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SCIOGLIMENTO DEI GHIACCI ARTICI E LIVELLO DEL MARE
INTRODUZIONE
E’ noto che il riscaldamento globale ha l’effetto di aumentare il volume dell’oceano per espansione termica, il quale degassando, vede compromesso il suo ruolo cruciale di assorbitore di anidride carbonica. Inoltre lo scioglimento dei ghiacci sulla terraferma contribuisce, mediante l’immissione di acqua dolce, all’aumento del livello del mare e alla riduzione della salinità, il che comporta conseguenze importanti sulla circolazione oceanica e quindi sul clima. Tutto ciò comporta a sua volta un’ulteriore aumento della temperatura in quanto costituisce un feedback positivo: meno ghiaccio significa riduzione dell’albedo, quindi maggiore radiazione solare assorbita con conseguente aumento della temperatura ed espansione termica dell’oceano e un ulteriore incremento del suo livello medio. Ad essere precisi nell’atto di fondersi il ghiaccio assorbirà calore latente dall’ambiente ed è plausibile che un aumento dell’irradianza comporti maggiore evaporazione e dunque perturbazioni e precipitazioni. E’ innegabile che il pattern presenti una certa complessità. Circolano tuttavia opinioni contrastanti riguardo al contributo dato dallo scioglimento dei ghiacci artici, ovvero se la loro fusione comporti o meno un ulteriore aumento del livello del mare. Lo scopo di questa trattazione è, mediante una matematica molto semplice, analizzare la fisica del problema e rispondere a questa domanda.
Immagine suggestiva di un iceberg, una montagna di ghiaccio che galleggia alla deriva nel mare. Si può notare come la parte emersa sia soltanto il 10% di tutto il suo volume.
IL PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
Il principio di Archimede afferma che: “ogni corpo immerso parzialmente o completamente in un fluido, a causa del gradiente di pressione in esso presente, riceve una spinta verticale dal basso verso l'alto, uguale per intensità al peso del volume del fluido spostato.”
2 In formule:
𝐹𝐴 = 𝜌𝑓𝑔𝑉
dove 𝜌𝑓 è la densità del fluido, 𝑉 il volume del fluido spostato ovvero il volume del solido e 𝑔 l’accelerazione di gravità. D’altra parte se 𝜌𝑠 è la densità del solido immerso la forza peso a cui è soggetto è
𝐹𝑃 = 𝜌𝑠𝑔𝑉 Chiamiamo la risultante “forza di galleggiamento” (buoyancy)
𝐹𝐵= 𝐹𝐴− 𝐹𝑃 = (𝜌𝑓− 𝜌𝑠)𝑔𝑉
Dal segno della differenza di densità si ha il verso della forza che agisce sul solido. Supponiamo che sia 𝜌𝑓 > 𝜌𝑠 : allora il solido immerso tende a risalire in superficie ove galleggia, presentando una parte emersa e una parte immersa 𝑉𝑖 tale da spostare una massa fluida che equilibri il suo peso, ovvero 𝐹𝐵= 0 , facendo attenzione al fatto che ora 𝐹𝐴′ = 𝜌𝑓𝑔𝑉𝑖 e dunque uguagliando 𝐹𝐴′ = 𝐹𝑃 si trova la formula del galleggiamento
𝑉𝑖 𝑉 = 𝜌𝑠
𝜌𝑓
Tornando al ghiaccio in sospensione in acqua di mare (salt water), adottiamo i valori : 𝜌𝑠𝑤 = 1028 𝑘𝑔𝑚−3, 𝜌𝑖𝑐𝑒 = 916,8 𝑘𝑔𝑚−3
𝑉𝑖𝑐𝑒(𝑖)
𝑉𝑖𝑐𝑒 = 𝜌𝑖𝑐𝑒
𝜌𝑠𝑤 ≈ 0,892
UN ESPERIMENTO VIRTUALE
Supponiamo di avere una vasca chiusa (per evitare l’evaporazione) di area 𝐴 riempita con acqua salata fino ad un livello ℎ0 per un volume 𝑉𝑠𝑤 = 𝐴ℎ0. Si immerga ora un cubo di ghiaccio di volume 𝑉𝑖𝑐𝑒 ; il volume finale sarà dato dal volume occupato dall’acqua salata più quello della parte di ghiaccio immersa
