Sia f : R → R la funzione iniettiva definita da

(1)

Esercizio 1

Sia f : R → R la funzione iniettiva definita da

f (x) = 1 + 2x + x

³

+ x

⁵

. Calcolare (f

⁻¹

)

⁰

(1).

Esercizio 2

Siano f (x) = o(x

^m

) e g(x) = o(x

ⁿ

) per x → 0, dove m, n ∈ N. Provare che se m < n, allora f (x) + g(x) = o(x

^m

) per x → 0.

Esercizio 3

Determinare l’immagine della seguente funzione reale di variabile complessa:

f (z) = 2

|z

⁵

− 2z

²

+ 3i| + 3 .

Esercizio 4

Usando esclusivamente la nozione di forma differenziale esatta, determinare una funzione

g(x, y) in maniera che ω = xydx + g(x, y)dy risulti esatta.

(2)

Esercizio 1

Determinare il carattere della seguente serie:

∞

X

n=3

(−1)

ⁿ⁺¹

n

²

+ 2n .

Esercizio 2

Sia f : J → R una funzione reale definita in un intervallo. Provare che se G : J → R `e una primitiva di f , allora ogni altra primitiva (di f ) si ottiene aggiungendo una costante a G.

Esercizio 3

Provare che tra le soluzioni dell’equazione differenziale y

⁰⁰⁰

+ xy

⁰

= 2(y − 1) c’` e almeno un polinomio di secondo grado.

Suggerimento. Chi cerca trova.

Esercizio 4

Sia f : R

²

→ R

²

definita da f (x, y) = (x − 2y + 1, x

²

+ y + 3). Determinare due punti del

grafico di f .

(3)

Esercizio 1

Calcolare, giustificando la risposta, il

s→3

lim g(s) , essendo g(s) la funzione inversa di f (t) = t + t

³

+ t

⁷

.

Esercizio 2

Ricordiamo che una serie geometrica converge se e solo se il valore assoluto della sua ragione ` e minore di 1. Provare soltanto che una serie geometrica di ragione q converge solo se |q| < 1.

L’esercizio verr` a valutato solo se, nello svolgimento, lo studente dimostra di aver compreso il significato di “solo se” (non svolgere la parte riguardante l’implicazione “se”).

Esercizio 3

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione f (x, y) = 2

p 3x

²

+ 2y

²

+ 9 nell’insieme A = (x, y) ∈ R

²

: 3x

²

+ 2y

²

≤ 7 .

Esercizio 4

Enunciare il teorema della media per gli integrali curvilinei (non orientati) e darne una

dimostrazione.

(4)

Esercizio 1 Calcolare il

x→−∞

lim

1 px

⁶

(1 − cos(1/x

³

)) .

Suggerimento. Utilizzare la formula di MacLaurin della funzione . . .

Esercizio 2

Applicare il criterio integrale per le serie numeriche per provare che il numero

∞

X

n=1

1 n

²

+ 1

`

e compreso tra π/4 e π/2.

Esercizio 3

Calcolare il numero y(2), dove y(x) ` e la soluzione del seguente problema di Cauchy:

y

⁰

= |1 − x| , y(0) = 0.

Esercizio 4

Tra tutti i rettangoli inscritti in un cerchio di raggio r, trovare quello di area massima

(cio` e determinarne i lati in funzione del raggio del cerchio).

(5)

Esercizio 1

Tra le (due) soluzioni dell’equazione Z

x

0

sign(t − 1) dt = 0 determinare quella appartenente alla semiretta [1, +∞).

Esercizio 2

Enunciare il criterio del confronto per le serie numeriche e darne una dimostrazione.

Esercizio 3

Tra tutte le soluzioni reali dell’equazione differenziale y

⁰⁰⁰

− y = e

^−x

determinare quelle che tendono a zero per x → +∞.

Esercizio 4

Siano p

1

= (1, −1), p

2

= (1, 0) e p

3

= (2, −1) tre punti di R

²

e siano v

1

= (2, 0, 1),

v

₂

= (2, 2, −1), v

₃

= (4, 0, −2) e v

₄

= (−4, −2, 1) quattro vettori di R

³

. Elencare le coppie

(p

i

, v

j

) con la seguente propriet` a: v

j

` e ortogonale al grafico della funzione f (x, y) = x

²

−y

²

nel punto (del grafico) corrispondente a p

i

.

(6)

Esercizio 1

Calcolare il seguente integrale:

Z

+∞

2

2 |2 − x

²

| + 1 dx.

Esercizio 2

Determinare la formula di MacLaurin del terz’ordine di una funzione f : R → R, di classe C

³

, sapendo che f (0) = 2 e che la formula di MacLaurin del second’ordine della sua derivata ` e

f

⁰

(x) = 1 + x − x

²

+ o(x

²

).

