DIPARTIMENTO DI AGRARIA
FACOLTA’ DI INGEGNERIA DEI SISTEMI LOGISTICI E
AGRO-ALIMENTARI
LEZIONI DI GEOMETRIA E ALGEBRA
DISPENSA 2
MATRICI – DETERMINANTI – SISTEMI LINEARI
TEORIA ED ESERCIZI
Anno Accademico 2015 – 2016
Cap. 2 – MATRICI, DETERMINANTI, SISTEMI LINEARI &2.1 - Introduzione
Cominciamo con il porre le seguenti definizioni.
Def. 1.1 – Dicesi matrice di ordine mn ogni tabella formata da mn elementi disposti su m righe ed n colonne.
La generica matrice si indica come segue:
mn m m n n a a a a a a a a a .. .. .. .. .. .. .. 2 1 2 22 21 1 12 11 oppure mn m m n n a a a a a a a a a .. .. .. .. .. .. .. 2 1 2 22 21 1 12 11
o, ancora, in forma compatta con Am,n.
Ogni elemento aij della matrice è individuato da una coppia di indici (i, j) che rappresentano, rispettivamente, il numero di riga e il numero di colonna occupati dall’ elemento.
Se una matrice è formata da una sola riga essa prende il nome di vettore riga, se invece è formata da una sola colonna essa prende il nome di vettore colonna. Dunque il vettore riga A1n è del tipo:
a11a12..a1n
mentre il vettore colonna Am1 è del tipo:
1 21 11 .. m a a a
Def. 1.2 – Dicesi matrice nulla e si indica con Om,n la matrice di ordine mxn avente tutti gli elementi uguali a zero.
Def. 1.3 – Una matrice si dice rettangolare se il numero di righe è diverso dal numero di colonne (m n), mentre si dice quadrata se il numero di righe è uguale al numero di colonne (m = n).
Se A è una matrice quadrata, il numero m = n dicesi dimensione o ordine della matrice
quadrata.
D’ora in poi, indicheremo con M m,n l’insieme delle matrici rettangolari di ordine (m,n) e con Mn l’insieme delle matrici quadrate di ordine n.
Per le matrici quadrate valgono le seguenti ulteriori definizioni.
Def. 1.4 – Se A è una matrice quadrata di ordine m, A = aij , dicesi diagonale principale la
linea formata dagli elementi
a11 , a2,2, a3,3,…, an,n
mentre dicesi diagonale secondaria la linea formata dagli elementi an,1 a n-1,2, a n-2,3, .. a1,n.
Def. 1.5 – Una matrice quadrata A = aij si dice matrice diagonale se almeno un elemento della diagonale principale è diverso da zero mentre tutti gli elementi non appartenenti ad essa sono nulli.
Cioè, A è una matrice diagonale se:
1. I = 1…n ’ aii 0
2. i, j =1...n ’ i j : aji = 0
Def. 1.6 – Una matrice quadrata A = aij si dice triangolare superiore (o triangolare alta) se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli, cioè se:
i, j = 1 … n ’ i > j : ajj = 0.
Def. 1.7 - Una matrice quadrata A = aij si dice triangolare inferiore (o bassa) se tutti gli
elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli, cioè se:
Evidentemente:
Prop. 1.1 - Ogni matrice diagonale è una matrice triangolare alta e bassa.
Def. 1.8 – Dicesi matrice unità e si indica con Im o anche con 1m ogni matrice diagonale in cui gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a 1.
Ad es.: I1 1, , 1 0 0 1 2 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I
sono, rispettivamente, le matrici unità di M1, M2, M3.
Def. 1.9 – Una matrice quadrata A = aij si dice simmetrica se gli elementi simmetrici
rispetto alla diagonale principale sono a due a due uguali, cioè se:
i=1..m, j =1..n : ai,j = a j,i
Def. 1.10 – Una matrice quadrata A = aij si dice anti-simmetrica se gli elementi
simmetrici rispetto alla diagonale principale sono a due a due opposti, cioè se:
i=1..m, j =1..n : ai,j = - a j,i
Prop. 1.2 - Gli elementi della diagonale principale di una matrice anti-simmetrica sono tutti nulli.
Def. 1.11 – Se A e B sono due matrici di ordine mxn, con A = aij e B = b , si dice che ij
A = B
se gli elementi corrispondenti di A e B sono a due a due uguali, cioè se:
i =1..m, j =1..n : ai,j = bi,j
Def. 1.12 – Se A e B sono due matrici di ordine mxn, con A = aij e B = b , si dice che ij
A e B sono matrici opposte se gli elementi corrispondenti di A e B sono a due a due opposti, cioè se:
La matrice opposta di A si indica con – A ed è : - A = aij .
Def. 1.13 - Se A è una matrice di ordine mxn, dicesi trasposta di A la matrice indicata con AT , di ordine nxm, che si ottiene da A scambiando le righe con le colonne, cioè tale che
i =1..m, j =1..n : aj,i = ai,j. Esempio - Se mn m m n n a a a a a a a a a A ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 , la sua trasposta è mn n n m m T a a a a a a a a a A ... ... ... 2 1 2 22 12 1 21 11
Proprietà della trasposta
Prop. 1.3 – Se A è una matrice quadrata di ordine n, A Mn, si dimostra che:
a) (AT)T = A
b) A è simmetrica se AT = A c) A è antisimmetrica se AT = - A La dimostrazione di tali proprietà è ovvia. &2.2 - Algebra delle matrici
Premettiamo le seguenti definizioni.
Def. 2.1 – Due matrici A e B si dicono dello stesso tipo se hanno lo stesso numero di righe e, rispettivamente, lo stesso numero di colonne, cioè se:
n m n m B M M A , , .
Def. 2.2 – Se A e B sono due matrici dello stesso tipo, si dice che due elementi aij A e B
bij sono corrispondenti se hanno lo stesso numero di riga e lo stesso numero di colonna.
