23 Il calcolo dei limiti - Indeterminazione di poli..>

(1)

6. Indeterminazione di radici e polinomi all’infinito

Primo caso

L’andamento all’infinito delle radici di ordine

k

di un polinomio di qualunque grado si studia ricordando che il polinomio è regolato all’infinito, positivo e negativo, dal suo termine di grado massimo.

Esempio 1

3 2

lim 5

4

3

x��

x

�

x

�

Il limite si presenta indeterminato:

3 2

lim 5

4

3

x��

x

�

x

� � ��

Sostituiamo al polinomio il suo termine di grado massimo:

3 2 3

lim 5

4

3 lim 5

x��

x

�

x

� �

x��

x

� ��

Esempio 2 5 4

lim 2

3

8

x��

x

�

x

�

x

Il limite si presenta indeterminato in entrambe le direzioni dell’infinito:

5 4

lim 2

3

8

x��

x

�

x

�

x

� ��

; 5 4

lim 2

3

8

x��

x

�

x

�

x

� ��

Sostituiamo al polinomio il suo termine di grado massimo:

5 5 4 5

lim 2

3

8 lim 2

x x x

x

��

� ��

�

5

lim 2

x��

x

�

� ��

��

Attenzione che questa strategia non si può applicare sempre nel caso in cui si abbia a che fare con la differenza di radici di polinomi, come vedremo più avanti.

Secondo caso

Vogliamo imparare a risolvere l’indeterminazione del rapporto fra infiniti, �

� , quando scaturisce da

espressioni della forma:

( ) lim ( ) k n x _m P x Q x �� oppure ( ) lim ( ) n k x _m P x Q x ��

(2)

dove P x e n( ) Q x sono due polinomi di grado n ed m rispettivamente. m( )

Strategia: si raccoglie a fattor comune il termine di grado massimo, facendo attenzione a portarlo in modulo fuori radice

se k è pari Esempio 3 2 ₄ lim 1 x x x ��

Il limite si presenta indeterminato: 2 ₄ lim 1 x x x �� _� �� _��

raccolgo il termine di grado massimo al numeratore ed al denominatore:

�

2

2 ₄ 1 4 2 1 4 2

lim lim lim

1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x _x x _x �� _� _� � � �

osservando che quando x � �� si ha definitivamente (cioè da quando x diviene positivo in poi), x � . x Sostituiamo e semplifichiamo: lim x x �� 2 4 1 x x �

�

2 4 1 ₁ lim 1 1 1 x 1 1 1 x x �� x � � � � � � � � Esempio 4 2 1 lim 2 x x x ��

2 1 lim 2 x x x �� _��

raccolgo il termine di grado massimo al numeratore ed al denominatore:

2 2 2 2 1 1 1 1 1

lim lim lim

2 2 2 ₁ ₁ x x x x x x x x x _x _x x x �� _� � �_� � � _� � � _� � � � � � � � � � � � � � � � � _� _{� �}_� _� � � ��

Quando x � �� si ha definitivamente (cioè da quando x diviene negativo in poi), x � � . Sostituiamo e x semplifichiamo:

0

(3)

lim x x �� 1 1 x x � _�� ₂ 1 1 2 1 1 x � � � � � Esempio 5 2 1 lim 3 2 x x x x ��

2 1 lim 3 2 x x x x �� _��

Strategia: Quando la potenza massima sotto radice è inferiore al grado della radice stessa, conviene raccogliere la stessa

potenza a numeratore e denominatore, secondo la strategia che segue: 2 2 2 2 2 2 2 1 1

lim lim lim

3 2 3 2 ₁ x x x x _x x x _x x x x _x x x �� _� _� � � � � _{� �} _� _� � � � �� 4 2 1 x x x � � 2 2 3 2 1 x x x � � _�� _� � � �� 4 4 3 4 2 2 2 2 1 1 1 0 lim lim 0 3 2 3 2 ₁ 1 1 x x x x x x x x x x x x x � � �� _�� _� � � � � �� Terzo caso

Vogliamo imparare a risolvere l’indeterminazione della differenza fra infiniti, �� , quando scaturisce da espressioni della forma:

lim _n( ) _m( ) x�� P x Q x � _� � � � � � oppure lim k n( ) m( ) x�� P x Q x � _� � � � � �

dove P x e n( ) Q x sono due polinomi di grado n ed m rispettivamente. m( )

Strategia: si deve razionalizzare l’espressione, e poi, se necessario, raccogliere il termine di grado massimo.

