Sorgenti del campo magnetico

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Elettromagnetismo

Legge di Biot e Savart

Sorgenti del campo magnetico

Circuitazione e rotore del campo magnetico Legge di Ampère; applicazioni

Lezione n. 22 – 4.3.2021

Esempio di forza su un circuito

• Consideriamo una regione dello spazio in cui sia presente un campo magnetico

• Il simbolo indica un vettore perpendicolare al piano dello schermo

• Il verso è tale che

B

• Consideriamo adesso un circuito chiuso rettangolare percorso da una corrente I

• La larghezza del circuito è a

• Calcoliamo la corrente I necessaria per bilanciare il peso mg

• Ricordiamo l'espressione della forza su una corrente

• Sul filo inferiore non c'è forza magnetica ( B = 0)

• Sui due fili laterali o non c'è forza perché sono all'esterno della regione con B oppure le forze si equilibrano

• Sul filo superiore la forza è diretta verso l'alto

• All'equilibrio F = mg

Chi fa lavoro?

• Nel sistema precedente se si aumenta la corrente la forza magnetica supera il peso e il circuito si sposta verso l'alto

• La massa m acquista energia potenziale gravitazionale

• Viene compiuto un lavoro

• A prima vista sembra che siano le forze magnetiche a compiere lavoro

• Abbiamo detto che le forze magnetiche non fanno lavoro

• Per approfondire questo aspetto supponiamo che il circuito possa muoversi in direzione verticale vincolato a delle guide senza attrito

• Non può muoversi orizzontalmente

• Se si muove verticalmente i portatori di carica nel tratto superiore del circuito hanno una velocità con due componenti

• La componente u_y dovuta al moto verticale del circuito

• La componente u_x legata alla corrente: I = λ u_x

• La forza magnetica sui portatori di carica è pertanto

Chi fa lavoro?

• Assumiamo di essere in una condizione stazionaria

• La corrente è costante

• La velocità verticale del circuito è costante

• Tutte le forze sono in equilibrio

• Scomponiamo la forza magnetica in una componente verticale e una orizzontale

• La componente verticale bilancia la forza peso

• La velocità verticale del circuito è costante

• La componente orizzontale si oppone alla corrente che circola nel filo

• La batteria deve fare un lavoro maggiore per mantenere la corrente costante

• Supponiamo che il circuito si alzi di tratto h = u_y Δt

• Nel tempo Δt la batteria deve contrastare il lavoro della componente F_mx

• Esattamente l'energia potenziale gravitazionale guadagnata dalla massa m Il lavoro è stato fatto dalla batteria!

Chi fa lavoro?

• Per finire un analogo meccanico

• Un piano inclinato senza attrito

• Il diagramma delle forze è lo stesso di quello della diapositiva precedente

• La forza normale non compie lavoro

• La reazione normale si scompone in due componenti

• La componente verticale che bilancia la forza peso

• La componente orizzontale che bilancia la forza esterna

• La forza esterna orizzontale compie un lavoro e ha come effetto di aumentare l'altezza della massa

• Aumenta l'energia potenziale gravitazionale della massa

• L'effetto della reazione vincolare è di trasformare il moto lungo l'asse x imposto dalla forza esterna in un moto anche lungo l'asse y

• Inoltre trasforma il lavoro fatto dalla forza esterna in energia gravitazionale

Le sorgenti del campo magnetico

• La legge che abbiamo scritto per la forza su una carica in movimento ci permette di dare una definizione operativa di campo magnetico

• In questo senso è molto diversa dalla legge di Coulomb

• La legge di Coulomb permette di calcolare la forza

• Allo stesso tempo definisce una nuova grandezza, la carica elettrica, sorgente della forza elettrica

• Di fatto la legge di Coulomb definisce il campo elettrico

• Nella legge della forza di Lorentz questo secondo aspetto è assente

• Si definisce come calcolare la forza prodotta da un campo magnetico ma non si dice nulla sulle sue sorgenti e su come calcolare il campo magnetico

• Qualitativamente abbiamo visto che i magneti permanenti generano un campo magnetico

• Le correnti deflettono gli aghi magnetici

• Applicano una forza ai magneti

• Devono anch'esse generare un campo magnetico

• L'origine dei campi magnetici dei magneti permanenti è molto complessa

• Serve una teoria quantistica della materia

• La studieremo più avanti

• Iniziamo con il campo magnetico generato da una corrente

La legge di Biot e Savart

• La legge di Biot-Savart (anche prima formula di Laplace) permette di calcolare il campo di induzione magnetica generato da un filo percorso da corrente

