Sopra una classe di problemi variazionali di ordine n.
N~Tx~I~ B ~ V ~ O ~ s ~ I (Pavia) (*) (**)
S u n t o . - Considerati gli integrali eurvilinei dello spazio i n ]orma parametriea relativi a Froblemi
variazionali di ordine n, con n > 3, nella ]orma i n eui, i n base a quanto ~ state stabilito nei casi n = 2 e n ~- 3 da S. Cinquini, risultano indipendenti dal parametro, vengono svelte, i n merito a tall integrali, dapp~ima alc~ene considera~iani ~reli~inari. Nel seguito si perviene a teoremi di continuitS, dei ~ a l i t'A. intendc, in u n tavoro ~uceessivo, usu#uire per stabilire, mediante la semieontinuit~, teoremi di esistenza dell'estremo assoluto degli integrali stessi.
I risultati ottenuti nella presente Memoria gid pongono in luee notevoli diversit5 ehe il ease n > 3 presenta rispetto ai casi n = 2 e n = 3 sopra indicati.
I n u n ~ ~ e m o r i ~ di M c u n i ~ n n i f a (~) S. C i ~ q v I ~ i h~ p o s t o i f o n d a m e n t i della t e o r i a r e l ~ i v a ~d u n a classe di problen~A v ~ r i a z i o n a l i dello sp~zio, di o r d i n e s u p e r i o r e , v a l e a d i r e h ~ s t a b i l i t o c o n d i z i o n i ~ffinch6, n e i c~si n = 2 e n = 3~ gli i n t e g r M i c m ' v i l i n e i detlo spa zio i n f o r m a p ~ m m e t r i c ~
(1") f O ( x , y, z; x ' , y', z' ; x", y", z"; ...; x (~), y('~, z(~))dt
C ( n
estesi Mla c u r v a o r d i n u r i u C (') (cfr. il n. 3, e, i n p ~ r t i c o l ~ r e , l ' O s s e r v a z i o n e ) r i s u l t i n o i n d i p e n d e n t i d a l p ~ r a m e t r o t (% I n b a s e a tMi c o n d i z i o n i , ~ssunto, p e r semplicit~, c o m e p ~ r ~ m e t r o la l u n g h e z z a d e l l ' a r c o r e t t i f i c a t o , gli i n t e g r N i (1"), p e r n = 2 e
(*) Lavoro esegui~o nell'ambito dei contratti di Ricerca del C.N.R.
(**) E n t r a t a in Redazione il 10 marzo 1971.
(1) S. CINQUI~I, Sopra i ]ondamenti di ~tna elasse di probtemi variazionali detlo spazio, Rend. del Circolo Matematieo di PMermo, S. I I , T. VI, (1957), pp. 271-288.
(~) ]~ da rieordare che una diversa impostazione per problemi variazionali in forma para- metrica di ordine superiore ~ stata d a t a da H. S. P. GR~SS~R, fl quale, in luogo della me- trlca euclidea, assume la metriea di Fiusler. Cfr., per es., a questo proposito, It. S. P. G~Xs- s]~, A monograph on the general theory oj second order parameter-invariant problems i n the calculus o] variations, Math. Commun. Univ. of S.A. M2, University of South Africa, Pre.
toria (1967); On a general Hamilton-Jaeobi theory Jor m.th order single integral calculus o]
variations problems - P a r t 2: The paran~eter-invariant case, in corse di stampa nei Rendi- conti dell'Istituto Lombardo di Seienze e Lettere, (vol. 105).
Rieordiamo anche the il problema della semieontinuit~ e quollo della esis~enza dell'estremo assoluto sono stati trattati, con procedk'mento diverse, per una elasse generale di integrali.
Cfr., per es., A. W. J. STODDAR~, Semieoutinuity o] integrals, Trans. Math. See., 122 (1966), pp. 120-135; Existence o] optimal controls, Pacific Journ. of Math., 20 (1967), pp. 167-177;
A n existence theorem Jor optimal stochastic ~rogra~n~ing, The Journ. of the Australian Math.
See., 8, parte I (1968), pp. 114-118. Cfr. anche la seeonda parte delia (~') del presente lavoro.
9 - A n n a l i d i 3 I a t e m a l i c a
130 X. ]~EI~BU~I ONESII: Sopra u n a e~asse di problemi variazionati di ordine n
n = 3, si p r e s e n t , n o , r i s p e t t i v a m e n t e , nella, f o r m ~
C(- -) C(~)
dove, essendo C (~ e C (~ c u r v e ordJnarie e s 1~ ]unghezz~ delFareo rettific~to, risult~
{ ~t~ -~ X~ y ~ - - X ~ y ~ , ~),z ~ y ' z ~ - - y ~ % ~ , ~.02 ~ Z' ~ ' - - z ~ ~ ~ , (3") u~ = ~'y"~--~'~y' , % = y ' z ~ ' - - S ' z ' , w:~ = z,x,~, S , ss, ( v ) .
I n m e r i t o ~g]i integrMi (2*), in un~ Memori~ successiv~ (~), lo stesso A u t o r e h~ otte- n u t o , m e d i ~ n t e 1~ semieontinuit'~, t e o r e m i di esistenz~ d e l l ' e s t r e m o ~sso]uto (~).
Ci si~mo, or~, p r o p o s t i di consider~re, come ~ quMehe A n t o r e 5 s e m b r ~ t o degno di interesse, gli i n t e g r M i (1") rel~tivi ~ p r o b l e m i v~ri~zionMi di ordine n > 3 nell~
f o r m ~ in cui r i s u l t ~ n o i n d i p e n d e n t i dM p ~ r a m e t r o t, e di p e r v e n i r e ~ t e o r e m i si~ di s e m i c o n t i n u i t ~ , cui si p r e m e t t e u n o studio della~ contimfit~, sia di esistenz~ d e l l ' e s t r e m o
~ssoluto.
I~el p r e s e n t e l~voro (~'), consider~ti gli integrMi (1") nell~ f o r m ~ in eui, in b~se Ml~
i m p o s t ~ z i o n e d a t ~ p e r i c~si n : 2 e n = 3 nel l~voro eit~to in (~), risult~no indi- p e n d e n t i dM p ~ r ~ m e t r o , vMe ~ dire
(I) 5 ~ = | F ( x , y, z; x', y', z'; us, v~, w~; ...; u,,, % , ~ e , ) d s , C{n~
dove, essendo C ~'~ u n ~ c u r v ~ o r d i n a r i a (cfr. il n. 3) e s la l u n g h e z z a delt'~rco r e t t i - fiegto, vMgono le p r i m e t r e delle (3"), ed
u~_~D~-Sus, v i = D i - S v 2 , w ~ = D i - ~ w ~ , ( i = 3 , 4 , . . . , n ) ,
(2,) Per l'espressione di u s, v2, ws e u s, vs, ws nel caso in cui il p~rametro non ~ Is lun- ghezza dell'arco rettificato, cfr., nel lavoro citato in (1), il n. 6. Ta, li espressioni vengono ripor-
~ate nelle (4) del presente lavoro.
(s) S. CI•QUI•I, Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei i~ ]orma parametrica, Annali di Matematica pura ed applicata, S. IV, T. X L I X , (1960), pp. 25-71. Tale Memoria, in seguito, verr~ chiamata brevemente Memoria C.
(~) In merito agli integrali (2"), cfr. unchc N. BEB~va:I 0>~STI, Sopra le estremali relative ad integrali eurvilinei dello spazio in ]orma parametriea, Annali di Matematica pura ed ap!oli- cata, S. IV, T. L I I , (1960), pp. 79-106; Sopra le estremaloidi relative ad integrali curvilinei dello spazio in ]orma parametriea, Annali di 5[atematica pura ed ~pplicata, S. IV, T. L I I , (1960), pp. 219-246; Sopra aleune propriet5 delle estremaloidi relative ad una elasse di problemi varia- zionali, AnnMi della Scuola Normale Superiore di Pisa, S. I I I , T. XV, (t961), pp. 327-335;
A proposito delte estremali relative a integrali eurvilinei detlo spazio in ]o,~a para~n~triea, Bollettino U.~.I., S. I I I , Vol. 16, (1961), pp. 465-475.
(v) I1 contenuto del presente lavoro ha formato oggetto di una comunicazione tenuta al I X Congresso dell'U.M.I. (Bari, 27 settembre- 3 ottobre 1971).
N. B E ~ V T I O~EST~: Sopra u n a dasse di problemi variazionali di ordine n 131
ci timitiamo, p e r r~gioni di sp~zio, a stubilire ~lcuni t e o r e m i di continuit{ b rinvi~ndo a d u n lavoro suceessivo le u l t e r i o r i ricerche.
Premesse, ne] § 1, atcune generalit~ r e l a t i v e agli integrali (I), nel § 2 vcngono svolte, in m e r i t o ~lle espressioni di u~, v , , w , , alcune considerazioni, dalle quali risulta che, m e n t r e nei due casi p a r t i c o l a r i n ---- 2, n = 3 le u . , v~, w~ sono espresse dalle differenze che figurano ~1 secondo m e m b r o delle (3*), p e r n > 3 le espressioni di us, v~, w . si p r c s e n t a n o nella f o r m a pifi complessa d a t a dalle (19) e (20) del n. 7.
