Universit`a dell’Aquila - Elettromagnetismo e Fisica 2 Seconda prova parziale - 03/12/2015
Tempo a disposizione un’ora. Usare questo foglio ed il retro per la bella.
Nel circuito in figura i tre condensatori hanno ca-pacit`a rispettivamente C1 = 1 µF , C2 = 2 µF e
C3 = 3 µF ed inizialmente sono scarichi. Il
generato-re ha una f.e.m. di f = 9 V ed R = 10 kΩ (compgenerato-rende anche la resistenza interna del generatore). Al tem-po t = 0 l’interruttore viene chiuso. Determinare: a) La corrente fornita inizialmente dal generatore; b) le cariche presenti sulle tre armature a regime; c) dopo quanto tempo, tx, la corrente fornita dal
generato-re diventa un terzo del valogenerato-re iniziale; d) a questo tempo, tx, il valore della corrente di carica dei due
condensatori C2 e C3.
Soluzione: a)
Il sistema dei tre condensatori all’istante iniziale si comporta come un corto circuito per cui la corrente iniziale `e semplicemente:
Io =
f
R = 0.9 mA b)
La capacit`a equivalente dei tre condensatori `e: Ce=
C1(C2+ C3)
C1+ C2+ C3
= 0.83 µF Quindi la carica finale ai capi del condensatore C1 vale:
Q1f = Cef = 7.5 µC
Mentre dovendo essere:
Q2f C2 = Q3f C3 e: Q1f = Q2f + Q3f segue che: Q2f = C2 C2+ C3 Q1f = 3 µC
Q3f =
C3
C2+ C3
Q1f = 4.5 µC
c)
La costante di tempo di carica vale:
τ = RCe= 8.3 ms
Quindi la carica del condensatore 1 nel tempo vale: Q1(t) = Q1f
1 − e−t/τ la sua derivata `e la corrente fornita dal generatore:
I1(t) = Q1f τ e −t/τ = f Re −t/τ imponendo che: I1(tx) = f Re −tx/τ = f 3R = 0.3 µA segue che: tx = τ log 3 = 9.2 ms d)
Anche gli altri due condensatori hanno la stessa costante di tempo di carica per cui: Q2(t) = Q2f 1 − e−t/τ I2(tx) = dQ2 dt = Q2f τ e −tx/τ = 0.12 µA Q3(t) = Q3f 1 − e−t/τ I3(tx) = dQ3 dt = Q3f τ e −tx/τ = 0.18 µA