• È valida solo per correnti stazionarie

• In particolare non permette di calcolare correttamente il campo di induzione magnetica

B

• Consideriamo un filo percorso da una corrente i

• Consideriamo inoltre un elemento

dl

• Il contributo al campo

B

r

relativamente al tratto di filo è dato da

• Il tratto di filo

dl

• Questa espressione ha senso fisico solo dopo avere sommato (integrato) i contributi di tutto il circuito in esame

• Usando il formalismo vettoriale in forma esplicita

per simmetria

La legge di Biot e Savart

• Specifichiamo meglio le condizioni per la magnetostatica

• A differenza dell'elettrostatica le cariche sono in movimento

• Tuttavia il movimento deve avere precise caratteristiche

• Non deve causare variazioni delle densità di carica

• Ricordiamo l'equazione di continuità

• La condizione per la magnetostatica è che

• La magnetostatica si applica pertanto ai campi generati da densità di correnti che soddisfano

• Correnti continue (dette anche stazionarie) che non variano nel tempo

• In realtà molte delle equazioni della magnetostatica si applicano anche a correnti lentamente variabili nel tempo

• Definiremo in seguito con precisione il significato di "lentamente"

Il campo magnetico di un filo

• Calcoliamo il campo magnetico generato da un filo infinito

• Per semplicità scegliamo una geometria che semplifichi il problema

• Il filo lungo l'asse x

• Il punto in cui calcolare il campo sull'asse y

• Il contributo

dB

• Abbiamo inoltre

Il campo magnetico di un filo

• Calcoliamo l'integrale su tutto il filo

• Esteso da θ = 0 fino a θ = π

• Osserviamo che il risultato non dipende dalla coordinata x

• Come ci si poteva aspettare data la simmetria del problema

• Il campo dipende solo dalla distanza dal filo a² = y² + z²

• Il problema è invariante per rotazioni intorno al filo

• Le linee di campo sono circonferenze centrate sul filo

• In coordinate cilindriche

Campo magnetico sull'asse di una spira

• Un altro problema semplice da risolvere è il calcolo del campo magnetico sull'asse di una spira di raggio a

• Il calcolo è semplice sull'asse

• Complicato altrove

• Utilizziamo un metodo completamente vettoriale

• I vettori del problema sono

• Calcoliamo il prodotto vettoriale

Campo magnetico sull'asse di una spira

• Inseriamo nella formula per

dB

• Integriamo su tutta la spira (da θ = 0 a θ = 2π)

Campo magnetico sull'asse di una spira

• Notiamo che il denominatore è costante

• Inoltre l'integrale dei primi due termini è nullo

• Come atteso il campo è diretto lungo l'asse z

Campo di una densità di corrente

• Anche la legge di Biot e Savart) può essere generalizzata ad una densità di corrente

J

• In questa formula

• Il vettore

dl

• Il vettore

dl

J

• Estendendo l'integrazione anche a da su tutto il volume V otteniamo

• Sottolineiamo che

• L'integrazione è fatta rispetto alla variabile

r

La densità di corrente è calcolata nel punto

Campo di una densità di corrente

• La legge di Biot e Savart gioca per la magnetostatica lo stesso ruolo che la legge di Coulomb gioca per l'elettrostatica

• Tuttavia, nel caso dell'elettrostatica l'integrando rappresenta il contributo al campo elettrico di una carica elementare

• Nel caso della magnetostatica l'elemento di corrente elementare non ha senso fisico definito

• Si potrebbe pensare che una carica in moto rappresenti una densità di corrente elementare che genera una campo magnetico elementare

• Ad esempio un moto rettilineo uniforme

Questo è SBAGLIATO!

L'assenza delle cariche magnetiche

• Richiamiamo la forma del campo generato da un filo infinito

• Le linee di campo sono circonferenze intorno al filo

• Sono linee chiuse, senza sorgente!