Cib d e t e r m i n s n o t e v o l i c o m p l i e a ~ o n i e d i v e r s i ~ tr~ i c~si n ~ 2, ~----3 cit~ti e i l caso n > 3, le q u s h si r i v e l a n o gi~ ~ proposito del p r o b t e m a dell~ con~inuit~ r e l a t i v o agli i n t e g r a l i (I), cui ~ d e d i e a t o il § 3.
I n f ~ t t i , m e n t r e la c o n t i n u i t ~ degli integr~li
C(n) Ctn) C(n)
sopra u n a c u r v a o r d i n a r i a C~ ~) di lunghezza L o > 0 v i e n e stabiliSa (n. 9), come per n----3, nella classe di t u t t e te c u r v e ordin~rie C(')~ e s t e n d e n d o o p p o r t u n ~ m e n t e il p r o c e d i m e n t o seguito p e r n = 3 nella ~¢[emori~ C, he1 caso in cui la c u r v a Co ~') c o s t i t u i t a da u n solo punto~ ed ~ quindi L0 = 0, tale c o n t i n u i t ~ n o n sussiste nella classe di t u t t e le c u r v e ordinarie C (~), m a soltanto (n. 11; cfr. anche le Osserva- zioni I e I I ) in u n a o p p o r t u n a classe F di curve ordinarie C('), definit~ nel n. 10.
5[ediante l~esempio de1 n. 13, ch% per scmplicit~, viene dato nel c~so n = 4, e che p r e s e n t a p~rticol~re interesse~ si p o n e in luce corn% se si considera un~ sueeessione di c u r v e ordinnrie C~ ) (m = 1~ 2, ...) n o n a p p s r t e n e n t i ~ F, la c o n t i n u i t ~ degli inte- grati (II), p e r n = 4, pub m~nc~re.
L a considcrazione della classe F h a richiesto n u o v i p r o c e d i m e n t i dimostra%ivi nei quali, m e d i a n t e delicate considerazioni c o p p o r t u n i artifici, si sono d o v u t e supe- r a r e v a r i e difficolt~.
Nei nn. 1~ e 15 v e n g o n o considerati alcuni casi particol~ri, in cui si f o r m u l a n o condizioni sufficienti~ m a n o n necessari% come v i e n e verii~cato, uffmch~ sia soddi- s f a t t a 1~ condizione (y) che i n t e r v i e n e nella definizione della c i t a t a classe F.
Inoltre~ m e n t r e la c o n t i n u i t ~ degli integ~.~li (II) sopra u n a eurv~ ordinaria C (~) c o s t i t u i t a da u n solo p u n t o sussiste, come gbbiamo detto~ soltanto nell~ classe /"
di c u r v e ordinarie C ~), la c o n t i n u i t ~ sopra tale c u r v a C(o ~) degli integrali (III)
f (x'y,~)-x(,,,y')ds ,
f (y' z(~)--y(~)z')ds , f (z' x(~)--z(~)x')dsC(n) C(n) C(.)
si stabilisce (n. 12) nella classe di t u t t e lc c u r v e ordinarie C(%
Tale risulta.to fornisce ta c o m p l e t a estensione ~1 caso n > 3 di quello o t t e u u t o per n ~ 3 nella Memoria C. P e r a l t r o , m e n t r e p e r n - - 2 e n = 3 gli integrali (IX) coincidono con gli integrali (III), p e r n > 3 le u ~ v.~ w. n o n sono espressc~ come a b b i a m o d e t t o , r i s p e t t i v a m e n t e d~lle differenze x' y(~) - - x(~)y'~ y' z ( . ) - yC~)z', z' x (~) - -
132 N. BERI~VT~ O~EST~: Sopra una classe di problemi variazionali di ordine n
--z(~)x ', m a dalle pifi c o m p l e s s e s o m m e ehe f i g u r a n o nelle (19) e (20); e cib d e t e r - m i n a il d i v e r s o c o m p o r t a m e n t o che, n e l p r o b l e m a i n q u e s t i o n % p r e s e n t a n o gli inte- grali ( I I ) r i s p e t t o agli i n t e g r a l i ( I I I ) .
l~ileviamo, infin% ehe i r i s u l t a t i o t t e n u t i n e l p r e s e n t e ] a v o r o contengono~ c o m e easo p a r t i e o l a r e p e r z ~ 0, quelli c o r r i s p o n d e n t i p e r gli i n t e g r a l i e u r v i l i n e i d e l p i a n o i n ~ o r m a p a r a m e t r i e a (~).
1 . - G e n e r a l i t h .
1. IJA F U N Z I O X E t ~ . -- P r e m e s s o che si c h i a m a cam2o A o g n i i n s i e m e di p u n t i dello spazio (x, y, z) c o n t e n e n t e t u t t i i suoi p u n t i di a c c u m u l a z i o n e p o s t i al finito, sin F ( x , y, z; $', y', z'; u2, v~, w2; ...; u~, ~ , w~) ( d o v e n ~ u n q u a l u n q u e i n t e r o posi- t i v o , c o n n > 3 (6)) u n a f u n z i o n e (6,) d e f i n i t a e c o n t i n u a , a s s i e m e ~lle p r o p r i e d e r i v a t e p a r z i a l i del p r i m o o r d i n e F ~ , / ~ , / ~ . , i n o g n i p u n t o (x, y, z) d e l c a m p o A, p e r o g n i t e r n a di v a l o r i r e a l i n o n t u t t i n u l l i (x', y', z') (7), e p e r t u t t i i w l o r i reali di u~, v~, w~, (i = 2 , 3, ..., n) la q u a l e , i n o l t r e , sin p o s i t i v a m e n t e o m o g e n e a di g r a d o 1 r i s p e t t o ~ x', y', z', v a l e ~ d i r e sin, p e r ogni k > 0, ~ ( x , y, z; kx', ky', kz'; u~, v~, w2;
...; u~, v~, w~)---- kF(x, y, z; x', y', z' ; u~, v~, w~; ...; u~, v~, w~). P o s t o ~ ( x , y , z ; O, O, 0;
u~, v~, w~; ... ; u~, v~, w ~ ) = 0, 1~ f u n z i o n e F r i s u l t ~ c o n t i n u ~ ~nche p e r x'---y'----z'----O e p e r i v ~ l o r i s o p r a n o m i n a t i di x, y, z, u~, v~, w~, (i = 2, 3, ..., n).
2. L ~ FUr~ZIONE ~ DI WEIE~STR~SS. -- Si definisee, p e r o g n i p u n t o (x~ y, z) di A, p e r o g n i t e r n ~ di v ~ l o r i reuli n o n t u t t i nulli (x', y', z'), e p e r t u t t i i v a l o r i reali di
(2) Per quanto riguarda fl caso piano, per q~ ---- 2, cfr. S. C I N Q U I N I , Sop~'a i proble~i varia- zionali in ]orma parametrica dipendenti datle der~vate di ordine superiore, Annali della Seuola Normale Superiore eli Piss, S. I I , Vol. X I I I , (1944) [1947], pp. 19-49.
(6) Dai risultati del presente lavoro si deducono, come caso particolare, quelli ottenuti nclla Memoria C per n----3. Invece nel easo n = 2, mentre sono valide, come easo parti- colare, le considcrazioni dei §§ 1 e 2, non si possono applicare i proccdimenti dimostrativi del § 3. L a differenza tra i casi n---- 2 e n = 3 8 gi~ stata posta in evidenza nella citata Memoria C.
Rileviamo, inoltre, che i risultati del presente lavoro, nel caso particolare in cui 8 z~- 0, forniseono quelli corrispondenti relativi agli integrali curvilinei del piano in forma parametrica (cfr., a proposito del caso piano, per n---- 2, la (5) del presentc lavoro); cib vale, natural- mente, anehe per l'esempio del n. 13.
(6,) In~roduciamo gi~ ora le ipotesi relative aria funzione /7 e le generalita eontenute nei seguenti nn. 2 e 4, anche se nel presente lavoro non intervengono; di esse intendiamo usufruire per ottenere, in un lavoro sueeessivo e in base ai risultati ottenuti nella presente
~emoria, teoremi di semieontinuit/~ e di esistenza dell'estremo assoluto.
Rileviamo che, per fl procedimento dimostrativo che in tall teoremi seguiremo, non ci poniamo helle diverse ipo~esi, relative alia funzlone /7, formulate da altri Autori; efT., per es., L. C]~sA~I, L. H. T U R N ~ , D. SANeH~Z, A. W. 5. S~ODI)ART.
(7) Ricordiamo che ogni terna di valori reali (x', y', z') per i quali 6 x '2 + y'~ q- z '~ = 1 si chiama normallzzata.
N. BERI~I~TI O~ESTI: Sopra una elasse di problemi variazionali di ordine n 133
u~, v~, w, (i : 2, 3, ..., n), u , , v,, w~, la funzione g di V~*~m~ST~ASS nel seguente modo
(1) g(x, y, z i x'~ y', z'; us, v~, w~i ...i u~_~, %_~, W~_l; Un, V~, W~; Un, Vn, Wn) :
= F(x, y~ z; x', y', z'; u~, v~, w~; ...; u~, v , , w ~ ) - - - F ( x , y, z; x', y', z' ; u~, v.~, w~; ...; u~, v~, ~ ) - -
- - [ ( u ~ - - ~ , ) ~ . ( x , y, z; x', y', z' ; us, v.~, w~.; ...; v~, v~, ~ ) +
+ (v.--~)F..(...) + (w.--m~)F~(...)].
