Compito3 luglio 2015

Università degli studi dell’Aquila- Corso di laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova Scritta Fisica Generale II 3/7/2015

Tempo a disposizione: 2:30 ore

  Problema  1  (10  punti)  

Due  fili  infiniti  con  densità  di  carica  lineare  λ  sono  posti  ad  angolo  retto   l'uno   rispetto   all'altro.   Una   carica   q   e   massa   m   è   ferma   nel   punto   P1=(x1,y1).  

1. Calcolare  la  forza  (modulo,  direzione  e  verso)  che  agisce  sulla  carica  in   questa  posizione;  (3  punti)  

2. La  carica  è  quindi  lasciata  libera  di  muoversi.  Calcolare  la  velocità,  in   modulo,  direzione  e  verso,  che  la  carica  raggiunge  nel  punto  P2=(x2,y2);  

(3  punti)  

3. La  carica  viene  quindi  fermata  in  questa  posizione  ed  al  sistema  viene  

aggiunta   una   carica   Q   in   P3=(x3,y3).   Determinare   la   posizione   di   equilibrio   per   la   carica   q   in   questa   nuova  

situazione.  (4  punti)    

Dati:  λ  =7nC/m,  q=2µC,  Q=3nC,  x1=y1=  0.1m,  x2=y2=  0.2m,  x3=y3=  0.5m,  m=1.0g.    

Problema  2  

Si  prenda  in  considerazione  il  circuito  riportato  in  figura  con  i  seguenti  valori  dei   componenti:   f=100V,   R2=9kΩ,   C=100nF.   Ipotizzando   che   il   condensatore   sia  

inizialmente  scarico,  una  volta  chiuso  l’interruttore  si  determini:  

1. il   valore   della   resistenza   R1   affinché   dopo   una   costante   di   tempo   la  

carica  sul  condensatore  sia  pari  a  q(τ)=5.7μC;  (4  punti)    

2. il   valore   della   costante   di   tempo   di   carica   del   condensatore   considerando  il  valore  della  resistenza  R1  calcolato;  (2  punti)  

3. il   valore   della   corrente   massima   e   minima   erogata   dal   generatore;   (2  

punti)  

4. il  valore  a  regime  della  carica  del  condensatore  e  l’energia  da  esso  accumulata.  (2  punti)    

 

 

Problema  3  

Il  circuito  rettangolare  in  figura  di  lati  !  ed  ℎ  è  caratterizzato  da  una  resistenza  complessiva  !  ed  un  coefficiente   di  autoinduzione  !.  Esso  intercetta  due  solenoidi  rettilinei  con  sezioni  di  area  !!  ed  !!  ed  !!ed  !!  avvolgimenti   per   unità   di   lunghezza.   Essi   sono   percorsi   da   correnti   opposte   ed   in   modulo   pari   ad  

!! ! = !!"!/!  ed  !! ! = !!"!/!  nell’intervallo   di   tempo  0 ≤ ! ≤ !.   Si   calcoli:   1)   la   forza   elettromotrice   indotta   nel   circuito   (4   punti);   2)   l’intensità   ed   il   verso   della   corrente   che   scorre   nella   spira   all’istante  ! = !/2  (3   punti);   3)   l’energia   erogata   dal   campo  elettromotore  nell’intervallo  di  tempo  0 ≤ ! ≤ !  (3  punti).    

Dati:  ! = 60cm,  ℎ = 4cm,  !!= 10000spire/m,  !!= 1000spire/m,  !!"=150A,  !!"=50A,   !!= 0.03m2,  !!= 0.015m2,  ! = 1Ω,  ! = 120mH,  T=0.1s.  

 

   

Universit`

a dell’Aquila - Corso di laurea in Ingegneria....

Prova Scritta di Fisica Generale II - ??/??/2015

Nome

Cognome

N. Matricola

... ... ...