• Analogamente per il campo della spira

• Anche in questo caso le linee di campo sono chiuse

• Al limite partono e finiscono all'infinito

• Abbiamo già notato la similitudine fra il campo di un magnete permanente e un dipolo elettrico

• Si potrebbe essere tentati di pensare che esistano le cariche magnetiche

• Si tratterebbe di una teoria perfettamente consistente

• Tuttavia le cariche magnetiche non esistono

• Vedremo che anche nella materia i campi sono generati da correnti

• A livello microscopico, da correnti atomiche

L'assenza delle cariche magnetiche

• Per il campo elettrico abbiamo visto che il legame fra la carica elettrica e il campo poteva essere descritto matematicamente dalla legge di Gauss

• L'evidenza sperimentale che non esistono le cariche

magnetiche si esprime dicendo che il campo B ha la proprietà

• Questa legge esprime matematicamente il fatto che

il campo magnetico non è generato da cariche magnetiche

• Esprime anche il fatto che le linee non hanno sorgente

• Infine dice anche che le linee di campo sono chiuse

• Un campo con divergenza nulla è detto solenoidale

• Ritorniamo al campo del filo infinito

• Lo abbiamo calcolato con la formula di Biot e Savart

Operatore ∇ applicato a prodotti

• Con l'operatore "Nabla" (∇) abbiamo definito tre operazioni applicandolo …

• Ad una funzione scalare per costruire un vettore: gradiente ∇φ

• Ad una funzione vettoriale per costruire uno scalare: divergenza ∇⋅F

• Ad una funzione vettoriale per costruire un vettore: rotore ∇×F

• Ci sono due modi per costruire una funzione scalare a partire da due funzioni (scalari o vettoriali)

• Prodotto di due funzioni scalari fg

• Prodotto di due funzioni vettoriali A⋅B

• Analogamente ci sono due modi per costruire una funzione vettoriale a partire da due funzioni (scalari o vettoriali)

• Prodotto di una funzione scalare e una vettoriale fA

• Prodotto di due funzioni vettoriali A×B

• Esamineremo le formule per calcolare …

• Il gradiente per i primi due casi

• La divergenza per il terzo e quarto caso

• Il rotore per il terzo e quarto caso

• In totale sei formule

• Abbiamo così esaurito tutte le possibilità di applicare l'operatore Nabla al prodotto di due funzioni (scalari o vettoriali)

Operatore ∇ applicato a prodotti

• Gradiente di una funzione scalare (risultato di un prodotto)

• Divergenza di una funzione vettoriale (risultato di un prodotto)

• Rotore di una funzione vettoriale (risultato di un prodotto)

• Una precisazione sull'espressione

Divergenza del campo magnetico

• Calcoliamo la divergenza di

B

• Sottolineiamo che calcoliamo le derivate rispetto a

r

• Con

∇

∇

r

• Inoltre abbiamo scambiato l'ordine di derivazione integrazione

• Utilizziamo l'identità

∇⋅(C×D) = B⋅∇×C−C⋅∇×D

• Evidentemente

∇

×J(r′) = 0

• J(r′)

r

• Notiamo che l'argomento di

∇

×

• Il suo rotore è pertanto nullo

• Pertanto

Circuitazione del campo magnetico

• La divergenza del campo magnetico esprime una proprietà importante del campo

• Come in elettrostatica, ci permetterà di scrivere equazioni differenziali

• Tuttavia non definisce il legame del campo con le sue sorgenti

• Ricordiamo che nel caso del campo elettrico la circuitazione esprimeva la proprietà del campo di essere conservativo

• Ritorniamo al campo del filo infinito

• Le linee di campo sono delle circonferenze intorno al filo

• Il modulo del campo dipende dalla distanza dal filo

• Per completezza, le componenti sono

Circuitazione del campo magnetico

• Iniziamo con la circuitazione di

B

• L'integrale lungo Γ_a e lungo Γ_c è nullo

• Il cammino è radiale

• È perpendicolare al campo magnetico:

B⋅dl = 0

• Lungo Γ_b il modulo di B è costante e l'integrale è

• Analogamente l'integrale lungo Γ_d è

• Il segno meno deriva dal fatto che il campo magnetico e il cammino hanno verso opposto

• In definitiva

Circuitazione del campo magnetico

• Consideriamo ancora il campo magnetico di un filo infinito

• Calcoliamo adesso la circuitazione lungo il cammino Γ in figura

• Una circonferenza di raggio r₁ centrata sul filo

• Il campo magnetico e il cammino sono sempre paralleli

• Otteniamo pertanto

• In questo caso la circuitazione non è nulla

• A differenza dal caso precedente il cammino "gira intorno" a una corrente

• Si dice che la corrente è concatenata con il cammino

Circuitazione del campo magnetico

• I due risultati trovati possono essere espressi con una unica legge

• La circuitazione del campo magnetico è uguale alla corrente concatenata con il cammino

• Se non c'è corrente concatenata la circuitazione è nulla

• Tuttavia abbiamo utilizzato cammini particolari

• Circonferenze, archi di circonferenza, raggi

• Si dimostra facilmente che i due risultati trovati valgono per cammini arbitrari

