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About limit cycle's uniqueness for a class of generalized Liénard systems

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Academic year: 2021

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(1)

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(3)

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(37) À Á º »Òë1Ü©¾¹SÂ

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(42) ±¦y¬a° ¦q¢q°5¦y°«® ´«®T£§¢q¦q°«Å ß ¦¤¦d¥9±²M£§°Ê¢y¦q¯‰¦q°]¦dÈe±Ë£&ªŠ ¦¤µ£§ °]¢q±x®T¥T¢qƛ¦y°«Ïh®Ë°5¶¿¬&¶£&ª  ±T¸:¦y¶ £§°€è"´!¾¿¹ °€U ¬Â » µ Ý ¢q®¶¿¬&¯‘ª£G¥Šµ!¬&¯‰ ª® ¬a¥¹ ¥ÔU ¦d±*côÆ Ï Ó¦q¯‰¸:¦y±Š¢¤²«£§®Tª°5¢yµ±Š¶¿²«¬&®ª ¹ÊÆ"Ї» ®°€¹  U ® ® T£§°ªŠ®T¨€£§ªY£§¯‰®±ªŠ|¦ a®+±Š(¾ ²€P&® ¬&ª­«¦d±Y¥1¬§¶ ¯³«¢y±Š¦q¨«¢yµ‚¦q°«Å‰±Š²€®ñ È&®T ±Š¬aªÄD®¢¤´ ¾(P& ­‚ï.µ ¾¿Á«~8 b€+} ‚8|ƒ ÆÖ1ß ²«®°€® ß ¥Šµ¥k±®¯ ¦q¥ ¹Dº©» ê1¾¿Á«ÂJï.ë5¾¿ì‘Á«Â ¾¿¹#À{Á«Â À ÁºD»¡ë è"Ü<¾¿¾¿¹©¹©Â À ß µ²« ¬]¢y®*¥{¥.®¶¿¬a¬&ªŠªx­«¥Š¦y±³€¥+ Y²Ê ¬a£ ¦y°€¥Š µ¦q´«¥k±® ®¯ß ¦d±¦q²Ê¥1®*±ŠÌa²«³€¬]¦y¥{Èe®£§¢q¬a®°«°]®T±Ô¥‡±¬§¬‘¶ ³«(¾ °«Pa¦¤Â ÌaÆ1³€Ïh®°Ê°«®*¨€¥Š£&¥1ª{±¬&¦q¶/ ³«¢q¦y¢q¯‰£&ªT¦y±‡¸€³« °«µ¦¤ Ìa¢q®T³€¥.®°«¶¿¬a®*ª ¥Š¥‡¾(Pa¬§Â ¶7Æ¢y¦qÖ1¯‰²«¦d®± °«® ß ¥Šµ¥k±®¯ T£§°­D® ß ª¦d±Š±Š®T°!£a¥ ¹º » ê1„ ¾¿Á«ÂJë 쑄 ¾¿¹#À{Á«Â

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(46) À ÁºD»Òë1Ü©¾¹SÂ

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(49)  ± Š ‡ b€ »Þ ß ¯‰¬&°«¬&±Š¬a°«¦q ¦d±kµ!¬&¶ Š ‡ bƒIb€Œ €  ÆËÖ1²«®‰¥{±Šª¦q ±9¯‰¬&°€¬§±Š¬a°«¦¤ ¦y±kµÊ¬§¶ Š ‡ |ƒ{|€Œ €  £§¢¤¥{¬¦y¯‰¨«¢q¦y®*¥+±Š²€£§±,¬a° ±Š²€®²€£§¢y¶æóP¢q¦q°«® ¹Ý» ØeÀŠmÁ N Ý ¸‚¶¿¬aªx£§¢q¢ mÁ N›Ú × 1¾ ØT ¬&°«®,²€£a¥ ¹ º N Ý ¸‚¶¿¬aªx£§¢q¢ žÝ rÛÈÁ rÞÚ × 1¾ Ø ¬&°€®9²D¬ £&¥ ¸a¹ ¢yº ®±rç³€Ý ¥Æ £&¥¥{³€¯ ®‡­]µ‰£§­D¥{³«ªY´ ±Š²D£e±"±²«®ª®x®Ղ¦¤¥{±¥"£¨D¬a¦y°]± p p cmÖCà†e ²€®ª® ß ß ¾ ¹#p À Á‚£e ±‘¢q®T£a¥k±‘£e× ±‰ß ±Š²€ªŠ®T® Æ q ¦ € °    ® È õ Ö  ª § ¬ Y ± e £ Š ± * ® ‰ ¥    q ¢ ‚ ¬ Y   ò ¤ ¦ { ¥ a ® ¸ T õ Ö ‰ ¯  ®  ® Y ± ¥ Š ± « ² ! ® q ¢ y ¦ € ° ® ñ ¹¨Sº¬&¦q°ar ±Y¥Ý ¸‚¥£Gµ p ¸ p p ¸ p ß ¸ ¦y±Š² p £§°€´ ¹ » ¹ £§± p ¸ p Æ Ö1²«®T°±²«®x²€£&¾ ¢d¹#¶æóQÀŠ¢qÁ ¦y°«} ®Â ¹¾ ¹#» À Á‚¹ p   ¾¬&¹#°]ÀŠ±IÁ £&áT¦y°€Â ¥7ß £§±¢y®*£&Á ¥{} ±7r ± ß ÈÁ ¬,rô¨S¬&Á ¦q°]á ±¥T¸&¦q°¹ ±º ²«Ëç®x¦qÝ°]±Š®ªÈe¾ £§¹/¢¤À{¥ Á ¾¿} Á  } À ¾ Á«p¹/ À{IÁ£&á*°€Â ´ ¾ Á©p ÀŠIÁ Ÿ áT ¥Š¸ ¦q¯ß ²«¦q¢¤®£§ªª+® £&¹ ªŠºÅa³«Èe£&¯‰°«®¦q°]¥Š²«±+®*¥Š¥²«¸«¬  ¬&°]¥Ô±Š±ªY²€£&£e´±9¦¤ 