Suggerimento. Utilizzare due noti teoremi riguardanti la formula di Taylor.

Esercizio 3

Tra tutte le soluzioni reali dell’equazione differenziale y

⁰⁰

− 4y = cos x

determinare (tutte) quelle la cui restrizione alla semiretta [0, +∞) risulta limitata.

Esercizio 4

Scrivere in forma trigonometrica e in forma algebrica il numero complesso z =

4 √ 3 + i

6

.

(7)

Esercizio 1

Stabilire se l’equazione

2 cos x − p|x + sin x| + 2 = 0 ammette almeno una soluzione negativa.

Esercizio 2

Sia f : J → R una funzione definita in un intervallo e sia F : J → R una sua primitiva.

Provare che G : J → R `e una primitiva di f solo se esiste c ∈ R tale che G(x) = F (x) + c, per ogni x ∈ J .

N.B. L’esercizio verr` a valutato solo se, nello svolgimento, lo studente dimostra di aver compreso il significato di “solo se”. Pertanto, per evitare confusione, non svolgere la parte riguardante l’implicazione “se” (altrimenti l’esercizio non verr` a valutato).

Esercizio 3

Un recipiente sferico di raggio r contiene un liquido di livello h. Determinare il volume V (r, h) di detto liquido.

N.B. Lo svolgimento dell’esercizio verr` a preso in considerazione solo se la funzione V (r, h) trovata verifica le ovvie condizioni di compatibilit` a corrispondenti ai seguenti tre casi:

recipiente vuoto; recipiente mezzo pieno; recipiente pieno.

Esercizio 4

Risolvere la seguente equazione in campo complesso:

z

⁴

− (1 + i)

⁴

= 0.

(8)

Esercizio 1

Determinare l’asintoto destro della seguente funzione:

f (x) = x

²

2 x − cos 2 x

− 1

Esercizio 2

Sia A ⊂ R un insieme limitato superiormente. Cosa significa affermare che un numero b ∈ R `e l’estremo superiore di A?

Sia C = {1, 3, 4} ⊂ R. Verificare, mediante la definizione di estremo superiore, che sup C = 4.

Esercizio 3

Tra tutti i punti dell’insieme

C = (x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

+ 2x − 6y + 6 ≤ 0 determinare quello pi` u lontano dall’asse x.

Esercizio 4

Verificare, mediante la definizione di limite, che lim

(x,y)→(0,1)

1 + |y|

x

²

= +∞.

Cio` e, fissato k > 0, trovare δ > 0 tale che . . .

(9)

Esercizio 1

Calcolare il limite (per n → +∞) della seguente successione:

( 1 n

n

X

k=5

5 3

^k

)

Esercizio 2

Siano f (x) = o(x

^m

) e g(x) = o(x

ⁿ

) per x → 0, dove m, n ∈ N. Provare che f (x)g(x) = o(x

^m+n

) per x → 0.

Esercizio 3

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione reale di variabile complessa F (z) = |z + i|

nell’insieme z ∈ C : |z + 1| ≤ 2 .

Esercizio 4

Verificare, mediante la definizione di limite, che lim

(x,y)→(1,0)

1 + |y|

x

²

+ y

²

− 2x + 1 = +∞.

Cio` e, fissato k > 0, trovare δ > 0 tale che . . .

(10)

Esercizio 1

Determinare i punti estremanti della restrizione della funzione f (x) =

Z

8 1+2x

sign(t + 3) 2 + |t| dt all’intervallo [−3, 0].

Concludere l’esercizio elencando i punti trovati e specificando quali sono di massimo e quali di minimo (in caso contrario l’esercizio non verr` a valutato).

Esercizio 2

Enunciare il criterio del confronto per le serie numeriche e darne una dimostrazione.

Esercizio 3

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

y

⁰

+ xy + x = 0 , y(0) = 0

Esercizio 4

Sia f : R

²

→ R una funzione di classe C

¹

. Supponiamo che

∂f

∂x (p) = ∂f

∂y (p) = 0, ∀p ∈ R

²

. Provare che f ` e costante.

Suggerimento. Dedurre da un noto teorema per le funzioni di una sola variabile che, fissato

un (arbitrario) punto p = (x

₀

, y

₀

) ∈ R

²

, risulta f (x

₀

, y

₀

) = f (0, 0).

(11)

Esercizio 1

Determinare la formula di MacLaurin del second’ordine di

f (x) = x sign(4x

²

− cos 3x) + |2x − cos x|.

Esercizio 2

Spiegare per quale motivo il limite per x → +∞ di arctang x ` e uguale a π/2.