Def. 2.3 (matrice somma) – Se A e B sono due matrici dello stesso tipo, dicesi matrice somma di A e B e si indica con A + B, la matrice dello stesso tipo i cui elementi sono ciascuno la somma degli elementi corrispondenti della matrici date. Cioè, se
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A e 33 32 31 23 22 21 13 12 11 b b b b b b b b b B allora: 33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A
Def. 2.4 (matrice opposta) – Se A = a è una matrice di ordine (m,n), dicesi matrice ij
opposta di A e si indica con –A, la matrice i cui elementi sono gli elementi opposti degli elementi corrispondenti di A. cioè tale che:
ij ij a a n j m i ' : ... 1 , ... 1
Def. 2.5 (matrice differenza) - Se A e B sono due matrici dello stesso tipo, dicesi matrice differenza di A e B e si indica con A – B, la matrice dello stesso tipo i cui elementi sono ciascuno la differenza degli elementi corrispondenti della matrici date. Cioè, se
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A e 31 32 33 23 22 21 13 12 11 b b b b b b b b b B allora: 33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A .
Def. 2.6 (matrice prodotto di uno scalare per una matrice) – Se A è una matrice di ordine (m,n) e se k è uno scalare (kR), dicesi matrice prodotto di k per A e si indica con kA la
nuova matrice i cui elementi sono ciascuno gli elementi corrispondenti di A, moltiplicati per k. Cioè, se: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A allora: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ka ka ka ka ka ka ka ka ka A k
Per il prodotto di uno scalare per una matrice, sussistono le seguenti proprietà. Prop. 2.1 – h,kRA,BMm,n risulta:
a) h(kA)(hk)A (prop. associativa del prodotto per uno scalare)
b) (hk)AhAkA (prop. distributiva della somma di scalari rispetto a . ) c) h(AB)hAhB (prop. distributiva della somma di matrici rispetto a .
) La dimostrazione è ovvia.
Def. 2.7 (Matrice prodotto righe per colonne di due matrici) – Se A è una matrice di ordine m x p e se B è una matrice di ordine p x n, dicesi "matrice prodotto righe per colonne" di A e B e si indica con A × B la nuova matrice di ordine m x n i cui elementi c ij sono la somma dei prodotti degli elementi della riga i di A per gli elementi della colonna j di B, cioè:
p k kj ik ij a b c 1 , i= 1..m, j = 1..n Ad esempio, se A = 1 1 0 2 1 2 e B = 0 1 1 2 1 0, allora la matrice prodotto è:
A×B = 1 3 3 4 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 0 0 2 1 1 1 2 1 2 2 1 0 2
Si noti che il prodotto di matrici righe per colonne è possibile solo quando il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. Poiché quando si inverte l’ordine delle matrici questa condizione non è in generale soddisfatta, si può affermare che in generale non vale la proprietà commutativa per tale operazione. Anche per le matrici quadrate dello stesso ordine non vale in generale la proprietà commutativa del prodotto, come mostra il seguente esempio.
Esempio - Se A = 0 0 0 1 e B = 0 1 0 0 , si ha: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 B A , 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 A B .
L’esempio mostra che: A × B B × A
A × B = 0, pur essendo A 0 e B 0.
Dunque, quando si opera con le matrici bisogna fare molta attenzione: per esse non valgono tutte le proprietà delle operazioni con i numeri semplici.
Sussiste la seguente definizione.
Def. 2.8 – Se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine, diremo che A e B sono permutabili se risulta:
A × B = B × A.
Def. 2.9 (potenza di una matrice) – Se A è una matrice quadrata di ordine m e se n è un numero naturale, dicesi potenza n_sima di A la matrice
Nell’insieme delle matrici quadrate sono sempre possibili tutte le operazioni precedentemente definite (somma, differenza, prodotto), per le quali sussistono le seguenti proprietà.
Prop. 2.2 - A, B, C Mn, si dimostra che:
(Ia) A + B = B + A (prop. commutativa dell’addizione)
(IIa) A + B + C = (A + B) + C (prop. associativa “ )
(IIIa) OMn ’ A Mn : A + O = O + A = A
(esistenza dell’elemento neutro per +)
(IVa) AMn, A’Mn ’ A + A’ = A’ + A = O
(esistenza dell’elemento simmetrico per +) A’ è la matrice opposta di A.
(Ib) A, B, C Mn: A × B × C = (A × B) × C
(prop. associativa della moltiplicazione)
(IIb) A,B,C Mm: A × (B + C) = A × B + A × C
(prop. distributiva a sinistra della moltiplicazione)
(IIIb) A,B,C Mm: (B + C) x A = B x A + A x C
(prop. distributiva a destra della moltiplicazione)
(IVb) IMn ’ A Mn : A x I = I x A = A
(esistenza dell’elemento neutro per la moltiplicazione)
I è la matrice identica o matrice unità di Mn.
1) Se A C A B C A B A C B
Non vale l’implicazione inversa, cioè:
C B C A B A e BACABC
Verificare tali proprietà con A =
0 0 0 1 , B = 1 0 0 0 , C = 2 0 0 0 .
Per le matrici, quindi, non vale la legge della semplificazione.
Per le matrici trasposte valgono le seguenti ulteriori proprietà.
Prop. 2.4 - Se A e B sono due matrici di ordine m x n e se R, si ha: 1) (A + B)T = AT + BT
2) (k×A)T =k×AT
3) (A × B)T = BT × AT
È lasciata al lettore la dimostrazione di tali proprietà. Def. 2.10 – (Matrice inversa)
Una matrice quadrata A Mn si dice invertibile se esiste una matrice X Mn tale che: A × X = X × A = In,
essendo In la matrice identica di ordine n.
Tale matrice X, se esiste, prende il nome di matrice inversa di A e si denota con A -1. Sussiste la seguente proprietà:
Prop. 2.5 – La matrice inversa di una matrice quadrata, se esiste, è unica. Dim. Se B’ e B” sono due matrici inverse di A, per definizione deve aversi:
A×B'=B'×A=In A×B''=B''×A=In ì í î Quindi:
B'×A=InÞ(B'×A)×B''=IN×B''ÞB'×(A×B'')=B''ÞB'×In=B''ÞB'=B''
Osserviamo esplicitamente che non tutte le matrici quadrate sono invertibili: in seguito vedremo quali sono le matrici invertibili e vedremo come si calcola la matrice inversa. Per le matrici invertibili valgono le seguenti proprietà.