(50) ±Š±²€¦y°€®ËÅ ¦q°aß ±²D®ªY£e¥{±Ô®*¨« 

(51) ±ª¦y¬e¬aÈ&°Ê®T´¬§¶"£§£­S¬e È&µ®a Æ ¢qi® Ö ¦d±²Ê±Š²«®‰¥Š®¯‰¦dó ¥{±Šª¦yΨ e × » ˜ ¾¿¹:ÀŠÁ«Â ™ ¹ c ¾(qSÀß u ÂÀ{ÁÎr Ý8œ ¦¤¥ ¬a°]±£§¦q°«®*´’¦q°í±Š²«®‘ª®Åa¦y¬a° ß ¹ º Ê@Ý Æ›Ÿ‡¥Ë£ ã.

(52)   ¬a°€¥Š®TÌ]³«®°D ®&¸D®Èa®ªµ µ ¢y®BÖí¯‰®®±Y¥+£›²€£§¢y¶æóP¢q¦q°«® ¹’»ŸØeÀŠÁoNÉÝ ¸©£&¥ ß ®¢q¢/£a¥x£‘²€£&¢d¶æóQ¢q¦y°«® ¹»â×=Øe®À{±ÔÁȳ€rô¥Ô¥{Ý ®¸D±£eã ±Ô¯‰¬a¥{±Ô£§±x¬&°«®,¨S¬&¦q°]±TÆ Æ2ä.µ‘±Š²«®¥Š¦yÅa°£a¥Š¥Š³«¯‰¨±¦y¬a°€¥.¬&° £§°€´ ¸±Š²«® Ü ê ¶¿³«°€ ±Š¦q¬&f° ã ¦¤¥1¨D¬]¾¿¥{¹#¦y±ŠÀ{¦qÁ«È&Â"®» ´®Ā°«¾¿¹S¦y±ŠÂ#®ËÞÙ £§±.•9±¾²«Á® ¬&ª¦qÅ&¦q°=Æ ´®TªŠ¦q×=Èe®£ei±±Š¦qÈ&Ö ®,¾:W{¬&ÂË¶ê» ã ¾¿£§¹0¢qåS¬&°€¾1W{ÅËÂ

(53) ÀŠ±Á{²«åS®¾1W{¥{Â{¬a ¢y³«­D±Š®¦q¬&_£°€¥1æÔ¬&óQ¶ ¨D(¾®TaªŠÂ¦q¬¸ ´ß ¦q® ‰²€ µ‚£GÈa ¢y® ®¬§¶ ¾1] fÆ ç+®°«¬&±Š¦q°«Å8­‚µéèã ±Š²«® ÝË» ã ¾ Ö ¾ æ Â{ÂJë ã ¾ Ö ¾IÝaŠÂ’» ‘ U S èã ¾ Ö 1¾ W{Â{” VW7»Òjë ‘ U S 쑾¥¹ å<:¾ W{ÂÀ{{Á åS:¾ W{ŠÂQÜ<¾¿¥¹ å<1¾ W{Â{  VW