Tale funzione risult~, ovviamente, continua assieme alle proprie d e r i w t e parziali del primo ordine rispetto u ~ , v~, w, in ogni punto {x, y, z) di A e per i valori sopra nominati di x', y', z ~, u~, v~, w~, ( / = 2 , 3, ..., n), u~, v~, w~, e positiv~mente omogenea di grado 1 rispetto a x', y', zt
Considerat~ 1~ figurativa, relutiv~ al punto (x, y, z) di A e ai valori x'~ y'~ z',
~2 ~ V2 ~ W2 ~ " " " ~ ~n--1, q ) n - - i , Wn--1,
T = F ( x , y, z; x', y', z'; u~, v~, w~; ...; u._~, v~_~, w._~; u~, ~ , w,~),
evidente che nell'iperspazio (u., v . , w~, T) lu funzione ~ definita dall~ (1) r~p- present~ la differenz~ tra le ordinate, corrispondenti ~lla tern~ ( u ~ v , , w~), 4ella figurativa e delriperpiano t~ngente ad essa nel punto
({., v., w~, F(x, y, z; x', y', z' ; q,~, v~, w~; ...; u~_l, v~_~, w~_~; u ~ v~, ~ ) ) .
3. I~E CURV~] ORDINARYE C (n) :E L ' I N T E G R A L E ~C(.). -- (n) Chiamiamo e u r v a o r d i n a r i a C (~
ogni eurva rettifieabile
O ( " : x : x ( s ) , y = y ( s ) , z : z ( s ) ,
(0<s<.~L),
dove, qui e in t u t t o il seguito, s ~ la lunghezza dell'arco rettificato, per la quale le funzioni x(s), y(s), z(s) sono assolutamente continue in {0, ~ ) a s s i e m e alle proprie derivate dei primi n - - 1 ordini, ogni punto (x(s), y(s), z{s)) appartiene al campo A, ed esiste finito l'integrale (s)
(I) c' =.! ~x(s), y(8), z(s); x'(s), y'(s), z'(s); us(s), v.,(s), w:(s);... ; u~(s), v,(8), w,(s))d8,
C(n)
(s) Qui e nel seguito del presente lavoro l'integrabilit~ 6 intesa, salvo avviso diverso, ne]
senso di L~BESOUE.
134 N. BEI~RUTI ONESTI: Sopra una elasse di problemi variazionali di ordine n
d o v e ~ (")
(2)
us(s) -- x ' ( s ) y ~ ( s ) - - x " ( s ) y ' ( s ) ,
8 Z ~ 8
v~(s) = y ' ( s ) z " ( s ) - - y ( ) ( ) ,
~ ( s ) = z ' ( s ) x f f s ) - - z q s ) x ' ( s ) ,
o a n c h e , i n d i e a t i c o n t , tt, v i eoseni d i r e t t o r i d e l l a b i n o r m ~ l e della e u r v ~ C (~) neI p u n t o (x(s), y(s), z(s)) e c o n 1 / R la flessione r e l ~ t i v a ~llo stesso p u n t o ,
% ( s ) - 1~' v~(s) = y ~ ,
(3) ui(s) = D~-~u,(s), vi(s) = JO~-2v~(s), wi(s) = Di-%v.~.(s), (i = 3, 4, ..., n ) . I n o l t r e e o n v e n i ~ m o che ogni e u r v ~ e o s t i t u i t a d~ u n solo p u n t o ~ un~ e u r v a ordi- n a r i a C (~, p e r la q u a l e ~ 3~(~,~ = 0.
OSSEaVAZm~E. -- Se le e q u a z i o n i d e l l a e u r v a o r d i n a r i a C (~) sono d a t e d a x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) , (to<t<t~), d o v e , e s s e n d o s o d d i s f ~ t t e p e r le f u n z i o n i x(t), y(t), z(t) in (to, tl) le c o n d i z i o n i indi- c a t e atl'inizio del p r e s e n t e n~amero i n m e r i t o alle l u n z i o n i x(s), y(s), z(s), il toara- m e t r o t n o n ~ la l u n g h e z z a d e l l ' ~ r e o r e t t i f i c a t o , l ' i n t e g r a l e ~(~) ~c(~) ha la forma
= f F ( x ( t ) , y(t), z(t); x'(t), y'(t), z'(t); U~(t), V2(t), W~(t); ... ; U~(t), V~(t), W,(t)) dt, (I*) 3 ("~c(~)
d o v e , in luogo delle (2) e (3), si h a (cfr. la l ~ e m o r i a c i t a t a in (i)) r i s p e t t i v ~ m e n t e
(~)
U~(t) = x'(t) y"(t) - - S ( t ) y ' ( t ) [x'~(t) + y'~(~) + z'~(t)]~- ' V~(t) = y ' ( t ) z " ( t ) - - y " ( t ) z ' ( t )
[x'~(t) + y'~(t) + z'~(t)]~ ' W~(O = z ' ( t ) S ( t ) - - z"(t)x'(t)
[x'~(t) + y'~(t) + z'~(t)]:~ '
dU~_~(t) dt 1 dU~_~(t)
U,(t) -- dt ds -- ~/x'~(t) + y'~(t) + z'~(t) dt '
dV~_~(t) dt 1 dV~_~(t)
V~(t) -- dt ds -- ~/[c~(t) + y,2(t ) _1_ z,~(t) dt '
dW~_l(t) dt 1 dWi_lit)
W d t ) = dt ds V%'~(t) + y'~(t) + z'~(t) dt ' (i 3, 4, ..., n) .
(9) Cfr. la (2,) del presente lavoro.
N. B E ~ V T I O~U, ST~: Sopra una olasse di problemi variazionali di ordine n 135
Poich~ l'integrale (I*) risulta, per quanto ~ stato stabilito nella ~ e m o r i a citata in (1) e in virtfi 4elle (4), i n d i p e n d e n t e dal parametxo t, scelta, come parametro, la lunghezza dell'arco rettificato, l'integrale ~ ) oc(~, assume, quando si tengono presenti le (2) e (3), la pifl semplice forma (I).
Nel presente lavoro assumiamo appunto, per sempticitg, come p~rametro, l~ lun- ghezza deH'arco rettificato.
4. D]~FI~IZIONI. -- L'integrate 3 ~ ) si chiama:
a) quasi-regolare positivo~ se
in ogni p u n t o (x, y, z) del campo A, ]per ogni t e r n a di valori reali non t u t t i nulli (x', y', z'), e per t u t t i i valori reali di ~ , v~, w~ (i = 2 , 3, ..., n), u~, v~, w~;
b) quasi-regolare positivo seminormale, se ~ quasi-regolare p o s i t i v o , e se in cor- rispondenza ad ogni p u n t o (x, y, z) del campo A, a qualunque t e r n a di valori reali n o n t u t t i nulli (x'~ y', z'), e a ogni 3 ( n - - 2 ) - p l ~ di v~lori reali u~, v~, w~, ..., u,~_~, v._~, w,_~ esiste almeno u n a Serna di valori reali (~n, v., ~ ) , tale ehe risulti
per t u t t e le terne di v~lori reali (g~ v,~, w.) non coincidenti con ( ~ , v,, ~ ) ; c) quasi-rego~are positivo ~wrmale, se in ogni p u n t o (x, y, z) de1 campo A, per qualunque t e r n a di valori reali non t u t t i nulli (x', y', z'), e per qualunque 3(n --2)-pla di valori reali di u~, v~, w~ (i = 2, 3, ..., n - - l ) , risult~
~(x~ y, z; x ~, y*, z~ ; q~.~ va; qz~; ...; q~_~ vn_~ ~z._~; ~n~ vn~ Wn; ¢ ~ Vn, ~Vn)~ 0 per t u t t e le coppie di t e r n e di ~alori reali ( ~ , v~, ~.), (u~, v., w~), con (u~, v~, w~) d i s t i n t a d a ( ~ , v~, ~ ) ;
d) regolare 2ositivo, se in corrispondenza ad ogni p u n t o (x, y, z) di A, ad ogni t e r n a di valori re~li non t u t t i nulti (x', y', z') e a d ogni 3{n--2)-pla di valori reali uo, %, w~, ...~ un_~, vn_~, wn_~, e in corrispondenz% inoltre, ad ogni t e r n a normaliz- zata ~, ~, ~ e a d ogni n u m e r o ~ * > 0, esiste u n numero m * > 0, in modo che sia (5)
>m*[(u~--~,,) 2 ÷ ( v ~ - - ~ ) ~ ÷ (w,, -- ~,)~]
per t u t t e le t e r n e di valori reali (~n, v., w~)~ (u~, v~, Wn), con (u,, vn, w,) dis~in~a da ( ~ , v~, w~) (~0), ~ali che sia V~u; -]- ~ -~ w2.<0 *, ~/u~ + v~ + w.~<0 *, e che 1~ cord~
(lo) ]~ ovvio chese valgono contemporaneamente le uguagli~nze un = Un, vn = v~, wn = w..
