜔5) ∪ (𝜔6, 𝜔6) }
dalla definizione classica, la probabilità di A risulta 𝑃(𝐴) = 3
36
dato che i possibili risultati sono 62=36.
La probabilità di B, invece, è pari al rapporto fra il numero di facce pari sul primo dado (uguale a 3) e il numero complessivo di facce (uguale a 6) e risulta 𝑃(𝐵) = 1
2
a) La probabilità 𝑃(𝐴𝑐) corrisponde alla differenza 1−P(A) per cui si ha 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 3
36 = 33 36
b) L’evento intersezione (A∩B) risulta composto dalle sole coppie di risultati che appartengono sia a A sia a B. Dalla lista delle coppie che costituiscono A (elencate in precedenza) risulta che solo la coppia (𝜔5, 𝜔6) appartiene a entrambi gli eventi, per cui
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 36
c) In base alla legge delle probabilità composte, la probabilità di (B|A) risulta
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) = 1/36 3/36 =1
3
Dato che 𝑃(𝐵|𝐴) ≠ 𝑃(𝐵) si conclude che gli eventi A e B sono dipendenti
9
7) Si consideri un dado truccato in modo che le facce pari abbiano probabilità tripla delle altre di verificarsi. Sia A l'evento che si verifica se esce una faccia pari e B l'evento che si verifica se esce una faccia con numero di punti inferiore o uguale a 2.
a) Calcolare P(A)
b) Calcolare P(A|B) e dire se i due eventi sono indipendenti, giustificando la risposta.
c) Si lanci una moneta perfetta: se esce testa si lanci un dado perfetto mentre se esce croce si lanci il dado truccato. Calcolare la probabilità che esca la faccia con tre punti.
Soluzione
Ai risultati 𝜔2, 𝜔4 e 𝜔6 è associata una probabilità tripla rispetto alla probabilità associata 𝜔1, 𝜔3 e 𝜔5. Posta pari a p la probabilità associata a un risultato dispari, la probabilità associata a un risultato pari è 3p.
La somma delle probabilità associate alle 6 facce del dado è sempre pari a 1, per cui, facendo la somma delle probabilità associate a ciascun risultato si ottiene
𝑃{𝜔1} + 𝑃{𝜔2} + 𝑃{𝜔3} + 𝑃{𝜔4} + 𝑃{𝜔5} + 𝑃{𝜔6} =
= 𝑝 + 3𝑝 + 𝑝 + 3𝑝 + 𝑝 + 3𝑝 = 1 da cui risulta
𝑝 = 1 12 a) Dato che
𝐴 ≡ {𝜔2, 𝜔4, 𝜔6 } la sua probabilità è
𝑃(𝐴) = 𝑃{𝜔2, 𝜔4, 𝜔6 } = 3 12+ 3
12+ 3 12 = 3
4
b) In base alla legge delle probabilità composte si ha 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Tenendo presente che 𝐵 ≡ {𝜔1, 𝜔2}
l’intersezione fra A e B è costituita dal solo evento elementare 𝜔2 a cui è associata una probabilità 3/12=1/4.
10
All’evento B è associata una probabilità 𝑃(𝐵) = 𝑃{𝜔1, 𝜔2 } = 1
12+ 3 12 =1
3 Pertanto la probabilità di 𝐴|𝐵 risulta 𝑃(𝐴|𝐵) = 1/4
1/3= 3 4 Dato che risulta 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) =3
gli eventi A e B sono indipendenti 4
c) Indicato con T l’evento “uscita della faccia testa” e con C l’evento “uscita della faccia croce”, l’evento E l’evento “uscita della faccia 3 sul dado”
corrisponde
𝐸 ≡ (𝐸 ∩ 𝑇) ∪ (𝐸 ∩ 𝐶) per cui la sua probabilità è
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝑇 ∩ 𝐸) + 𝑃(𝐶 ∩ 𝐸) = 𝑃(𝑇) × 𝑃(𝐸|𝑇) + 𝑃(𝐶) × 𝑃(𝐸|𝐶)
Dato che la moneta è perfetta, si ha 𝑃(𝑇) = 𝑃(𝐶) = 1
2
Le probabilità condizionate sono 𝑃(𝐸|𝑇) = 1
6
perché se esce testa si lancia un dado perfetto, 𝑃(𝐸|𝐶) = 1
perché se esce croce si lancia il dado truccato 12
In conclusione, la probabilità richiesta è 𝑃(𝐸) = 1
2×1 6+1
2× 1
12 = 3 24 = 1
8
11
8) Si lanci un dado truccato in modo che la faccia contrassegnata da un punto abbia probabilità doppia delle altre di verificarsi. Sia E1 l'evento che si verifica se compare una faccia contrassegnata da un numero di punti maggiore di 4 e E2 l'evento che si verifica se compare una faccia contrassegnata da un numero pari di punti.