Esempio 6

�

2

�

lim 2

x�� x � x �x

0

0 0

(4)

2 lim 2 x�� x x x � _�� _�� _� ��

Razionalizziamo l’espressione moltiplicando e dividendo per la somma dei due termini:

�

2 2 2 2 2 lim 2 lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x x ��

l’espressione è identica a prima salvo che adesso, sviluppando i calcoli al numeratore, e sfruttando il prodotto notevole �a�b a�� b��a2�b2, si ottiene:

�

2

�

2 2 2 2 ₂ lim lim 2 2 x x x x x _x x x x x x x �� _� � � � � � � �

Come ci è già noto, il comportamento all’infinito del polinomio sotto radice x2�x è regolato dal suo termine di grado massimo, pertanto:

2 2 lim lim 2 1 x x x x x x x x x ��

abbiamo già osservato che quando x � �� si ha definitivamente x � . Sostituiamo e semplifichiamo: x

2 2 lim lim 1 2 x x x x x x x ��

Osserviamo che si sarebbe ottenuto un risultato errato sostituendo a ciascun polinomio sotto radice il proprio termina di grado massimo:

�

2 2

lim 2 lim lim lim 0

x�� x x x x�� x x x�� x x x�� x x � _�� _�� _�� _� _{� �} � � � _� _� �

Il motivo di questa apparente discrepanza è che è lecito trascurare il termine

�

2x

rispetto al termine

x

2 sotto radice, ma non è più lecito trascurarlo se fuori radice si sottrae il termine

x

che va all’infinito con una velocità confrontabile a quella di

x

2 . Si consideri ad esempio la coppia di funzioni:

2

( )

4 f x

�

x

g x

( )

�

4 x

2

�

5

Risulta evidentemente: 2 2

lim

( )

lim 4

4

5

x��

�

f x

�

g x

�

x��

�

x

�

x

�

Se avessimo sostituito a

g x

( )

il suo termine di grado massimo avremmo commesso un grosso errore, perché sarebbe risultato:

2 2

lim

( )

lim 4

4

0

x��

�

f x

�

g x

�

x��

�

x

�

x

�

0

�

(5)

In altri termini il fattore

5

si può trascurare rispetto a

4x

2 ma non se si sottrae anche un termine che va all’infinito con identica velocità.

Esempio 7

�

lim

1

3

x��

x

� �

x

�

lim

1

3

x��

x

� �

x

�

� ��

Risolviamo:

�

1

3 lim

1

3 lim

1

3

1

3

x x

x

��

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

(

lim

x

��

�

� �

1) ( x

3)

lim

4

0

1

3

x

1

3 x

x

� ��

�

_�

��

� �

�

� �

�

��

Esempio 8

�

lim

3

1

x��

� �

x

�

x

�

lim

3

1

x��

� �

x

�

x

� ��

Risolviamo:

�

3

1 lim

3

1 lim

3

1

3

1

x x

x

��

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

(3

) (1

)

2

2 lim

lim

0

3

1

3

1

x x

x

� ��

�

� �

�

��

� �

�

� �

�

��

Esempio 9

�

2

�

lim 2

4

2

1

x��

x

�

x

�

x

�

(6)

�

2

�

lim 2

4

2

1

x��

x

�

x

�

x

�

� ��

Razionalizziamo:

�

2 2 2 2

2

4

2

1 lim 2

4

2

1 lim 2

4

2

1

2

4

2

1

x x

x

��

�

2

4 lim

x

��

�

2

4x

�

2 2 2

1 2 1

2

1

2 lim

2

1

2

4

2

1 ₂

₂

₁

4

x

_x

x

��

�

_�

E ricordando che quando x

� ��

si ha definitivamente

x

� �

x

:

2 lim

x

��

�

1

2

2 x

x

�

2x

�

2 2

1

1 ₁

₁

2 lim

2

1

2

4

2

4

x

��

�

Esempio 10

�

lim

1 4

x��

�

x

�

x

�

lim

1 4

x��

�

x

�

x

� ��

Risolviamo razionalizzando:

�

2

1 4

lim

1 4

lim

1 4

lim

1 4

x x x

x

��

�

Raccogliamo il termine di grado massimo:

2

lim

x

��

�

2 2

�

2

1

4 x

₁

x

�

₂ 4 3 2 2

1

4 ₁

1 lim

0

1

4

1 1 4

x

� ��

�

_�

�

� ��

�

_�

�

0

�

0

�

0

�

0

�

0

�

₀

�

0

�

₀

�

(7)