1~ (5) ~ senz'altro verificata.
136 ~ . BE~RL~wI O~EswI: Sopra q~na classe di problemi variazionali di ordine
a v e n t e estremi nei p u n t i P~ ~= (u~, % , w,) e _P, ~ (~,, v~, @~) abbia coseni direttori
e) definito [semidefinito] positivo, se ~ F > 0 I F > 0 ] in ogni p u n t o (x, y, z) del campo A, per qualunque t e r n a di valori reali non t u t t i nulli (x', y', z'), e per t u t t i i valori reali di u~, v~, w~ {i ----2, 3, ..., n) (~).
OSSE~VAZ~0~E. -- L~ definizioae del c~poverso d) del presente numero, qu~ndo~
~erme restando le ipotesi de1 n. 1 relutive ulla Iunzione F, esistono finite e continue
~nche le deriv~te p~rziali del secondo ordine dell~ funzione F rispetto ~ u . , v., w~
equivMente ~llu seguente:
~(n)
L ' i n t e g r a l e c~.) si chi~ma regolare positivo se ta, f o r m a qLu~dratic~
(6)
:¢:l~....(x, y, z; x', y', z' i %, v2, w~; ...; ~ , %, w.) ~-+ ~ ~,.~(...) + y"~o ~,o(...) + 2~.o,~(...) + ~y~%~.(...) + 2~r~.~,o(...)
~Fdefinita positiva i n ogni p u n t o (x, ?4, z) del campo A, per ogni t e r n a di valori reali n o n t u t t i nulli (x', y', z'), e per t u t t i i valori reali di le~, v¢, w~ (i = 2, 3, ..., n).
Cib si verifica procedendo in modo analogo a quello seguito per gli integrali curvi- linei dello spazio in f o r m a parametrica per problemi variazionati del primo ordine (~).
Vale a dire, supposto e h e l a f o r m a qua.dratica (6), che indichiamo brevemente con Q(x~ y, z; x', y', z'; u2, v~, w,; ...; u , , v,, w,; a, fl, 7), sia definita positiva, e conside- r a t i u n qualunque p u n t o (x, y, z) del campo A, u n a qualsiasi t e r n a di valori reali noll t u t t i nulli (x', y', z'), u n a q u a l u n q u e 3 ( n - - 2 ) - p l a di a, alori rea.li t~, v~, w~ ..., u,_~, v,__~, w,_~, u n a qualsiasi t e r n a normalizzata ~, ~], ~ e u n qualunc~ue numero Q* > 0, sia 2m*, con m* > 0, il minimo di Q calcolata per il s u d d e t t i valori a, y, z~
a', y', z ~, q~,, v2, w~, ..., u~_~, v,_~, w,_~ ~, ~, ~, a] variare di (u..~ v,~ w,) nella sfera, ~*
a v e n t e il centro in 0 --~ (0, 0, 0) e raggio ~*. Siano P , ~ ( ~ , , v , , @ . ) e P , - - --- (u,, v~, w~) due p u n t i qualsiasi distinti a p p a r t e n e n t i alla, sfera ~* tali c h e l a eorda avente estremi nei p u n t i P , e P , abbia eoseni dire%ori ~ V, ~, e sia ~ ta loro dista.nza.
Tenendo presente che 6
u . = ~ . + 5 ~ , v ~ = ~ . + 5 ~ , w ~ = ~ + 5 ~ ,
(11) Dalle definizioni date si ottengono, come ~ noto, quelle analoghe per gli integrali jo~..) quasi.~egolare negativo, quasi-regolare negativo se~inormale, quasi-regolare negativo ~ormale, rego- lave negativo, definito negativo, semi-definito negat~vo, quando, in luogo del segno ~ , vale fl segno < .
(12) ~'. BERRVTI 0NESTI, .~ pTO~O8itO di una classificazione di integ~ali cu~'vilinei dello spazio ne~ calcolo dette variaz~ni. Rendieon~i del Circolo Ma~ematieo di Palermo. S. II, T. X. (1961).
pp. 233-261. Cfr., in laarficolare, il m 8 e l'0sservazione dello stesso n. 8.
N. B]~m~v~ OSEST~: Sopra una dasse di problemi variazionali di ordine n 137
si ha, ricordando 1~ (1), (6')
--- F(x, y, z; x , y , z , u~, v~, w~; ...; u~, v., w~)
~ ~.~(x, y, z; x', y', z'; u~, v~, w~; ...; u~, v~, ~ ) - -
--
[(u~
--~)/~,,(x,
y, z; x', y', z'; u~, v~, w~; ... ; u~, v~, ~ . ) -4- + (v~ - ~ ) ~ o ( . . . ) + (w~,-- ~32~,~(...)] == ~ d~(x, y, z; x', y', z' ; u~, v~, w~; ...; ~,, d- ~ , ~, d- ~ , ~ + o~ ~)
3
d~ d~0
ro
-- ~[~F~(x, y, z; x', y', z , u~, v~, w~; ...; u . , v~, ~ ) + V2%~(...) + ~F~(...)] =
0
=ji~[~o(~, ~, z; x', ~', ~'; ~,, v~, ~,;...; ~ + ~ , ~,~ + ~ , ~o + ~ ¢ / -
t3
- - ~ ( x , y, z; # , y', z'; u~, v~, w~; ...; u~, v~o, N~] ÷
+ ~ [ f ~ ( . . . ; g,~ + e~, 5~ + o~, ~ + ~¢) - - 2Co(...; u~, v~, ~,~)] + + ~-[2~(...; g~ + ~ , ~ + .o~, ~ + ~g) - - ~.~(...; u~, v~, ~o~)]}~o =
dt
o o
q
+ ~7 d----~- dt + ~ dt dt d~ =
~. q o o
'
o o
+ ~ ' ~ , , ( . . . ) + ¢ ~F ~ ( . . . ) + 2 ~ U F ~ ( . . . ) + 2~¢f~,~o(...) + 2 ¢ ~ ( . . . ) ] d t =
O O
(dove~ qui e nel seguito del presente numero, l'integr~zione ~, ovviamente, intes~
seeondo M_E~'GO~I-CA~0~Y), d~ cui, poieh~ il p u n t o ( ~ d-t~, ~ + t~, ~ d-t~) ~plo~r- tiene MI~ sfera D* segue n ~
fa 6
0
vMe ~ dire 8 verifieat~ l~ condizione enunci~t~ in d) deI presente nttmero.
138 N. BElCRUTI O~ESTI: Sopra una elasse di problemi variazio~ali di ordine n
Viceversa, se 3(~0.) ~ r e g o l a r e p o s i t i v o secondo la definizione d a t a r~eI c a p o v e r s o d) del p r e s e n t e n u m e r o , c o n s i d e r a t o u n q u a l u n q u e p u n t o (x, y, z) del e a m p o A, u n a qualsiasi t e r n a di v a l o r i r e a l i n o n t u t t i nulli (x', y'~ z'), u n a qualunque 3 ( ~ , - - 1 ) - p l a di v a l o r i r e a l i u~, % ~ w~.; ... ; un_~, v~_~ ~ w._~; u~., vn, w~, e u n a qualunque ~erlla nor-
l - - 2 --2 - - 2
+ w ~ , e il ma~lizz~ta ~, ~, $, si~ @* u n q u u l u n q u e n u m e r o , con @*> ~¢u~ + v~ sia. m*
n u m e r o p o s i t i v o eorrisponden~e~ secondo la definizione d a t a in d), ai v~lori conside- r a t i x ~ y ~ z , x ' , y ' , z ' , u ~ v ~ w ~ . . . ~ u ~ _ ~ , v ~ _ ~ , w ~ _ ~ e @*. Allora, se P~---
- - (u~, v~, w.) 5 u n p u n t o q u a l u n q u e d i s t i n t o da P~ - - ( ~ , v~, @~), p e r il quale X/u~+ y~-~ w~<@*, e t a l e c h e t~ r e t t a c o n g i u n g e n t e P~ e P~ a b b i a eoseni d i r e t t o r i
~,~, ~, r i s u l t a , i n d i e a t a con g la d i s t a n z a t r a P~ e P . , e t e n e n d o p r e s e n t e l~ (6') e ia (5),
fdo(Q(x, y, z; x', y', z'; u~, v~, w2; ...; ~ + t~, ~. + t~, @~ + t~; $, ~h ~)dt-~
0 0
= g(x, y, z; x', y', z'; u~, %, w~; ...; u~_~, v~_i, w~_~; u~, v~, w~; u~, v~, w ~ ) > m * ~ ~ , e ~nche, a p p l i c a n d o il p r i m o t e o r e m a della m e d i a , indic~ndo con t u n o p p o r t u n o v a - lore di (0, @), e i n t e g r a n d o ,
~ 2
~Q(x,
y, z; x', y', z'; u~, v~, w~; ...; ~ + ~, ~ + it/, ~ + ~$; ~, V, O > m * S h quindi, d i v i d e n d o a m b o i m e m b r i p e r ~ e p a s s a n d o al l i m i t e p e r ~ - * 0 , segue ehe 1~ eondizione s o p r a e n u n c i a t a r e l a t i v a alla (6) ~ s o d d i s f a t t a .5. I ~ < r o l ~ o (@)'~ DI UNA CURVA OI~DI~AI~IA C(% - a) D a t a u n a c u r v a o r d i n a r i a C(~)-o di l u n g h e z z a .Lo > 0
C~)" x = xo(s), y : y o ( s ) , Z=Zo(S), ( O < s < Z o ) .