Esercizio 3

Determinare le soluzioni, in campo reale, della seguente equazione differenziale:

y

⁽⁴⁾

+ y

⁽¹⁾

= x + 1.

Esercizio 4

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione reale di variabile complessa f (z) = |z + i|

nell’insieme

A = z = x + iy ∈ C : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2 .

(12)

Esercizio 1

Determinare l’insieme dei valori del parametro λ per i quali l’equazione 3(1 − λ) + 9|x| exp x = 0

ammette almeno una soluzione negativa.

Esercizio 2

Spiegare per quale motivo il limite per x → 1 di arctang x ` e uguale a π/4.

Esercizio 3

In R

³

, tra tutti i punti dell’asse delle x, trovare quello pi` u vicino alla sfera di centro (−2, 3, −4) e raggio 2. Calcolare poi la distanza di tale punto dal punto della sfera ad esso pi` u vicino.

Esercizio 4

Provare la Formula di De Moivre per il calcolo della potenza n-esima di un numero

complesso.

(13)

Esercizio 1

Provare che tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, quello di area massima ` e un quadrato.

Esercizio 2

Sia f : J → R una funzione continua definita in un intervallo e sia F una sua primitiva.

Provare che, fissati due punti a, b ∈ J , vale la seguente uguaglianza (nota come formula fondamentale del calcolo integrale):

Z

b a

f (x) dx = F (b) − F (a).

Esercizio 3

Si consideri la seguente funzione reale di due variabili reali:

f (x, y) = Z

2y

x

cos θ θ + 2π dθ.

Specificare, giustificando la risposta, in quali dei seguenti punti f ` e definita (e in quali non lo ` e): (0, −2), (2π, 0), (−5, −1), (0, −π), (6, −1), (−1, −5).

Sia f : R → R la funzione iniettiva definita da

Esercizio 1

Sia f : R → R la funzione iniettiva definita da

f (x) = 1 + 2x + x

+ x

. Calcolare (f

)

(1).

Esercizio 2

Siano f (x) = o(x

) e g(x) = o(x

) per x → 0, dove m, n ∈ N. Provare che se m < n, allora f (x) + g(x) = o(x

) per x → 0.

Esercizio 3

Determinare l’immagine della seguente funzione reale di variabile complessa:

f (z) = 2

|z

− 2z

+ 3i| + 3 .

Esercizio 4

Usando esclusivamente la nozione di forma differenziale esatta, determinare una funzione

g(x, y) in maniera che ω = xydx + g(x, y)dy risulti esatta.

Esercizio 1

Determinare il carattere della seguente serie:

X

(−1)

n

+ 2n .

Esercizio 2

Sia f : J → R una funzione reale definita in un intervallo. Provare che se G : J → R `e una primitiva di f , allora ogni altra primitiva (di f ) si ottiene aggiungendo una costante a G.

Esercizio 3

Provare che tra le soluzioni dell’equazione differenziale y

+ xy

= 2(y − 1) c’` e almeno un polinomio di secondo grado.

Suggerimento. Chi cerca trova.

Esercizio 4

Sia f : R

→ R

definita da f (x, y) = (x − 2y + 1, x

+ y + 3). Determinare due punti del

grafico di f .

Esercizio 1

Calcolare, giustificando la risposta, il

lim g(s) , essendo g(s) la funzione inversa di f (t) = t + t

+ t

.

Esercizio 2

Ricordiamo che una serie geometrica converge se e solo se il valore assoluto della sua ragione ` e minore di 1. Provare soltanto che una serie geometrica di ragione q converge solo se |q| < 1.

L’esercizio verr` a valutato solo se, nello svolgimento, lo studente dimostra di aver compreso il significato di “solo se” (non svolgere la parte riguardante l’implicazione “se”).

Esercizio 3

Determinare l’insieme dei valori assunti dalla funzione f (x, y) = 2

p 3x

+ 2y

+ 9 nell’insieme A = (x, y) ∈ R

: 3x

+ 2y

≤ 7 .

Esercizio 4

Enunciare il teorema della media per gli integrali curvilinei (non orientati) e darne una

dimostrazione.

Esercizio 1 Calcolare il

lim

1

px

(1 − cos(1/x

)) .

Suggerimento. Utilizzare la formula di MacLaurin della funzione . . .

Esercizio 2

Applicare il criterio integrale per le serie numeriche per provare che il numero

X

1 n

+ 1

`

e compreso tra π/4 e π/2.

Esercizio 3

Calcolare il numero y(2), dove y(x) ` e la soluzione del seguente problema di Cauchy:

y

= |1 − x| , y(0) = 0.

Esercizio 4

Tra tutti i rettangoli inscritti in un cerchio di raggio r, trovare quello di area massima

+ 9 nell’insieme A = (x, y) ∈ R

4