Roma, 13 ottobre 2017 Esercitazioni di algebra 1 (Damiani) 2a lezione 1) Sia R la relazione definita in R2 nel modo seguente:
(x1, y1)R(x2, y2) ⇔ x12+ y21 = x22+ y22.
Provare che R `e riflessiva, simmetrica (e non antisimmetrica), transitiva quindi una relazione di equivalenza; determinare le classi di equivalenza; determinare il quoziente; trovare un insieme di rappresentanti.
2) Provare che l’unica relazione riflessiva simmetrica e antisimmetrica `e l’ugua- glianza.
3) Siano F = {f : R → R}, x0 ∈ R fissato e ∼ la relazione definita da f ∼ g ⇔ f (x0) = g(x0). Provare che R `e riflessiva, simmetrica, transitiva quindi una relazione di equivalenza; determinare le classi di equivalenza; determinare il quoziente; trovare un insieme di rappresentanti.
4) Sia f : X → Y una funzione e si definisca la relazione ∼f in X nel modo seguente: x ∼f x0 ⇔ f (x) = f (x0). Dimostrare che ∼f `e una relazione di equiv- alenza e che X/ ∼f `e in corrispondenza biunivoca con Im(f ) = f (X).
5) Sia R la relazione dell’esercizio 1). Trovare una funzione f : R2 → Y tale che R sia ∼f (v. esercizio 4). Utilizzando l’esercizio 4) determinare il quoziente R2/ ∼f= R2/R e confrontarlo con quanto trovato nell’esercizio 1).
6) Sia ∼ la relazione dell’esercizio 3). Trovare una funzione f : F → Y tale che ∼ sia ∼f (v. esercizio 4). Utilizzando l’esercizio 4) determinare il quoziente F / ∼f= F /R e confrontarlo con quanto trovato nell’esercizio 3).
7) Sia | ⊆ Z × Z (divisibilit`a) la relazione definita nel modo seguente:
m|n ⇔ ∃k ∈ Z tale che n = mk.
Dimostrare che | `e riflessiva, non `e simmetrica, non `e antisimmetrica, `e transitiva.
8) Sia | ⊆ N × N (divisibilit`a) la relazione definita nel modo seguente:
m|n ⇔ ∃k ∈ N tale che n = mk.
Dimostrare che | `e riflessiva, non `e simmetrica, `e antisimmetrica, `e transitiva. In particolare | `e un ordinamento. Determinare massimo e minimo di (N, |). Deter- minare gli elementi minimali e massimali di (N \ {0, 1}, |).
9) Sia | ⊆ Q × Q (divisibilit`a) la relazione definita nel modo seguente:
m|n ⇔ ∃k ∈ Q tale che n = mk.
Dimostrare che | `e riflessiva, non `e simmetrica, non `e antisimmetrica, `e transitiva.
10) Sia | ⊆ (Q \ {0}) × (Q \ {0}) (divisibilit`a) la relazione definita nel modo seguente:
m|n ⇔ ∃k ∈ Q \ {0} tale che n = mk.
1
2
Dimostrare che | `e riflessiva, `e simmetrica, non `e antisimmetrica, `e transitiva. In particolare | `e una relazioe di equivalenza. Determinare le classi di equivalenza e il quoziente.
Esercizi da svolgere a casa che riprenderemo alla prossima lezione.
I) Siano A un insieme e ⊆ la relazione “essere contenuto” definita in X = P(A).
Dimostrare che (P(A), ⊆) `e un insieme ordinato. Dire quando questo ordinamento
`
e un ordinamento parziale Trovare minimo e massimo di (P(A), ⊆). Siano m il minimo e M il massimo di (P(A), ⊆). Determinare minimali e massimali di (P(A) \ {m, M }, ⊆).
II) Sia n ∈ N. Calcolare:
i)Pn k=0
n k;
ii)Pn
k=0(−1)k nk;
iii)Pn k=0
n k
2 .
