Disuguaglianze di Harnack per equazioni paraboliche

(1)

Universit`

a del Salento

Dipartimento di Matematica

“Ennio de Giorgi”

Simona Fornaro

Fabio Paronetto

Vincenzo Vespri

Disuguglianza di Harnack per

Equazioni Paraboliche

Quaderno 2/2008

(2)

Quaderni di Matematica

Una pubblicazione a cura del

Dipartimento di Matematica

“Ennio de Giorgi”

Universit`

a del Salento

Comitato di Redazione Giuseppe De Cecco (Direttore)

Lorenzo Barone Wenchang Chu (Segretario)

I Quaderni del Dipartimento di Matematica dell’Universit`a del Salento documentano gli aspetti di rilievo dell’attivit`a di ricerca e didattica del Di-partimento. Nei Quaderni sono pubblicati articoli di carattere matematico che siano:

(1) lavori di rassegna e monografie su argomenti di ricerca;

(2) testi di seminari di interesse generale, tenuti da docenti o ricercatori del Dipartimento o esterni;

(3) lavori di specifico interesse didattico.

La pubblicazione dei lavori `e soggetta all’approvazione del Comitato di Re-dazione, che decide tenendo conto del parere di un referee, nominato di volta in volta sulla base delle competenze specifiche.

Quaderno 2/2008

ISBN 978-88-8305-058-9

(3)

DISUGUAGLIANZA DI HARNACK PER EQUAZIONI PARABOLICHE iii

Disuguaglianza di Harnack per

Equazioni Paraboliche

Simona Fornaro

Dipartimento di Matematica “F. Casorati”

Universit`

a degli Studi di Pavia

via Ferrata, 1 - 27100 Pavia - Italia

e-mail: simona.fornaro@unipv.it

Fabio Paronetto

Dipartimento di Matematica “E. De Giorgi”

Universit`

a del Salento

Via per Arnesano - 73100 Lecce - Italia

e-mail: fabio.paronetto@unile.it

Vincenzo Vespri

Dipartimento di Matematica “U. Dini”

Universit`

a di Firenze

Viale Morgagni, 67/a - 50134 Firenze - Italia

e-mail: vespri@math.unifi.it

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(5)

Prefazione

Il presente quaderno `e basato sulle lezioni tenute dal Prof. V. Vespri per un corso di dottorato presso il Dipartimento di Matematica “Ennio De Giorgi” dell’Universit`a del Salento durante l’a.a. 2005/2006.

L’obiettivo del corso è stato quello di ripercorrere in ordine cronologico i risultati più significativi relativi alla disuguaglianza di Harnack (senza la pretesa di dimostrarli tutti). La prima formulazione, quella dovuta appunto ad Harnack, risale al 1887 e riguarda le funzioni armoniche positive. Dopo alcune estensioni parziali, il contributo più importante si deve a J. Moser, che nel 1961 prova la disuguaglianza di Harnack per soluzioni (deboli) po-sitive di equazioni lineari uniformemente ellittiche a coefficienti limitati in forma variazionale. Moser, inoltre, sottolinea l’utilità della disuguaglianza di Harnack per dedurre la locale hölderianità della soluzione. L’ulteriore passaggio verso equazioni ellittiche non lineari con crescita p viene compiu-to prima da J. Serrin e poi da N. S. Trudinger pochi anni dopo e riprende lo stesso approccio di Moser.

La prima versione parabolica della disuguaglianza di Harnack viene provata separatamente da Hadamard e Pini nel 1954 per soluzioni positive dell’e-quazione del calore. Dieci anni dopo, nel 1964, lo stesso Moser dimostra che la disuguaglianza di Harnack continua a valere per equazioni paraboliche pi`u generali, precisamente per equazioni del tipo ut = div(a(x, t)Du), con

a matrice uniformemente definita positiva e limitata. Da qui l’estensione a equazioni paraboliche quasi lineari con crescita lineare grazie a Aronson– Serrin (1967) e Trudinger (1968). A differenza del caso ellittico però, il caso di coefficienti a crescita non lineare presenta maggiori difficoltà e re-sta a lungo irrisolto. Nel 1986 E. DiBenedetto dimostra che la disugua-glianza di Harnack non può valere nella versione di Moser per l’equazione ut = div(|Du|p−2Du), p > 2. Vale invece una disuguaglianza di Harnack

intrinseca, cioè in una geometria determinata dalla soluzione considerata, non solo per il p–Laplaciano ma per un’ampia classe di equazioni. Questo risultato (il più recente fino a questo momento) è stato provato da DiBene-detto, Gianazza e Vespri nel 2006 e segna il passaggio fondamentale al caso di equazioni con coefficienti a crescita più che lineare.

(6)

L’intento principale di questo quaderno è stato quello di spiegare la tecni-ca di DiBenedetto, Gianazza e Vespri. Tale tecnitecni-ca si ispira al metodo di E. De Giorgi per mostrare la limitatezza e la regolarità per certe classi di funzioni (le cosiddette classi di De Giorgi), che contengono in particolare le soluzioni di alcune equazioni ellittiche. La disuguaglianza di Harnack si ottiene usando solamente stime dell’energia e strumenti di teoria della mi-sura. della positività Il metodo si applica a operatori abbastanza generali del tipo ∂t+ A con A monotono a crescita p− 1 nel gradiente, p > 2 (si

pensi al p-laplaciano). Tuttavia, nel presente quaderno lo sforzo è stato rivolto a semplificare tale metodo il più possibile (si veda il paragrafo 2.3), nella speranza di rendere più comprensibili queste nuove tecniche che, come già detto, si adattano a diverse tipologie di equazioni. Per ciò si è deciso di trattare solamente il caso p = 2, lasciando brevi cenni ai casi p > 2 e 1 < p < 2.

Per completezza, accanto a queste tecniche nuove sono presentati brevemen-te anche alcuni risultati pi`u classici, non solo nel caso parabolico, ma anche nel caso ellittico.

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Indice

Prefazione v

Notazioni 1

Capitolo 1. La disuguaglianza di Harnack nel caso ellittico 3

1.1. L’equazione di Laplace 3

1.2. Equazioni pi`u generali 5

Capitolo 2. La disuguaglianza di Harnack nel caso parabolico 9

2.1. La dimostrazione di Pini 10

2.2. Una dimostrazione tramite confronto 13

2.3. Le classi di De Giorgi (caso p = 2) 21

2.4. Il caso p6= 2 48

Bibliografia 55

Indice analitico 57

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(9)

Notazioni

|E| := misura di Lebesgue dell’insieme E Z − E f := 1 |E| Z E f dx p′ _:= p p_{− 1} frontiera parabolica di Ω× (0, T ): ∂Ω × (0, T )∪ Ω × {0} G, soluzione fondamentale dell’equazione del calore

Γp, funzione di Barenblatt

Bρ(x0), palla di centro x0 e raggio ρ

DG+(Ω, T, γ), DG−(Ω, T, γ), DG(Ω, T, γ), classi di De Giorgi

Kρ(x0), cubo di centro x0e lato 2ρ

Q+ ρ(x0, t0) := Kρ(x0)× [t0, t0+ ρ2) Q−ρ(x0, t0) := Kρ(x0)× (t0− ρ2, t0] Qρ(x0, t0) := Kρ(x0)× (t0− ρ2, t0+ ρ2) Q+_ρ,θ(x0, t0) = Kρ(x0)× [t0, t0+ θρ2) Q−_ρ,θ(x0, t0) = Kρ(x0)× (t0− θρ2, t0] Qρ,θ(x0, t0) = Kρ(x0)× (t0− θρ2, t0+ θρ2) Q±ρ, Q±ρ,θ si riferiscono al centro (0, 0) Kρ:= Kρ(0) 1

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CAPITOLO 1

La disuguaglianza di Harnack nel caso ellittico

1.1. L’equazione di Laplace

1.1.1. La disuguaglianza di Harnack. Si consideri l’equazione

∆u = 0 in Ω

dove Ω `e un aperto di Rn. Allora vale la seguente disuguaglianza, dovuta ad Harnack (1887) nel caso n = 2.

Lemma 1.1.1. Sia u > 0 una soluzione di classe C2_{(Ω) dell’equazione ∆u =}

0 in Ω. Allora per ogni x0∈ Ω, per ogni ρ, R con 0 < ρ < R e BR(x0)⊂ Ω

e per ogni x∈ Bρ(x0) vale la stima

_R R + ρ n−2_R_{− ρ} R + ρu(x0) 6 u(x) 6 _R R_{− ρ} n−2_{R + ρ} R_{− ρ}u(x0) .

Dimostrazione - Per una generica ϕ∈ C(∂Ω) la soluzione v del problema (

∆v = 0 in BR(0)

v = ϕ in ∂BR(0)

(1.1) pu`o essere scritta tramite il nucleo di Poisson (si veda, ad esempio, il paragrafo 2.2.4 in [7]) come segue

v(x) = 1 nωnR Z ∂BR ϕ(y)R 2_{− |x|}2 |x − y|n dHn−1. (1.2)

Di conseguenza, supponendo per semplicit`a x0= 0, si ha

u(x) = 1 nωnR Z ∂BR u(y)R 2 − |x|2 |x − y|n dHn−16 6R 2 − |x|2 nωnR Z ∂BR u(y) (_{|y| − |x|)}ndHn−16 6R 2 − |x|2 nωnR nωnRn−1 (R_{− |x|)}n Z − ∂BR u(y)d_Hn−1= =R +|x| R_{− |x|} h _R R_{− |x|} in−2 u(0) 3

(12)

dove nell’ultimo passaggio si `e usata l’uguaglianza u(0) = Z

−

∂BR

u(y)d_Hn−1

valida per funzioni armoniche. Usando la stima_{|x− y|}n₆₍

|x| + |y|)n_{e ragionando analogamente si ottiene}

la seconda stima.

Osservazione 1.1.2. - Fissati 0 < ρ < R si ottiene dal teorema precedente la seguente stima sup Bρ(x0) u 6 R + ρ R_{− ρ} n inf Bρ(x0) u da cui si deduce che

sup

Br(x0)

u 6 γ inf

Br(x0)

u per ogni r 6 ρ (1.3)

con la costante γ =R+ρ_R−ρn. Di fatto la costante γ dipende dalla dimen-sione e da (1− α)−1 _{dove α = ρ/R e si pu`}_{o stimare}

γ 6 2n/(1_{− α)}n.

Di conseguenza la costante rimane la stessa in tutte le palle Bρ(x0) ⊂

BR(x0)⊂ Ω con ρ/R fissato.

Teorema 1.1.3. Sia u > 0 una soluzione C2 _{di ∆u = 0 in Ω, Ω aperto di}

Rn_{. Allora per ogni aperto connesso ω}

⊂⊂ Ω si ha che esiste γ = γ(n, ω) tale che

sup

ω u 6 γ infω u .

Dimostrazione - Poich´e Ω `e aperto, fissati x, y∈ ω per cui u(x) = supωu,

u(y) = infωu, esiste un cammino Γ ⊂ ω che unisce x e y. Ricoprendo

Γ con un numero finito di palle Bρ(xi), i = 1, . . . N , in modo tale che

Bρ(xi)⊂ BR(xi)⊂ Ω e Bρ(xi)∩ Bρ(xi+1)6= ∅ per ogni i ∈ {1, . . . N − 1}.