(54) ð – ®"´®°€¬§±Š® ¬&°€ ¦q¥Š®¢qµ‡­‚µ ë R U S 쑾¿¹:ÀŠÁ«ÂQÜ<¾¿¹S VIW ±²«®7¢¤£&¥{±=¦y°]±Š®TÅ&ªY£§¢§¦q°9±Š²«®£§­S¬eÈ&®/¶¿¬&ª¯Ë³«¢¤£«Æ Ÿ‡¥›¦y°Òà â ¸,à ã ¸à ä ¸ ®!¨«ªŠ¬eÈa®±Š²«®8 µ‚ ¢y®aÑ ¥›³«°«¦¤Ìa³€®°«®*¥Š¥›£a¥Š¥Š³«¯‰¦q°«Å€¸.­‚µô£§­D¥{³«ªY´<¸±Š²«® ®¬&Ր°‘¦¤¥k­S±¬§®±°€²› ®‡á µ¬& ¶#¢q£Ë®Tá ¥T¥ŠÆJ®T×= á ¬&®°€¾± ß ´›Ö  I¸ µÖ  ¢q®&­S¸‚®+£§°€´´¦¤¥k±¥{¦y²«°D¬  

(55) ß ±¦q °«µ‚Å ¢y±®*²€¥£e¬&± ¶ ë R U S ­S쑬§±¾¿²‘¹#¯‰À{Á«®ÂQ®Ü<±¾¿¦y¹©°€ ÅVW±Š²« ®‡£&°«¢y¦q°«°«¬&®T±.¥ Èe£§°€¦q¥Š² ¸ ¾(a ¹»Ýq ¹’¯‰®» °]±Šu ¦q¬&Æ9°€×=®T®´<g± ¸Ôæ0±ëe²«8¸ ®ì ¥Š»%µ¥k±Þ&®À} ¯ ⫸€­Sá ®±²€²«£a®Ë¥¨S£M®ª¦y³«¬°€´Ê¦qÌ]¬&³«¶k®í¸Dª ®Tª¥Š¦d¨S±®T¦q T 

(56) £§±¢‡¦yÈa¨S®¢q¬&µ&¦q0¸°]ÖI±T¸xë&‰¸ ²€ì ®°€»  f® ÞaÀÖ â«Æ‡£§Ÿ‡°D¥9í´ £§Ö ¢qªŠ®*£&£§´ªµ ®  ¬a°€ ®T°]±Šª¦q &Æ×=®±BÖ } ­D® ¬&1¾ °]]± £&¦y°€®T´í¦y°5±²«®‘¦q°a±®ª¦y¬aª¬§¶Ö á Æ!×=®±µî ë ¸Àì »} ÞaÀ â­Sᮑ±Š²«® Èe£§¢q³«®,¬§2¶ R U S"ï 쑾¿¹:ÀŠÁ«ÂQÜ<¾¿¹S VIW  ¬&¯‰¨«³±®T´£§¢q¬&°«µÅ Ö ë Æ – ® ¢q£&¦y¯%±²€£e± î } r î á Æ ª®¨«¢¤ÏQ£&±+ ¦¤¦y¥9°«Å ¥{‰³ Á ð›ß  ¦y¦y±Š®T² °a±+ê1±Š¾¿¬Á«Â ¥{²«£&¬ °€ß ´ ±쑲€¾¿£e¹S±+ ±Šß ²«®¦y±Š² ¨«ª쑬]¬&¾¹:¶7À{¬§Á«¶7 ±ŠÆ ²€®¬&ª®¯ Þ ¦y°Ûà ä á  £&°Ê­D® ¨S®ªŠ¶¿¬&ª¯ ®*´ S à ä á ¸/Ö1à â ²«á ®‘ÆCñ/´®*¦qª ¥{¬&±‡¯‰¬&¨S°€¬a®Ë¥Š¦d¦q±°a¦y±¬a®°’Åaª¬&£§¶"±Š®T±Š¥²€®‘ß ¦y¦d±°]²’±Š®TªÅ&®TªY¥Š£§¨DT¢ ®*R  

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(58) ±T¸ 쑾¹:À{Á«Â ´«¬]®*¥°«¬&}±ËÈe£§°«¦¤¥{²5á ¬a°5±Š²«®›ª®Åa¦y¬a° q›r@ݹ r Ý ¸ ¥{²€¬&³«¢¤´ ¸«¥Š¦y°D ®9¬§±Š²€®ª ¦q¥Š®&¸]­‚µ‰±Š²«®¥{±Šª¦q ±.¯‰¬&°€¬§±Š¬a°«¦¤ ¦y±kµ‘¬§¶ bƒIŒ € ¸ ²€mÁ £GNçÈa®ÔÝ °«®Å]£e±Š¦qÈ&®‡ÈG£&¢y³€ß ®T¥¬a° qrôf¹ rôÝ ¸ ÈÁ NçÝ ¸a ¬&°]±ŠªY£&´¦¤ 