Esempio 11 2

2

4 lim

x

��

�

Il limite si presenta indeterminato: 2

2

4 lim

x

��

�

_�

��

_�

��

Risolviamo razionalizzando e ricordando che è definitivamente

x

� �

x

quando

x

� ��

:

2

1

4

₂

2

4 lim

lim

x x x

x

_x

x

��

�

_�

�

x

1

4 _x

2

x

�

2

4 lim 2

1

2

1

3

x��

x

�

_�

�

_�

� �

�

Esempio 12

�

2

�

lim

2

3

5

x��

x

�

x

�

x

�

2

�

lim

2

3

5

x��

x

�

x

�

x

� ��

Risolviamo razionalizzando e ricordando che è definitivamente

x

� �

x

quando

x

� ��

:

�

2 2 2

2 2

2

3

5

2

3

25 lim

2

3

5 lim

2

3

5 lim

2

3

5

2

3

5

x x x

x

��

�

2 2 2 2

3

23

3 lim

lim

3

2

3

5 ₂

₅

x x x

x

_x

x

_x

x

��

�

_�

�

₂₃

3 �

x

�

( 23)

2

5

3

2

5 x

��

�

� ��

�

_�

�

_�

�

Esempio 13 2 2

3 lim

3

x

��

�

� �

0

�

0

�

0

�

(8)

Il limite si presenta indeterminato: 2 2

3 lim

3

x

��

�

_�

��

�

� �

Per eliminare l’indeterminazione occorre razionalizzare sia il numeratore che il denominatore:

�

��

�

��

�

2 2 2 2 2 2 2 2

3

3 lim

lim

3

x x

x

��

�

_�

�

� �

_�

�

� �

�

� �

�

� �

2

lim

x

��

�

2

x

�

2 2 2

3 ₃

3 x

x

�

_�

_{� �}

�

_�

�

_x

2

�

2 2

3

3 lim

3

x

��

�

� �

�

� �

Abbiamo ottenuto il prodotto di due limiti, di cui il secondo è ancora indeterminato

�

3 �

��

. Raccogliamo il termine di grado massimo:

2 2 2

1

3

1

3

3 lim

lim

3

x x

x

��

�

2

1

3

1

1 x

x

�

_�

�

3 ₁

�

x

�

3

1

0

1

�

��

_�

�

_�

Esempio 14 3

1 lim

3

x

��

�

3

1 lim

3

x

��

�

��

� ��

��

�

Raccogliamo il grado massimo:

0

�

₀

�

(9)

3

1 lim

lim

3

x x

x

��

�

3

1

1 x

x

�

2 3 3 3

1

1 lim

lim

3

1

x x

x

_x

x

_x

x

��

�

_�

�

_�

�

_�

�

3

1

1 lim

1

3

1

x

��

�

_�

�

_�

�

_�

� �

�

Esempio 15

3

4 lim

2

x

��

�

3

4 lim

2

x

��

�

_�

��

_�

��

�

Risolviamo:

3

4 lim

lim

2

x x

x

��

�

_�

�

₃

4 �

x

�

lim

2

1

x

��

�

_�

�

₃

4 �

x

�

2

1 x

x

�

_�

�

Prima di portare xsotto alla radice facendolo diventare

x

2 dobbiamo tenere memoria del segno che aveva fuori radice e che va perso. All’uopo si introduce la funzione “segno di

x

”,

sgn x

:

1

0 sgn

1

0 se x

x

se x

��

�

� ��

_��

�

Quindi, essendo definitivamente

sgn

x

� �

1

quando

x

� ��

:

2 2 2

4

3

3 lim

lim

3

2

1 1 sgn

1

x x

x

��

�

0

�

0

�

1 �

( ) sgn f x � x

0

�

0

�

0

�

(10)

Esempio 16 2 2

2 lim

1

2

x

��

� �

2 lim

1

2

x

��

� �

_�

��

_�

��

� �

Raccogliendo e ricordando che quando x � �� si ha definitivamente x � : x

2 ₂ ₂ 2 2 2

1

2

1

2

1

2 lim

lim

1

2

1

2

1

2 ₁

₁

x x x

x

_x

x

��

�

� �

�

� �

_{� �}

_�

_{� �}

_�

lim

x

��

�

2

1

2

1 x

x

�

2

1

2

1

2

1

1 x

x

�

_�

�

_�

�

Esempio 17 2 2

2 lim

1

2

x

��

� �

2 lim

1

2

x

��

� �

��

�

��

� �

Qui abbiamo l’indeterminazione della differenza di infiniti al denominatore, dovremo quindi innanzitutto eliminarla razionalizzando: 2 2 2 2 2 2

