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Applicazioni lineari

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Academic year: 2021

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(1)

Francesco Daddi - 3 dicembre 2009

Esercizio svolto sulle applicazioni lineari

Consideriamo l’endomorfismo f di R3 tale che: f   1 3 5  =   2 0 1   ; f   2 −1 2  =   1 1 1   ; f   0 1 1  =   0 3 −1   ;

vogliamo determinare la matrice A che rappresenta l’endomorfismo rispetto alla base canonica di

R3

in partenza e in arrivo.

Soluzione.Osserviamo prima di tutto che la f `e definita su una base di R3

, quindi `e ben definita. Prendiamo ora i vettori della base canonica di R3

e cerchiamo di scriverli come combinazione lineare della base formata dai vettori

  1 3 5   ,   2 −1 2  ,   0 1 1   si trova che   1 0 0  = (−3) ·   1 3 5  + 2 ·   2 −1 2  + 11 ·   0 1 1     0 1 0   = (−2) ·   1 3 5  + 1 ·   2 −1 2  + 8 ·   0 1 1     0 0 1  = 2 ·   1 3 5  + (−1) ·   2 −1 2  + (−7) ·   0 1 1  

applicando l’endomorfismo f alle seguenti uguaglianze e sfruttando la linearit`a di f troviamo:

f   1 0 0  = (−3) · f   1 3 5  + 2 · f   2 −1 2  + 11 · f   0 1 1   f   0 1 0  = (−2) · f   1 3 5  + 1 · f   2 −1 2  + 8 · f   0 1 1   f   0 0 1  = 2 · f   1 3 5  + (−1) · f   2 −1 2  + (−7) · f   0 1 1   quindi, sfruttando le informazioni del testo dell’esercizio, abbiamo:

f   1 0 0  = (−3) ·   2 0 1  + 2 ·   1 1 1  + 11 ·   0 3 −1  

(2)

f   0 1 0  = (−2) ·   2 0 1  + 1 ·   1 1 1  + 8 ·   0 3 −1   f   0 0 1  = 2 ·   2 0 1  + (−1) ·   1 1 1  + (−7) ·   0 3 −1   svolgendo i calcoli troviamo:

f   1 0 0  =   −4 35 −12   ; f   0 1 0   =   −3 25 −9   ; f   0 0 1  =   3 −22 8   . La matrice A che rappresenta f rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo `e

A=   −4 −3 3 35 25 −22 −12 −9 8   possiamo verificare il risultato ottenuto:

  −4 −3 3 35 25 −22 −12 −9 8     1 3 5  =   2 0 1   ;   −4 −3 3 35 25 −22 −12 −9 8     2 −1 2   =   1 1 1   ;   −4 −3 3 35 25 −22 −12 −9 8     0 1 1  =   0 3 −1   . 2

(3)

Derivate e integrali

Francesco Daddi - 10 dicembre 2009

Sono assegnate le due applicazioni lineari T : R3[t] −→ R2[t] e S : R2[t] −→ R3[t] cos`ı definite:

T : p(t) 7−→ p′(t) ; S :                1 7−→ t t 7−→ t 2 2 t2 7−→ t 3 3 .

a) Si scriva la matrice associata a T rispetto alla base canonica di R3[t] in partenza e alla base

canonica di R2[t] in arrivo.

b) Si scriva la matrice associata a S rispetto alla base canonica di R2[t] in partenza e alla base

canonica di R3[t] in arrivo.

c) Si scriva la matrice associata a (T ◦ S) rispetto alla base canonica di R2[t] in partenza e in arrivo.

d) Si scriva la matrice associata a (S ◦ T ) rispetto alla base canonica di R3[t] in partenza e in arrivo.

Soluzione. a) Vediamo l’immagine mediante T dei polinomi che costituiscono la base canonica di R3[t] :                1 7−→T 0 = 0 · 1 + 0 · t + 0 · t2 t 7−→T 1 = 1 · 1 + 0 · t + 0 · t2 t2 T 7−→ 2 t = 0 · 1 + 2 · t + 0 · t2 t3 T 7−→ 3 t2 = 0 · 1 + 0 · t + 3 · t2

la matrice associata a T rispetto alla base canonica di R3[t] in partenza e alla base canonica di R2[t]

in arrivo `e perci`o la seguente:

AT =    0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3    . (1) b) Poich´e risulta S :                1 7−→ t = 0 · 1 + 1 · t + 0 · t2 + 0 · t3 t 7−→ t 2 2 = 0 · 1 + 0 · t + 1 2· t 2 + 0 · t3 t2 7−→ t3 3 = 0 · 1 + 0 · t + 0 · t 2 + 1 3· t 3

(4)

2

la matrice associata a S rispetto alla base canonica di R2[t] in partenza e alla base canonica di R3[t]

in arrivo `e la seguente: AS =           0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3           . (2)

c) (Primo metodo) Vediamo l’immagine mediante l’applicazione (T ◦ S) dei polinomi che formano la base canonica di R2[t] :                  1 7−→S t 7−→T 1 = 1 · 1 + 0 · t + 0 · t2 t 7−→S t 2 2 T 7−→ t= 0 · 1 + 1 · t + 0 · t2 t2 S 7−→ t3 3 T 7−→ t2 = 0 · 1 + 0 · t + 1 · t2

la matrice associata a (T ◦ S) rispetto alla base canonica di R2[t] in partenza e in arrivo `e perci`o la

seguente: AT ◦S =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    .

(Secondo metodo) Facendo riferimento alle matrici (1) e (2), basta calcolare la matrice AT · AS :

AT ◦S = AT · AS =    0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3              0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3           =    1 0 0 0 1 0 0 0 1    .

Osservazione. L’applicazione lineare (T ◦ S) `e l’identit`a sullo spazio R2[t].

d) Vediamo l’immagine mediante l’applicazione (S ◦ T ) dei polinomi che formano la base canonica di R3[t] :                        1 7−→T 0 S 7−→ 0 = 0 · 1 + 0 · t + 0 · t2+ 0 · t3 t 7−→T 1 7−→S t = 0 · 1 + 1 · t + 0 · t2 + 0 · t3 t2 T 7−→ 2 t S 7−→ 2 · t2 2 = t 2 = 0 · 1 + 0 · t + 1 · t2 + 0 · t3 t3 T 7−→ 3 t2 S 7−→ 3 · t3 3 = t 3 = 0 · 1 + 0 · t + 0 · t2 + 1 · t3

(5)

3 la matrice associata a (S ◦ T ) rispetto alla base canonica di R3[t] in partenza e in arrivo `e perci`o la

seguente: AS◦T =      0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1      .

(Secondo metodo) Facendo riferimento alle matrici (2) e (1), basta calcolare la matrice AS· AT :

AS◦T = AS· AT =           0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3              0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3   =      0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1      .

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