0 *
(dove ta l u n g h e z z a s d e l l ' a r c o r e t t i f i c a t o ~ c o n t a t a a p a r t i r e dal p r i m o e s t r e m o , se la c u r v a ~ a p e r t a , e d a u n p u n t o e o n v e n i e n t e m e n t e seelto, se la c u r v a ~ ehiusa) e c o n s i d e r a t o u n n u m e r o ~, con 0 < @ < 1, d i c i a m o c h e l a e u r v a o r d i n a r i a C ~)
C(": x ---- x((~), y y ( a ) , z : z((~), (0 < a < L ) (~8)
(dove ~ 6 la l u n g h e z z a d e l l ' a r c o r e t t i f i c a t % e a n c h e p e r ~ v a l e q u a n t o a b b i a m o s o p r a r i l e v a t o a p r o p o s i t o della lunghezza s) a p p a r t i e n e a l l ' i n t o r n o (@)" di Co (~), q u a n d o possibile d e t e r m i n a t e u n a f u n z i o n e ~(s)~ (04S<Lo), con ~ ( 0 ) : 0 e ~ ( Z o ) : Z , con-
~inu~ a s s i e m e all~ p r o p r i a d e r i v a t a del p r i m o ordine (f(s), con
(7) l--@<o'(s)<l+@, (0 < s </]o),
(t3) Si intende the b, come risult~ dalla (ti) successiva, L > 0.
N. BERRT~T~ O~ES~£: S o p r a u n a elasse di p r o b l e m i v a r i a z i o n a l i d i ordine n 139
i n m o d o e h e p e r o g n i s di (0,/~0) sia (~a)
(s)
t~(~(s))
- ~o(~)l < ~o,dg r J~=a(s) d 8r !
[ a,~(~)]
da ~ J ~ ( ~ ) #~°(~) ds'<e
'ly(~(s))-
y0(s)l <~o,[ dry(<]
da ~ J ~ ( ~ )I~(~(8)) - z 0 ( . ~ ) l < e ; d'yo(S) <
ds" 0 ;
(r = 1 , 2, ..., n , - - 1 ) .
b) N e l easo i n eui la e u r v a o r d i n a r i a C ("~ g c o s t i t u i t a d a u n solo p u n t o (xo, Yo, z°), - - 0 d i e i a m o ehe h~ e u r v a o r d i n a r i a C (') c o n s i d e r a t a n e l p r e e e d e n t e e a p o v e r s o a), con L > 0 (err. la (~3)), a p p a r t i e n e a l l ' i n t o r n o (@p di ~,(') ~o , se p e r q u a l u n q u e a di (0, Z)
si h a
(9) Ix(a) - - xo ! < q , ly(~) - - 21o l < ~o, tz(o') - - Zo I < ~o,
e se p e r qualsi~si c o p p i a di v M o r i d i s t i n t i a~, a~ di ( 0 , / ) ) s o n o v e r i f i e a t e le d i s u g u a - g l i a n z e
~ d'y(a~) d ' y ( % ) I << @ ~ da" < o~
1 d~x(~) d~x(~) i < q , ,
(10) ] da" da" ' da ~" da" I
(r = 1, 2, ..., n - - l ) . I n o l t r e o g n i c u r v a C (~} c o s t i t u i t a d a u n solo p u n t o (x, y, z) a p p a r t i e n e M l ' i n t o r n o (@)~
di (:,(~ q u a n d o 6 ~ 0
IX-Xol<~, ly-yoI<~, I~-~o1<~,
OSSE~VAZZO~E. - C o m e ~ n o t o (la), d a l l a (7) s e g u e c h e l a l u n g h e z z a L di o g n i c u r v ~ ordina.ria C (~ ~ p p a r t e n e n t e M l ' i n t o r n o (@). d e l l a c u r v a o r d i n a r i ~ ~(") a v e n t e ~ 0 t u n g h e z z u Lo > 0, s o d d i s f a all~ d o p p i a d i s u g u a g l i a n z a
(11)
( 1 - - @)Lo < L < ( 1 ÷ @)Lo,e ehe i n o l t r e , se la e u r v a v oC, (') 6 e o s t i t u i t a d a u n solo p u n t o , s u p p o s t o
(11')
@ 4 2 - - ~ , 1(1~) L a definizione del presente capoverso e quella del capoverso b) sono la naturale esten- sione di quelle che, per n = 2 e n = 3, figurano nella 3Iemoria C (off. n. 5, a) e b), e n. 25, a) e b)).
(la) Cfr., nella Memoria C, il n. 5, c) e d) del Cap. I, § 1.
140 N. BER~UTI O~NESTI: Sopra una elasse di problemi variazionali di ordine n
ogni eurv~ ordinari~ C (") ~ p p ~ r t e n e n t e a l F i n t o r n o (~o)" di Co ~n~ hu lunghczza, L p e r 1~ qu~le
(12)
z,<~VSe.
6. S~IICO~'TINUITt E COI~TINUITJk DELL'I~TEGtCALE J~i~. - a) Si dice che l'iate- gr~le ~ ) ~ , ) ~ ]unz~one semieontinua inferiormente sull~ c u r v a ordinaria -oC(") quando, preso ~d arbitrio u n n u m e r o s > 0, ~ possibile d e t e r m i n ~ r e u n ~:> 0 in modo che la disugu~glianza
"I(n)
sia verificata per t u t t e lc c u r v e ordinaric C("~ che a p p ~ r t e n g o n o a l l ' i n t o r n o (~)"
della C~ ~).
Se -~(n) ~c~.) ~ f u n z i o n e s e m i c o n t i n u a i n f e r i o r m e n t e su ogni c u r v a ordinaria C('), si dice che ~).~) ~ ]unzione senvivontinua inferiormente.
L~ definizione di semieontinuith, superiore si deduce dall~ p r e c e d e n t e sostituendo alla (13) 1~ disuguagliunza
(n) ~("0 ) - ~ s
~c ~'~) ~ C°"
b) Si dice~ inoltre, che Pintegr~le ~ i ~ ~ ]unzione continua sulla c u r v a ordinaria C(o ") qua~ndo, preso ad a r b i t r i o u n n u m e r o s > 0, ~ possibile d e t e r m i n a r e a n 9 :> 0 in m o d o c h e l a disuguagli~nza
sia verificata p e r t u t t e le c u r v e ordinaric C (n) ehe a p p a r t e n g o n o a l l ' i n t o r n o (Q)"
della C~ ").
Se ~(),,) ~ fuuzione c o n t i n u a su ogni curv~ ordinaria C ~n), si dice che J~X.) ~ ]un- zione continua.
2 . - C o n s i d e r a z i o n i p r e l i m l n a r i .
7. :EsPRESSIOI~I D I Un~ Vn~ COn, -- a ) O s s e r v i a m o
che~ poich~, tenendo presente
l ap r i m ~ delle (3) e delle (2), ~ u . = D n - : ( x ' Y " - - x ' t Y ') (~), u s u f r u e n d o della formul~ di
(is) Nel seguRo del presente numero, per le funzioni ~e,,(s), Vn(S), w,~(s), x'(s), y'(s), z'(s) ...
x(")(s), y("~(s), z(")(s) viene omessa, per brevitY, la varlabile indipendente s.
Osserviamo inol~e ehe nel easo par~icolare n----2, essendo D"-2(x'y'~--x"y ') = x'y~--x~Y ', la (19), tenendo presente la (18), ~ senz'alSro valida senza svolgere alcun caleolo; analoga osservazlone si pub fare per il easo partieolare n = 3 , essendo D'-~(x'y"--x"y') = x ' y " - - x " y ' . Analogo rilievo vale per le vn, wn (n = 2, 3), e la (20).
N. BERR~TTI O~ESTI: Sopra ~tna elasse di problemi variazionali di ordine n 141
L ~ z z si o t t i e n e
p-2 p-2
e a n c h e , e s s e n d o
(16)
q-~n P e r t a n t o , p o i c h 6
r ! ( n - - r - - 1 ) ! r i s u l t a
, , , ~ ( n ~ } ' ~ _ 2 ~ ) ! 1)x(,+~)y~,,) u~ ---- x y(") - - x(~) y -F ~ - - ~ J - v , - - . _ , - - . _ _--
T--1 T
..1 ~ * ' - - :[1 J "
e ~nche, p o s t o , p e r b r e v i t Y ,
(18) A~., =
(19)
1)
(r = 1 , 2, . . . , n - - 2 ) ,~-~.~ (n --rl(n_r_l)!2) ! (n - - 2r - - 1) x(~+l)y(,_, )
( n - - 2 ) ! ( n - - 2 r - - ] ) r ! ( n - - r - - 1 ) !