Prop. 2.6 – Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n entrambe invertibili, si dimostra che:
1) A -1 è invertibile e risulta: (A -1) -1 = A;
2) la matrice trasposta AT è invertibile ed è
AT 1 (A1)T ; 3) la matrice prodotto A × B è invertibile e risulta:(A × B) -1 = B -1 × A -1
Dim. 1 – Poiché A-1 è l’inversa di A
I A A A A A I A AA I A A I AA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A A A A A A .Dim. 2 – Poiché A è invertibile
T T T T I A A I A A I A A I A A A 1 1 1 1 1 ( ) ' 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( T T T T T T A A I A A I A A
Dunque, la trasposta dell’inversa è l’inversa della trasposta di A. Dim. 3
(A∙B)∙(B-1∙A-1) = A∙(B∙B-1)∙A-1 =A∙I∙A-1 = AA-1 = I
e analogamente:
(A-1∙B-1)∙(B∙A) = A-1∙(B-1∙B)∙A =A-1∙I∙A = A-1 A = I.
Ad esempio, considerare le matrici A = 2 0 0 1 e B = 2 0 0 1
e verificare che la matrice somma A + B non è invertibile.
& 2.3 – Determinante delle matrici quadrate.
Ad ogni matrice quadrata di ordine n, A, si può associare un numero reale, unico e ben definito, detto determinante associato alla matrice A, indicato con A o con det(A) o, ancora, con ai,j .
Il determinante di una matrice quadrata può essere definito in vari modi. Il primo modo è costituito da una definizione data per ricorrenza: infatti, si definisce dapprima il determinante di una matrice di ordine n = 1, poi quello di una matrice di ordine n = 2 e, infine, si definisce il determinante di ordine n qualsiasi.
A tal fine si procede come segue.
Def. 3.1 – Sia A una matrice quadrata di ordine n, allora: a) Se n = 1, così che A = a11 , si pone:
det(A) = a11. b) Se n = 2, così che 22 21 12 11 a a a a A , si pone: det(A) = a11 a22 – a21 a12 .
Per poter definire il determinante di una matrice di ordine n > 3, occorre premettere alcune definizioni.
Def. 3.2 – Se A = a è una matrice quadrata di ordine n, dicesi minore complementare ij
associato all’elemento aij il determinante che si ottiene sopprimendo la riga i e la colonna j alle quali l’elemento aij appartiene. Il minore complementare di aij si indica con Aij .
Def. 3.3 - Se A = a è una matrice quadrata di ordine n, dicesi complemento algebrico ij
associato all’elemento aij il numero relativo avente per modulo il minore complementare Aij di aij e per segno il + o il – a seconda che la somma degli indici i e j sia pari o dispari:
Il complemento algebrico di ciascun aij si denota con A’ij e dicesi anche cofattore di aij. Ciò premesso, possiamo ora definire il determinante di una qualunque matrice quadrata. Def. 3.4 – Se A = a è una matrice quadrata di ordine n, dicesi determinante associato ij
alla matrice A, e si indica con det(A) o a , il numero relativo uguale alla somma dei ij
prodotti degli elementi di una qualsiasi riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici, cioè: det(A) =
n i n j ij ij ij ij A a A a 1 1 ' ' equivalentemente det(A) =
n i n j ij ij j i ij ij j i A a A a 1 1 1 1 Ad esempio, se 5 0 1 4 2 1 3 2 1 A , risolvendo rispetto alla terza riga, si ha:
det(A) = ( 8 6) 5(2 2) 14 20 6 2 1 2 1 5 4 1 3 1 0 4 2 3 2 1 .
Def. 3.5 – Una matrice quadrata A si dice singolare se il determinante ad essa associato è uguale a zero, altrimenti la matrice A dicesi non singolare.
Prop. 3.1 - Per i determinanti sussistono le seguenti proprietà :
[1] il determinante è nullo se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli; [2] il determinante è nullo se due righe (o colonne) sono uguali o proporzionali;
[3] il determinante è nullo se una riga ( risp. una colonna) è una combinazione lineare di altre due righe ( o colonne);
[4] Il determinante della matrice unità, In, è uguale a 1;
[5] Il determinante di una matrice triangolare o diagonale è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale;
[7] Scambiando di posto due righe o due colonne, il determinante cambia di segno. [8] Se moltiplichiamo (risp. dividiamo) gli elementi di una linea (riga o colonna) per un numero, il determinante risulta moltiplicato (risp. diviso) per quel numero.
Prop. 3.2 – Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n, si dimostra che: 1) det(A) = det(AT);
2) Se A è invertibile ed A-1 è la sua inversa, si ha: det(A-1) =
) det(
1
A ;
3) det(A × B) = det(A) det(B) (Teorema di Binet) .
Def. 3.6 – Se A è una matrice quadrata di ordine n e se AT è la sua trasposta, si dice che A è una matrice ortogonale se essa è invertibile e la sua inversa coincide con la sua trasposta. Dunque:
A è una matrice ortogonale 1
A
AT Û A ∙ AT = AT ∙ A = In
Per le matrici ortogonali valgono le seguenti proprietà. Prop. 3.3 – Se A è una matrice ortogonale, allora: 1) Il determinante di A vale +1 o -1, det(A) = 1.
2) La trasposta e l’inversa della matrice A, AT e A -1, sono anch’esse matrici ortogonali;
3) Se A e B sono matrici ortogonali delle steso ordine, anche A × B è una matrice ortogonale dello stesso ordine.
Prop. 3.4 – Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice sia ortogonale è cherisultino verificate entrambe le seguenti due condizioni:
1) la somma dei quadrati di ogni riga (rispettivamente di ogni colonna) sia uguale a uno,
2) la somma dei prodotti degli elementi corrispondenti di due colonne distinte (rispettivamente di due righe distinte), prese a due a due, sia uguale a zero.
Osservazione - Per la 3.4, una matrice avente anche un solo elemento in valore assoluto maggiore di 1 non può essere una matrice ortogonale.
& 2.4 – Matrice aggiunta - Calcolo della matrice inversa con il metodo dell’aggiunta. Poniamo la seguente ulteriore definizione.
Def. 4.1 – Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi matrice aggiunta di A, e si indica con A+,la matrice i cui elementi sono i complementi algebrici degli elementi di A. Cioè:
' ' 2 ' 1 ' 2 ' 22 ' 12 ' 1 ' 21 ' 11 ... ... ... . nn n n n n A A A A A A A A A A Ad esempio, se 4 2 2 3 3 0 1 6 3
A , i complementi algebrici sono:
18 4 2 3 3 '11 A 6 4 2 3 0 '12 A 6 2 2 3 0 '13 A 22 4 2 1 6 '21 A 10 4 2 1 3 '22 A 6 2 2 6 3 '23 A 21 3 3 1 6 '31 A 9 3 0 1 3 '32 A 9 3 0 6 3 '33 A e la matrice aggiunta di A è A+= -18 +6 +6 -22 +10 +6 +21 -9 +9 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷
Sussiste il seguente fondamentale teorema.