Per comodit`a supponiamo che x_{∈ B}ρ(x1), y∈ Bρ(xN). Detta γ la costante

che appare in (1.3) si ha allora

sup_ωu = sup_B_ρ_(x₁₎u 6 γ infBρ(x1)u 6 γ supBρ(x2)u 6

6γ2_inf Bρ(x2)u 6 . . . 6 γ N_inf Bρ(xN)u = γ N_inf ωu .

Osservazione 1.1.4. - Ovviamente dal Teorema 1.1.3 si deduce che sup

ω′

u 6 sup

ω u 6 γ infω u 6 γ infω′ u per ogni ω

(13)

DISUGUAGLIANZA DI HARNACK PER EQUAZIONI PARABOLICHE 5

1.1.2. Locale hölderianità. Dalla disuguaglianza di Harnack si può de-durre per funzioni armoniche la locale hölderianità. Infatti sia x0 ∈ Ω,

l’aperto considerato all’inizio e u armonica in Ω. Definiamo M (R) = sup

BR

u , m(R) = inf

BR

u . (1.4)

dove per semplicit`a BR= BR(x0). Allora, per ǫ > 0, le funzioni

M (R)_{− u + ǫ} e u_{− m(R) + ǫ}

sono positive in BR/2 per cui vale la disuguaglianza di Harnack (1.3).

Pos-siamo supporre anche ǫ = 0, dal momento che la costante γ `e indipendente da ǫ ed `e quindi possibile poi mandare ǫ a zero. Si ottiene applicando (1.3) a tali funzioni

M (R)_{− m(R/2) 6 γ[M(R) − M(R/2)] ,} M (R/2)− m(R) 6 γ[m(R/2) − m(R)] .

Sommando le due espressioni, e ponendo osc(u, r) := M (r)− m(r), si ha osc(u, R) + osc(u, R/2) 6 γ[osc(u, R)− osc(u, R/2)] (1.5) da cui

osc(u, R/2) 6 γ− 1

γ + 1osc(u, R) = η osc(u, R) . Reiterando il procedimento si ottiene

osc(u, 2−k_{R) 6 η}k_{osc(u, R) .}

Si osservi che η−1_{= (γ + 1)/(γ}_{− 1) ∈ (1, 2) (se γ > 3).}

Siano ora x, y_{∈ Ω tali che} R

2n+1 6|x − y| 6

R 2n.

Dalla stima precedente si ottiene

|u(x) − u(y)| 6 osc(u, 2−n_{R) 6 η}n_{osc(u, R) = 2}−n| log2η|osc(u, R)

6 osc(u, R) 2 R

| log2η|

|x − y|| log2η|

con | log2η| = log2η−1 < 1 se γ > 3. Poich´e osc(u, R) < +∞ si ha che u

risulta h¨olderiana.

1.2. Equazioni pi`u generali

Per quanto visto nel paragrafo precedente la disuguaglianza di Harnack `e utile per mostrare la regolarit`a.

(14)

Dopo la dimostrazione di Harnack vista nel Lemma 1.1.1 una prima esten-sione di tale risultato per operatori lineari del tipo

Lu = n X i,j=1 aij ∂2_u ∂xi∂xj + n X i=1 bi ∂u ∂xi + cu (1.1)

è dovuta a L. Lichtenstein nel 1912 (si veda [23]). Tuttavia essa si limita al caso bidimensionale e richiede che i coefficienti siano piuttosto regolari. Nel 1930 Feller (si veda [8]) estende tale risultato al caso multidimensiona-le. Successivamente, nel 1956, in [19] J. Serrin prova la disuguaglianza di Harnack per soluzioni positive di equazioni della forma Lu = 0, dove L è definito da (1.1), in più variabili riducendo la regolarità richiesta ai coeffi-cienti e facendo intravedere la possibilità di studiare il caso non lineare. In effetti, nel 1961, il celebre lavoro di J. Moser [15] segna un passo importante in questa direzione nel quale l’autore dimostra la disuguaglianza di Harnack per soluzioni deboli, positive, di equazioni lineari in forma variazionale

div(a· Du) = 0 con a simmetrica e

c_|ξ|26(a_{· ξ, ξ) 6 C|ξ|}2 per ogni ξ_{∈ R}n.

Risultato preliminare alla disuguaglianza `e il seguente teorema (si veda il Teorema 2 in [15]).

Teorema 1.2.1. Se u `e una soluzione positiva di div(a(x)· Du) = 0 in Ω aperto di Rn, con a matrice strettamente definita positiva, simmetrica e di coefficienti L∞_{(Ω), x}

0∈ Ω, si ha che per p > 1 e per ogni palla B2R(x0)⊂ Ω

esiste c > 0 tale che

sup BR(x0) u 6 c p p_{− 1} 2Z − B2R(x0) updx1/p

dove Qh(x0) rappresenta il cubo di lato h e centro x0.

Osservazione 1.2.2. - Oltre al risultato precedente Moser stima la norma Lp _{della soluzione (per opportuni p) con l’estremo inferiore della soluzione,}

da cui ricava la disuguaglianza di Harnack.

Pi`u in generale vale il seguente risultato sulla locale limitatezza delle solu-zioni (si veda il capitolo 8 in [11]). Dato Ω aperto di Rn _{si consideri un}

operatore L della forma

Lu =−div(a · Du) + b · Du + cu

con coefficienti L∞_{(Ω) e a matrice strettamente definita positiva.}

Teorema 1.2.3. Sia u `e una soluzione di Lu = g + divf con g_{∈ L}q/2_(Ω),

(15)

B2R(x0)⊂ Ω e p > 1 esiste c (dipendente dai coefficienti, n, p, q) tale che

kukL∞ (BR(x0))6c R−n/pkukLp_(B_2R_(x₀₎₎+ R2δkgk_Lq/2_(Ω)+ Rδkfk_Lq_(Ω) , dove δ = 1_{− n/q.}

Sebbene Moser in [15] si limiti a considerare equazioni lineari la tecnica dimostrativa `e intrinsecamente non lineare. Cos`ı nel 1964 Serrin ne riprende l’idea (si veda [20]) per ottenere la disuguaglianza di Harnack anche per equazioni quasi lineari del tipo

div(a(x, u, Du)) + b(x, u, Du) = 0 (1.2) con a, b funzioni misurabili che verificano le seguenti condizioni di crescita

a(x, u, ξ), ξ>a−1₁ _|ξ|p

− b1|u|p− γ

|a(x, u, ξ)| 6 a1|ξ|p−1+ b2|u|p−1+ c2

|b(x, u, ξ)| 6 a2|ξ|p−1+ b1|u|p−1+ c3

con a1costante positiva e a2, b1, b2, γ, c2, c3funzioni in opportuni spazi Lq.

Un risultato di locale limitatezza preliminare alla disuguaglianza di Har-nack e analogo a quelli enunciati precedentemente viene mostrato anche da Serrin.

Analoghi risultati sono ottenuti da Trudinger in [21] con ipotesi di crescita su b leggermente pi`u generali, assumendo per`o che la u sia limitata. In [20] si mostra una formulazione della disuguaglianza di Harnack leg-germente diversa da quella enunciata in Teorema 1.1.3. Precisamente

sup

BR

u 6 γ (inf

BR

u + Rε) (1.3)

con γ > 0 e ε∈ (0, 1). Anche da questa disuguaglianza è possibile dedurre la locale hölderianità per una soluzione limitata dell’equazione (1.2). Infatti, denotando con M e m le stesse funzioni definite in (1.4) e applicando un analogo ragionamento nelle palle BR e BsR con s ∈ (0, 1) si giunge alla

stima osc(u, BsR) 6 η osc(u, BR) + 2γ γ− 1R ε

dove η = (γ_{− 1)(γ + 1)}−1_{. Iterando si ottiene}

osc(u, Bsk_R) 6 ηk osc(u, BR) + 2γ γ− 1 1 + (ηs−ε₎−1₊_{· · · + (ηs}−ε₎−k+1_.

A questo punto scegliendo, ad esempio, ηs−ε _{= 2 (per s sufficientemente}

piccolo `e sempre possibile) si ottiene che

osc(u, Bsk_R) 6 ηk osc(u, BR) + 4γ(γ− 1)−1

da cui, se la u risulta limitata in BR, ragionando come fatto

(16)

Stime del tipo (1.3) si ottengono da stime locali sui coefficienti γ, c2, c3.

Si osservi come `e necessario che la funzione u sia localmente limitata, co-sicch´e risulta limitata anche la sua oscillazione in BR, per poter ottenere

una stima sulla riduzione dell’oscillazione tipo (1.5). Nel caso in cui u sia una funzione armonica questo `e ben noto e si ottiene semplicemente, ad esempio, dal Lemma 1.1.1. Pi`u in generale si dovranno mostrare stime di limitatezza locali prima di poter applicare l’iterazione per stimare la ridu-zione dell’oscillaridu-zione (che nel nostro caso seguono dal Teorema 1.2.1).

(17)

CAPITOLO 2

La disuguaglianza di Harnack nel caso

parabolico

In questo capitolo considereremo soluzioni non negative dell’equazione ∂u

∂t − ∆u = 0 , (x, t)∈ Ω × I , (2.4) Ω aperto di Rn _{e I intervallo, e vedremo la disuguaglianza di Harnack per}

tali soluzioni. Il primo risultato in questa direzione `e ottenuto indipenden-temente da Hadamard ([13]) e Pini ([18]). La dimostrazione che facciamo vedere nel primo paragrafo `e quella dovuta a Pini. Nel secondo poi presen-tiamo una dimostrazione contenuta in [3] (Cap. V, paragrafo 13) in cui si segue un’idea di N. V. Krylov e M. V. Safonov (si veda [14]).

Cominciamo con un’osservazione dovuta a J. Moser (si veda [16]) che, se Ω× I = Rn_{× (0, +∞), fissati (x}

0, t0)∈ Rn× (0, +∞) e ρ > 0, una stima

tipo (1.3) a tempo fissato, cio`e sup

x∈Bρ(x0)

u(x, t0) 6 γ inf x∈Bρ(x0)

u(x, t0) , (2.5)

non pu`o valere in maniera uniforme per tutte le soluzioni dell’equazione (2.4). Si veda a tal proposito il seguente esempio: definiamo

G(x, t) = 1 (4πt)n/2exp n −|x| 2 4t o . (2.6)

Consideriamo, per n = 1 la famiglia di funzioni positive Gξ(x, t) = √1 4πtexp n −(x + ξ) 2 4t o

risolve l’equazione del calore (2.4) in R_{× (0, +∞) per qualunque valore} ξ _{∈ R, ma se si fissa un valore per il tempo, per semplicit`a t = 1, si pu`o} vedere che Gξ(0, 1) Gξ(x, 1) = exp n x2 4 + xξ 2 o

che per ξ _{→ +∞ converge a zero se x < 0 e diverge a +∞ se x > 0. Di} conseguenza, fissato un qualunque intorno di x0 = 0 e congelando tutto al

(18)

tempo t0 = 1, non `e sperabile controllare (sia dall’alto che dal basso con

costanti positive indipendenti da u) il rapporto inf_|x|<ρu(x, 1) sup_|x|<ρu(x, 1)

dove u `e una generica soluzione non negativa dell’equazione del calore. Come vedremo (si vedano varie formulazioni equivalenti nel Teorema 2.2.3), una stima tipo (2.5) vale a patto di considerare sup

Bρ(x0) u(x, t1) e inf Bρ(x0) u(x, t2) con t1< t2. 2.1. La dimostrazione di Pini

Il risultato che presentiamo `e in dimensione uno e basato su calcoli espliciti sulla funzione di Green.