~n = ~ ~t~ ~x(~+lly ("-r)
(r = O, 1, ..., n - - 1) ,
P r o c e d e n d o i n m o d o a n a l o g o , q u ~ n d o si t e n g ~ n o p r e s e n t i la s e c o n d a e 1~ t e r z ~ delle (2) e (3), si o t t i e n e
~ - - 1 n - - 1
(20) v~ = ~ A~.,y('+I)z(~-') , w~ = ~ A~sz('+l)x(~-') .
r " O ,r=O
b) O s s e r v i a m o t h e , t e n e n d o p r e s e n t e 1~ (16), lu (15) p u b a n c h e e s s e r e s c r i t t ~ n e l l ~ f o r m ~
(21)
u~ = x'y(")--x(~)y'-+- ( n 1 2 ) [x" y("-1)--x(~-l)y"] -~ ... +x(--r) y(,+l)].
142 N. B E ~ u m ~ ONESTI: Sopra u n a classe di problemi variazionali di ordine n
Allora, d i s t i n g u e n d o il caso in cui n ~ p~ri d~l caso in cui n ~ dispari, p e r n p~ri si p o s s o n o s o m m ~ r e , ~t seeondo m e m b r o della (21), ~ due a due i t e r m i n i in eui figt~r~
in p a r e n t e s i qu~dr~, lu stess~ differenz~ con segno opposto, e, ~ncor~ t e n e n d o pre- sente l~ (16), si o t t i e n e
~n
_
e anche, t e n e n d o conto delle (17) e (18),
u.--= ~_. A~,,~[x~+~)y ~ .... )__x(,. ~ly(,+,'>].
r=O
P e r n dispari, si possono a n e o r a s o m m ~ r e , al secondo m e m b r o della (21), a d u e d u e i t e r m i n i s o p r a indie~ti, t e n e n d o p r e s e n t e che, in questo eas% fl t e r m i n e
- -
" ( n 7 2 ) [x(~+~)y("-*)--x('-~)y(~+l)], che figura, a l l ' u l t i m o m e m b r o della (21), p e r r =
n - - i
-- b, c o m e f a c i l m e n t e si p u b verificare, mflto, cosicch~ in ogni caso si o t t i e n e 2
(22) ~- = i A~ ,[x~'+l> y<~-r~ _ x~-,> y< ~+~>]
r=0
n n - - I
d o v e g v = - - - 1 p e r n p a r i , e ~ = - - - - 1 p e r n dispari.
2 2
I n raodo analogo, q u a n d o si t e n g a n o p r e s e n t i la s e e o n d a e la t e r z a delle (2) e (3), si o t t i e n e
v
v~ = ~ X , . ~ [ y < ~ + ~ z ~-~') - - yC~-~z<,+~>].
i
~ F¢~(t+l) ~ ( n - r) - - Z(n-~') X(r-~l) ]~ 0
d o v e p e r il n u m e r o v v a l e 1~ preeis~zione f ~ t t a s o p r a W)-
(17) _& complemento di quanto abbiamo rilevato nella seconda parte della (i~), osserviamo che 4alle considerazioni svolte nel testo per n dispari, si ritrova che nel caso particolare n = 3, gi£ considerato nella Memoria C, l'espressione di ua si presenta molto semphce, poich~ vi figu- rano, come in quella di u2, soltanto due termini. Analogo rilievo vale per va e wa.
~ . B E m % U T I O~ESTI: Sopra una classe di problemi variazionali di ordine n 143
8. ~JLTERIORI O O N S I D : E I ~ A Z I O N I . - - a ) A proposito dei coefficienti A , . , espressi dMla (18), rileviamo che
(23) ( r = 0 , 1, ..., n - - 2 ) ,
come facilmente si verifica, t e n e n d o presente la (18), mediante cMeoti elementari che, per breviti% ometti~mo.
I n o l t r e poiehb si h~, ancora t e n e n d o presente la (18),
risulta anche (24)
( n - - 2 ) ! ( - - n + 2 r ÷ 1 ) A ... t = ( n - - r - - 1 ) [ r !
(r : 0, 1, ..., n - - l ) . b) Le propriet£ relative ai coefflcienti A ~ , rilev~te nel precedente capoverso, si trov~no verific~te nel seguente specchio, ~nalogo al triangolo di TARTAGLIA, spec- chio nel quale l'elemento A.,~, (r = 0, 1, . . . , n - - l ) figur~ ne]l~ linea ( n - - ] ) - m a e nell~ colonn~ ( r + l)-m~ (e nel quMe includi~mo anche i casi particolari n - 2, n = 3),
n = 2 ) 1 - - 1
n = 3) 1 0 - - 1
n ,---- 4) 1 1 - - i - - i
n : 5) 1 2 0 - - 2 - - 1
n : 6) 1 3 2 - - 2 - - 3 - - i
3 . - L a c o n t i n u i t h .
9. U N TEOI~ES~A DI CONTIiNLq[T~k S O P R A UI~TA CLq%VA OI%DINAI~IA ¢(o n) DI LUN@/:[EZZA POSITIVA. -- IJ~ntegfale
(25) ~ = ( t % + P I u ~ f~ P~v~ P~w~)ds
C ( .
dove P~, (i = O, 1~ 2, 3) sono quattro costanti, ~ una /unzione continua sopra ogn~i curva ordinaria C (~)
(26) C~): x----xo(s), y : y o ( s ) , z = z o ( s ) , (0 < s < L o ) , avente lunghezza Lo positiva.
144 N. BEI~:RUTI ONESTI: Sopra una eIasse di problemi variazionali di ordine n
Per dimostrare l'asserto, considerata una qualanqtte cta'v~ ordinaria C (n) app~r-
~enente all'intorno (~)* di C/*) - - 0
C('): x = x ( a ) , y = y ( a ) , z = z ( a ) , ( 0 < a < Z ) ,
(dove a rappresent~ la lunghezza dell'.~rco rettificato), tenut~ presente la (19) e posto, per la curva C (') definita d~lle (26), - - 0
(27) u~°~(s) = ~; A x(~+~)r~ (~-~)'s'
r ~ O
si ha, ricordando 1~ prima delle (3),
/~ Lo
= L n ~ l \ v / J O I. ~ t - - l \ / J 0 = Y ( ~ ) ] o -
o 0
n--B
I (n--l) (n--l) / Lo
Y (~)]o-- [Xo (S)yo ( 8 ) ] o ) - --[Xo(S)yo (s)--Zo (S)yo(,~)]o -r Y.A,,_~.,([z(~+'(a) <"-~-" ~ ('+" ~"-~-" ~° -
-~ x ' ( L ) y ( ~ - ~ ' (L) - - x (~-~, ( L ) y ' ( L ) - - [x'(O)y'~-~) (0) - - x (n-~, ( 0 ) y ' ( 0 ) ] - -
! ( n - - l ) ( n - - l ) ! l ( n - - l ) ( n - - l ) I
--Xo (Lo)yo(Lo)--
- - (Xo(Zo)Yo (Lo) [Xo(O)y o ( o ) - x o (O)yo(O)] } + 2 o
dove, per brevitY, abbiamo post.o
(2s)
n - - 3
= ~A._~,~{x (L)y ( L ) - - x (O)y ( 0 ) - -
~0
( r + l ) (n--r--l) i t + l ) (n--v--l)r = l
(r+l) (n--r--l) (r+l) (n--r--l)
- [ x o (Zoly o (L o ) - x o (O)yo (0)]}.
Con evidente artificio si pub scrivere anche
Z Z o
u ~ ( s ) ds = x'(L)[Y~-'(L) --Yo~-'(Lo)] ÷ ( ~ - " ~ '
0 0
_ y'(L)[x(,,-1)(.L) _ x(on-1)(Lo)] - - X(o=-~)(Lo)[y'(L) - - y'o(Lo)] - - x ' ( O ) [y(.-~)(O) - - y(on-~,(O)] - - -yo'n-~) (o)[x ' ( o ) - x~(o)] + ~ ' ( o ) [ x ' n - ' ( o ) - x~n-" (o)] + x~n-'(o)[y' ( o ) - y'o(O)] + Zo,
d~ cui, tenendo presenti la quarta e la quinta delle (8), ricordando che ~, per ogni a di (0, L), Ix'(a)l<l, ly'(a)l<l, e indicato con H il mussimo dei valori assoluti di x o(~(s), Yo(~)(s), e z~)(s), (i = 2, 3, ..., n - - l ) in (O, Lo), segue
(29)
L. Zo
'f
i ..,~(~)a~ ¢~(8)d8 : <4(i + ~t)o + l&l.