Problema 1

Una sfera conduttrice di raggio R e carica Q

0

´e posta all’interno di un

guscio sferico di raggi R

1

= 1.5R ed R

2

= 3R. Nel guscio c’´e una

dis-tribuzione di carica ρ(r) = Ar il cui valore totale ´e Q =

−Q0

2

. a)

Calco-lare il valore della costante A (2 punti). b) Determinare l’espressione

del campo elettrico in funzione della distanza dal centro in tutto lo

spazio (3 punti). c) Calcolare il valore del campo elettrico in r

0

= 2R

(2 punti).

!" v0 R R1 R2 q, m

d) Una particella di carica q e massa m viene inviata con velocit´a v

0

da una distanza r

0

=

10R verso il centro della distribuzione di carica. Determinare in quale regione di spazio la

particella si ferma se non subisce urti nell’attraversare la distribuzione stessa (3 punti). Dati:

R = 10cm, q = 1nC, Q

0

= 2C, m = 1mg, v

0

= 7.5km/s.

Problema 2

Nel circuito in figura il condensatore C

1

´e un capacitore piano parallelo,

con facce di area S e a distanza d, riempito in parti uguali da materiali

di costante dielettrica relativa �

1

ed �

2

. A t=0 l’interruttore viene

chiuso e circola una corrente I

0

. a) Calcolare il valore della resistenza

R (2 punti). b) Calcolare la capacit´a del condensatore C

1

(2 punti)

R

C1

C2

C₃ f

c) A quale istante dalla chiusura dell’interruttore la differenza di potenziale su C

2

´e V

2

? (3

punti) d) Calcolare la differenza di potenziale su C

3

a regime (3 punti). Dati: S = 4cm

2

,

d = 0.5cm, �

1

= 2, �

2

= 3, I

0

= 3mA, f = 15V , V

2

= 3V , C

2

= 2pF , C

3

= 3pF .

Problema 3

Un’asta metallica di lunghezza l e resistenzaR ´e vincolata da un

es-tremo ad un asse rigido e all’altro capo ´e fissata ad una guida circolare

di conduttore ideale posta in un piano verticale permeato da un campo

magnetico B perpendicolare ed entrante nel piano. La guida metallica

´e posta in rotazione da una massa M collegata ad una fune

inesten-sibile ed ´e collegata elettricamente all’asse (vedi figura). Lasciando

libera la massa M si osserva che questa scende verticalmente con

ve-locit´a v

0

facendo ruotare il sistema (guida circolare ed asta

metal-lica). a) Calcolare la forza elettromotrice indotta ai capi dell’asta (3

punti). b) Determinare il valore della corrente che passa nel circuito

ed il verso di percorrenza, trascurando i fenomeni di autoinduzione (3

punti) c) Determinare il valore della resistenza R dell’asta metallica

(2 punti). d) Determinare l’energia dissipata in R durante un giro

completo della guida metallica circolare. (2 punti) Dati: l = 10cm,

M = 50g, v

0

= 10m/s, B = 1T )

!" # X !" v₀ B

1

!

+

+

+

+

+

+

+ + + + + + + + + + !

P1 P₂ P3

R

₁

T

f

C

R

₂

   

Soluzioni   Problema  1  

1.  La  forza  sulla  carica  nel  punto  P1  è  la  somma  delle  forze  esercitate  dai  2  fili:  

  ! =   !" 2!!! ! !!+   ! !!   →   ! =   !" 2!!! 1 !! 2 = 3.56  10 !!_!    

2.  Possiamo  calcolare  la  velocità  utilizzando  la  conservazione  dell’energia  totale:   !" !!, !! = !" !!, !! +

1 2!!!   da  cui  si  ottiene:  

! = 2 !!Δ!   con:   Δ! = ! 2!!! !!   !_! !_! !" +   !!   !_! !_! !" =     ! 2!!!  2 ln !_! !!     da  cui,  sostituendo,  si  ha:  

! =   2

!!Δ! = 0.84  !/!    