Teorema 2.1.1. Si consideri il rettangolo R = (0, 1)_{× (0, 1/4), siano f} definita in [0, 1], ϕ1, ϕ2 definite in [0, 1/4] funzioni continue e reali tali che

f (0) = ϕ1(0), f (1) = ϕ2(0). Sia u la soluzione del problema

       ut− uxx= 0 in R u(x, 0) = f (x) in [0, 1] u(0, t) = ϕ1(t) in [0, 1/4] u(1, t) = ϕ2(t) in [0, 1/4] .

Allora, fissato δ∈ (0, 1/8), esiste una costante c > 0 tale che sup

(x,t)∈(δ,1−δ)×(δ,1/4−δ)

u(x, t) 6 c u(1/2, 1/4) .

Dimostrazione - Si consideri la funzione di Green relativa a tale problema

K(x, t; ξ, τ ) =

+∞

X

k=−∞

G(x− ξ + 2k, t − τ) − G(x + ξ + 2k, t − τ)

dove G `e la funzione definita in (2.6) per n = 1. Per tale rappresentazione e per i dettagli sulla convergenza della serie rimandiamo ai capitoli VI e V in [24]. La funzione K risulta analitica in ognuna delle due variabili (si veda in particolare il paragrafo V.2 in [24]). La funzione K(_{·, ·; ξ, τ) risolve} l’equazione ut− uxx= 0 in R\ {(ξ, τ)}, per ogni (ξ, τ) ∈ R e si annulla sulla

(19)

frontiera parabolica di R. La funzione u pu`o essere espressa come segue u(x, t) = Z 1 0 K(x, t; ξ, 0)f (ξ)dξ+ + Z t 0 h Kξ(x, t; 0, τ )ϕ1(τ )− Kξ(x, t; 1, τ )ϕ2(τ ) i dτ . (2.1) `

E immediato verificare che valgono K(x, t; ξ, 0) > 0, Kξ(x, t; 0, τ ) > 0,

Kξ(x, t; 1, τ ) 6 0 e che Kξ(x, t; 0, τ )− Kξ(x, t; 1, τ ) > 0. Mostriamo, ad

esempio, che K(x, t; ξ, 0) > 0: se cos`ı non fosse, scegliendo ϕ1 = ϕ2 ≡ 0

sarebbe possibile trovare f in modo tale che u risulti negativa, contraddi-cendo il principio del massimo. In maniera analoga si mostrano le altre disuguaglianze. Dalla definizione di K si vede che per ogni δ∈ (0, 1/8)

K(x, t; 0, 0) = K(x, t; 1, 0) = 0. in Rδ := (δ, 1− δ) × (δ, 1/4 − δ) .

Vogliamo ora verificare che K(1/2, 1/4; ξ, 0) > 0 per 0 < ξ < 1. Si osservi prima che

K(x, t; ξ, τ ) = K(x, t; 1− ξ, τ) . (2.2) Di conseguenza sar`a sufficiente verificare che K(1/2, 1/4; ξ, 0) > 0 per 0 < ξ 6 1/2. Si osservi innanzitutto che la funzione

ga(x) = e−(x−a)

2

− e−(x+a)2

`e strettamente descrescente per x > 2 quando 0 < a < 1. Inoltre `e facile vedere che K(1/2, 1/4; ξ, 0) = √1_π +∞ X k=0 h gξ 4k + 1 2 − gξ 4k + 3 2 i

da cui segue che i termini della somma con k > 0 sono tutti positivi per 0 < ξ 6 1/2 e nulli per ξ = 0. Rimane da stimare il termine gξ(1/2)−gξ(3/2)

che pu`o essere riscritto come

2(senh ξ_{− e}−2senh 3ξ) exp [_−(ξ2+ 1/4)] .

Poich´e la funzione senh ξ− e−2_{senh 3ξ `e crescente e nulla in ξ = 0 si deduce}

che K(1/2, 1/4; ξ, 0) > 0 per 0 < ξ 6 1/2 e K(1/2, 1/4; 0, 0) = 0 . Analogamente, grazie a (2.2), si ha K(1/2, 1/4; ξ, 0) > 0 per 1/2 6 ξ < 1 e K(1/2, 1/4; 1, 0) = 0 . Inoltre Kξ(1/2, 1/4; 0, 0) = √4 π +∞ X k=−∞ ak dove ak=

2k +1₂expn₋2k +1₂2o. Si noti che per k > 0 si ha che ak>|a−k−1| = −a−k−1

(20)

per cui Kξ(1/2, 1/4; 0, 0) = √4 π +∞ X k=0 (ak+ a−k−1) > 0 .

Dalla regolarit`a di K si ottiene, usando la regola di de L’Hˆopital, che i seguenti limiti lim ξ→0+ K(x, t; ξ, 0) K(1/2, 1/4; ξ, 0) e ξ→1lim− K(x, t; ξ, 0) K(1/2, 1/4; ξ, 0)

esistono finiti e non negativi, poich´e Kξ(1/2, 1/4; 0, 0) > 0 e Kξ(x, t; 0, 0) >

0, Kξ(1/2, 1/4; 1, 0) < 0 e Kξ(x, t; 1, 0) 6 0. Di conseguenza esiste una

costante γ > 0 per cui

0 6 K(x, t; ξ, 0) 6 γ K(1/2, 1/4; ξ, 0) , 0 6 ξ 6 1 , (x, t)∈ Rδ. (2.3)

Ora vogliamo dare un’analoga stima sulla derivata rispetto a ξ di K. Si osservi che, poich´e

Kξ(x, t; ξ, τ ) = 1 p 4π(t_{− τ)} +∞ X k=−∞ h x− ξ + 2k 2(t_{− τ)} exp n −(x− ξ + 2k) 2 4(t_{− τ)} o + +x + ξ + 2k 2(t_{− τ)} exp n −(x + ξ + 2k) 2 4(t_{− τ)} oi , si ha che Kξ(1− x, t; 0, τ) = −Kξ(x, t; 1, τ ) . (2.4)

Valutando la derivata per ξ = 0 si ottiene

Kξ(x, t; 0, τ ) = 1 p 4π(t− τ) +∞ X k=−∞ x + 2k t− τ exp n −(x + 2k) 2 4(t− τ) o

che risulta continua e limitata per τ _{∈ [0, t] e (x, t) ∈ R}δ. Inoltre

Kξ(1/2, 1/4; 0, τ ) = 2 p π(1− 4τ) +∞ X k=−∞ 1 + 4k 1− 4τexp n −(1 + 4k) 2 4(1− 4τ) o = +∞ X k=−∞ bk. Poich´e per k > 0 bk>|b−k−1| = −b−k−1

per cui Kξ(1/2, 1/4; 0, τ ) > 0 per τ ∈ [0, 1/4 − δ]. Di conseguenza esiste una

costante c2> 0 0 6 Kξ(x, t; 0, τ ) 6 c2Kξ(1/2, 1/4; 0, τ ) , 0 6 τ 6 t , (x, t)∈ Rδ (2.5) e, grazie a (2.4), anche 0 6_−Kξ(x, t; 1, τ ) 6−c2Kξ(1/2, 1/4; 1, τ ) , 0 6 τ 6 t , (x, t)∈ Rδ. (2.6)

(21)

Usando (2.3), (2.5), (2.6) in (2.1) si ha 0 6 sup

(x,t)∈Rδ

u(x, t) 6 max_{{γ, c}2} u(1/2, 1/4) .

2.2. Una dimostrazione tramite confronto

Il risultato che segue `e basato sul confronto con un’opportuna sottosoluzione nell’intero semispazio.

Fissati Ω aperto di Rn _{e T > 0, denotiamo con Ω}

T il cilindro Ω× (0, T ), tramite C2,1_(Ω × (0, T )) si denoter`a la classe u_{∈ C(Ω × (0, T ))}uxixj, ut∈ C(Ω × (0, T )) . Tramite Qρ, per ρ > 0, denoteremo il cilindro centrato in (0, 0)

Kρ(0)× (−ρ2, ρ2)

dove Kρ(x0) denota il cubo di lato 2ρ e centro x0 e pi`u genericamente

Qρ(x0, t0) = Kρ(x0)× (t0− ρ2, t0+ ρ2) .

Per u ∈ C2,1_(Ω_{× (0, T )) `e possibile scrivere l’equazione del calore (2.4) e}

ottenere il risultato che segue. La dimostrazione `e ottenuta da un confron-to tra u e un’opportuna sotconfron-tosoluzione dell’equazione (2.4) e applicando il principio del massimo (si vedano in particolare il Teorema 13.1 e, per una una stima sulle derivate della soluzione, il Teorema 12.1 e il Teorema 12.2 in [3]).

Teorema 2.2.1. Sia u una soluzione non negativa dell’equazione (2.4) in Rn

× (0, +∞). Per ogni (x0, t0)∈ Rn× (0, +∞) e per ogni ϑ, ρ > 0, con

ρ2_{< t}

0, esiste una costante γ > 1, dipendente solo dalla dimensione n e da

ϑ, tale che risulta

γ inf

|x−x0|<ϑρ

u(x, t0+ ρ2) > u(x0, t0) . (2.1)

Osservazione 2.2.2. - La restrizione sulla scelta di ρ posta nell’enunciato del teorema precedente `e legata alla tecnica dimostrativa che, come vedremo, richiede che la funzione u sia soluzione dell’equazione del calore anche per tempi sufficientemente minori di t0. Precisamente, `e necessario che u sia

definita anche in (t0− ρ2, t0). Per avere la stima ad istanti successivi, basta

applicare un argomento di tipo induttivo: si considera il punto (x0, t0+ ρ2).

Da (2.1) discende che γ inf |x−x0|<ϑρ u(x, t0+ 2ρ2) > u(x0, t0+ ρ2) . D’altro canto, γ u(x0, t0+ ρ2) > γ inf |x−x0|<ϑρ u(x, t0+ ρ2) > u(x0, t0) ,

(22)

per cui

γ2 inf

|x−x0|<ϑρ

u(x, t0+ 2ρ2) > u(x0, t0)

e induttivamente per k_{∈ N si avr`a} γk _inf

|x−x0|<ϑρ

u(x, t0+ kρ2) > u(x0, t0) .

Si noti anche (a tal proposito si veda la dimostrazione) che nella formula-zione (2.1) la costante γ tende all’infinito per ϑ _{→ +∞. Infatti, poich´e il} parametro ϑ che appare in (2.1) pu`o essere anche “spostato” alla variabile temporale, considerando r = ϑρ possiamo riscrivere (2.1) nel seguente modo

γ inf

|x−x0|<r

u(x, t0+ σr2) > u(x0, t0) ,

dove σ = ϑ−2 _{e con la medesima costante γ, la quale diverge per σ} _→

0. Questo fatto è inevitabile in quanto, se cos`ı non fosse varrebbe una disuguaglianza allo stesso livello temporale, ma ciò, come mostrato all’inizio del paragrafo, è falso in generale.

Dimostrazione - Dividiamo la dimostrazione in quattro passi.

Passo 1 - Introducendo la funzione

˜

u(˜x, ˜t) = 1

u(x0, t0)u(ρ˜x + x0, ρ 2_˜_{t + t}

0)

la disuguaglianza (2.1) risulta equivalente a γ inf

|˜x|<ϑu(˜˜ x, 1) > 1 .