Teor. 4.1 – Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata A sia invertibile è che det(A) 0. In tal caso, l’inversa della matrice A è :
A-1= At + det(A)= A11' A12' .. A1n' A21' A22' .. A2 n' .. .. .. .. An1' An2' .. Ann' æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ det(A)
dove ogni A’ij è il complemento algebrico dell’elemento aij. & 2.5 – Rango di una matrice
Premettiamo la seguente definizione.
Def. 5.1 – Se A è una matrice di ordine m n e se r è un numero naturale minore o uguale sia di m che di n, dicesi minore estratto di ordine r della matrice A, ogni determinante formato da r righe e da r colonne di A.
I minori estratti di una matrice A sono, in generale, più di uno.
As esempio, se 23 22 21 13 12 11 a a a a a a
A , allora i minori estratti di ordine
a) r = 1 sono: a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 b) r = 2 sono: 22 21 12 11 a a a a , 23 21 13 11 a a a a , 23 22 13 12 a a a a
Ciò posto, possiamo dare la seguente definizione.
Def. 5.2 - Se A è una matrice di ordine m n, dicesi rango o caratteristica di A il massimo ordine fra tutti i minori estratti diversi da zero.
Il rango di una matrice A si indica con rang(A) o car(A). Pertanto, dire che rang(A) = r, vuol dire che:
1) esiste almeno un determinante estratto di ordine r diverso da zero; 2) ogni determinante estratto di ordine maggiore di r è uguale a zero.
Sussiste il seguente metodo, detto metodo degli orlati o di Kroneker, per calcolare il rango di una matrice. Esso consiste dei seguenti passi:
1) si sceglie un minore estratto di ordine 1, diverso da zero;
2) si orla tale minore estratto in tutti i modi possibili con un’altra riga e un’altra colonna: se tutti i determinanti del 2° ordine così ottenuti sono nulli, allora il rango della matrice è 1; 3) se, invece, esiste un determinante del 2° ordine diverso da zero, lo si orla con un’altra
determinanti così ottenuti sono nulli, allora il rango è 2, altrimenti si procede come al passo precedente.
Diamo un esempio.
Calcolare il rango della matrice A =
2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 .
Osserviamo preliminarmente che poiché A è una matrice 3´4, il suo rango può essere al massimo uguale a 3.
Consideriamo il minore estratto a11 110. Orliamo tale elemento con la seconda riga e la seconda colonna ottenendo:
0 5 4 1 1 2 2 1 e, quindi, il rang(A) 2.
Orliamo tale estratto del 2° ordine con la terza riga e la terza colonna:
0 30 ) 12 ( 18 1 4 3 4 1 2 3 2 1
Poiché non esistono minori di ordine > 3, si conclude che rang(A) = 3.
Sussistono le seguenti proprietà.
Prop. 5.1 – Se A e B sono due matrici di tipo rispettivamente (m,p) ed (p,n) e se C è la matrice prodotto A ∙ B, allora risulta
) ( ) ( ) ( ) ( B rang C rang A rang C rang . Si omette la dimostrazione.
Prop. 5.2 – Il rango di una matrice non cambia se essa viene moltiplicata a sinistra o a destra per una matrice non singolare.
Dim. Sia A una matrice di tipo (m,n) avente rango r e sia P una matrice non singolare di ordine n. Posto C = A * P, risultano:
1) per la proprietà precedente, rang(C) rang(A)r 2) C = A * P CP1 APP1CP1 Arang(A)rang(C) ) (C rang r .
Dunque: rang(A) = rang(A * P) .
& 2.6 – Sistemi di equazioni lineari Poniamo le seguenti definizioni.
Def. 6.1 – Dicesi sistema lineare di m equazioni in n incognite ogni sistema del tipo:
m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 dove:
a11, ,… amn, si dicono coefficienti del sistema; b1, b2, …, bm si dicono termini noti del sistema; x1, x2, …, xn sono le incognite. La matrice mn m m n n a a a a a a a a a A . . . . . . . 2 1 2 22 21 1 12 11
dicesi matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema, mentre la matrice
m mn m m n n b a a a b a a a b a a a A 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 . . . . . '
ottenuta aggiungendo alla matrice dei soli coefficienti la colonna formata dai termini noti si dice matrice completa del sistema.
Osserviamo che se indichiamo con A la matrice dei coefficienti, con X il vettore colonna delle incognite e con B il vettore colonna dei termini noti, ogni sistema lineare si può indicare anche nella forma compatta
A x X = B.
In tal modo è possibile considerare il sistema come una equazione, equazione matriciale, e applicare ad essa le operazioni fra matrici, purché si tenga conto che non vale né la proprietà commutativa né la legge di annullamento del prodotto.
La forma
A x X = B dicesi forma matriciale del sistema.
Def. 6.2 - Dicesi soluzione del sistema ogni n-pla di numeri (x1, x2, …, xn) che soddisfa tutte le equazioni del sistema.
Classificazione dei sistemi lineari
Def. 6.3 – Un sistema si dice compatibile se ammette soluzioni (una o più), si dice
incompatibile se non ha soluzioni.
In particolare, un sistema compatibile si dice: determinato se ammette un’unica soluzione, indeterminato se ammette infinite soluzioni. Def. 6.4 – Un sistema si dice:
a) omogeneo se tutti i termini noti sono nulli: b1 = b2 =…= bm = 0; b) si dice non omogeneo se qualcuno dei termini noti è diverso da zero.
Prop. 6.1 – Ogni sistema omogeneo è sempre compatibile perché ammette sempre almeno la soluzione banale (0, 0, ..,0).
La verifica di tale asserzione è ovvia.
Teor. 6.1 – (Teorema di Rouchè - Capelli) Se A X = B è un sistema lineare di m equazioni in n incognite, si dimostra che:
1. il sistema è compatibile se rang(A) = rang(A’) e, in tal caso, detto r il rango uguale, esso ammette n – r soluzioni, con la convenzione che se n = r la soluzione è unica e il sistema è determinato;
2. il sistema è incompatibile se rang(A) < rang(A’). La dimostrazione è omessa.