• Iniziamo con un cammino senza corrente concatenata

• Consideriamo ad esempio il cammino in figura

• È evidente che può essere approssimato con cammini infinitesimi fatti con raggi e circonferenze

• Ci si convince facilmente che la circuitazione lungo il cammino è nulla

• I cammini radiali non contribuiscono

• I contributi dei cammini lungo gli archi si elidono

Ogni arco

Δθ negativo o positivo

Circuitazione del campo magnetico

• Consideriamo adesso un cammino Γ_a concatenato con una corrente

• Consideriamo anche il cammino Γ_b

• La parte di "raccordo" può essere resa trascurabile

• La parte esterna Γ₁ coincide, a

meno di un tratto infinitesimo, con Γ_a

• La parte interna Γ₂, a meno di un tratto infinitesimo mancante, è una circonferenza come quelle utilizzato fino ad ora

• Rispetto alla corrente concatenata i cammini Γ₁ e Γ₂ sono percorsi in senso opposto

• Avremo

• Abbiamo visto che la circuitazione lungo Γ₂ è proporzionale alla corrente concatenata

Circuitazione del campo magnetico

• Per finire consideriamo un cammino che "gira" intorno alla corrente più di una volta

• Utilizzando opportuni tratti radiali rispetto al filo, il cammino può essere suddiviso in più cammini

chiusi ognuno dei quali "gira" intorno al filo una sola volta

• Se complessivamente il cammino gira intorno al filo N volte avremo

• Per tutti i casi considerati abbiamo usato il campo magnetico di un filo infinito

• Possiamo considerare un fatto sperimentale il risultato che la legge trovata vale per qualunque campo magnetico generato da un sistema arbitrario di correnti stazionarie

• Anche più fili percorsi da correnti diverse

• Il risultato è sempre Legge di Ampère

Rotore del campo magnetico

• Finora abbiamo considerato le correnti trasportate da fili conduttori

• I risultati trovati possono essere estesi a sistemi descritti dalla densità di corrente

• Supponiamo di analizzare un sistema caratterizzato da una densità di corrente

J(x,y,z)

• Ricordiamo che la condizione di corrente stazionaria implica

• La legge di Ampère diventa

• Applichiamo il teorema di Stokes al primo membro Per l'equazione di continuità avremo

Rotore del campo magnetico

• Per concludere dimostriamo che il campo

B

• Calcoliamo il rotore

• Ancora una volta

∇

r

• Elaboriamo l'integrando utilizzando la formula ( vedi diapositiva )

• Poniamo temporaneamente

u = r – r'

• Il primo e il quarto termine sono nulli

• L'operatore

∇

r′

113639

Rotore del campo magnetico

• Pertanto l'integrando si riduce a

• Introduciamo nella formula dell'integrale

• Dimostreremo che il primo integrale è nullo

• Nel secondo integrale (vedi elettromagnetismo 1 diapositiva 207)

• Inseriamo nell'integrale

Rotore del campo magnetico

• Per completare la dimostrazione dimostriamo che il primo integrale è nullo

• Si tratta di tre integrali, uno per ciascuna componente

• Ad esempio la componente x

• ∇

r − r′

• Possiamo fare agire

∇

r′

• Utilizziamo l'identità (vedi diapositiva )

• L'integrale della componente x diventa

• In magnetostatica

∇

⋅J(r′) = 0

• Il primo integrale può essere trasformato con il teorema della divergenza

• Facendo tendere la superficie all'infinito l'integrale è nullo

113639

Magnetostatica ed elettrostatica

• Riepiloghiamo le leggi fin qui trovate per l'elettrostatica e la magnetostatica

• Elettrostatica

• Magnetostatica

Unità di misura

• Le dimensioni e le unità di misura del campo di induzione magnetica

B

• Assumiamo

E = 0

• Nel sistema MKSA le dimensioni del campo

B

• L'unità di misura nel sistema MKSA è il Tesla, simbolo T

• Un campo magnetico di un Tesla esercita la forza di 1 N su una carica di 1 C che si muove con una velocità di 1 m/s

• Il campo magnetico terrestre è dell'ordine di 10⁻⁵ T

• È molto utilizzato un sottomultiplo improprio: il Gauss G

• Improprio perché in realtà è l'unità di misura nel sistema CGS

• Le dimensioni sono diverse

• Tuttavia, numericamente, 1T = 10⁴ G

• Il campo magnetico terrestre è dell'ordine di 0.1 G

• Notiamo infine le dimensioni di

B

E