(59) ±¦y;Á°€iÅ ÁÂòÕHÕ Â Š Æ/‡ Їb€®°€ 쑮 ß¾¿¹#®‡À{Á« £& ° ß ª¦d±® Ü<¾¿¹SÂ{쑾¿¹#À{Á«Â Ü©¾¹S ê1¾¿Á«ÂJë5쑾¿¹#À{Á«Â » ÞÔëóŠ ‡ bƒI|€Œ €  À ß ²«¦¤ Y²ÇÆ ¥{Q ²€°«¬ ߮˥, T£§±Š° ²€£§± ¬&ª‡ òbb€ƒ"¦y°Ê Š Š ±bƒI²«bƒIŒ ®‰€Œ € ¥Š £&¦q¯ ¥® £8¥{£G±Šªµ¦q ¶¿±Š¬&¢qªµ¦q°€c  ª®T£a¥{¦qu °«Å!Æ,Ö1¶¿³«²«°D¦q 

(60) ¥9±Š¥{¦q¬&±Š®°Û¨’¬§Å&¶ ¦qÈ&Á ®T¥x¶¿¬a±ŠªË²«£§® ¢q¢¥k±¹ ªŠ¦¤ 

(61) c ± ¹ ¾IÝ«À  ¦q1¾ °«qS®TÀÌ]Ýa³€Â £&¢y¦y±kµ›­S®± ß ®ß ®°!¦q°]±Š®Åaª£&¢q¥TÆ ß Ö1²«®7¬&±Š²«®Tª=¨D¬aª{±¦y¬a°€¥<¬&¶£&ª /¬&%¶ Ö £&°€C´ Ö  T£§°£§¢¤¥Š¬Ô­D®7±ªŠ®*£e±®T´,£&¥<¦q°›à ä ¸e¥Š¦y°D ®&¸ ²«®T° ¦q°a¦y±±Š®²Åaªª£§®T±Š¥Š¦q¨S°«®TÅ  

(62) ±.ß ±Š¦y¬±Š²!ª¬&®T¥Š³¨D±Y®*¥{¦¤ 

(63) ´±1®+±Š¬±Š²«Á ®,¸¥k¬a±°«ªŠ} ¦q®,¨ ³€¥{®*¥.á ±Š²«®¥Šu ¦qÆÅ&°±Š¬§ª¶¦¤ 

(64) 쑱1¾¦y°«¹:®*ÀŠÌ]Á³€Â £§£&¢q°€¦d±´¦y®*¦d¥1±Y¥1£§ªᯉ®x¬&°«°«¬§¬&±1±Š°«¬&®T°€ß ®T¦q ´¦d®*±k´µ ߣe±1±²«¦q¥‡¥k±®¨=¸«­S®T T¹ £§³€¥Š®£§¢qªŠ®*£&´µ‘¬a­±£&¦y°€qm®T´rô¦y_¹ °r ±²«®¨«ñ ª®Ȃ¦y¬a³€¥1¥k±®¨=ÆTô Ö1²«®¢y¦q¯‰¦d±› µ‚ ¢y®*¥ ¬§¶ ´¬í°«¬§±‰°«®* ®T¥¥£§ª¦y¢qµ5¯ ®T®±‘­S¬§±Š²ç¢q¦y°«®*¥ ¸ uÆ Ïh° à Þ

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(76) À ÁºD» ëÔ¹#À ±Šß ²€²«®¦¤ Y¬&²Êª­«¦q¥Ô¦d±Y¥1±Š²«¬§®¶ ξ ]£& °8±Š´¬ ®±Šª ²«J¬]¥{¬&®¢=¬&¥Šµ‚¶#¥{±±Š²«®T®¯!ÎÆ.£§Ÿ‡°!¨«´¨«®T¢qªµ]¦qJ°«Å›¬&¢©¨€¬a²€¥£& ¦q¥Š¢q®¢qóQ£§¨«±Š¬&¢¤£§ª*°«¸®9¬&°€±Š®*®, Y¥Š²«²«°«¬ ¦¤Ì]ß ³«¥.®T±¥T²«¸D® ¬&®¯‰Õ¦¤¨€¥k±£§®ª°€¦q°« Å® ¬§¶:£Ë¢y¦q¯‰¦d±Ô µ ¢y®+¬§¶ ¾] Æ7Ö1²«®9 ¬&°D´¦d±¦y¬a°€¥¬&° ‰¾¿¹#À{Á«Â Å&³€£&ª£&°a±®®1±²€£e±±Š²«®9²‚µ]¨S¬§±²«®T¥Š®T¥ ¬§®Õ«¶.£a±Š 

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