In generale, il numero m di equazioni di un sistema è diverso dal numero n delle incognite. Sussiste la seguente ulteriore definizione.
Def. 6.5 – Un sistema lineare si dice sistema di Kramer se:
1) il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite, ovvero se m = n; 2) la matrice incompleta del sistema è non singolare, ovvero se det(A) 0. Per i sistemi di Kramer sussiste il seguente fondamentale teorema.
Teor. 6.2 – (Teorema di Kramer)
Se A X = B è un sistema di Kramer, cioè avente m = n e det(A) 0, allora esso è determinato e l’unica soluzione è data da:
n i
D D
xi i , 1,2,...,
dove D è il determinante della matrice incompleta dei soli coefficienti (D = det(A)) e Di è il determinante ottenuto da D sostituendo la i-ma colonna con la colonna dei termini noti. Dim. Poichè det(A) è diverso da zero, il rango della matrice A è uguale al rango della matrice A’, r = n, così che per il teorema di Rouché – Capelli, il sistema ammette una sola soluzione.
Inoltre, poiché det(A) = D 0, la matrice A è invertibile e sia A -1 la sua inversa. Di conseguenza, scritto il sistema in forma matriciale, si ha:
B A X B A X A A B X A 1 1 1 , dove A-1 = T Aji D A D 1 1 . Pertanto: x1 x2 ... xn æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = 1 det(A)× A11' A21' ... An1' A12 ' A22 ' ... An2' ... ... ... ... A1n ' A2 n ' ... Ann' æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ × b1 b2 ... bn æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ =
= b1A11' + b2A21' + ...+bnAn1' b1A12 ' + b2A22 ' + ...+bnAn2' ... b1A1n' + b2A2 n' + ...+bnAnn' æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ det(A) Þ Þ x1=(b1A11 ' + b2A21 ' + ...+bnAn1' ) / det(A) x2=(b1A12' + b2A22' + ...+bnAn2' ) / det(A) ... xn=(b1A1n ' + b2A2 n ' + ...+bnAnn' ) / det(A) ì í ï ï î ï ï
E’ facile verificare che il numeratore di ciascuna incognita, xi, è uguale al valore del determinante che si ottiene sostituendo nella matrice dei coefficienti, la matrice A, la colonna i – sima con la colonna dei termini noti.
Dunque, il teorema è dimostrato.
Infine, per i sistemi lineari omogenei di n equazioni in n incognite, sussiste il seguente teorema (condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza delle soluzioni non banali o di
autosoluzioni).
Teor. 6.3 – Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare omogeneo di n equazioni in n incognite ammetta soluzioni non banali è che det(A) = 0: le soluzioni non banali del sistema si dicono autosoluzioni del sistema.
Dim.
È un’ovvia conseguenza del teorema di Rouchè - Capelli, non appena si osserva che, essendo l’ultima colonna della matrice completa A’ un vettore nullo, il rango di A è uguale al rango di A’ così che il sistema è sempre compatibile e ammette nr soluzioni, dove r <
CAP. 2 - ESERCIZI (MATRICI, DETERMINANTI, SISTEMI LINEARI) E1 – Date le matrici 1 0 3 1 1 2 A , 2 1 2 3 2 1 B , 1 3 0 1 1 1 C , calcolare: a) A + B b) A – B c) 3A - 2B + C Soluzione a) 3 1 1 4 3 3 2 1 1 0 2 3 3 1 2 1 1 2 B A b) 1 1 5 2 1 1 2 1 1 0 2 3 3 1 2 1 1 2 B A c) 0 5 13 4 2 5 1 3 0 1 1 1 4 2 4 6 4 2 3 0 9 3 3 6 2 3A B C
E2 – Calcolare la trasposta delle seguenti matrici:
1 1 0 0 1 2 1 3 1 A , 0 1 2 3 2 1 B , 1 1 1 2 0 1 C Soluzione 1 0 1 1 1 3 0 2 1 T A , 0 3 1 2 2 1 T B , 1 1 0 1 2 1 T C . E3 – Date le matrici x z y z x A 3 2 0 1 e x y y x z y B 4 0
, determinare x, y, z tali che A = - B.
A = - B 1 3 1 3 4 2 1 ) ( 3 ) 4 ( 2 ) ( 1 z y x x y x z y x y z z y x x y x z y x y z z y x E4 – Data la matrice z z y x y x y z z y x x A 3 3 2 2 3 2 3 2
, calcolare x, y, z tali che la matrice A
risulti: a) simmetrica; b) antisimmetrica. Soluzione a) A simmetrica i,j: a i ,j = a j , i 3 6 6 3 4 4 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 y x y x y x y x y x z z y x y x z z y x 1 1 1 4 4 1 z y x x y x z
b) A è antisimmetrica i,j: a i,j = - aj,i
1 1 1 3 6 6 3 4 4 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 z y x y x y x y x y x y x z z y x y x z z y x ,
Poiché gli elementi della diagonale principale non sono nulli, la matrice A non è antisimmetrica. E5 – Date le matrici 0 1 2 3 2 1 A e 1 1 1 2 0 1 B , calcolare la matrice AB. Soluzione 1 4 1 8 ) 1 ( 0 1 1 0 2 1 0 2 1 1 2 ) 1 ( 3 1 2 0 1 1 3 2 2 1 1 B A E6 - Date le matrici A
1 2
e 1 3 0 1 2 1 B , calcolare la matrice AB.Soluzione
1120 1223 112(1)
1 8 1
B A . E7 – Date le matrici 1 1 0 1 A e 1 2 0 1B , verificare che: (A + B )2 A2 + 2AB + B2.
Soluzione 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 ) ( ) ( ) ( 0 3 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 B A B A B A B A Inoltre, poiché: A2 = 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 ) 1 ( 1 1 0 0 1 1 0 ) 1 ( 1 1 1 0 1 1 1 0 1 A A , B2 = 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 , 2 6 0 2 ) 1 ( 1 0 1 2 1 1 1 ) 1 ( 0 0 1 2 0 1 1 2 1 2 0 1 1 1 0 1 2 2 A B , segue che: 0 6 0 0 1 0 0 1 2 6 0 2 1 0 0 1 2 2 2 B AB A e, dunque, (A + B)2 A2 + 2AB + B2. E8 – Data la matrice 1 1 1 1 0 1 1 2 k
A e il vettore non nullo
3 2 1 x x x X , determinare il valore di k tale che AX = X, nonché tutti i vettori X che soddisfano l’uguaglianza.