𝑉1 = 𝐴ℎ1 = 𝑉𝑠𝑤+ 𝑉𝑖𝑐𝑒(𝑖) = 𝐴ℎ0 + 𝜌𝑖𝑐𝑒 𝜌𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒 da cui il nuovo livello
ℎ1 = ℎ0+𝜌𝑖𝑐𝑒 𝜌𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒
𝐴 per cui si ha un innalzamento del livello dell’acqua
∆ℎ1 = 𝜌𝑖𝑐𝑒 𝜌𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒
𝐴
3 Ora, cosa succede se il ghiaccio fonde? Il livello dell’acqua nella nostra vasca, la quale mima l’oceano, aumenterà, diminuirà o resterà immutato? Bisogna innanzitutto ricordare che il sale non congela, per cui il ghiaccio artico è composto di acqua dolce (fresh water) e ciò rende il mare sottostante molto freddo, denso e salato. Riprendiamo quindi la vasca e aggiungiamo l’equivalente in massa di acqua dolce che rappresenta il ghiaccio sciolto. Poiché la massa si conserva si ha che:
𝜌𝑖𝑐𝑒𝑉𝑖𝑐𝑒 = 𝜌𝑓𝑤𝑉𝑓𝑤 ⟹ 𝑉𝑓𝑤 =𝜌𝑖𝑐𝑒
𝜌𝑓𝑤𝑉𝑖𝑐𝑒 dove assumiamo che 𝜌𝑓𝑤 = 999,8 𝑘𝑔𝑚−3 , 𝜌𝑖𝑐𝑒
𝜌𝑓𝑤≈ 0,917. Allora il volume finale sarà 𝑉2 = 𝐴ℎ2 = 𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑓𝑤 = 𝐴ℎ0+ 𝜌𝑖𝑐𝑒
𝜌𝑓𝑤𝑉𝑖𝑐𝑒 e il livello a cui si trova l’acqua nella vasca sarà
ℎ2 = ℎ0+ 𝜌𝑖𝑐𝑒 𝜌𝑓𝑤
𝑉𝑖𝑐𝑒 𝐴 da cui il relativo innalzamento
∆ℎ2 = 𝜌𝑖𝑐𝑒 𝜌𝑓𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒
𝐴
Si conclude che, partendo dalla configurazione 1), cioè con il ghiaccio immerso nell’acqua salata, se questo si fonde (configurazione 2) ) ci sarà una differenza del livello del liquido nella vasca pari a
∆ℎ = ℎ2− ℎ1 = ∆ℎ2− ∆ℎ1 = (𝜌𝑖𝑐𝑒 𝜌𝑓𝑤−𝜌𝑖𝑐𝑒
𝜌𝑠𝑤 )𝑉𝑖𝑐𝑒
𝐴 = ( 1
𝜌𝑓𝑤− 1
𝜌𝑠𝑤 )𝑀𝑖𝑐𝑒 𝐴 Sostituendo i valori adottati in precedenza si ha che
∆ℎ ≈ 𝑉𝑖𝑐𝑒 40 𝐴
Per esempio, se la vasca ha area pari ad 𝐴 = 1𝑚2, riempita di acqua salata in cui galleggia un cubo di ghiaccio di volume 𝑉𝑖𝑐𝑒 = 0,2 𝑚3 e il livello dell’acqua segna ℎ1 = 1𝑚, qualora questo si sciogliesse si registrerebbe un aumento del livello dell’acqua pari a ∆ℎ = 5 𝑚𝑚 e quindi un nuovo livello ℎ2 = ℎ1+ ∆ℎ = 100,5 𝑐𝑚 ; una crescita piuttosto modesta se si considera la quantità di ghiaccio immersa. Per curiosità, dato che ∆ℎ1 = 0,1784 𝑚 , ∆ℎ2 = 0,1834 𝑚 , il livello dell’acqua prima dell’immersione del ghiaccio era ℎ0 = ℎ1− ∆ℎ1= ℎ2− ∆ℎ2 = 82,16 𝑐𝑚 .
Dall’equazione precedente emerge anche che se il ghiaccio si fosse fuso in acqua dolce il livello dell’acqua sarebbe rimasto invariato, in quanto andando a sostituire a 𝜌𝑠𝑤 la densità 𝜌𝑓𝑤 il termine tra parentesi si annulla e ∆ℎ = 0. Lo stesso accadrebbe qualora il ghiaccio fosse composto di acqua salata.
4 Scioglimento di un cubetto di ghiaccio in un bicchiere di acqua pura. Dalla formula del galleggiamento si ha che 𝜌𝑓𝑉𝑖 = 𝜌𝑠𝑉 , ossia all’equilibrio la massa di liquido spostato eguaglia la massa del solido. Se il ghiaccio si fonde diventando acqua liquida, per la conservazione della massa 𝑚 = 𝜌𝑠𝑉 = 𝜌𝑓𝑉𝑓 da cui andando a sostituire, 𝜌𝑓𝑉𝑖 = 𝜌𝑓𝑉𝑓 ⇒ 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 , ovvero avendo la stessa densità occuperà lo stesso volume del liquido spostato, precedentemente occupato dalla parte immersa del cubetto di ghiaccio. Pertanto, il livello dell’acqua nel bicchiere resta invariato. Seguendo lo stesso ragionamento, se l’acqua fosse salata, poiché a parità di massa l’acqua dolce, essendo meno densa, occupa più volume del liquido spostato, si avrebbe un lieve aumento del livello dell’acqua nel bicchiere a seguito della fusione del cubetto di ghiaccio.
