Esercitazioni di Elementi di Circuiti Elettrici – 2003/2004 – A. Maffucci
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3. Sistemi trifase.
ES. 3.1 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, di valore efficace E,
a) valutare l’indicazione dell’amperometro; b) rifasare a cos M 0.9 alla sezione 1-2-3.
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea I . Per 1
valutare tale valore si può preliminarmente valutare la potenza complessa totale assorbita alla sezione 1-2-3. Il carico a valle dei resistori assorbe la potenza complessa
kVAr 99 . 7 )] 554 . 0 ( [sin , kW 12 Q PtgM Ptg 1 P .
Per valutare la potenza complessa assorbita dalla stella di resistori, basta osservare che tale carico è posto in parallelo rispetto al precedente e che la tensione su ciascun resistore è proprio la tensione stellata dei generatori. Si ha, allora:
0 , kW 90 . 2 3 2 R R ER Q P .
Applicando la conservazione delle potenze, possiamo affermare che la potenza complessa totale assorbita alla sezione 1-2-3 è data da:
, kVAr 99 . 7 , kW 90 . 14 R TOT R TOT P P Q Q Q P cioè: 3 10 ) 99 . 7 90 . 14 ( jQ j P
ATOT TOT TOT
Ricordando l’espressione della potenza apparente: EI Q P
ATOT TOT2 TOT2 3 ,
si ha immediatamente che . A 62 . 25 3 2 2 E Q P I TOT TOT Hz 50 554 . 0 sin 12 50 220 M : f kW P R V E 1 I 1 2 3 P sinM R R R A + + + 1 E 2 E 3 E
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10 b) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
/
] 0.88 cos[ cosM 1 TOT TOT P Q tg
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Il rifasamento porterà ad avere una potenza reattiva totale desiderata pari a
kVAr 22 . 7 )] 9 . 0 ( [cos 1 M P tg tg P
Qdes TOT des TOT
quindi il banco di condensatori dovrà assorbire una potenza reattiva totale pari a
kVAr 77 . 0 TOT des c Q Q Q .
Inserendo i condensatori a stella, come in figura, la tensione che agisce su ciascuno di essi è quella stellata dei generatori,
quindi: 2 2 6 3 fC E X E Q Y C c S µF. 82 . 16 6S 2 fE Q C c Y
Se, invece, i condensatori vengono inseriti a triangolo, la tensione è la concatenata, quindi:
µF. 61 . 5 6S 2 ' fV Q C c Osserviamo che CY C3 '.
ES. 3.2 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni:
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; b) rifasare a cos M 0.9 alla sezione 1-2-3.
Risultato:a )A 21.66kWj16.66kVAr, b)C' 45.33PF. 1 2 3 P sinM R R R + + + 1 E 2 E 3 E 0 cos 5 10 380 12 M : kVAr Q X R V V L L X 12 V R R R L X L X 1 2 3 Q, cosM
Esercitazioni di Elementi di Circuiti Elettrici – 2003/2004 – A. Maffucci 11 R R R A b W a W Hz f k R kVAr Q kW P V V 50 1 7 10 380 : ES. 3.3 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica
diretta di tensioni (con valore efficace della tensione concatenata pari a V): a) valutare l’indicazione dell’amperometro;
b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cos M 0.9 alla sezione 1-2-3.
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea alla sezione 1-2-3. Per calcolarla si può valutare la potenza complessa totale assorbita a tale sezione, sommando i contributi di tutti i carichi. I resistori assorbono la potenza complessa
0 , kW 43 . 0 3 2 R R R Q V P ,
quindi alla sezione 1-2-3 si ha:
KVAr j kW Q Q j P P Q j P
ATOT TOT TOT ( R) ( R) 10.43 7 .