1 1 1 1 0 1 1 2 k 3 2 1 x x x 3 2 1 x x x 3 2 1 3 1 3 2 1 0 2 x x x x kx x x x 3 3 2 1 2 3 1 1 3 2 1 3 2 1 2 x x x x x x kx x x x x x x x 1 2 1 3 1 2 1 1 1 1 3 1 2 1 1 3 3 1 1 2 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 3 2 1 1 2 2 2 2 0 2 0 3 0 0 3 x x k x x x x x kx x x x x x x kx x x x x x x x kx x x x x x x x kx x x x 1 3 1 2 2 3 x x x x k .
Dunque, per k = 3 è AX = X e, inoltre, i vettori che soddisfano l’uguaglianza sono infiniti, tutti dati da X = (x1, x1, 2x1), "x1ÎR. E9 – Dati X x 1 , x x e e A x x 2 ed x Y 1 , risolvere l’equazione XAY0. Soluzione A Y 0 (X A) Y 0 X ( x 1 x x e ex x 2 ) 0 1 x x xe x xex 2 x 1 0 x 0 0 (1 )0 2 2 2 2 x xe e x xe x e x x xex x x x x 1 0 0 ) 1 ( xex x x x . Dunque, si hanno due soluzioni:
1. Per x = 0, è: X 0 1 , 0 0 0 0 e e A 0 0 1 1 , 0 1 Y 2. Per x = -1, è: X 1 1 , 1 1 1 1 e e A , 1 1 Y .
E10 – Date le matrici 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A e 1 0 0 0 0 1 0 1 0
B , fate le vostre osservazioni sul
risultato dei prodotti AB e BA.
Soluzione
Osserviamo preliminarmente che AB e BA sono matrici quadrate di ordine 3.
1) AB = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 7 8 6 4 5 3 1 2 9 0 0 0 0 7 0 8 0 6 0 0 0 0 4 0 5 0 3 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0
Moltiplicando a destra la matrice A per la matrice B, nella matrice A si ha uno scambio della prima colonna con la seconda colonna.
2) BA= 1 0 0 0 0 1 0 1 0 9 8 7 3 2 1 6 5 4 9 0 0 8 0 0 7 0 0 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 6 0 0 5 0 0 4 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Moltiplicando a sinistra la matrice A per la matrice B, nella matrice A si ha uno scambio della prima riga con la seconda riga.
E11 – Data la matrice
3 1 1 0 2 0 1 1 3 A e il vettore 0 1 1 X , calcolare i prodotti A X e AAX. Quale relazione intercorre tra i due risultati?
Soluzione 1. 3 1 1 0 2 0 1 1 3 .X A 0 2 2 0 1 1 0 2 0 0 1 3 0 1 1 2. AAX = A (AX) = 3 1 1 0 2 0 1 1 3 0 2 2 0 4 4 0 2 2 0 2 2 0 0 2 1 2 3 .
E12 – Data la matrice 1 5 1 2 4 2 1 1 3 A e il vettore 3 2 1
X , si determini il valore del
parametro k per cui vale l’uguaglianza AX kX. Per quali valori di k il vettore k∙X ha il
modulo uguale a 1? Soluzione 1. A ∙ X = k ∙ X 1 5 1 2 4 2 1 1 3 ∙ 3 2 1 k k k 3 2 3 10 1 6 8 2 3 2 3 k k k 3 2 6 4 2 k k k 3 2 k = 2. 2. Poiché kX = k k k 3 2 , il suo modulo è : 2 2 2 2 14 ) 3 ( ) 2 ( k k k k kX . Di conseguenza: . 14 1 1 14 1 2 k k kX
E13 – Determinare se esistono valori di k per cui risulta
1 1 0 1 1 1 3 1 3 3 1 k k k k .
E14 – Data la matrice
3 2 3 1 a b
A , si determini sotto quale condizione dei parametri a e b risulta A A = A.
E15 – Data la matrice
5 4 1 4 2 1 1 3 k A e il vettore 3 2 1
X , determinare il valore del
Soluzione 6 4 2 6 3 10 2 6 4 2 3 5 ) 2 ( 4 ) 1 ( 1 3 ) 2 ( 4 ) 1 ( 2 3 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 3 2 X k k X A 2 6 6 4 3 10 2 2 6 4 2 6 3 10 2 k k k
E16 – Data la matrice
5 4 1 2 2 1 1 3 k A e il vettore 3 2 1
X , determinare il valore del
parametro k 'AX 8X. (da risolvere)
E17 – Date le matrici
m A 1 0 1 2 1 e 1 1 1 0 0 1 1 1 B e i vettori X
1 2 3
e
1 k 1 2
Y , determinare i parametri k e m tali che
10 12 XT B YT A . Soluzione 3 2 2 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 3 2 8 3 2 0 3 4 1 3 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 3 2 1 k k k k k BY m m m AX k Y X T T T T Di conseguenza: 10 12 5 3 10 10 12 3 2 2 3 8 10 12 m k k k k m BY AXT T
10 5 3 12 10 m k k 1 2 3 7 10 3 2 m k m k .
E18 – Data la matrice
0 1 1 0 1 0 k k k A e il vettore colonna X= x x x é ë ê ê ê ù û ú ú ú avente tutte le
componenti uguali e non nulle, determinare il valore del parametro k tale che risulti
X X A 2 . Soluzione X X A 2 x kx x x kx x x x kx x x x kx x kx x x kx x x x x x x k k k 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 x kx x kx x kx x∙(k-1) = 0 k = 1.
E19 – Date le matrici A =
1 0 1 1 , B = 1 1 0 1 , verificare che: a) A ∙ B B ∙ A b) (A+B) ∙ (A-B)A2 – B2 c) (A + B)2 A2 + 2∙ A ∙ B + B2 Da risolvere.
E20 – (a) La matrice A =
1 0 1 1 è triangolare? (b) Calcolare A2 e A3. Soluzione
a) La matrice A è una matrice triangolare alta, poiché a12 = 1 0 e a21 = 0. b) Calcoliamo A2 e A3.
