Polinomio di Taylor.

Polinomio di Taylor.

Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

Polinomio di Taylor

Dalla teoria della derivazione, sappiamo che se f : (a, b) → R `e derivabile in x0∈ (a, b) allora

f0(x0) = lim x →x0 f (x ) − f (x0) x − x0 cio`e 0 = lim x →x0  f (x) − f (x0) x − x0 − f0(x0)  = lim x →x0  f (x) − f (x0) − f0(x0)(x − x0) x − x0 

ovvero, f (x ) − f (x0) − f0(x0)(x − x0) = o(x − x0) e quindi,

Polinomio di Taylor

La scrittura

f (x ) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0).

dice che in un intorno di x0 la funzione f si pu`o approssimare con

il polinomio di primo grado

f (x0) + f0(x0)(x − x0).

Problema.

Se pi`u in generale la funzione f : (a, b) → R `e differenziabile n volte, esiste un polinomio di grado n che approssima f in un

intorno di x0, ovviamente meglio del polinomio di primo grado

Formula di Mac Laurin

La scrittura

f (x ) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + o(x − x0).

nel caso particolare x0 = 0 diventa

f (x ) = f (0) + f0(0)(x ) + o(x ).

e si chiamaformula di Mac Laurindi grado 1.

Per la formula di Mac Laurin di grado n cercheremo Tn, polinomio

di grado n, tale che pi`u in generale

f (x ) = Tn(x ) + o(xn)

Formula di Mac Laurin

Definizione

Sia f : (a, b) → R derivabile n volte in 0. Allora la scrittura

f (x ) = n X k=0 f(k)(0) k! x k _{+ o(x}n₎ `

e nota come formula di Mac Laurin.

Inoltre n X k=0 f(k)(0) k! x k

Formula di Mac Laurin. Esempio 1.

Esempio

Calcolare il polinomio di Mac Laurin di f (x ) = ex di ordine n.

Svolgimento.

Formula di Mac Laurin. Esempio 1.

Figura : In alto. La funzione ex _{in [−1, 1] (in nero), la formula di Mac}

Laurin Tk di grado 1 (in verde), la formula di Mac Laurin di grado 2 (in

rosso), la formula di Mac Laurin di grado 3 (in magenta). In basso.

L’errore assoluto |ex − Tk(x )| in [−1, 1], relativamente alla formula di

Mac Laurin Tk di grado 1 (in verde), la formula di Mac Laurin di grado 2

Formula di Mac Laurin. Esempio 1.

Nota.

Notiamo dalla figura che

I La qualit`a dell’approssimazione migliora al crescere del grado del polinomio di Mac Laurin.

Formula di Mac Laurin. Esempio 2.

Formula di Mac Laurin. Esempio 2.

Figura : In alto. La funzione sin(x ) in [−1, 1] (in nero), la formula di

Mac Laurin Tk di grado 1 (in verde), la formula di Mac Laurin di grado 2

(in rosso), la formula di Mac Laurin di grado 3 (in magenta). In basso.

L’errore assoluto | sin(x ) − Tk(x )| in [−1, 1], relativamente alla formula di

Mac Laurin Tk di grado 1 (in verde), la formula di Mac Laurin di grado 2

Formula di Mac Laurin. Esempio 2.

Nota.

Notiamo dalla figura che

I La qualit`a dell’approssimazione migliora al crescere del grado del polinomio di Mac Laurin.

Formula di Mac Laurin. Esercizio.

Valutiamo log(1.2) ≈ 0.182321556793955 tramite

log(1 + x ) = x − x 2 2 + x3 3 − x4 4 + . . . + (−1) n−1xn n + o(x n₎

Grado Mac Laurin Errore Assoluto

Formula di Mac Laurin. Esercizio.

Nota.

Valutiamo log(6) ≈ 1.7917594692280555 tramite

log(1 + x ) = x − x 2 2 + x3 3 − x4 4 + . . . + (−1) n−1xn n + o(x n₎

Grado Mac Laurin Errore Assoluto

1 5.0000 . . . 3.2082 . . .

2 −7.5000 . . . 9.2918 . . .