Si osservi che la nuova funzione ˜u è definita per valori di ˜t > −1 in virtù delle ipotesi fatte su ρ. Per semplicità continueremo a denotare con u, x, t la nuova funzione e le nuove variabili.

Per s ∈ [0, 1) consideriamo l’insieme Qs := Ks(0)× (−s2, 0) (che risulta

contenuto nel dominio) e definiamo le due funzioni M(s) := sup

Qs

u , N(s) = (1− s)−ξ

dove ξ `e una costante positiva che fisseremo in seguito. Si ha che M (0) = 1, N(0) = 1, lims→1M(s) < +∞ e lims→1N(s) = +∞. Di conseguenza

l’equazione M (s) = N (s) ammette soluzioni e denotiamo con sola maggiore

di tali soluzioni (so potrebbe essere zero). Dalla continuit`a di u si ha che

esiste (yo, τo)∈ Qso tale che

(23)

Passo 2 - Mostriamo ora che esiste una palla di centro yo in cui u(x, τo) > 1 2(1− so)−ξ. Si consideri (yo, τo) + Q1−so 2 := K1−so2 (yo)× τo− 1_{− s}o 2 2 , τo . Si ha che (yo, τo) + Q1−so 2 ⊂ Q1+so2

per cui si ha che sup

(yo,τo)+Q1−so 2

u 6 N ((1 + so)/2) = 2ξ(1− so)−ξ.

Dal Teorema 12.1, cap. V, in [3] si ha sup (yo,τo)+Q1−so 8 |Du| 6 ₁ c − so sup (yo,τo)+Q1−so 2 u

con c costante dipendente solo da n. In particolare _{|Du| risulta limitato.} Allora per x_{∈ K}_(1−so)/8(yo), e usando le due stime precedenti, si ha

|u(x, τo)−u(yo, τo)| 6 |x−yo| sup (yo,τo)+Q1−so 8 |Du| 6 |x−yo| c 1_{− s}o 2ξ(1_−so)−ξ

e in particolare per _{|x − y}o| < ǫ(1 − so)/2 con ǫ∈ (0, 1/4) si ha

u(x, τo) > u(yo, τo)− ǫ1− so

2 sup(yo,τo)+K1−so 8

|Du| > (1− so)−ξ(1− ǫ c 2ξ−1) .

Si conclude scegliendo ǫ (che dipende solamente da ξ, n) in modo tale che 1_{− ǫ c 2}ξ−1_>_{1/2 e ǫ < 1/4, cio`e ǫ < min}_{{1/4, 1/(c2}ξ₎

}. Passo 3 - Consideriamo la funzione

ψ(x, t) = M r 2b (t + r2₎b h k₋ |x| 2 t + r2 + i2 (M, b, r, k > 0) (2.2)

(s+ = s se s > 0, 0 altrimenti) e mostriamo che esiste una costante b > 0

tale che ψt− ∆ψ 6 0. Derivando si ottiene che

∂ψ ∂t = M r2b (t + r2₎b+1 h 2_|x|2 t + r2 k− |x| 2 t + r2 +− b k− |x| 2 t + r2 2 + i ∂2_ψ ∂x2 i = M r 2b (t + r2₎b h 8x2 iχZ (t + r2₎2 − 4 t + r2 k₋ |x| 2 t + r2 + i

dove χZ denota la funzione caratteristica dell’insieme Z ={(x, t) ∈ Rn×

(24)

ψ `e C2_{, ovvero in R}n

× (0, +∞) \ ∂Z. Da ci`o si ricava che per (x, t) ∈ Z si ha ∂ψ ∂t − ∆ψ = M r2b (t + r2₎b+1 k₋ |x| 2 t + r2 +× ×h 2|x| 2 t + r2− b k₋ |x| 2 t + r2 +− 8_|x|2 t + r2 k₋ |x| 2 t + r2 −1 + + 4n i

altrimenti ψt− ∆ψ `e nullo. Definendo |z|2 := |x|2/(t + r2) il termine tra

parentesi quadre diventa per_|z|2_{< k}

2|z|2 − b(k − |z|2₎ − 8|z| 2 k_{− |z|}2+ 4n = = −(b + 2)|z| 4_{+ (2bk}_{− 4n + 2k − 8)|z|}2_{− bk}2_{+ 4nk} k_{− |z|}2 .

Si pu`o verificare che per i valori di b che soddisfano k2+ 4n2+ 16 + 4nk + 16n_{− 8bk − 8k < 0}

tale espressione risulta sempre negativa, per cui esiste b = b(n, k), funzione crescente in k per cui ψ risulta essere una sottosoluzione.

Passo 4 - Si consideri ora la traslazione, che risulta ancora una sottosolu-zione, della funzione ψ introdotta in (2.2) ψ(yo,τo)(x, t) = ψ(x− yo, t− τo)

per i valori

M = 1

2k2(1− so)

−ξ_, _{r = ǫ}1− so

2√k . In tal modo si ottiene che per tutti gli x_{∈ B(y}o,

√ k r) vale u(x, τo) > 1 2(1− so) −ξ_>_ψ (yo,τo)(x, τo)

e inoltre si ha che sul bordo di tale palla ψ(yo,τo)(x, τo) = 0 (mentre la u `e

strettamente positiva). Ci`o implica che in particolare u(·, τ0) > ψ(yo,τo)(·, τ0)

su qualunque sottoinsieme di Rn, dal momento che fuori da B(yo,

√ k r)× {τ0} ψ(yo,τo)`e nulla e u `e non negativa.

Si fissi ϑ > 0 e, per comodit`a, si consideri l’insieme Bϑ(0)× {1} anzich´e

Kϑ(0)× {1}. Lo scopo `e avere una stima dal basso per la funzione u

nel-l’insieme Bϑ(0)× {1}. Per far ci`o `e sufficiente ottenere un controllo di u

tramite ψ sulla frontiera parabolica di un opportuno cilindro contenente propriamente Bϑ(0)× {1}. Sceglieremo allora un valore di k

sufficientemen-te grande da far s`ı che la funzione ψ(yo,τo)sia strettamente positiva in tutto

l’insieme Bϑ(0)× {1}, e un raggio R > ϑ sufficientemente grande da far s`ı

che sul bordo di BR(0)× {2} la funzione ψ(yo,τo) sia nulla.

La scelta dell’insieme BR(0)×{2} `e puramente di comodo; in tal modo il

ci-lindro BR(0)× (τo, 2) contiene Bϑ(0)× {1}. Con una tale scelta di R si avr`a

che ψ(yo,τo)(·, 2) `e nulla su ∂BR(0) e di conseguenza anche in ∂BR(0)×(τo, 2].

Dal principio del confronto (si veda, ad esempio, il Lemma 3.1, cap. VI, in [2]) si potr`a concludere che u > ψ(yo,τo)in BR(0)× (τo, 2), ed in particolare

(25)

su Bϑ(0)× {1}, insieme nel quale ψ(yo,τo) sar`a strettamente positiva.

Per soddisfare la prima delle due richieste `e sufficiente che k− |x − yo| 2 1_{− τ}o+ǫ 2_(1−s o)2 4k > 0 per ogni x∈ ∂Bϑ(0)

il che `e soddisfatto se, ad esempio,

k > (ϑ + 1)2.

Fissiamo per semplicit`a k = (ϑ + 1)2_{. Per quanto riguarda la seconda, si}

dovr`a avere che

k₋ |x − yo| 2 2_{− τ}o+ǫ 2_(1−s_o₎2 4k 60 per ogni x_{∈ ∂B}R(0) .

Ciò in particolare è vero se, supposto che R sarà maggiore di 1, si ha (2₋ τ0)k + ǫ2(1− so)2/4 6 (R− 1)2 6|x − yo|2 per ogni x∈ ∂BR(0); ciò sarà

vero scegliendo R = R(ϑ) in modo tale che R > 1 +p1 + 3(ϑ + 1)2_.

In figura gli archi di parabola delimitano il supporto di ψ(yo,τo)e il segmento

in neretto rappresenta l’insieme Bϑ(0)× {1}. Ricordando che τo∈ (−1, 0]

x t 1 2 Figura 1 e|yo| < 1 si ottiene che u(x, 1) > inf_x∈Bϑ(0)ψ(yo,τo)(x, 1) > > (1_{− s}o)2b−ξ+4 ǫ2b+4 24b+1_{(ϑ + 1)}4+2b 1 122.

Si noti che ǫ dipende da ξ e da n. A questo punto possiamo rendere la stima indipendente da so (che `e l’unico parametro che dipende da u) scegliendo

(26)

la scelta fatta di k. Di conseguenza anche ξ, e quindi ǫ, dipende da ϑ. Si trova quindi all’ultimo membro una costante γ = γ(ϑ) < 1 della forma

γ(ϑ) = c 4(ϑ + 1) ǫ(ϑ)

4+2b(ϑ)

con c costante, b funzione crescente e ǫ decrescente in ϑ, tale che

γ u(x, 1) > 1 per ogni x∈ Bϑ(0) .

La stima del Teorema 1.1.3 qualitativamente dice che se una soluzione u (limitata dal basso) di un’equazione ellittica assume, ad esempio, il valore 1 in un qualche punto, in tutto un intorno di tale punto vale u > γ−1_.

La stima del Teorema 2.2.1 pu`o essere interpretata come segue: se ad un certo istante t0e in un certo punto x0 la temperatura assume, ad esempio,

il valore 1 allora, se aspettiamo un tempo sufficiente, la temperatura ha raggiunto almeno il valore γ−1 _{in tutto un intorno del punto x}₀_{. Questo}

tempo `e “necessario” al calore per diffondersi.

Vediamo ora varie formulazioni equivalenti della disuguaglianza appena provata.

Teorema 2.2.3. Dati Ω aperto di Rn _{e T > 0, siano u una soluzione non}

negativa dell’equazione (2.4) in Ω_{× (0, T ) e (x}0, t0)∈ Ω × (0, T ). ϑ, ρ0> 0,

tali che B2ϑρ0(x0)× (t0− ρ

2

0, t0+ ρ20)⊂ Ω × (0, T ). Sono equivalenti:

i) esiste una costante γ > 1 tale che per ogni ρ 6 ρ0

γ inf

|x−x0|<ϑρ

u(x, t0+ ρ2) > u(x0, t0) ;

ii) detto P_ρ,ϑ+ (x0, t0) l’insieme, disegnato in Figura 2.2,∪0<t<ρBϑt(x0)×

{t0+ t2} esiste una costante γ > 1 tale che per ogni ρ 6 ρ0

γ inf

Pρ,ϑ+ (x0,t0)

u(x, t) > u(x0, t0) ;

iii) esiste una costante γ < 1 tale che per ogni ρ 6 ρ0

γ sup

|x−x0|<ϑρ

u(x, t0− ρ2) 6 u(x0, t0) ;

iv) detto P_ρ,ϑ− (x0, t0) l’insieme, disegnato in Figura 2.2,∪0<t<ρBϑt(x0)×

{t0− t2} esiste una costante γ < 1 tale che per ogni ρ 6 ρ0

γ sup

P− ρ,ϑ(x0,t0)

u(x, t) 6 u(x0, t0) ;

v) fissato σ∈ (0, 1] e detti rispettivamente C+

ϑ,σ,ρ(x0, t0) e Cϑ,σ,ρ− (x0, t0)

(27)

rappresentati in Figura 2.2 esiste una costante γ > 1 tale che sup C− ϑ,σ,ρ(x0,t0) u 6 γ inf C+_ϑ,σ,ρ(x0,t0) u .