1 0 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 2 A A A ; 1 0 3 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 2 3 A A A .
E21 - Si consideri la matrice A =
1 0 1 1
. Verificare che A è una matrice invertibile e che
l’inversa è A -1 = 1 0 1 1 . Soluzione
Dobbiamo verificare che
2 2 2 ' I A B I B A M t z y x B . a) A*B = I2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 t z t y z x t z y x 1 0 1 1 1 0 0 1 t z y x t z t y z x 2 ' 1 0 1 1 I B A B .
b) Si verifica che è anche B*A = I . 2
Dunque, A è invertibile e la sua inversa è A-1 = B =
1 0 1 1 .
E22 – Due matrici quadrate A, B Mnsi dicono permutabili se risulta A ∙ B = B ∙ A. Dimostrare che se A e B sono due matrici permutabili, risulta:
a) (A + B)(A – B) = A2 – B2 b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Soluzione
a) (AB)(AB) A2ABBAB2 A2AB ABB2 A2B2. b) La dimostrazione è analoga alla precedente.
c) La dimostrazione è analoga alla precedente.
E23 – Verificare che AM3risulta: a) A + AT simmetrica; b) A*AT e AT * A simmetriche; c) A - AT antisimmetrica; d) A = ( ) 2 1 ) ( 2 1 T T A A A A .
Tale ultima proprietà dimostra che ogni matrice quadrata può scriversi come somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica.
Soluzione
Dim. (a) – Sia A una matrice di M3, A =
33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a , e sia AT = 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a la sua trasposta. Si ha: A + AT = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a + 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a 33 33 23 32 13 31 32 23 22 22 12 21 31 13 21 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Tale risultato mostra che A + AT è una matrice simmetrica.
Dim. (b) – E’ analoga alla precedente: effettuare i due prodotti e verificare che si ottengono due matrici simmetriche.
AT A 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a - 33 23 13 32 22 12 31 21 11 a a a a a a a a a 33 33 23 32 13 31 32 23 22 22 12 21 31 13 21 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 32 23 31 13 32 23 21 12 31 13 21 12 a a a a a a a a a a a a .
Tale risultato mostra che A – AT è una matrice antisimmetrica.
Dim. (d) – 2 2 2 2 T T T T A A A A A A A A A A A .
Determinanti E24 – Siano A = 3 2 1 3 1 3 2 1 e B = 3 4 2 3 1 2 0 1
: calcolare la matrice prodotto A*B e il
suo determinante.
Soluzione
E25 – Stabilire se la matrice A =
4 0 2 1 2 3 2 0 1
è invertibile e, in caso affermativo,
determinare l’inversa.
Soluzione
Applicando la regola di Laplace rispetto alla seconda colonna, si ha:
det(A) = +2
2 4 4 16 0 4 2 2 1A è non singolare e quindi invertibile.
Calcoliamo la matrice inversa con il metodo della matrice aggiunta. I complementi algebrici sono: 8 4 0 1 2 ' 11 A ( 12 2) 14 4 2 1 3 ' 12 A 4 0 2 2 3 ' 13 A 0 4 0 2 0 ' 21 A 4 4 8 4 2 2 1 ' 22 A 0 0 2 0 1 ' 23 A 4 ) 4 ( 1 2 2 0 ' 31 A (1 6) 5 1 3 2 1 ' 32 A 2 2 3 0 1 ' 33 A
At + = 4 0 2 5 8 14 4 0 8 La matrice inversa di A è: 8 1 0 4 1 16 5 2 1 8 7 4 1 0 2 1 16 2 0 16 4 16 5 16 8 16 14 16 4 0 16 8 ) det( 1 A A A .
E26 – Si considerino le matrici
1 1 2 0 1 3 1 0 1 A e 1 2 0 1 4 2 5 0 0 B . Calcolare le matrici AT, BT , A + B, A – B, A X B e B X A. E27 – Assegnate le matrici
4 0 2 1 2 3 A e 1 2 0 1 4 2 5 0 0 B
dire quale delle seguenti matrici
AT, BT, A + B, A – B, A X B, B X A è calcolabile, giustificando la risposta.
E28 – Assegnata la matrice
0 6 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 3 2 1 k k k
A , determinare per quale valore di k la
matrice è non invertibile.
Soluzione
Affinché la matrice A sia non invertibile deve risultare det(A) = 0. Imponiamo tale condizione:
0 0 6 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 3 2 1 k k k
(risolvendo rispetto all’ultima riga)
0 2 1 1 1 0 1 2 1 3 2 0 1 1 2 1 3 2 2 0 2 1 1 1 0 1 2 1 6 2 0 1 1 2 1 3 2 2 k k k k k k k La prima soluzione è k = 0.
Risolviamo ora la seconda equazione:
. 0 2 1 1 1 0 1 2 1 3 2 0 1 1 2 1 3 2 k k (1)
Il valore del primo determinante, per la regola di Sarrus, è:
; 6 3 ) 6 2 ( 3 8 2 1 2 3 2 2 0 1 1 2 1 3 2 k k k k
il valore del secondo determinante è:
. 3 3 ) 1 ( 2 2 1 1 0 2 1 2 1 1 1 0 1 2 1 k k k k k Pertanto, l’equazione (1 ) diventa: 4 0 12 3 0 ) 3 3 ( 3 6 3 k k k k . La matrice A è non invertibile per k = 0 e k = - 4.
E29 – Calcolare il rango della matrice
4 0 2 1 2 3 A . Soluzione
La matrice A è una matrice 2 x 3, per cui il rango massimo è minore o uguale a 2 e poiché a11 = 3 è diverso da zero, il rango di A è maggiore o uguale a 1: dunque: 1rang(A)2.
Gli orlati del 2° ordine di a11 = 3 sono:
0 2 2 3 12 , 12 a e 4 2 1 3 13 , 12 a .
Poiché esiste a12,12 = 0 – 4 = - 4 0, si deduce che rang(A) = 2.
E30 – Calcolare il rango della matrice
1 2 0 1 4 2 5 0 1 B . Soluzione
Poiché B è una matrice non nulla ed ha ordine 3 x 3, segue che 1rang(B)3. Orlando a11 = 1 con le prime due righe e le prime due colonne, si ha:
2 ) ( 0 4 4 2 0 1 12 , 12 rang B a .