O 0
N. BERRTdTI OmnmSTI: Sopra ~na elasse di problemi variazionali di ordine n 145
Ora osserviamo che la (28) si pub scrivere, con evidente artificio,
~ ( r + l ) ( T ) r ~ ( n - r - 1 ) , ' / - ~ ( n - - r - l ) " ( r + l ) ' ( r + l )
- Yo (zo)] + yo (zo)tx ~ L ) - - x o (Lo)]--
~'=1
--x('+~)(0)[y ( . . . . "(0) --Yo ("-~-" (O)]--yo ("-'-~) (O)[x ("+" (O)--xo ('+" (0)]} =
"/¢--3
( r + l )
- A _ ~ . / [ x (Z) c~+, ( . - ~ - . - - Yo ( . - ~ - . (Zo)]
-- -- x o (Lo)][y (L) +
_~_ ( r + l ) ( n - r - l ) ( n - r - - l ) ( n - - v - l ) ( r + l )
xo (Lo)[y (L)--Yo (Lo)] + Yo (Lo)[x ( L ) - - x ~ + ' ( L o ) ] - -- [x(~+'(°) -- x~='(O)][Y("-~-'(o) - Yo("-~-" (o)]-- x(~+'o ~o '~(~ty ... "0"~ J--Yo("-~-"O'~ --~ JJ
~ o ( n - - r - 1 ) l P . \ F ~ ( r + l ) 'D,', ~(r-F1)/#'1',3"1
- - Y O ~,U) LW k U / - - % kU)J/ '
e quindi, per la quarta e la quinta delle (8), ricordando il significato del numero H sopra indicato, si ha
IZ'oI<2(~+-oH)~ 5, IA~-~.~l.
r = l
Allora, posto
dall~ (29)
n - S
Ao = Z IA._, .1,
(30)
segue
L £o
ifun(a)da--fu~](s)ds
0 o
< 2 1 2 ( 1 + B ) + (e + 2 ~ ) A ° ] e .
1)rocedendo in modo analogo, quando si tengano 9resenti le (20), e posto
si ottiene
(31)
(32)
n - - 1 'n--1
A (.+1, (.-r) w r°~(s) = A (,,+1) ( . - , ~ ~ ,
v~°~(s) = ,~ .,.Yo (SlZo (s), ~: .,~zo (S)Xo ( ~ ,
r = 0 r = 0
L Z o
0 0
£ i, o
f
w•(a)da--fw:l(s)ds <212(1 -}- H) + (~ + 2H)Ao]~.0 0
l~ertanto, tenendo presente la (25), e tenendo conto della (11) e delle (30), (31), e (32), si ha
c~, c,;,t<{IPolLo+e(IPlt+tP~r+IP~I)[e(I + H ) + ( e + 2 H ) A o ] } q , da cui in modo o~wio segue la (14).
1 0 - A n n a l i d i AIalematiea
1~6 N. B E R ~ ' T I ONESTI: Sopra una elasse di problemi variazionali di ordine n
10. CLASSE F DI CURVE ORDI~'~,IE C(% - a) Solora u n a q u a l u n q u e c u r v e o r d i - n a r i ~ C ") c o s t i t u i t a d a u n s o l o p u n t o l ' i n t e g r a l e - - 0
~C(,,) c(~(Po + P(gn -~- PeqJn @ Pa~'n)ds ,
(25) ~ '
c o n s i d e r a t o n e l n. 9, p e r n > 3 n o n ~ f i m z i o n e c o n t i n u a n e l l a c l a s s e d i t u t t e le c u r v e o r d i n a r i e C(~)~ c o m e r i s u l t a d a l l ' e s e m p i o c h e v e r r ~ d a t o n e l n. 13.
T u t t a v i ~ si p u b s t a b i l i r e 1~ c o n t i n u i t ~ d e l l ' i n t e g r a l e (25) s o p r a u n a q u a l u n q u e c u r v e Co (~) c o s t i t u i t ~ d a a n s o l o p u n t o , q u a n d o si e o n s i d e r i u n ' o p p o r ~ t m ~ cla.sse d i c u r v e o r d i n a r i e C (~), q n g l e la, e l a s s e F c h e d e f i n i ~ m o n e l e g p o v e r s o b) s e g u e n t e .
b) C h i a m i a m o classe/'l'insieme d i t u t t e le e r a ' r e o r d i n a r i e C (~) le q u a l i : o s o n o c o s t i t u i t e d a u n s o l o p u n t o , o p p u r e , e s s e n d o
(33) C(~): x = x(s), y = y(s), z : z(s), (0 <~s<~.L),
con L > 0, s o d d i s f a n o a ] l a s e g u e n t e c o n d i z i o n e :
(y) i n c o r r i s p o n d e n z a a o g n i c u r v e ordina~ria -o(;(~) c o s t i t u i t a d a san solo p u n t o 1
e a o g n i e > 0 p i c c o l o a d a r b i t r i o e s i s t e u n ~ o > 0 , c o n 0 < ~o~<~-~g (is), i n m o d e che p e r o g n i c u r v e C (') d c f i n i t a d a l l e (33) a p p a . r t e n e n t e a l l ' i n t e r n e (Qo)" d i C(('), v i s o n o M m e n o 6 ( ) ~ - - 2 ) v a l o r i ~,.(i = 1, 2, ..., 6; r =: 1, 2, ..., n - - 2 ) d e l r i s p e t t i v o in- t e r v a l t o (0, L ) (19) t a l i t h e r i s u l t i
, f l - - 2
I f ~ l " ' !
I n - - 2
; ¢ = 1
do,re i c o e f I i c i e n t i A ~ , (r = 1, 2, . . . , n - - 2 ) s o n o e s p r e s s i d ~ l l ~ (18)(.2o).
(is) Cfr. la (11") del n. 5.
(19) Tall valori, da un late, possono essere variabili al variare delia eurva C (~') nena elasse 1", e, d ' a l t r a p a r t e , non sono neeessariamente distinti, e quindi, in partieolare, le (34) possono essere t u t t e e tre verifieate per uno stesso valore g di (0, L). Cfr., inoltre, quanto viene rilevato, in merito atle (34), neI n. 11, a).
(so) l~ileviamo ehe tale condizione non segue neeessariamente dalie (t0), come ~, posto in luee dall'esempio del n. 13.
Osserviamo, inoltre, ehe nel ease partieolare n = 3, essendo, per la (18), As.1 = 0, le ~re somme ehe figurano al primo membro delle (34) sono mille, ossia le (34) sono automatiea- mente soddisfatte; vale a dire la elasse 1' definite nel n. 10 coincide, per n = 3 , con l'insieme di tutlbe le curve ordinarie C (a).
N. B]~nRu¢I O ~ s ¢ I : Sopra u n a classe di problemi variazionali di ordine n 147
] l . 17:N T:EOlC~A DI COI~TINUIT~ SOPRA UNA CURVA 01~DINA/~IA C (n) COSTITUITA - - 0 D)~ ~'N SOI~O I~U~TO. -- Nella classe F di curve ordinarie C ~ l'integrale
(25)
C ( n )
dove P~, (i = 0 , 1, 2, 3) sono quattro costanti, ~ f u n z i o n e continua sopra ogni curva ordinaria C (~) costituita da u n solo p u n t o . - - 0
a) P e r d i m o s t r a r e l'~sserto (~) i n c o m i n c i ~ m o ~ r i l e v a r e t h e dall~ eondizione (y) del n. 10 segue che in e o r r i s p o n d e n z ~ ~ ogni c u r v ~ C/~) cos*ituit~ da u n solo p u n t o - - 0 e ~ ogni d > 0 piccolo ~d ~rbitrio, si p u b d e t e r m i n a t e u n @ ' > 0 , con @ ' < 2 V ~ , t t a l e che p e r quMsiusi c u r v ~ orclin~ria C (~) di /~ definita dalle (33) e a p p u r t e n e n t c
~ l l ' i n t o r n o (@')~ di C ('~ r i s u l t a - - 0
'~Z--2
• , , 5
' r = l
: n - - 2
(35) L I ~2 A ~,('+~)~s ~,~-,)co
' r = l
' n - - 2
m ~ . ( r + l ) / s ~ ~ ( n - - r ) [ o
L I ~ = X = I . . . ~ 5 . ~ ~ ~ " e , , ' /
<8',
qu~lunque siano i v~lori s~.~, (i = 1, 2, ..., 6 ; r = 1, 2, ..., n - - 2) del r i s p e t t i v o inter- v~llo (0, L) (per i qu~li~ o v v i ~ m e n t e , v~le l ' o s s e r v ~ z i o n e f a t t a in (~9)).
L i m i t i a m o c i ~ p r o v ~ r e 1~ p r i m u delle (35). T e n e n d o p r e s e n t e che, in virtfi delle p r i m e due delle (10), p e r q u a l u n q u e eurv~ ordin~riu
C(~: x---- x ( s ) , y = y ( s ) , z = z ( s ) , ( 0 < s < L ) ,
a p p a r t e n e n t e ~ l l ' i n t o r n o (@)" di Co ~) esistono a l m e n o d u e v a l o r i ~+~, V~_~ di (0, L) p e r i quali g
(36)
s u p p o s t o @<@o, dove @o ~ il n u m e r o che, in virtU1 della, condizione (y), corrisponde
(31) Poich~ per ogni curva C (~1 d i F c o s t i t u i t a da un solo punto, essendo (~) 3c(~)=0, l'asserto evidente, nel seguito del presente numero consideriamo soltanto le curve C (~) di / ' di lun- ghezza L > 0 .
