APPENDICE I: Teoria dei vortici e delle sorgenti Teoria dei vortici e delle sorgenti singole
Vortici
Con riferimento alla figura sopra, nel campo delle variabili complesse
ζ=x+iy
Posto un vortice puntiforme in ζ
0, con intensità γ, nel punto ζ le velocità complesse coniugate valgono:
( )
( )
−
−
=
−
=
2 0 2 0
1 2
1 2
x R x v
y R y
u
π γ π γ
da cui avendo che w=u-iv si ottiene:
0
1 2 π ζ ζ
γ
− −
=
w
Sorgenti
Ripetendo il solito ragionamento nel caso in cui nel punto ζ
0sia presente una sorgente di intensità q si ha:
( )
( )
−
=
−
=
2 0 2 0
1 2
1 2
y R y
v q
x R x u q
π π
da cui si ottiene:
0
1 2 π ζ − ζ
=
−
= q
iv
u
w
Vortici e sorgenti puntiformi in schiera Vortici
Si considera ora una schiera di vortici puntiformi, sempre di intensità γ, con passo d lungo l’asse y come illustrato nella figura sopra. Analizzando la velocità indotta dalla schiera in esame in questo casi si ha:
+ + −
− + −
− −
= ∑
∞=1 0 0
0
1 1
1
2 i
nind ind
w π ζ ζ ζ ζ ζ ζ
γ
svolgendo i calcoli dentro la parentesi tonda si ottiene:
( )
( )
+
− + −
− −
= ∑
∞=1 2 2 2
0 0 0
1 2
2 i
nn d
w ζ ζ
ζ ζ ζ
ζ π γ
conoscendo dall’analisi matematica che:
∑
∞=
− + =
1 2 2 2
2
2coth 1 2
1 1
n
n θ θ
θ π θ
nel nostro caso si può scrivere svolgendo tutti i calcoli:
( )
−
−
= coth
02 γ π ζ ζ
d w di
Sorgenti
Nel caso di una schiera di sorgenti, con procedimento del tutto analogo e seguendo le considerazioni fatte nel caso di schiera di sorgenti otteniamo:
( )
−
= coth
02 π ζ ζ
d d
w q
Vortici e sorgenti distribuite su un segmento
Avendo approssimato il nostro profilo con una poligonale, si va ad esaminare il caso di vortici, e successivamente di sorgenti, distribuite su un segmento.
Vortici
Ad una distanza s dall’apice j del segmento si ha una vorticità γ data da:
( ) s = γ
j( 1 − s ˆ ) + γ
j+1s ˆ γ
con
l
js ˆ = s .
Quindi la velocità w(j) indotta dai vortici sarà:
∫ −
−
=
ljd s
d j di
w
00
ˆ
2 coth )
( γ π ζ ζ
che sviluppando i vari calcoli diviene:
( )
−
+
−
−
−
= i ∫
lj js d d s ∫
lj js d d s
j
w
0 00
0
ˆ ˆ coth ˆ
ˆ coth 2 1
) 1
( γ π ζ ζ γ π ζ ζ
π
e può essere scritta anche nella forma:
( )
[
1 0]
1 0
2 ) 1
(
jI
jI
j jI
jj i
w = − γ − + γ
+π
con:
−
=
− −
=
−
−
=
+
+
∫
j j
j j
j
j j
j j
s d d
s s I l
senh d senh d I l
ζ ζ σ
σ ζ π ζ σ
π
ζ π ζ
ζ π ζ
σ
1 1 0 1
1 0
ˆ ˆ coth
ˆ ln
A questo punto considerando che la velocità indotta può essere espressa con l’uso di coefficienti a
ijtali che:
∑
=
ij jn
a
V
γγ
si può procedere per la determinazione della stessa calcolando tali coefficienti caratteristici del profilo in esame.
Per far ciò si mettono di seguito i metodi usati nel nostro programma per il calcolo dei due integrali I
0je I
1j. Si fa presente che il calcolo dei due integrali preciso richiede un tipo di trattazione fin troppo onerosa che esula dai nostri scopi per tanto si rimanda per questo alla bibliografia.
Si ritiene inoltre opportuno ricordare di seguito alcune formule di analisi matematica di cui si farà successivamente uso:
Formule note dall’analisi:
2 2
1
B A
iB A iB
A +
= − +
senb a i b senha ib
a
senh ( + ) = ⋅ cos + cosh ⋅
senb isenha b
a ib
a + ) = cosh ⋅ cos + ⋅ cosh(
a tg b i b a ib
a ln(
2 2)
12 ) 1
ln( + = + + ⋅
−1
cosh
2a − senh
2a =
Calcolo di I
j0Nel nostro caso è conveniente scrivere I
0jnella forma:
( )
∫ − − −
+=
10 1
0
l ˆ coth ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) s ˆ d s ˆ I
j jζ ζ
jζ ζ
jcon ζ ζ π
= d ˆ
.