3 34.167 . . . 32.375 . . .

4 −122.08 . . . 123.88 . . .

5 502.92 . . . 501.12 . . .

Formula di Taylor.

Definizione

Sia f : (a, b) → R derivabile n volte in x0 ∈ (a, b). Allora la

scrittura f (x ) = n X k=0 f(k)(x0) k! (x − x0) k _{+ o((x − x} 0)n) `

e nota come formula di Taylordi ordine n, centrata in x0, con

resto di Peano. Inoltre n X k=0 f(k)(x0) k! (x − x0) k

Formula di Taylor.

Teorema

Siano f : [a, b] → R e x0 ∈ [a, b]. Se

I f `e n volte derivabile in [a, b];

I f `e n + 1 volte derivabile in [a, b]\x0;

I f(n)`e continua in [a, b]

allora per ogni x ∈ [a, b]\x0 esiste ξ(x ) tra x e x0 tale che

f (x ) = Tn(x ) +

(x − x0)n+1

(n + 1)! f

(n+1)_{(ξ(x ))}

dove Tn`e il polinomio di Taylor di ordine n e centro x0 della

Formula di Mac Laurin.

Valgono le seguenti formule di Mac Laurin:

I ex _{= 1 + x +}x2 2 + . . . + xn n! + o(x n_); I sin(x ) = x −x₆3 +x_5!5 + . . . + (−1)n x2n+1 (2n+1)!+ o(x 2n+2_); I cos(x ) = 1 −x₂2+x_4!4 + . . . + (−1)n x_(2n)!2n + o(x2n+1); I sinh(x ) = x +x₆3 +x_5!5 + . . . +_(2n+1)!x2n+1 + o(x2n+2_); I cosh(x ) = 1 +x₂2 +x_4!4 + . . . +_(2n)!x2n + o(x2n+1); I log(1 + x ) = x − x₂2 +x₃3+ . . . + (−1)n+1 xn n + o(x n_); I (1+x )α_{= 1+α·x +}α(α−1)x2 2 + α(α−1)(α−2)x3 3! +. . .+  α n  xn_+o(xn₎

dove per ogni α ∈ R, n 6= 0, 

α n



Su o(f (x )).

Ricordiamo le seguenti

Notazione.

f (x ) = o(g (x )) per x → x0 ⇔ lim x →x0

f (x ) g (x ) = 0.

Definizione

Se limx →x0f (x ) = 0, limx →x0g (x ) = 0 e f = o(g ) allora f `e un

infinitesimo di ordine superiorerispetto a g per x → x0. Esempio

Si mostra facilmente che

I x2 = o(x ) per x → 0;

Algebra degli o(f (x )).

Teorema

Vale la seguente algebra degli o-piccoli, per x → 0:

I o(xα) ± o(xβ) = o(xmin(α,β));

I o(k · xα) = o(xα) per k ∈ R;

I k · o(xα) = o(xα) per k ∈ R;

I xα_{· o(x}β_{) = o(x}α+β_);

I o(xα) · o(xβ) = o(xα+β);

I xα = o(xβ) per ogni β < α;

Algebra degli o(f (x )).

Traccia.

Per dimostrare gli asserti basta usare le definizioni di o(xk_{). Mostriamo}

ad esempio che

o(xα) ± o(xβ) = o(xmin(α,β))

Non `e restrittivo supporre α = min(α, β). Se f (x ) = o(xα),

g (x ) = o(xβ_{) allora} lim x →0 f (x ) xα = lim_{x →0} g (x ) xβ = 0 allora da β − α ≥ 0 lim x →0 f (x ) ± g (x ) xα = lim_{x →0} f (x ) xα ± lim_{x →0} g (x ) xα = lim_{x →0} f (x ) xα ± lim_{x →0} g (x )xβ−α xβ = 0

Algebra degli o(f (x )).

Mostriamo come seconda cosa che

o(xα) · o(xβ) = o(xα+β) Se f (x ) = o(xα_{), g (x ) = o(x}β_{) allora}

lim x →0 f (x ) xα = lim_{x →0} g (x ) xβ = 0. Di conseguenza lim x →0 f (x ) · g (x ) xα+β = lim_{x →0} f (x ) xα · g (x ) xβ = 0

Algebra degli o(f (x )).