Dimostrazione - `E immediato verificare che i) `e equivalente a ii) e che iii) `e equivalente a iv).

Vediamo ora che che da i) segue iii). Si consideri un generico punto (x, t0−

ρ2_{) per x nella palla di centro x}

0 e raggio ϑρ con t0, ϑ, ρ > 0 fissati. Da i)

si ha

u(x, t0− ρ2) 6 γ inf

|y−x|<ϑρu(y, t0) 6 γu(x0, t0) .

Poich´e questo vale per ogni x∈ Bθρ(x0) si ha in realt`a

sup

|x−x0|<ϑρ

u(x, t0− ρ2) 6 γ u(x0, t0) .

Analogamente da iii) segue i).

Vediamo ora che v) `e equivalente ai punti precedenti. Da ii) si ha che esiste γ > 1 tale che per ogni (x, t)_{∈ C}_ϑ,σ,ρ− (x0, t0) si ha

u(x, t) 6 γ inf P_ρ,ϑ+ (x,t) u(y, s) . Poich´e (x0, t0)∈ P_ρ,ϑ+ (x, t) si ha inf P_ρ,ϑ+ (x,t)

u(y, s) 6 u(x0, t0) 6 γ inf P_ρ,ϑ+ (x0,t0) u(y, s) da cui sup (x,t)∈C− ϑ,σ,ρ(x0,t0) u(x, t) 6 γ2 inf (y,s)∈P+ ρ,ϑ(x0,t0) u(y, s) 6γ2 _inf (x,t)∈C+ϑ,σ,ρ(x0,t0) u(x, t) . Viceversa, da v) si ha che sup C− ϑ,σ,ρ(x0,τ0) u 6 γ inf C_ϑ,σ,ρ+ (x0,τ0) u

con τ0> t0+ σρ2. In particolare, scegliendo σ∈ (0, 1/2), si ha

u(x0, t0) 6 γ inf |x−x0|<ϑρ

(28)

(x_0, t_0) Figura 2. L’insieme P_ρ,ϑ+ (x_0, t_0) Figura 3. L’insieme P_ρ,ϑ− (0,0) t = 0

Figura 4. Gli insiemi C+

(29)

2.3. Le classi di De Giorgi (caso p = 2)

Le classi di funzioni per la quali De Giorgi mostra la regolarit`a h¨olderiana, classi che contengono i minimi di certi funzionali (ma anche i quasi-minimi, si veda ad esempio [12]), e di conseguenza le soluzioni di certe equazioni ellittiche, possono essere estese in modo naturale al caso parabolico. Chia-meremo tali classi classi di De Giorgi.

Data una funzione u, con u+ e u− denoteremo rispettivamente la parte

positiva e la parte negativa di u, cio`e

u+(y) := max{u(y), 0} , u−(y) := max{−u(y), 0} .

Spesso in maniera ambigua scriveremo u2

+ o u2− per denotare

u2+(y) := (u+(y))2, u2₋(y) := (u−(y))2.

Definizione 2.3.1. Diremo che una funzione u : Ω×(0, T ) → R appartiene alla classe di De Giorgi DG+(Ω, T, γ) se

u∈ L∞

loc(Ω× (0, T )) ∩ C([0, T ]; L2loc(Ω))∩ L2loc(0, T ; W 1,2 loc(Ω))

ed esiste γ > 0 tale che sup t0−θρ2<t<t0 Z Kρ(x0) (u− k)2 +(·, t)ζ2(·, t)dx+ + ZZ Q− ρ,θ(x0,t0) |D(u − k)+|2ζ2dxdt 6 6γ ZZ Q− ρ,θ(x0,t0) (u− k)2 +(|Dζ|2+ ζζt)dxdt+ + Z Kρ(x0) (u− k)2 +(·, t0− θρ2)ζ2(·, t0− θρ2)dx e sup t0<t<t0+θρ2 Z Kρ(x0) (u_{− k)}2 +(·, t)ζ2(·, t)dx+ + ZZ Q+ ρ,θ(x0,t0) |D(u − k)+|2ζ2dxdt 6 6γ ZZ Q+ ρ,θ(x0,t0) (u_{− k)}2 +(|Dζ|2+ ζζt)dxdt+ + Z Kρ(x0) (u_{− k)}2 +(·, t0)ζ2(·, t0)dx

per ogni k_{∈ R, per ogni (x}0, t0)∈ Ω × (0, T ), per ogni ρ > 0 e θ > 0 per cui

Qρ,θ(x0, t0) = Kρ(x0)× (t0− θρ2, t0+ θρ2) risulta contenuto in Ω× (0, T ),

per ogni funzione test ζ tale che ζ(_{·, t) ∈ W}01,∞(Kρ(x0)),|Dζ|2+ ζζt∈ L∞,

(30)

Analogamente si definisce DG−(Ω, T, γ) sostituendo alla parte positiva di

u_{− k la sua parte negativa.}

Infine definiamo DG(Ω, T, γ) := DG−(Ω, T, γ)∩ DG+(Ω, T, γ).

Per semplicit`a scriveremo solamente DG, DG+, DG− se non ci sar`a

ambi-guit`a.

Le stime della definizione precedente sono anche note come stime dell’ener-gia o stime di Caccioppoli.

Supponiamo che u sia soluzione dell’equazione ut−∆u = 0 in Rn×(0, +∞).

Ci proponiamo di mostrare che u appartiene alle classi di De Giorgi. Fis-siamo a tal proposito un cilindro Kρ× (−ρ2, 0), che `e lecito prendere

cen-trato nell’origine dopo aver effettuato una traslazione. Scegliamo anche una funzione test ζ con le propriet`a elencate nella Definizione 2.3.1. Moltipli-cando l’equazione per (u_{− k)}+ζ2, k∈ R e integrando in Kρ× (−ρ2, s)⊂

Kρ× (−ρ2, 0), otteniamo Z s −ρ2 Z Kρ ut(u− k)+ζ2dxdt = 1 2 Z s −ρ2 Z Kρ d dt(u− k) 2 + ζ2_{dxdt =} =1 2 Z s −ρ2 d dt Z Kρ (u_{− k)}2+ζ2dxdt− Z s −ρ2 Z Kρ (u_{− k)}2+ ζζtdxdt = =1 2 Z Kρ (u− k)2 +(x, s)ζ2(x, s)dx− −1₂ Z Kρ (u− k)2 +(x,−ρ2)ζ2(x,−ρ2)dx− Z s −ρ2 Z Kρ (u− k)2 +ζζtdxdt .

Per quanto riguarda il termine contenente ∆u, integrando per parti e usando la disuguaglianza algebrica−2ab 6 a2_{/2 + 2b}2 _troviamo

Z s −ρ2 Z Kρ ∆u(u_{− k)}+ζ2dxdt = =− Z s −ρ2 Z Kρ |D(u − k)+|2ζ2dxdt+ −2 Z s −ρ2 Z Kρ ζDu, (u_{− k)}+Dζ dxdt 6 6₋ Z s −ρ2 Z Kρ |D(u − k)+|2ζ2dxdt + 1 2 Z s −ρ2 Z Kρ |D(u − k)+|2ζ2dxdt+ +2 Z s −ρ2 Z Kρ (u− k)2 +|Dζ|2dxdt = =₋1 2 Z s −ρ2 Z Kρ |D(u − k)+|2ζ2dxdt + 2 Z s −ρ2 Z Kρ (u_{− k)}2+|Dζ|2dxdt

(31)

Eguagliando i due termini, e poich´e ζt>0, otteniamo

sup s∈(−ρ2_,0) 1 2 Z Kρ (u− k)2 +(x, s)ζ2(x, s)dx + 1 2 ZZ Q− ρ |D(u − k)+|2ζ2dxdt 6 61 2 Z Kρ (u− k)2 +(x,−ρ2)ζ2(x,−ρ2)dx+ (2.1) +2 ZZ Q− ρ (u_{− k)}2 + |Dζ|2+ ζζtdxdt .

La stessa stima si ottiene per (u_{− k)}−, moltiplicando l’equazione per−(u −

k)−ζ2. Di conseguenza la soluzione appartiene alle classi di De Giorgi.

Facilmente si ottiene anche che una soluzione u di

∂u

∂t − div a(x, t, u, Du) = 0 in Ω_{× (0, T )} con Ω aperto di Rn _{e T > 0 e a : Ω} × (0, T ) × R × Rn → R funzione misurabile soddisfacente a(x, t, u, q), q>λ_|q|2 |a(x, t, u, q)| 6 Λ|q|

per ogni q _{∈ R}n_{, per quasi ogni (x, t)}

∈ Ω × (0, T ), λ e Λ costanti positive, appartiene alla classe di De Giorgi sopra definita supposto che λ > 1 (si pu`o definire un’analoga classe DG per ogni λ > 0 leggermente diversa da quella sopra definita e ripetere i ragionamenti che seguono per tale classe). Infatti si ha

Z s −ρ2

Z

Kρ

div a(x, t, u, Du)(u− k)+ζ2dxdt =

=₋λ 2 Z s −ρ2 Z Kρ |D(u − k)+|2ζ2dxdt + 2Λ λ Z s −ρ2 Z Kρ (u_{− k)}2+|Dζ|2dxdt

(32)

e quindi si ottiene sup t0−θρ2<t<t0 Z Kρ(x0) (u_{− k)}2+(·, t)ζ2(·, t)dx+ + ZZ Q− ρ,θ(x0,t0) |D(u − k)+|2ζ2dxdt 6 6 sup t0−θρ2<t<t0 Z Kρ(x0) (u_{− k)}2+(·, t)ζ2(·, t)dx+ + λ ZZ Q− ρ,θ(x0,t0) |D(u − k)+|2ζ2dxdt 6 64Λ λ ZZ Q− ρ,θ(x0,t0) (u_{− k)}2+(|Dζ|2+ ζζt)dxdt+ + Z Kρ(x0) (u_{− k)}2+(·, t0− θρ2)ζ2(·, t0− θρ2)dx

Alla classe di De Giorgi non appartengono solamente “soluzioni”. Si consi-deri una funzione di Carath´edory F = F (x, t, u, q),

F : Ω_{× (0, T ) × R × R}n_{→ R ,}

dove Ω `e un aperto di Rn _{e T > 0, la quale soddisfi le ipotesi di crescita}

λ_|q|2₆_{F (x, t, u, q) 6 Λ}

|q|2

con λ, Λ costanti positive. Si può verificare che se u è un Q-minimo para-bolico, cioè u_{∈ L}2 loc(0, T ; W 1,2 loc(Ω)) e soddisfa − Z K u∂φ

∂tdxdτ + E(u, supp(φ)) 6 Q E(u− φ, supp(φ)) (2.2) per ogni φ∈ C∞

c (Ω× (0, T )) dove E(w, K) =

R

KF (x, t, w, Dw)dxdt e Q∈

R, Q > 1, allora u appartiene alla classe di De Giorgi sopra definita. Si pu`o mostrare che per Q = 1 e F indipendente dal tempo (2.2) si riduce a

∂u ∂t − n X i=1 ∂ ∂xi Fqi(x, u, Du) + Fu(x, u, Du) = 0 .