Nello sviluppo dell’integrale vanno distinti taluni casi di particolare interesse.
Caso 1) Il punto inducente si trova nel punto di controllo al centro del segmento cioè:
2 ˆ ˆ ˆ +
+1= ζ
jζ
jζ
In questo caso per i due integrali abbiamo:
−
=
= 1 0
1 0
j j
I I
che porta ad avere una velocità indotta di componente
π ζ ζ
2 ˆ ˆ −
+1−
=
j jv
Caso 2) Il segmento inducente si trova ad uno dei due estremi del segmento:
ζ ˆ = ζ ˆ
j+1= ζ ˆ
jIn questo particolare caso il metodo usato presenta una singolarità in quanto abbiamo
∞
=
0
I
jpertanto questo caso è da evitare.
Caso 3) è il caso generale in cui il punto inducente non cade né agli estremi né sul punto
di controllo. In questo caso si può scrivere:
( )
(
1)
1 0
ˆ ˆ
ˆ ln ˆ
ˆ ˆ
ˆ
+
+
−
−
= −
j j j
j j
j
senh
senh I l
ζ ζ
ζ ζ ζ
ζ
Posto:
=
∆
⋅
∆
=
∆
⋅
∆
=
−
=
∆
−
=
∆
+ +
+
+ +
+
+ +
+ +
1 0, k
ˆ cosh ˆ
cos ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
con
y sen x
y x
senh y y y
x x x
k j k
j k
j
k j k
j k
j
k j k
j
k j k
j
η ρ
si ha:
( )
( )
=
−
=
− ≠
= −
∆ +
∆
∆ +
= ∆ +
= +
+
− =
−
+ +
+
− +
−
+ +
+ +
+
− +
+ +
+ +
+
j j j j j
j j
j
j j j j j
j j j
j j j j
j j
j j
j j
j j
j j
tg tg
B tg B
y sen x
senh
y sen x
A senh
iB senh A
senh
η η ρ ρ ρ
η ρ
η
η η ρ η ρ
η ρ ρ
ρ η ρ η
η ρ
η ρ
ζ ζ
ζ ζ
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 2 1
2
2 2
2 1 2
1 2 2
1
per per
per
ˆ ˆ
ˆ ln ˆ
2 ln 1
2 1
ˆ ˆ
ˆ ln ˆ
Introducendo i due coseni direttori
= +
= +
+ +
j j j yj
j j j xj
l y y
l x x
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
1 1
τ τ
si può scrivere:
yj xj j j
j
i
l τ τ
ζ
ζ ˆ
+− ˆ = − ˆ
1
Pertanto l’integrale
0
I
jsi può porre nella forma:
2 1 0
j j
j
T iT
I = +
con:
−
= +
=
A B T
B A T
yj xj j
yj xj j
τ τ
τ τ
2 1
Come vedremo nel seguito la determinazione delle matrici
1
T
je
2
T
jsi rivelerà di fondamentale importanza.
Calcolo di I
j1Per quanto riguarda I
1jper un più agevole svolgimento del problema si può porre nella forma:
4 3
2 1
0
1
ln
2 1 1
j j k
n j
j j
j
j
T iT
senh d
d senh s
I l
I k = +
−
− −
+
= ∑
=
ζ ζ
+π
σ ζ π ζ
σ
Anche in questo caso si ha:
' ' ln
2 1
iB A senh d
d senh s
k
n j
j
+
=
−
− −
∑
=ζ ζ
+π
σ ζ π ζ
con:
−
= −
+
= +
∑
∏
= + +
+
− +
= + +
' 2 ln ' 1
2 1 1
1 1 1
2 2
1 2
1 2 2
k
n j s j s
s j j s k
n j j
s s
tg B
A
η η ρ ρ
ρ η ρ η
η ρ
η ρ
dalle quali si ottiene:
− +
=
+ +
=
' 2 '
1
' 2 '
1
2 4
1 3
A B T
T
B A T
T
yj xj j j
yj xj j j
τ τ
τ τ
con
( ) ( ) ( ) ( )
− −
=
∆
− −
=
∆
∆
∆
=
∆
∆
=
d s d
y y y
d s d
x x x
y sen x
y x
senh
y j
c s
j x c s
s s
s
s s
s
π σ π
π σ π
η ρ
cosh
cos
dove i parametri introdotti sono stati così definiti:
= +
= +
+ +
2 2
1 1
j j c
j j c
y y y
x x x
e ( ) ( )
k s n
y y i x x
i
y j j j jx
1
1 1
= −
− +
−
= +
= σ σ
+ +σ
Nel nostro caso, avendo già eseguito il calcolo per I
0j, può essere utile riferire anche I
1jalle matrici A e B viste in precedenza.