UN OCEANO “DILUITO”
Come menzionato nell’introduzione, un altro parametro importante è la densità. Vogliamo sapere quale sarà il suo valore dopo che lo scioglimento del ghiaccio, ossia dopo che l’equivalente in massa di acqua dolce viene immesso nell’acqua salata. Scriviamo dunque l’uguaglianza
𝜌𝑠𝑤𝑉𝑠𝑤 + 𝜌𝑓𝑤𝑉𝑓𝑤 = 𝜌 (𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑓𝑤) da cui
𝜌 = 𝜌𝑠𝑤𝑉𝑠𝑤 + 𝜌𝑓𝑤𝑉𝑓𝑤 𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑓𝑤
Siccome non conosciamo 𝑉𝑓𝑤 ma sappiamo che 𝜌𝑓𝑤𝑉𝑓𝑤 = 𝜌𝑖𝑐𝑒𝑉𝑖𝑐𝑒 , possiamo concludere che
𝜌 =
1 +𝜌𝑠𝑤 𝜌𝑖𝑐𝑒
𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒 1 +𝜌𝑓𝑤
𝜌𝑖𝑐𝑒 𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒
𝜌𝑓𝑤 ≈ 999,8
1 + 1,121 𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒 1 + 1,09 𝑉𝑠𝑤
𝑉𝑖𝑐𝑒 𝑘𝑔
𝑚3
Perciò misuriamo un decremento nella densità pari a
∆𝜌 = 𝜌 − 𝜌𝑠𝑤 = − 𝑉𝑓𝑤
𝑉𝑠𝑤 + 𝑉𝑓𝑤(𝜌𝑠𝑤 − 𝜌𝑓𝑤) = − (1 + 𝜌𝑓𝑤 𝜌𝑖𝑐𝑒
𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒)
−1
(𝜌𝑠𝑤 − 𝜌𝑓𝑤) la quale diventa, una volta inseriti i valori usati finora
∆𝜌 ≈ −28,2 (1 + 1,09 𝑉𝑠𝑤 𝑉𝑖𝑐𝑒)
−1 𝑘𝑔 𝑚3
5 Per esempio, se avessimo 0,2 𝑚3 di ghiaccio immerso in 1 𝑚3 di acqua salata, dal suo scioglimento
ne conseguirebbe una diminuzione della densità pari a ∆𝜌 ≈ −4,372 𝑘𝑔𝑚−3 da cui 𝜌 ≈ 1023,63 𝑘𝑔𝑚−3 .
CONCLUSIONE
A conti fatti si può affermare che, oltre alla ovvia diminuzione della densità e quindi di salinità che abbiamo quantificato, lo scioglimento dei ghiacci artici provocherebbe un lieve innalzamento del livello del mare, contribuendo purtroppo in maniera positiva al fenomeno, assieme all’espansione termica e allo scioglimento dei ghiacci sulla terraferma.
APPENDICE: derivazione del principio di Archimede
Immaginiamo un cubo immerso in un liquido. In presenza di un campo gravitazionale, aumentando il peso della colonna di fluido, la pressione aumenta con la profondità
𝑝(𝑧) =𝑚𝑔
𝐴 =𝜌𝑔𝑉
𝐴 = 𝜌𝑔𝑧
Segue che la pressione (b) sulla faccia inferiore del cubo è maggiore della pressione (a) sulla faccia superiore; allora il corpo sperimenterà una forza verso l’alto che si oppone al suo peso, mentre le forze di pressione laterali sono uguali e contrarie, per cui si elidono. Volendo generalizzare ad un corpo di forma qualsiasi, si ha (per il teorema di Ostrogradskij)
𝑭 = − ∮ 𝑝 𝑑𝑨
𝜕𝑉
= − ∫ ∇𝑝 𝑑𝑉
𝑉
ma ∇𝑝 = 𝜌𝑔𝒆𝒛 , dove il versore 𝒆𝒛 è orientato verso il basso, e si conclude che
𝑭 = −𝜌𝑔 (∫ 𝑑𝑉
𝑉
) 𝒆𝒛= −𝜌𝑔𝑉𝒆𝒛