Se l’operatore Au =−div a(x, u, Du)è il differenziale di Gâteaux di F si ritrova l’esempio precedente e si ha che la soluzione è un Q-minimo para-bolico (con Q = 1).

Tale discorso pu`o essere fatto anche per funzioni u vettoriali con F : Ω× (0, T ) × Rm

× Rnm

→ R , (per tutti questi risultati rimandiamo a [10]).

Vedremo (Teorema 2.3.16) che sar`a sufficiente appartenere alla classe di De Giorgi per soddisfare la disuguaglianza di Harnack.

(33)

Richiamiamo di seguito una versione parabolica della cosiddetta disugua-glianza moltiplicativa dovuta, nella sua forma pi`u generale, a Gagliardo ([9]) e a Nirenberg ([17]).

Per la dimostrazione si veda, ad esempio, la Proposizione 3.1, cap. I, in [2].

Proposizione 2.3.2. Esiste una costante positiva γ1= γ1(n) tale che per

ogni v _{∈ L}∞_{(0, T ; L}2_(Ω)) ∩ L2_{(0, T ; W}1,2 0 (Ω)), risulta ZZ Ω×(0,T )|v(x, t)| q_{dxdt 6} 6γq1 ZZ Ω×(0,T )|Dv(x, t)| 2_dxdt sup 0<t<T Z Ω|v(x, t)| 2_dx 2 n dove q = 2(n + 2)/n.

Anche il prossimo lemma rappresenta uno strumento utile per il seguito.

Lemma 2.3.3. Sia (yh)h una successione di numeri reali positivi tali che

yh+16c bhyh1+α con c > 0, b > 1, α > 0. Se y06c−1/αb−1/α 2 allora lim h→+∞yh= 0 .

Dimostrazione - Si pu`o dimostrare facilmente per induzione la stima (si veda anche il Lemma 7.1 in [12])

yh6b−

h αy

0

dalla quale si deduce che limhyh= 0.

In alternativa, una maniera diretta (suggerita da Giorgio Ermanno Gustavo Leopoldo Metafune) di provare la tesi `e la seguente. Definiamo xh= log yh

(34)

e γ = 1 + α. Si ha allora

xh+1 6 log c + h log b + γxh6

6 log c + h log b + γ[log c + (h− 1) log b + γxh−1] =

= (1 + γ) log c + [h + (h_{− 1)γ] log b + γ}2_x h−16 6 . . . 6 log c h X k=0 γk+ log b h X k=1 kγh−k+ γh+1x06 6 1 1−γlog c− γh+1 1−γ log c+ + log b h X k=1 kγh−k+ γh+1₍ −α1log c− 1 α2 log b)x0= = _1−γ1 log c + log b h X k=1 kγh−k− γh+1log b α2 .

CalcolandoPh_k=1kγh−k_{si ottiene [h}_{−(h+1)γ+γ}h+1_]/(γ₋₁₎2_{. Poich´e α}2₌

(γ−1)2_{, da cui log b}Ph

k=1kγh−k−γh+1α−2log b = log b[h−(h+1)γ]/(γ−1)2,

si ottiene che il termine a destra e, di conseguenza, xh= log yh divergono a

−∞.

Proposizione 2.3.4. Si considerino θ > 0 e ρ > 0 in modo tale che il cilindro Q−_ρ,4θ(y, s) sia contenuto in Ω_{× (0, T ). Allora per ogni scelta di} a, σ _{∈ (0, 1) e ˜θ ∈ (0,}1

4θ) esiste ν+, dipendente solo da n, γ, a, ˜θ, tale che

per ogni u_{∈ DG}+(Ω, T, γ) e fissati µ+, ω soddifacenti

µ+> sup Q− ρ,θ(y,s) u , ω > osc Q− ρ,θ(y,s) u . si ha che se {(x, t) ∈ Q−_ρ,θ(y, s)| u(x, t) > µ+− σω} 6ν+|Q−ρ,θ(y, s)| allora

u(x, t) 6 µ+− a σ ω per q.o. (x, t)∈ Kρ/2(y)× (s − ˜θρ2, s) .

Osservazione 2.3.5. - Dalla dimostrazione si ricava che ν+`e proporzionale

a ˜θn/2_.

(35)

possibile tramite una traslazione). Definiamo, per h_{∈ N,}

ρh= ρ 2 + ρ 2h+1, θh= θ 2h + 4˜θ 1₋ 1 2h , Kh= Kρh(0), Q−h := Kh× (−θhρ 2 h, 0], σh= a σ + 1_{− a} 2h σ , kh= µ+− σhω .

Consideriamo una successione di funzioni test ζh(x, t) = ζ1,h(x)ζ2,h(t), tali

che 0 6 ζ1,h(x), ζ2,h(t) 6 1 e ζ1,h(x) = ( 1 se x_{∈ K}h+1 0 se x_{∈ R}n \ Kh ζ2,h(t) = ( 1 se t >_−θh+1ρ2h+1 0 se t 6_−θhρ2h |Dζ1,h(x)| 6 2 ρh− ρh+1 =2 h+3 ρ , 0 6 (ζ2,h)t(t) 6 2h+1 ˜ θρ2 .

Applicando le stime dell’energia in Q−_h alla funzione (u_{− k}h)+ζhtroviamo

sup −θhρ2h<t<0 Z Kh (u_{− k}h)2+(x, t)ζh2(x, t)dx + ZZ Q− h |D(u − kh)+|2ζh2dxdt 6 6_γ ZZ Q− h (u− kh)2+(|Dζh|2+ ζh(ζh)t)dxdt + Z Kh (u_{− k}h)2+(x,−θhρh2)ζh2(x,−θhρ2h)dx 6γ2 2h+6 ρ2 1 +1_˜ θ ZZ Q− h (u_{− k}h)2+dxdt . (2.3) Definiti Ah={(x, t) ∈ Q−h| u(x, t) > kh} si ha ZZ Q− h (u_{− k}h)2+ζh2dxdt > ZZ Q− h+1 (u_{− k}h)2+dxdt > ZZ Ah+1 (u_{− k}h)2+dxdt > >(kh+1− kh)2|Ah+1| = ((1− a) σ ω) 2 22h+2 |Ah+1| . (2.4)

(36)

D’altra parte, applicando prima la disuguaglianza di H¨older e quindi la Proposizione 2.3.2, abbiamo ZZ Q− h (u_{− k}h)2+ζh2dxdt 6|Ah| 2 2+n ZZ Q− h (u_{− k}h)+ζh 2(n+2)n _dxdt n n+2 6 6γ12|Ah| 2 2+n sup −θhρ2h<t<0 Z Kh (u_{− k}h)2+ζh2dx 2 n+2 × × ZZ Q− h |D[(u − kh)+ζh]|2dxdt n n+2 6 62n+2n γ2 1|Ah| 2 2+n sup −θhρ2h<t<0 Z Kh (u_{− k}h)2+ζh2dx 2 n+2 × × ZZ Q− h |D(u − kh)+|2ζh2dxdt + 22h+6 ρ2 ZZ Q− h (u− kh)2+dxdt n n+2 .

Continuiamo utilizzando (2.3) e la stimaRR_Q− h(u−kh) 2 +dxdt 6|Ah| (σhω)26 |Ah| (σω)2. Si ottiene ZZ Q− h (u_{− k}h)2+ζh2dxdt 6 c′ 1 +1 ˜ θ 22h+6 ρ2 (σω) 2 |Ah|1+ 2 n+2 (2.5) dove c′ _{= 4}n+2n γ2

1max{1, γ}. Pertanto, dal confronto di (2.4) e (2.5)

rica-viamo |Ah+1| 6 c′ 1 + 1_˜ θ ₂4h+8 (1_{− a)}2_ρ2|Ah| 1+ 2 2+n .

Ponendo yh=|Ah|/|Q−_h| e tenendo conto del fatto che |Q−_h| = 2n+2ρn+2_h θ,˜

abbiamo yh+16c′′ 1 + 1_˜ θ _θ˜n+22 (1_{− a)}2 | {z } c 24h | {z } bh y1+ 2 2+n h (2.6)

con c′′_{> c}′ _{dipendente solo da γ, n e quindi c = c(γ, n, a, ˜}_{θ). Siamo quindi}

nelle ipotesi del Lemma 2.3.3 con c e b definiti in (2.6) e α = 2/(n + 2). Pertanto se y06c− 1 αb− 1 α2

si ottiene che lim

h→+∞yh= 0. Ricordando che Q0= Kρ(0)× (−θρ2, 0], y0= |A0| |Q0|, A0={(x, t) ∈ Q0| u(x, t) > µ+− σω} , si ha che scegliendo ν+= c′′′ (1− a) n+2_θ_˜n 2 (1 + ˜θ)n+22 ,

(37)

con c′′′ _{dipendente solo da γ, n (ν}₊_{= ν}₊_{(γ, n, a, θ)), se}

|A0| 6 ν+|Q0|,

si deduce che lim

h→∞yh= 0. Per la definizione di yhe Ah si conclude che

u 6 µ+− aσ ω q.o. in Kρ/2(0)× (−˜θρ2, 0] .

Analogamente vale il seguente risultato.

Proposizione 2.3.6. Si considerino θ > 0 e ρ > 0 in modo tale che il cilindro Q−ρ,4θ(y, s) sia contenuto in Ω× (0, T ). Allora per ogni scelta di

a, σ ∈ (0, 1) e ˜θ ∈ (0,1

4θ) esiste ν−, dipendente solo da n, γ, a, ˜θ, tale che

per ogni u_{∈ DG}₋(Ω, T, γ) e fissati µ−_{, ω soddifacenti}

µ₋ 6 inf Q− ρ,θ(y,s) u , ω > osc Q− ρ,θ(y,s) u . si ha che se

{(x, t) ∈ Q−_ρ,θ(y, s)| u(x, t) < µ₋+ σω} 6ν₋|Q−_ρ,θ(y, s)| allora

u(x, t) > µ−+ a σ ω per q.o. (x, t)∈ Kρ/2(y)× (s − ˜θρ2, s) .

Dimostrazione - `E sufficiente procedere come nella dimostrazione della Proposizione 2.3.4, considerando (u − ˜kh)− al posto di (u− kh)+, dove

˜

kh= µ−+ σhω.

Ci occupiamo ora di dimostrare un altro risultato preliminare. L’enunciato che segue vale solo per p > 1, ma un risultato analogo pu`o essere provato anche per p = 1. Per tale dimostrazione rimandiamo a [4].

Lemma 2.3.7. Sia v_{∈ W}1,p_(K ρ), p > 1, tale che Z Kρ |Dv|p_{dx 6 β}p_ρn−p _e _x_{∈ K} ρ v(x) > 1 > α|Kρ|

per β > 0 e α_{∈ (0, 1). Allora per ogni η, λ ∈ (0, 1) esistono x}∗_{∈ K}_ρ_{, δ > 0,}

dipendenti da n, β, α, λ, η tali che

x∈ Kδρ(x∗)

v(x) > λ > (1− η)|Kδρ(x∗)| .

Osservazione 2.3.8. - Ovviamente ci si riduce facilmente al caso pi`u ge-nerale in cui v `e come nel lemma precedente, ma soddisfa_|x_{∈ K}ρ

v(x) > a | > α|Kρ| (a > 0) e λ ∈ (0, a) considerando w = v/a.