La lettura dell’amperometro sarà, quindi:
. A 09 . 19 3 2 2 V Q P I TOT TOT
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
° ¯ ° ® 3 3 10 03 . 4 3 10 43 . 10 TOT a b TOT b a Q W W P W W °¯ ° ® 3 3 10 23 . 7 10 20 . 3 b a W W
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
83 . 0 )] / ( cos[ cosM 1 TOT TOT P Q tg ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
kVAr 05 . 5 )] 9 . 0 ( [cos1 M P tg tg P
Qdes TOT des TOT quindi, montando tre condensatori a triangolo:
kVAr 95 . 1 TOT des c Q Q Q 14.30µF. 6S 2 ' fV Q C c 1 2 3 P, Q
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12 R R R jX jX jX b W a W S
ES. 3.4 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 0.7A.
a) valutare l’indicazione del voltmetro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cos M 0.9 alla sezione 1-2-3.
Dati:Z1 21j:,R 1k:,X 2k:,Ap 12kVA,sinMp 0.707,f 50Hz.
a) Detto Ic 0.7A il valore efficace della corrente letta dall’amperometro, la potenza complessa totale assorbita dalle impedenze R-L sarà
kVAr 94 . 2 kW 47 . 1 ) ( 3R jX I 2 j ARL c .
La tensione stellata che insiste su questa stella di impedenze e sul carico posto in parallelo sarà . kV 57 . 1 3 c c I A E RL
La potenza complessa assorbita dal carico parallelo sarà
kVAr 49 . 8 kW 49 . 8 sin cos jA j A Ap Mp Mp ,
quindi la potenza complessa totale assorbita alla sezione S indicata in figura sarà
kVAr 42 . 11 kW 95 . 9 j A A As p RL .
La corrente I che attraversa tale sezione sarà data da:
. A 23 . 3 3Ec A I s
quindi la potenza assorbita dal carico in serie Z sarà 1 kVAr 03 . 0 kW 06 . 0 3 2 1 1 ZI j A .
Alla sezione 1-2-3 di ingresso, quindi, si ha:
KVAr j kW Q j P A A
ATOT 1s TOT TOT 10.02 11.46
1 2 3 V A 1 Z 1 Z 1 Z Ap sinMp
Esercitazioni di Elementi di Circuiti Elettrici – 2003/2004 – A. Maffucci 13 : : : : 90 3 3 12 . 0 C L L X X R k R R R R L R L jX RL L R L jX L jX C jX jXC C jX
per cui la lettura del voltmetro sarà:
. kV 72 . 2 3 2 2 I Q P V TOT TOT
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
° ¯ ° ® 3 3 10 61 . 6 3 10 02 . 10 TOT a b TOT b a Q W W P W W °¯ ° ® 3 3 10 32 . 8 10 70 . 1 b a W W
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
66 . 0 )] / ( cos[ cosM 1 TOT TOT P Q tg ,
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà
kVAr 85 . 4 )] 9 . 0 ( [cos 1 M P tg tg P
Qdes TOT des TOT quindi, montando tre condensatori a triangolo
kVAr 60 . 6 TOT des c Q Q Q 0.94µF. 6S 2 ' fV Q C c
ES. 3.5 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 5A.
a) valutare la tensione stellata dei generatori
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
Risultato: a)E 560V; b)A 12.83kWj32.18kVAr.
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14 Hz f V V j Z X R P L 50 , 380 , 100 100 , 5 , 10 , 707 . 0 cos , kW 1 P : : : M kW 10 kW 4 k 100 20 : : b a C W W X R L jX R R R L jX L jX Z Z Z V c jX c jX R R R A c jX b W a W
ES. 3.6 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni.
a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; b) rifasare a cos M 0.9 alla sezione 1-2-3.
Risultato: a )A 3.63kW j4.25kVAr; b)C' 12.94PF.
ES. 3.7 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 10A.
a) valutare il fattore di potenza del carico M;
b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; c) valutare il fattore di potenza alla sezione 1-2-3;
Risultato: a)cosMM 0.80; b)A 20.00kWj10.38kVAr; c)cosM 0.89;
1 2 3 P , cos M P 1 2 3