Mostriamo come terza cosa che

o(xα) = o(xβ) per ogni β < α.

Se f (x ) = o(xα) allora

lim

x →0

f (x )

xα = 0

Mostriamo che se β < α allora lim x →0 f (x ) xβ = 0. Infatti se β < α allora se α − β > 0 e lim x →0 f (x ) xβ = lim_{x →0}f (x ) · x −β_{= lim} x →0f (x ) · x α−β−α_{= lim} x →0 f (x )xα−β α = 0

Ordine di infinitesimo.

Si diceordine di infinitesimo di una funzione infinitesima f (per

x → 0), quell’ α ∈ R+ tale che per un certoL ∈ R\{0}

lim

x →0

f (x ) xα = L

Nota.

Calcolare l’ordine di infinitesimo di f `e equivalente a trovare α tale che, per L ∈ R,

f (x ) = L xα+ o(xα).

Infatti, dividendo ambo i membri per xα e passando al limite per x → 0,

lim f (x ) = L + lim o(x

α₎

Calcolo di limite.

Osserviamo che, per quanto noto dalla formula di Mac Laurin

Calcolo di limite.

Calcolo di limite.

Nota.

Ulteriori sviluppi. Esempi I.

Scrivere lo sviluppo sin(y ) = y −y_3!3 +y_5!5 + o(y5) e porre y =√x .

Ulteriori sviluppi. Esempi II.

Scrivere lo sviluppo ex2 = 1 + x2+x₂4 +x_3!6+ o(x6) e osservare che

ex2+1= e · ex2 = e · (1 + x2+x 4 2 + x6 3! + o(x 6_)). Nota.

I conti appena fatti richiedono dilavorare con funzioni infinitesime

e quindi non si adattano ad oggetti qualicos(1 + x3_{) in un intorno}

Ulteriori sviluppi. Esempi III.

Scrivere lo sviluppo sin(x ) = x −x_3!3 + o(x3) e osservare che

Ulteriori sviluppi. Esercizio svolto.

E’ una forma 0/0. Si noti che x → 0+, ma la teoria vale lo stesso (perch`e ?). Si vede subito che

I sin(x ) − x = −(x3/6) + o(x3);

I dallo sviluppo di cos(y ) = 1 − (y2/2) + o(y2) abbiamo per x > 0, y = 2√x

Ulteriori sviluppi. Esercizio svolto.

I dallo sviluppo ey = 1 + y + y₂2 +y_3!3 + o(y3) abbiamo

e−2x = 1 − 2x +(−2x ) 2 2 + (−2x )3 3! + o(y 3_{) = 1 − 2x + o(x )} Quindi,

cos(2√x ) − e−2x= (1 − 2x + o(x )) − (1 − 2x + o(x )) = o(x ) − o(x ) = o(x ) e non si capisce bene cosa sia a meno di infinitesimi

Ulteriori sviluppi. Esercizio svolto.

Andiamo ad un ordine maggiore. Da

cos(y ) = 1 − (1/2)y2+ (1/4!)y4+ o(y4) ricaviamo dopo qualche conto

I cos(2√x ) = 1 − 2x + (2/3)x2_{+ o(x}2₎

I e−2x = 1 − 2x + 2x2+ o(x2) da cui

Nota sui limiti lim

f (x ).

Nota.

Osserviamo che posto t = 1/x lim x →+∞f (x ) = limt→0+f  1 t  .

Di conseguenza, dopo una opportuna trasformazione, possiamo calcolare con le tecniche introdotte, pure limiti del tipo

lim

Nota sui limiti lim

f (x ).

Ricordando che in un intorno di 0

Esercizi.

Esercizi svolti, I.

Esercizio

Calcolare con gli infinitesimi lim

x →0+

3x − sin(x + x2_{) − 1 + log(1 + x )}

Esercizi svolti, I.

E’ del tipo 0/0 (indeterminato).

I Calcoliamo l’espansione del numeratore, ottenendo un

risultato del tipo

3x − sin(x + x2) − 1 + log(1 + x ) = C1xα+ o(xα).