(38)

Analogamente si pu`o mostare che, se v `e come nel lemma precedente, ma soddisfa _{|{x ∈ K}ρ| v(x) < a}| > α|Kρ| allora per ogni η ∈ (0, 1) e λ > a

esistono x∗_{∈ K}_ρ_{, δ > 0, dipendenti da n, β, α, λ, η tali che}

x∈ Kδρ(x∗)

v(x) < λ > (1− η)|Kδρ(x∗)| .

Osservazione 2.3.9. - Si noti che se v∈ W1,p_(K

ρ), definita ˜v(y) := v(ρy)

per y∈ K1(0), si ha che Z Kρ |Dxv(x)|pdx = ρn−p Z K1 |Dy˜v(y)|pdy

Dimostrazione - Ci limitiamo a fornire la dimostrazione nel caso n = 2, dato che il caso generale pu`o essere mostrato per induzione. Supponiamo dapprima che v_{∈ C}1_(K

ρ)∩ W1,p(Kρ). Indichiamo con x, y le coordinate in

R2_{. Poniamo} Y (x) ={y ∈ (−ρ, ρ) | v(x, y) > 1} . Poich´e Z ρ −ρ|Y (x)|dx = |K ρ∩ {v > 1}|

e, per ipotesi,_|Kρ∩ {v > 1}| > α|Kρ| = 4αρ2 esister`a x0∈ (−ρ, ρ) tale che

|Y (x0)| > 2αρ . (2.7)

Per ogni y_{∈ Y (x}0) e δ1> 0 definiamo

Iδ1ρ(y) = [x0− δ1ρ, x0+ δ1ρ]× {y} . Si fissi λ in (0, 1). Definiamo Yδ1,λ(x0) = n y_{∈ Y (x}0) v(x, y) > 1

2(λ + 1) , per ogni x∈ Iδ1ρ(y)

o . 1◦_{passo - Mostriamo che per ogni η}

1< 1 esiste δ1> 0 tale che

|Yδ1,λ(x0)| > (1 − η1)|Y (x0)| . (2.8)

Sia Yc

δ1,λ(x0) := Y (x0)\ Yδ1,λ(x0). Se esiste δ1 > 0 per cui Y

c

δ1,λ(x0) = ∅

abbiamo finito. Altrimenti esiste y_{∈ Y}c

δ1,λ(x0) e ¯x tali che (¯x, y)∈ Iδ1ρ(y)

e v(¯x, y) 6 (λ + 1)/2. Poich´e v(x0, y) > 1 si ha 1_{− λ} 2 < v(x0, y)− v(¯x, y) = Z x0 ¯ x vx(s, y)ds . Integrando in y∈ Yc δ1,λ(x0) si ha 1_{− λ} 2 |Y c δ1,λ(x0)| 6 6 Z Yc δ1,λ(x0) dy Z δ1ρ −δ1ρ |Dv(s, y)|ds 6 |Yc δ1,λ(x0)|2δ1ρ 1−1/p kDvkLp_(K_ρ₎

(39)

da cui si deduce, grazie alle ipotesi (si ricordi che n = 2), 1_{− λ} 2 p |Yc δ1,λ(x0)| 6 (2δ1ρ) p−1 ₆ 6_kDvkp Lp_(K_ρ₎6(2δ1ρ)p−1βpρ2−p6 (2δ1)p−1βp 2α |Y (x0)| . Pertanto, per ogni η1∈ (0, 1) esiste δ1 per il quale vale (2.8).

2◦ _{passo - Ora fissiamo y}

0 ∈ Yδ1,λ(x0) cosicch´e v(x0, y0) > 1 e v(x, y0) >

(λ + 1)/2 per ogni x_{∈ I}δ1ρ(y0). Per δ2> 0 poniamo

Jδ2ρ(x) ={x} × [y0− δ2ρ, y0+ δ2ρ] . Sia Xδ2,λ(y0) = n x∈ Iδ1ρ(y0) v(x, y) > λ per ogni y ∈ Jδ2ρ(x) o . Mostriamo che per ogni η2∈ (0, 1) esiste δ2> 0 tale che

|Xδ2,λ(y0)| > (1 − η2)|Iδ1ρ(y0)| . (2.9)

Se esiste δ2> 0 per il quale Xδ2,λ(y0) = Iδ1ρ(y0) abbiamo finito. Altrimenti,

definito Xc

δ2,λ(y0) := Iδ1ρ(y0)\ Xδ2,λ(y0), esiste x∈ X

c

δ2,λ(y0) e ¯y tali che

(x, ¯y)_{∈ J}δ2ρ(x) tale che v(x, ¯y) 6 λ. Ne segue che

1_{− λ} 2 6v(x, y0)− v(x, ¯y) = Z y0 ¯ y vy(x, s)ds

per cui integrando in Xc δ2,λ(y0) 1_{− λ} 2 |X c δ2,λ(y0)| 6 Z Xc δ2,λ(y0) dx Z δ2ρ −δ2ρ |Dv(x, y)|dy 6 6 _|X_δc₂_,λ(y0)|2δ2ρ1−1/pkDvkLp_(K_ρ₎ il che implica 1_{− λ} 2 p |Xc δ2,λ(y0)| p₆_(4δ 1δ2ρ2)p−1βpρ2−p6 (2δ1)p−1βp 2α |Y (x0)| da cui |Xδ2,λ(y0)| > (1 − η2)|Iδ1ρ(y0)| (2.10) se δ2`e sufficientemente piccolo.

A questo punto, scegliendo eventualmente δ2 minore, possiamo assumere

che δ1/δ2sia un intero. Consideriamo l’intervallo Iδ1ρ(y0) ed una sua

parti-zione in δ1/δ2sottointervalli di ampiezza 2δ2ρ. Siano (xi, y0) i centri di tali

sottointervalli. In virt`u di (2.10) `e possibile trovare x∗_{∈ {x}₁_{, . . . , x}

δ1/δ2} in

modo tale che |(x∗_−δ

2ρ, x∗+δ2ρ)∩Xδ2,λ(y0)| > 2 δ2ρ (1−η2)|Iδ1ρ(y0)| = 4 δ1δ2ρ

2₍₁

(40)

Scegliendo y∗_{= y}₀_{, considerando il cubo K}_δρ_(x∗_{, y}∗_{) dove δ = min}_{δ₁_{, δ}₂_},

il cui volume `e 4δ2_ρ2_{, ponendo η = η}

2, dalla definizione di Xδ2,λ(y0) segue

che (x, y)∈ Kδρ(x∗, y∗) v(x, y) > λ > (1− η)|Kδρ(x∗, y∗)| . Sia ora v _{∈ W}1,p_(K

ρ). Possiamo allora trovare una successione (vh)h ⊂

C1_(K

ρ)∩ W1,p(Kρ) e una successioni di insiemi (Ah)h, Ah⊂ Kρ, tali che

|Ah| + kvh− v(h)kL∞_(K ρ\Ah)+kvh− v (h) kW1,p_(K_ρ₎< 1 h dove v(h) = v + 2 h.

Supponiamo che v soddisfi le ipotesi del lemma, cio`e esistano β > 0 e α∈ (0, 1) tali che Z Kρ |Dv|p_{dx 6 β}p_ρn−p _e _x_{∈ K} ρ v(x) > 1 > α|Kρ| .

Si osservi che, per come sono state scelte le funzioni vh, si ha che

i) x_{∈ K}ρ\ Ah

vh(x) > 1 ⊇x∈ Kρ\ Ah

v(x) > 1 . In particolare dalla scelta degli Ah e da i) si ottiene che

Z Kρ |Dvh|pdx 6 βpρn−p+ 1 h e x∈ Kρ vh(x) < 1 > α|Kρ| − 1 h. Allora, fissati η, λ_{∈ (0, 1), esistono x}∗

h∈ Kρ, δh> 0 tali che

x_{∈ K}δhρ(x∗h)

vh(x) > λ > (1− η)|Kδhρ(x∗h)| .

Inoltre possiamo supporre, poich´e δh non dipende da vh, infhδh > 0. Di

conseguenza esister`a δ > 0 tale che, a meno di estrarre una sottosuccessione, δh→ δ > 0 .

Analogamente, a meno di sottosuccessioni, x∗h→ x∗∈ Kρ.

Ancora per la scelta delle funzioni vh si ha che

ii) x_{∈ K}δhρ(x∗h)\ Ah vh(x) > λ ⊆x_{∈ K}δhρ(x∗h)\ Ah v(x) +3_h > λ Poich´e Kδhρ(x∗h)⊂ Kρ(0) si ottiene che x∗ `e il centro di un cubo di raggio

δρ contenuto in Kρ. Si ottiene allora usando ii), che

x∈ Kδhρ(x∗h) v(x) +3_h > λ > x∈ Kδhρ(x∗h)\ Ah v(x) +3_h > λ > x∈ Kδhρ(x∗h)\ Ah vh(x) > λ > (1_{− η)|K}δhρ(x∗h)|

(41)

Il risultato enunciato di seguito riguarda la cosiddetta espansione della positivit`a.

Proposizione 2.3.10. Esiste θ∈ (0, 1) (dipendente da γ) tale che per ogni ˜

θ_{∈ (0, θ) esiste λ ∈ (0, 1) (dipendente da ˜θ e θ) in corrispondenza del quale} si ha che per ogni (x∗_{, t}∗₎_{∈ Ω×(0, T ), ρ > 0 con K}_5ρ_(x∗₎_×(t∗_−ρ2_{, t}∗_+ρ2₎_⊂

Ω× (0, T ), per ogni u ∈ DG(Ω, T, γ), per ogni h > 0, se u(x, t∗_{) > h} _{q.o. in K}

ρ(x∗)

allora

u(x, t) > λh q.o. in K2ρ(x∗) , per ogni t∈ [t∗+ ˜θρ2, t∗+ θρ2] .

Osservazione 2.3.11. - Fissato (x∗_{, t}∗₎_{∈ Ω × (0, T ), fissato h > 0 e posto}

Ah,ρ(x∗, t∗) ={x ∈ Kρ(x∗)| u(x, t∗) < h}, (2.11)

si osservi che la condizione u(x, t∗_{) > h per ogni x} _{∈ K}

ρ(x∗) implica

Ah,4ρ(x∗, t∗)⊂ K4ρ(x∗)\ Kρ(x∗) e quindi

|Ah,4ρ(x∗, t∗)| 6 (1 − 4−n)|K4ρ(x∗)| .

La dimostrazione della Proposizione 2.3.10 richiede dei lemmi preliminari. Lemma 2.3.12. Esistono θ, η _{∈ (0, 1) tali che, dati h > 0 e u > 0 in} DG(Ω, T, γ) per cui valga

u(x, t∗) > h q.o. in _{∈ K}ρ(x∗) . si ha che |Aηh,4ρ(x∗, t)| < 1₋ 1 4n+1 |K4ρ| per ogni t∈ (t∗, t∗+ θρ2) .

Osservazione 2.3.13. - Analogamente si pu`o mostrare che esistono θ, η_∈ (0, 1) per i quali, data u > 0 in DG(Ω, T, γ) e dati h > 0 e α > 1 tali che u(x, t∗_{) > h per ogni x}_{∈ K}_ρ_(x∗_{), si ha}

|Aηh,αρ(x∗, t)| < 1₋ 1 αn+1 |Kαρ| per ogni t∈ (t∗, t∗+ θρ2) .

