Teorema di Unicita` del Limite
Se esiste
allora tale limite è unico.
lim
x
!x
0
f (x)
= l,
Dimostrazione:
Dalla ipotesi:
Se si suppone (per assurdo) che:
Allora
!" > 0,#$ > 0 : 0 < x % x
0<
$ & f (x) % l < "
lim
x!x0f (x)
= "l con l ' # l
!
"
> 0,# $
%
> 0 :0 < x & x
0< $
%
' f (x) & $l <
"
Sommando membro a membro:
che per l’arbitrarieta` di implica: che e` assurdo.
2
!
l
"
l
2
!
# < # <
Teorema della Permanenza del Segno
Se
allora esiste un intorno di tale che per ogni
0
lim ( )
x x!f x
= "
l
0
0
x
(x
0!
"
, x
0+
"
)
• Nulla si puo` dire nel caso l=0 • Il teorema e` un teorema locale
Teorema del Confronto
Siano
f , g : A ! ! " !, tali che f (x) # g(x)
in un opportunoIntorno di
(x
0!
"
, x
0+
"
)
x
0Supponiamo che esistano finiti lim
x!x0
f (x)
= l, lim
x!x0g(x)
= m
Allora l
! m
Inoltre:l
= +! " m = +! e m = #! " l = #!
Esempio:le funzioni f (x) = x!,
!
> 1 sono divergentipositivamente per x " +# in quanto maggioranti la
Dimostrazione Teor. Permanenza del Segno:
Supponiamo l
> 0. Per ipotesi: lim
x!x0