Dagli sviluppi di Mac Laurin:

I 3x _{= e}log(3)x _{= 1 + log(3)x + o(x );}

I sin(x + x2_{) = (x + x}2_{) + o(x );}

I log(1 + x ) = x + o(x );

e quindi

3x − 1 − sin(x + x2) + log(1 + x )

Esercizi svolti, I.

I Calcoliamo l’espansione del denominatore. Da

xao(xb) = o(xa+b) e arctan(x ) = x + o(x )

x · arctan(x ) = x (x + o(x )) = x2+ xo(x ) = x2+ o(x2)

Quindi il limite vale L = lim

x →0+

log(3)x + o(x )

Esercizi svolti, II.

Esercizio

Calcolare con gli infinitesimi lim

x →0

Esercizi svolti, II.

Traccia.

E’ del tipo 0/0 (indeterminato).

I Calcoliamo l’espansione del numeratore, ottenendo un

risultato del tipo

x + 2x3− sin(x) = C1xα+ o(xα).

Sappiamo che sin(x ) = x − x3/6 + o(x3); e quindi

x + 2x3− sin(x) = x + 2x3_{− (x − x}3_{/6 + o(x}3₎₎

Esercizi svolti, II.

I Calcoliamo l’espansione del denumeratore, ottenendo un

risultato del tipo

log(1 + x3) = C2xβ+ o(xβ).

Da log(1 + y ) = y + o(y ) abbiamo per y = x3

Esercizi svolti, III.

Esercizio

Calcolare con gli infinitesimi lim

x →0

Esercizi svolti, III.

Traccia.

E’ del tipo 0/0 (indeterminato).

I Calcoliamo l’espansione del numeratore, ottenendo un

risultato del tipo

log(1 + x ) − sin(x ) = C1xα+ o(xα).

Sappiamo che

I sin(x ) = x − x3_{/6 + o(x}3_);

I log(1 + x ) = x − x2_{/2 + o(x}2_);

e quindi

Esercizi svolti, III.

I Calcoliamo l’espansione del denumeratore, ottenendo un

risultato del tipo

1 − cos(x ) = C2xβ+ o(xβ).

Esercizi svolti, IV.

Esercizio

Calcolare con gli infinitesimi

Esercizi svolti, IV.

E’ del tipo 0/0 (indeterminato).

I Calcoliamo l’espansione del numeratore. Notiamo che ex 4 +xx 3 − cos(x) = e

x 2

x 3 +1 − cos(x).

e intendiamo ottenere un risultato del tipo

ex 3 +1x 2 − cos(x) = C_1xα_{+ o(x}α_).

Sappiamo che

I ey _{= 1 + y + o(y ) implica per y =} x2

Esercizi svolti, IV.

I Calcoliamo l’espansione del denumeratore, ottenendo un risultato del tipo sin(x2) = C2xβ+ o(xβ).

Da sin(y ) = y + o(y ) abbiamo per y = x2

Esercizi.

Esercizio

Calcolare con gli infinitesimi e/o con la regola de l’Hopital lim x →0 sin(x ) − sinh(x ) ex _{− x − cosh(x)} Traccia. Mostrare che

Esercizi.

Esercizio

Mostrare che, al variare di α,

Esercizi.

Calcolare, per ogni valore reale del parametro α, il seguente limite: lim

x →0+

2x _{− sin(αx) − 1 + x}3

1 − cos(√x ) −1₂log(1 + x )

Esercizio

Esercizi.

Esercizio

Calcolare,il valore dei parametri α, β reali affinch`e la funzione

f (x ) = (

sin(x )+cos(x )−ex 2/2

2x , x > 0

2α ex− 3 β x, x ≤ 0

I _{sia continua in R:}

Esercizi.

Esercizio

Calcolare, per ogni valore reale del parametro α, il seguente limite: lim

x →0+

arctan(x + x2_{) − x}

xα_{− sin(x}2₎

Esercizio

Calcolare, per ogni valore reale del parametro α, il seguente limite: lim

x →0+

1 + tan(x3) − ex3 (ex2