2

1

2 lim

lim

1

2

1

2

1

2

x x

x

��

� �

_�

� �

_�

� �

_�

� �

�

2 2 2 2 2 ₂ ₂

1

2

1

2

2 lim

lim

1

2

x x

x

��

�

� � �

� �

�

� � �

� �

�

� �

_�

₂

_x

_{� �}

₁

_x

2

_{� �}

_x

₂

�

(11)

�

2 2

1

2

2 lim

3

x

��

�

� � �

� �

_��

�

��

Il limite è ancora indeterminato, adesso però conviene raccogliere i termini di grado massimo, e , ricordando che quando x � �� si ha definitivamente x � � , otteniamo: x

�

2

�

2

�

2 2 2

1

2

1

2

1

2

1

2 lim

lim

3

x x

x

��

�

� �

�

� �

�

2

lim

x

��

�

2 2

1

2

1

2

1

1 x

x

�

_{� �}

_�

_{� �}

_�

�

2(

)

3

1 x

� � ��

�

Esempio 18 2 2

1 lim

2

4

x

��

�

� �

�

1 lim

2

4

x

��

�

� �

_�

��

�

Risolviamo l’indeterminazione dovuta alla differenza di infiniti al denominatore:

2 2 2 2 2 2

1 1 2

4 lim

lim

2

4

2

4

2

4

x x

x

��

�

� �

_�

�

� �

_�

�

_�

�

2

��

2

�

2

1 2

4 lim

4

x

��

�

� �

�

2

4x

�

x

��

�

��

�

Risolviamo ora l’indeterminazione dovuta al rapporto fra infiniti, ricordando che in questo caso

x

� �

x

:

2

1

2

4 lim

x

��

�

_�

� �

_�

�

� �

�

� �

�

0

�

0

�

0

�

₀

�

0

�

(12)

lim

x

��

�

2

1

1 x

2

4 x

x

�

_�

� �

_�

�

� �

�

� �

�

1 1 2

��

4 �

1 ��

�

� ��

�

Esempio 19 2 2

3 lim

1

2

1

x

��

�

� �

�

2 2

3 lim

1

2

1

x

��

�

_�

��

� �

�

2 2

3

1 lim

lim

1

2

x x

x

��

�

_�

�

₁

3 �

x

�

2 2

1 2 1

(1

2)

1

2 x

x

�

_�

�

_{� �}

�

Esempio 20 2

1

4 lim

3

x

��

� �

�

Il limite si presenta indeterminato: 2

1

4 lim

3

x

��

� �

�

_�

��

�

2 2 2 2

1

4

1

4

3

1

4 lim

lim

3

1

4

x x

x

��

� �

�

� �

�

� �

�

� �

�

2

lim

x

��

�

2 x

� � �

1 4

x

2

x

�

x

2 2

3

1

3

2

3 lim

3

3 ₁

₄

₁

₄

1

x

��

�

_�

�

_�

�

_{� �}

_�

�

� �

�

(13)

2 2 2 2

3

1

2

3

2

3

2 lim

lim

3 ₁

₄

3 ₁

₄

3

1

x x

x

��

�

_�

�

_�

�

_�

�

_�

_{�� }

�

_�

�

_�

� �

�

� �

�

Esempio 21 2

2 lim

3

5

3

x

��

_�

2

2 lim

3

5

3

x

��

�

��

�

2

2 lim

lim

3

5

3

x x

x

��

_�

�

��

x

2 2 2

2 lim

5

3

5

3 _{3 sgn}

3

x

_x

x

��

�

_�

�

_�

�

2 2

2

2 lim

3

5

3

x

_x

x

��

�

Esempio 22 2 2

3 lim

3

x

��

_�

2 2

3 lim

3

x

��

�

��

�

2 2 2 2 2 2 2 2

3

3 lim

lim

3

x x

x

��

�

1

2

3

(14)

�

2 2

�

2

3

3 lim

3

x

��

�

_{� �}

_x

2

3 lim

x

��

�

2 2

3 x

x

�

3 ₁

�

1 x

��

�

� ��

�

Esempio 23 3

1 lim

1

x

��

�

3

1 lim

1

x

��

�

_{� ��}

��

�

3 2 3 3

1 lim

lim sgn

1

x x

x

��

�

_�

�

_{� � �}

_{� �}

�

Ref studiare pp59-65 tomo C1;

(15)

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23 Il calcolo dei limiti - Indeterminazione di poli..>

6. Indeterminazione di radici e polinomi all’infinito

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