148 N. BERRUTI O>TESTI: S o p r a u n a classe di p r o b l e m i v a r i a z i o n a l i di ordine n
r
s = ~ , si h~, con e v i d e n t e ~rtificio (:~),
(37)
x ( ' + ' ( s ~ , , ) y ( ' - " ( s ~ , , ) = [ x " + " ( s ~ , , ) - - x ( ' + ~ ( ~ , + ~ ) ] [ y { ~ - ' ) ( s ~ , , ) - -y(~-')(~,,)] -{-
+ x.'+,(~.+~)[y(~-.(s~..) - - y(~--(~..)] + [y<"-.~(~..) - - y('-'(~.._.)][x<'+~(s~..) - - x(.÷,(.~..)] + + y{"-")(W_.)[x~'+~)(s~.) -- x<'+~'(~..)] + x , ' + ~ ) ( ~ . ) y ( ~ - , ( ~ . ) . e quindi ~nehe
n - ~. ~ - 2 n - 2
~'=i r=-i r = l
P e r t ~ n t o , t e n e n d o p r e s e n t i le p r i m e due delle (10), le (36), 1~ prim~ delle (3~) e, essendo o ~ 1 1~ (12), si o t t i e n e
(3s)
~r=Z Z
dove, per b r e v i t ~ ubbiamo p o s t o
~--2
(3o) A ' = ~ IAo,,I.
11/s--;
A l l o r ~ i n d i e a t o con
e'
il m i n o r e dei due n u m e r i ~o e ~ [ ~ , l~ prim~ delle (35) risutt~ verific~t~.I n modo ~nMogo si verificano lg seconda e l~ terz~ delle (35).
b) Cib premesso~ si~ C ~) un~ quMunque eurv~ ordinarig dell~ classe F r~p- present~t~ dMle (33) e g p p g r t e n e n t e Ml'intorno (~)~ di ~0~(")" T e n e n d o presente 1~ (19), e osservando che la f u n z i o n e x'(s)y<~)(s)--x¢')(s)y'(s) 6 integr~bile in (0, Z), si h~
L L L
f fr-
(40) u , ( s ) d s = x ' ( s ) y ( ~ ) ( s ) - - x ( ' ) ( s ) y ' ( s ) ) d s -F ~ A , , , x ( ' + I I ( s l y ( " - ' ) ( s ) d s .
r - i
0 0 0
Consider~to il p r i m o dei due integrMi che figur~no al secondo m e m b r o dell~ (40), si h~, i n t e g r ~ n d o p e r p~rti, con e v i d e n t e urtificio, e u s u f f u e n d o del p r i m o t e o r e m ~ (22) Pos~o x(~+l)(sl .) = a, y(~-')(s2 ~) = b, x4~+1)(~+1)= a', Y(~'-')(rt.-,.) = b', x(~+1)(~1~) = d , y('~-r)(~2~) = b", la (37) si deduce immediatamente dMla
ab = ( a - - a ' ) ( b - - b " ) ÷ a'(b--b") -~ ( b " - - b ' ) ( a - - a " ) + b ' ( a - - a " ) + a"b",
la quale, se 6 0 < a ' < a" < a, 0 < b'< b" < b, esprime l'uguaglianza tra l'area ab del rettan- golo /~ avente i lati di lunghezza a e b, e la somma delle aree di einque rettangoli in cui R
decomposto mediante parallele ai suoi lati.
~T. BEI~UTI O~EST~: S o ? r a u n a classe di p r o b l e m i variaz~onalg di ordine n 149
della media,
(x'(s)y(")(s) - - x(")(s)y'(s)) ds = [x'(s)y(~-~>(s) - - x ( ' - ~ ) ( s ) y ' ( s ) ] ~ - -
0
L
- - f (x" (s)y(~-~)(s) - - x('-~)(s)y" (s)) ds = x ' (L)[y(~-~)(L) - - y(~-~)(O)J +
o
÷ 6 ~-~)(0)[x'(L) - - x'(0)] - - y ' ( L ) [ x ~ - ~ ) ( L ) - - x~-~(0)] - - x(~-x~(O)[y'(L) - - y'(0)] - -
--L[X"(~) ~n-i)(~)--X'n-1)(~])y"(~)],
dove ~ ~ u n vatore o p p o r t u n o di (0, L), e anche, applicando alla funzione y(~-~)(O)x'(s)--x(~-x)(O)y'(s), considerata sull'intervallo (0, I ) , il t e o r e m a del valor medio,
L
(41) - f ( x ' ( s ) y ( ~ ) ( s ) - - x ( ' , ) ( s ) y ' ( s ) ) ds = x'(L)[yC~-~)(L) - - ¢"-~'(0)] - -
o
- - y'(L)[x(~-x)(L) - - x('~-~)(O)] + L[y('~-~)(O)x"(~) - - x"(~)y(~-~)(~)] A-
+ z[z,=-~(v)y"(v) - y"(~)x"-l)(o)], dove ~ ~ u n valore o p p o r t u n o di (0, Z).
Osserviamo che, u s u f r u e n d o della (37), p e r r = 1, nella quale si assume
si o t t i e n e
L ly(.-~)(O)x"(~) - - x"(V)y(--~,(~) ] < L{ [x'(~) -- x"(~) I Jy(~-~,(O ) -- y(~-~)(~)l + + lx"(~,)I [Y('-~)(o) --Y('-~)07) I + lY('-~)(v)- y('-'(v._~)] tx"(~)--x"(v) ] ÷
+ y('-~)(~._~)l]x"(~)- x"(~)l}, d a cui segue, t e n e n d o p r e s e n t i le p r i m e due delle (10), le (36), e, supposto ~ < X / ~ , 1
la (12), 2 5 - V j
L [ y ( ~ - l ) ( O ) x " ( ~ ) - - x'(~)y(=-~)OT)l<2~(4 V S ~ + 1) ;
e in m o d o analogo, assume
si verifica che
a n e o r a u s u f r u e n d o della (37), p e r r = n - - 2 ,
s l . , = s 2 , = ~ , 5 1 , = 0 , 52., = ~ ,
LIx(,~-l)(~)y"(~) - - y , , ( $ ) x ( , - l ) ( O ) l < 2 ~ ( 4 V 5 ~ + 1 ) .
nella quale si
150 ~ . BEI~I~UTI O~NESTI: Sopra una elasse di problemi variazionali di ordine n
Allora, r i c o r d a n d o che ~ ! x ' ( L ) I < t , l y ' ( L ) l < l , e ~neora t e n e n d o p r e s e n t i le p r i m e d a e delle (10), dalla (41) segue
L
' f < 2 1 1
(42) i (x'(s)y~o~)(=)- x,~,(s)y'(s))d= + ~d4",/g..o-t- 1)].o.
0
/)
A n a l o g h e disuguaglia.nze si o~tengono p e r gli integra.li
j(y'(s)z~'~,(s)--y~'~(~)z'(.s.))d=,
L 0
f(z'(s)x'%~)-~'"~(=)~'(=)) ds (==).
0
c) A p p l i c h i a m o , ora,, M secondo degli i n t e g r a l che figttrano M seeondo m e m b r o della (4;0) il p r i m o ~eorema della m e d i a . T e n e n d o conto della. (t2), dMla (40) segue
(43)
~5
~=(s)d= 1<2[~ + ze(4~/ie + ])]e + L ~:A, ,=('+'(i)y(=-"($),
O
dove ~ e n n v a l o r e o p p o r t u n o di (0, Z).
A n a l o g h e disuguaglianze si o t t e n g o n o , t e n e n d o p r e s e n t i le (20), p e r gli integrMi
L
fv~(s)ds, fw=(s)ds. P e r t a n t o , in ~ i r t ~ delle (35), t e n e n d o p r e s e n t e ehe ~ Y~),
0 o
l ' a s s e r t o g i m m e d i a t o .
OSSE~VAZI0~W, I . - D a l l a d i m o s t r a z i o n e dei t e o r e m i ehe f o r m a n o o g g e t t o del n. 9 e del p r e s e n t e n. 11, risttlt~ ehe o g n u n o degli integrMi
C(n ) C(n) c(n)
funzione c o n t i n u a s o p r a ogni c u r v a o r d i n a r i a C "') di lunghezza positiva, e nella - - O elasse F definita nel n. 10, 5 f u n z i o n e continua, ~nche s o p r a ogni c u r v a o r d i n a r i a e o s t i t u i t a d a u n solo p u n t o .
(~3) Rfleviamo the al rislfltato del presente eapoverso siamo pervenuti senza, usufruire de]le (34), e quindi neppure delle (35) (delle quMi, inveee, si fa uso nel suecessivo eapoverso c)), e perta.nto la. (42) ~ veriiieata, per tu~te le curve ordinarie C (~) (e non sol~n~o per le curve della, classe F) a.ppa.rtenenti a.ll'intorno (O) ~ di C~ "). 0sserviamo, inoltre, che Is dimostra.zione
t ,
del presente teorema, si pu6 effettuare anche tcnendo presente, anzich~ la (40), la fu~(s)ds = o
=[u~_l(s)]~, come nel n. 9. Peraltro in questo modo i calcoli si presentano pifi laboriosi di quell svolti nel testo; e, d'altra p~rte, proeedendo come nel ~esto, risulta dimostrat~, nel presente capoverso b), 1~ eontlnui~£ dell'integrale ;(x~(s)y(,~)(s) -x~'~)(s) y'(s)) ds sopra, una
0
~(') costituita da un solo punto (cfr. il seguen~e n. 12).
curva. ~0