a) Calcolare 𝑃(𝐸1𝑐),
b) Calcolare 𝑃(𝐸1|𝐸2) e dire se i due eventi sono indipendenti.
c) Calcolare 𝑃(𝐸1∪ 𝐸2)
Soluzione
In analogia a quanto visto nel precedente esercizio, posta pari a p la probabilità associata alle facce 2, 3, 4, 5 e 6 del dado, sarà 2p la probabilità associata alla faccia 1.
Dall’uguaglianza
𝑃{𝜔1} + 𝑃{𝜔2} + 𝑃{𝜔3} + 𝑃{𝜔4} + 𝑃{𝜔5} + 𝑃{𝜔6} =
= 2𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 = 1 si ottiene
𝑝 = 1 7 a) Osservando che
𝐸1 ≡ {𝜔5, 𝜔6} per cui
𝑃(𝐸1) = 2 si ottiene 7 𝑃(𝐸1𝑐) = 1 −2
7= 5 7
b) Dalla legge delle probabilità composte risulta 𝑃(𝐸1|𝐸2) = 𝑃(𝐸1∩ 𝐸2)
𝑃(𝐸2) Dato che
𝐸2 ≡ {𝜔2, 𝜔4, 𝜔6} 𝑃(𝐸2) = 3
7
12
L’evento intersezione 𝐸1 ∩ 𝐸2 = {𝜔6}
ha probabilità 𝑃(𝐸1∩ 𝐸2) = 1 per cui risulta 7 𝑃(𝐸1|𝐸2) = 1/7
3/7 =1 3 Dato che
𝑃(𝐸1|𝐸2) = 1
3 ≠ 𝑃(𝐸1) = 2 i due eventi sono dipendenti 7
c) In base alla legge delle probabilità totali per eventi compatibili risulta 𝑃(𝐸1∪ 𝐸2) = 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸2) − 𝑃(𝐸1∩ 𝐸2) = 2
7+3 7−1
7= 4 7
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9) Si lancino 2 dadi perfetti.
a) Calcolare la probabilità dell'evento A che si verifica se la somma dei punti apparsi sui due dadi è 9.
b) Sia B l'evento che si verifica se sul primo dado compare una faccia dispari. Calcolare P(B) e dire se i due eventi A e B sono indipendenti.
c) Sapendo che la somma dei punti è 9, calcolare la probabilità che su uno dei due dadi sia apparsa la faccia con 5 punti.
Soluzione
a) Le coppie di risultati possibili lanciando due dadi sono 62=36. Fra questi, le coppie che costituiscono l’evento A sono
𝐴 ≡ {(𝜔3, 𝜔6), (𝜔4, 𝜔5), (𝜔5, 𝜔4), (𝜔6, 𝜔3)}
per cui 𝑃(𝐴) = 4
36 =1 9
b) La probabilità di B è 𝑃(𝐵) = 3
6= 1 2
Considerando le coppie di eventi elementari che costituiscono A risulta che l’intersezione fra A e B risulta
𝐴 ∩ 𝐵 ≡ {(𝜔3, 𝜔6), (𝜔5, 𝜔4)}
per cui
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 2
36 = 1 18
Gli eventi A e B, quindi risultano indipendenti, in quanto 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1
18 = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 1 9×1
2
c) Indicato con C l’evento “uno dei due dadi presenta la faccia 5” a probabilità richiesta è 𝑃(𝐶|𝐴).
Dalla legge delle probabilità composte si ottiene 𝑃(𝐶|𝐴) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
Considerando le coppie di eventi elementari che costituiscono A risulta che l’intersezione fra A e C risulta
14
𝐴 ∩ 𝐶 ≡ {(𝜔4, 𝜔5), (𝜔5, 𝜔4)}
per cui
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 2 36 = 1
18 Risulta quindi
𝑃(𝐶|𝐴) = 1/18 1/9 = 1
2