Ponendo quindi:
( ) ( ) ( ) ( )
∆
−
∆
=
∆ +
∆
=
=
−
=
E x G
y D
E y G
x C
j j
E
j j
G
j j
j j
y x
y x
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2
2 2
τ τ
τ τ
si può scrivere:
( ) j i ( DA CB ( ) j )
DB CA iT T
I
1j=
j3+
j4= − − τ
x+ + + τ
Ye quindi:
( )
( )
+ +
=
−
−
=
j CB DA T
j DB CA T
Y j
x j
τ τ
4 3
Calcolati i due integrali la velocità indotta dai segmenti vorticosi può porsi nella forma:
( ) [ ( ) ( )
1]
4 3 4
3 2 1
2 1
−
++ +
−
−
=
j j j j j j j jj
iT T iT T iT T
w γ γ
γ π
A questo punto può risultare conveniente esprimere tutto in funzione di
jricordando che :
Con
2 '
1 j
j j
j j
l b l
b A
= +
=
+
γ
da cui si ha:
( ) [ ( ) (
31 1) ]
3 2 4
1 4
2
j j j j j jj
j
T T T i T T T
w = −
−− − −
−−
π γ γ
da cui componendo la velocità nelle sue componenti si ha:
( ) ( )
( ) ( )
−
−
=
−
−
=
−
−
1 3
1 3
2 4
1 4
2 2
j j j j j
j j j j j
T T T v
T T T u
π γ γ
π γ γ
Si deve d’altra parte evidenziare che una schiera di vortici induce all’infinito a valle, x = +∞
e all’infinito a monte, x = −∞ , le velocità:
( )
( )
= Γ
∞
±
=
∞
±
v d u
2 0 m
γ γ
Ricordando che va rispettata la condizione di tangenza della velocità nel punto medio di
ogni segmento e sapendo che:
d j w w
0 12
+ Γ
=
(con ∑
+=
=
Γ
11 n
j j
b
jγ
vorticità totale del profilo) si ha:
j j
j
j
j n
n d w n
w ⋅ = ⋅ + Γ ⋅
−
12
A questo punto abbiamo tutti i dati necessari per il calcolo dei coefficienti a
ijche risultano:
( ) ( )
( ) ( )
( )
+
= +
+
−
=
≤
≤ +
+
− +
−
−
=
= +
− +
−
=
+ +
−
−
1 n j per cos cos
n j 2 per cos cos
1 j per cos cos
1 3
4 1
3 1 3 1 4
1 2 4
1 3
1 1 1 2
1 4 1 1
i n
i n i n in
i j i j
j j i j
j j ij
i i
i i
b T
sen T a
b T
T T sen T T T a
b T
T sen T T a
α α
α
α α
α
α α
α
Sorgenti
Nel caso di sorgenti si procede con considerazioni analoghe a quelle fatte per i vortici. In questo caso si tratta di trovare dei coefficienti b
ijtali che:
∑
=
ij jnq
b
V γ
Considerando che la velocità indotta può essere espressa come:
( )
[
1 0]
1 0
2 ) 1
( j q
jI
jI
jq
jI
jw = − +
+π
e ritenendo validi anche in questo caso i calcoli eseguiti per la determinazione degli integrali
0
I
je I
1jsi ha:
( ) ( )
( ) ( )
+
−
=
+
−
=
−
−
4 1 4 2
3 1 3 1
2 2
j j j j j
j j j j j
T T q T
q v
T T q T
q u
π π
Anche in questo caso si deve tener conto che all’infinito a valle e a monte della schiera le
velocità indotte valgono:
( )
( )
=
∞
±
±
=
∞
± 0
2
q q
v
d u Q
Imponendo la condizione di tangenza ed esprimendola in funzione di w
1:
( ) ( )
( ) ( )
( )
+
= +
−
=
≤
≤ +
−
− + +
−
=
= +
− +
−
=
+ +
−
−
1 n j per cos cos
n j 2 per cos cos
1 j per cos cos
1 4
3 1
4 1 2 4 3
1 3 1
1 2
1 4 1 3
1 1 1 1
i n
i n i n in
i j i j
j j i j
j j ij
i i
i i