Infine orlando a12,12 con la terza riga e la terza colonna si ha:
a123,123 = 4 20 ( 2) 14 0 2 0 4 2 0 1 1 2 0 1 4 2 5 0 1 . Dunque, rang(B) = 3.
E31 – Determinare il rango della matrice
1 1 3 2 1 0 1 4 0 1 h h h h A , al variare del parametro h in R. Soluzione
Sopprimendo la prima riga e le ultime due colonne si ottiene il minore estratto del 2° ordine R h A rang a 30 ( )2, 3 2 0 1 12 , 23 .
Gli orlati di a23,12 sono:
a123,123 1 3 2 0 1 0 1 h h h h e a123,134 1 3 2 1 0 1 4 0 1 h . Calcoliamo a123,123 e a123,134. a) a123,123 h h h h h h h h h h 6 3 ) 3 3 ( 3 3 2 0 1 0 1 1 3 2 0 1 0 1 2 2 . a123,123 = 0 3h(h2)0h0h2. Quindi, h0,h2:a123,1230 rang(A) = 3. b) Studiamo a123,134 per h = 0 e h = 2. Per h = 0: 3 ( 3) 9 0 1 1 4 1 3 1 3 2 1 0 1 4 0 1 134 , 123 a rang(A) = 3. Per h = 2: 3 ( 5) 15 0 1 1 4 1 3 1 3 2 1 0 1 4 0 1 134 , 123 a rang(A) = 3. Dunque, hR:rang(A)3.
E32 – Assegnata la matrice 1 2 0 1 3 0 2 1 k k k k
A , stabilire per quale valore di k la matrice
A ha rango 2.
Soluzione
Affinché il rango della matrice sia due tutti i minori del 3° ordine devono essere nulli:
a123,123 = 0, a123,124 = 0, a123,234 = 0
e almeno un minore del 2° ordine deve essere diverso da zero. Risolvo: 1. a123,123 = 3 0 4 (0 2 ) 2 2 0 3 1 2 0 1 3 2 1 3 3 k k k k k k k k k k ; a123,123 = 0 k3k20(k1)(k2k2)0k 1. 2. a123,124 = 3 0 0 (0 2 ) 2 3 2 0 3 1 1 2 0 3 0 1 2 2 k k k k k k k k k ; a123,124 = 0 k2 2k30(k1)(k3)0k 1k 3. 3. a123,234 = 6 5 ) 6 ( 4 2 1 3 2 1 2 1 3 0 2 3 3 k k k k k k k k k k k35k6(k1)(k2k6); a123,234 = 0 (k1)(k2 k6)0k 1.
Dunque per k = 1 tutti i minori estratti del terzo ordine sono nulli rang(A) < 3. Per k = - 3, si annulla a123,124 ma non a123,123 e a123,234: rang(A) = 3.
Per k = 1, la matrice A diventa 1 1 2 0 1 1 3 1 0 2 1 1 dove a12,12 = 3 1 2 0 3 1 1 1 e
quindi per k = 1 è rang(A) = 2.
E33 – Verificare che le matrici
sen sen A cos cos e sen sen B 0 cos 0 1 0 cos 0 sono
ortogonali. Sono invertibili? Qual è la loro inversa? Giustificare la risposta. Soluzione
Ricordiamo che una matrice quadrata si dice ortogonale se A ∙ AT = AT ∙ A = In. Di conseguenza ogni matrice ortogonale è invertibile ed ha per inversa la sua trasposta.
a) sen sen sen sen AAT cos cos cos cos 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos sen sen sen sen sen sen 2 1 0 0 1 I .
Analogamente si dimostra che AT ∙ A = I2 . Dunque, A è una matrice ortogonale ed è:
. cos cos 1 sen sen A A T
b) Analogamente si dimostra che anche la matrice B è ortogonale e che ha per matrice inversa la sua trasposta.
E34 – Assegnata la matrice
k k B 0 0 0 0 1 1 1
, determinare gli eventuali valori di k per i
quali la matrice B coincide con la sua inversa. Soluzione Poiché B = B-1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 3 k k k k I B B
1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 2 2 k k k k k k k k k .
Esercizi sul rango di una matrice da risolvere
E35 – Calcolare il rango della matrice
2 2 1 0 3 0 1 2 1 1 k k A , al variare di k in R.
E36 – Calcolare il rango della matrice
1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 A , al variare di λ in R.
E37 - Calcolare il rango della matrice
3 1 0 1 1 0 1 A , al variare di λ in R.
Sistemi lineari numerici e parametrici
A) Sistemi lineari numerici E1 – Risolvere il seguente sistema:
2 1 2 y x y x . Soluzione Le matrici associate al sistema sono:
1 1 1 2 A , 2 1 1 1 1 2 ' A Poiché: det(A) = 2 ) ' ( ) ( 0 3 1 2 1 1 1 2 A rang A rang
il sistema è compatibile e ammette 2-2 = 1 soluzione (il sistema è determinato). Calcoliamo la soluzione: 1 3 3 1 3 3 3 1 4 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 1 y x y x y x
E2 - Risolvere il seguente sistema:
0 2 3 8 4 8 2 z y x z y x z y x . Soluzione
Le matrici associate al sistema sono:
1 2 3 4 1 1 1 1 2 A , 0 1 2 3 8 4 1 1 8 1 1 2 ' A
Poiché det(A) = -96 rang(A) = rang(A’) = 3, il sistema è compatibile e ammette un’unica soluzione (sistema determinato).
80 16 5 2 0 1 8 5 1 2 0 4 1 8 5 0 0 1 2 0 4 1 8 1 1 8 x 144 ) 15 3 ( 8 1 3 5 3 8 1 0 3 5 0 3 1 8 2 1 0 3 4 8 1 1 8 2 y 48 0 2 8 1 3 0 2 3 8 1 1 0 0 3 0 2 3 8 1 1 8 1 2 z Quindi: 2 1 96 48 2 3 96 144 6 5 96 80 z y x z y x .
E3 - Risolvere il seguente sistema:
0 2 3 2 3 2 z y x z y x z y x Soluzione
Le matrici associate al sistema sono:
2 1 1 1 2 1 1 1 2 A , 0 2 1 1 3 1 2 1 3 1 1 2 ' A Poiché det(A) = (8 1 1) (2 2 2) 0 ( ) 3 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A rang