La scelta di α = 4 nell’enunciato del lemma precedente `e solamente una scelta di comodo funzionale all’uso poi della Proposizione 2.3.6 (usata nel-l’insieme Q−_4ρ,θ(y, s)) per mostrare la Proposizione 2.3.10.

Dimostrazione - Assumiamo per semplicit`a che (x∗_{, t}∗_{) = (0, 0).}

Suppo-niamo anche h = 1, altrimenti `e sufficiente considerare la funzione u/h. Infine con il cambio di variabile ξ = x/4ρ, τ = t/ρ2 _{possiamo assumere}

(42)

Applichiamo le stime dell’energia (2.1) con ζ = ζ(x), ζ _{∈ W}01,∞(K1(0)), ζ = 1 in K1−σ(0) e 0 6 ζ 6 1, |Dζ| 6 2/σ, con σ ∈ (0, 1). Si ha sup 0<t<θ Z K1(0) (u_{− 1)}2₋(x, t)ζ2(x)dx + Z θ 0 Z K1(0) |D(u − 1)−|2ζ2dxdt 6 6 Z K1(0) (u_{− 1)}2₋(x, 0)ζ2(x)dx + γ Z θ 0 Z K1(0) (u_{− 1)}2₋_|Dζ|2dxdt . Siccome u > 1 in K1/4(0) dall’Osservazione 2.3.11 si deduce che

|{x ∈ K1(0)| u(x, 0) < 1}| < 1 − 4−n

|K1(0)| .

Si osservi che, poich´e u > 0, (u_{− 1)}−61. Si ha quindi

sup 0<t<θ Z K1−σ(0) (u_{− 1)}2₋(x, t)ζ2(x)dx 6 6 Z K1(0) (u_{− 1)}2 −(x, 0)ζ2(x)dx + γ Z θ 0 Z K1(0) (u_{− 1)}2 −|Dζ|2dxdt 6 6 1− 4−n₂n₊4 γ θ 2n σ2

Scrivendo semplicemente Ah,ρ(t) in vece di Ah,ρ(0, t) e con la

decomposi-zione Aη,1(τ ) = Aη,1−σ(τ )∪ {x ∈ K1(0)\ K1−σ(0)| u(x, τ) < η} si ottiene |Aη,1(τ )| 6 |Aη,1−σ(τ )|+|K1(0)\K1−σ(0)| 6 |Aη,1−σ(τ )|+2n 1−(1−σ)n . D’altra parte Z K1−σ(0) (u_{− 1)}2₋(x, τ )dx > > Z Aη,1−σ(τ ) (u_{− 1)}2 −(x, τ )dx > (1− η)2|Aη,1−σ(τ )| . Infine, poich´e 1_{− (1 − σ)}n₆_{n σ e ζ} ≡ 1 in K1−σ(0), |Aη,1(τ )| 6 |Aη,1−σ(τ )| + ωn 1− (1 − σ)n 6 6 (1− η)−2Z K1−σ(0) (u− 1)2 −(x, τ )dx + ωn 1− (1 − σ)n6 6 (1− η)−2 4 γ θ σ2 + 1− 4−n+ nσ 2n. (2.12) Ora, se per assurdo la tesi non fosse vera, per ogni θ, η_{∈ (0, 1) esisterebbe} un ¯t_{∈ (0, θ) tale che}

|Aη,1(t)| > 1 − 4−n−1

|K1| .

Applicando la stima (2.12) per τ = ¯t avremmo 1− 4−n−1₂n₆

(43)

Poiché ciò è indipendente da ¯t, scegliendo, ad esempio, θ = σ3 _{e mandando}

η e σ a zero si avrebbe 1_{− 4}−n−1₆₁_{− 4}−n_.

Ricordiamo un fatto preliminare utile per dimostrare il lemma che segue. (si vedano, ad esempio, il Lemma 2.2, l’Osservazione 2.3 e l’Osservazione 2.4 della prefazione in [2]).

Lemma 2.3.14. Siano v _{∈ W}1,1_(B

ρ(xo)) per qualche ρ > 0 e xo ∈ Rn,

k, l_{∈ R con k < l. Esiste una costante c, dipendente solo da n, tale che} (l− k)|{v > l}| 6 c ρ

n+1

|{v < k}| Z

{k<v<l}|Dv|dx .

Lemma 2.3.15. Si consideri θ determinato dal Lemma 2.3.12. Siano u > 0 in DG(Ω, T, γ), h > 0. Per ogni ǫ > 0 esiste η1= η1(ǫ, n, γ, θ)∈ (0, 1) tale

che [u < η1h]∩ K4ρ(x∗)× (t∗, t∗+ θρ2) < ǫK4ρ(x∗)× (t∗, t∗+ θρ2) .

Dimostrazione - Supponiamo per semplicit`a che (x∗_{, t}∗_{+ θρ}2_{) = (0, 0).}

Scriviamo le stime dell’energia su K5ρ× (−2θρ2, 0) con ζ tale che ζ≡ 1 su

K4ρ× (−θρ2, 0), ζ≡ 0 fuori da K5ρ× (−2θρ2, 0), 0 6 ζ 6 1 e

|Dζ| 6 _ρ2, 0 6 ζt6

4 θρ2,

con livello k = ηh2−m_{, dove η > 0 e m}_{∈ N. Allora}

Z 0 −θρ2 Z K4ρ D u₋ ηh 2m − 2 (x, t)dxdt 6 6γ Z 0 −2θρ2 Z K5ρ u−₂ηhm 2 − |Dζ| 2_{+ ζ} tdxdt 6 6γ 4 ρ2 1 +1 θ Z 0 −2θρ2 Z K5ρ u−₂ηhm 2 −dxdt 6 (2.13) 64γ ρ2 1 +1 θ η2_h2 22m 2θρ 2 |K5ρ| = 4γ (1 + θ) η2_h2 22m10 n_ρn_.

Scrivendo semplicemente Ah,ρ(t) in vece di Ah,ρ(0, t), dal Lemma 2.3.14

(scegliendo k = ηh/2m_{e l = ηh/2}m−1_{) si ha} Z K4ρ u−₂ηhm −(x, τ )dx 6 ηh 2m|Aηh 2−m,4ρ(τ )| 6 6 c ρ n+1 |K4ρ\ Aηh 2−m+1_,4ρ(τ )| Z A_{ηh 2}−_m+1,4ρ(τ )\A_{ηh 2}−_m,4ρ(τ ) |Du(x, τ)|dx , (2.14)

(44)

per ogni τ _{∈ (−θρ}2_{, 0). Siccome K}

4ρ\Aηh 2−m+1_,4ρ(τ )⊇ K_4ρ\A_ηh,4ρ(τ ),

sce-gliendo η che soddisfi la tesi del Lemma 2.3.12 e scrivendo_|K4ρ\Aηh,4ρ(τ )|+

|K4ρ| = (1 − 4−n−1+ 4−n−1)|K4ρ| dal Lemma 2.3.12 si deduce che per ogni

τ∈ (−θρ2_{, 0)} |K4ρ\ Aηh,4ρ(τ )| > 4−n−1|K4ρ| = 2n−2ρn. Troviamo allora Z K4ρ u−₂ηhm −(x, τ )dx 6 c 2n−2ρ Z A_{ηh 2}−_{m+1 ,4ρ}(τ )\A_{ηh 2}−_{m ,4ρ}(τ ) |Du(x, τ)|dx .

Integrando in τ la stima precedente e definendo la successione decrescente am:= Z 0 −θρ2|Aηh 2 −m_,4ρ(τ )|dτ = = n (x, t)_{∈ K}4ρ× (−θρ2, 0) u(x, t) < ηh 2m o , otteniamo Z 0 −θρ2 Z K4ρ u₋ ηh 2m −(x, τ )dxdτ 6 6 c 2n−2ρ Z 0 −θρ2 Z A_{ηh 2}−_{m+1 ,4ρ}(τ )\A_{ηh 2}−_{m ,4ρ}(τ ) |Du(x, τ)|dxdτ (2.15) 6 c 2n−2ρ Z 0 −θρ2 Z K4ρ D u₋ηh 2m − 2 dxdτ 1 2 (a_m−1_{− a}m) 1 2. D’altra parte Z 0 −θρ2 Z K4ρ u−₂ηhm −(x, τ )dxdτ > ηh 2m+1am+1.

Da quest’ultima stima, usando prima (2.15) e poi (2.13), si ottiene a2m+16γ (am−1− am)|K4ρ× (−θρ2, 0)|,

con γ = γ(c, n, θ, γ), per cui per ogni m∗∈ N si ha m∗ X m=1 a2 m+16γ (a0− am∗)|K4ρ× (−θρ 2_{, 0)} |.

Dalla decrescenza di _{am}m si ricava che la serie P∞m=1a2m+1 converge,

limmam= 0, e quindi la tesi.

Dimostrazione della Proposizione 2.3.10 - Ragionando come nella Proposi-zione 2.3.6, si pu`o provare che per ogni a∈ (0, 1) e ˜θ ∈ (0, θ) esiste ¯ν ∈ (0, 1), dipendente solo da γ, n, a e da ˜θ, tale che se K4ρ(y)×(s−θρ2, s)⊂ Ω×(0, T )

(45)

quasi ovunque in K2ρ(y)× (s − (θ − ˜θ)ρ2, s). Per concludere, basta

allo-ra consideallo-rare y = x∗_{, s = t}∗_{+ θρ}2_{, prendere nel Lemma 2.3.15 ε = ¯}_ν,

dove ¯ν `e determinato, per esempio, in corrispondenza della scelta a = 1₂ e k = η1h. In questo modo ricaviamo che u > 1₂η1h quasi ovunque in

K2ρ(x∗)× [t∗+ ˜θρ2, t∗+ θρ2]. Denotando λ = 1₂η1si ha la tesi.

Teorema 2.3.16. Per ogni costante c2∈ (0, 1] esiste γ > 0, γ dipendente

solo da n, γ, tale che per ogni u _{∈ DG(Ω, T, γ), u > 0, per ogni (x}0, t0) ∈

Ω_{× (0, T ) e ρ > 0 con K}5ρ(x0)× (t0− ρ2, t0+ ρ2)⊂ Ω × (0, T ), risulta

u(x0, t0) 6 γ inf Kρ(x0)

u(x, t0+ c2ρ2) .

Osservazione 2.3.17. - La limitazione su c2 serve solamente a garantire

che i punti (x, t0+ c2ρ2), con x∈ Kρ(x0), stiano in Ω× (0, T ).

Dimostrazione - Considereremo u continua per semplicit`a, ma il risultato vale per una qualunque u nella classe DG.

Come al solito, per semplicit`a, supporremo (x0, t0) = (0, 0), ρ = 1, u(0, 0) =

1. L’insieme di definizione della funzione u sar`a allora Ω−{x0}×(−t0, T−t0)

e mostreremo che esistono γ e c2 tali che

u(0, 0) 6 γ inf

K1(0)

u(x, c2) .

Definiamo le due funzioni

M(s) := sup

Q− s(0,0)

u , N(s) = (1_{− s)}−ξ

dove ξ `e una costante positiva che determineremo in seguito. Denotiamo con so la soluzione pi`u grande dell’equazione M (s) = N (s) (so∈ [0, 1)).

Dalla continuit`a di u si ha che esiste (yo, τo) nella chiusura di Q−so(0, 0) tale

che