3.  La  posizione  di  equilibrio  si  ottiene  imponendo  che  sia  nulla  la  forza  totale  nel  punto  di  coordinate  incognite   (x,y):   !_!= !_!+  !_!=   !" 2!!! ! !+   ! ! +   !" 4!!! ! + ! !!− ! !+ !!− ! ! = 0    

Data  la  simmetria  del  sistema  ed  essendo  x=y  per  tutti  i  punti  presi  in  esame,  possiamo  imporre  semplicemente   l’uguaglianza  di  una  delle  due  componenti  scalari  dei  campi:  

!" 2!!! 1 ! =   !" 4!!! (!_!− !) (!!− !)!+ (!!− !)! )!/!     →   ! !=   ! 4 2 1 (!!− !)!         o,  equivalentemente:   !" 2!!! 1 ! =   !" 4!!! 1 2 2(!_!− !)!     →   ! !=   ! 4 2 1 (!!− !)!         da  cui  si  ottiene  un’equazione  di  secondo  grado  per  x:  

! = !!+ ! 8! 2  ± 1 2   ! !   1 32+   !"_! 2!  

solo  la  soluzione  con  il  segno  negativo  è  accettabile  (0<x<x3),  avendo  preso  la  FQ    negativa.  Si  ricava,  quindi,  x=   0.32m.  

 

Problema  2    

Le  espressioni  della  tensione  del  generatore  di  Thevenin  ai  capi  del  condensatore  e  della  resistenza  equivalente   sono:   f_th= f 1 ! R1 R₁+ R₂ " # $ $ % & ' ' =f R₂ R₁+ R₂ ; Req = R₁R₂ R₁+ R₂.   E’  possibile,  quindi,  scrivere  l’equazione  della  carica  del  condensatore  nel  seguente  modo:  

q(t) = f R2 R₁+ R₂ ! " # # $ % & &C 1 ! exp(!t /

(

!

)

.  

Per  soddisfare  la  condizione  richiesta  dalla  prima  domanda  si  può  facilmente  ricavare  dalla  precedente  relazione   il  valore  della  resistenza  R1:  

R₁= R₂ Cf q(!)

(

1 ! exp(!1)

)

! 1 " # $$ % & '' = 980( .  

Il  valore  della  costante  di  tempo  è:  

! = R1R2

R₁+ R₂C = 88.4µs.  

La   corrente   massima   si   avrà   nel   momento   in   cui   l’interruttore   viene   chiuso   e   quella   minima   una   volta   che   il   condensatore  è  a  regime:  

I_MAX = f

R₁ = 0.1A ; Imin =

f R₁+ R2

= 0.01A   La  carica  a  regime  e  l’energia  elettrostatica  accumulata  dal  condensatore  sono  uguali  a:  

q(t >> !) = fC R2 R₁+ R₂ = 9µC ; E = 1 2q(t >> !)f R₂ R₁+ R₂ = 0.4mJ.     Problema  3  

Assumendo  un  verso  di  percorrenza  orario  del  circuito,  il  flusso  concatenato  è  pari  a   ! = −!_!!_!+ !_!!_!,  

ove  !!= !!!!!!  e  !!= !!!!!!  sono   i   campi   generati   dai   due   solenoidi.   Pertanto   la   forza   elettromotrice   (nel   verso  orario)  è  data  da  

!!=   − !" !" = !!!! !_!" ! !!− !!!! !_!" ! !!= 0.55V    

2)  L’induttanza  si  carica  con  legge  ! ! =!! !(1 − !

!!/!  _{),  con  ! = !/!,  da  cui  si  calcola  ! !/2 = 0.19A.  La  corrente}   è  oraria.  

 

3)  L’energia  erogata  è  pari  a:     !!= !!! ! d! ! ! = !! ! ! d! ! ! =!! ! ! ! − ! 1 − !!!/! = 9.9mJ.