Les Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
2. Les Facteurs de Vue
et le Couplage Radiatif
2.1 Les Facteurs de Vue
2.1.1 Introduction
Les échanges par rayonnement entre deux surfaces quelconques d’une enceinte mettent en jeu deux facteurs différents :
1 - l’angle sous lequel chaque surface est vue par l’autre ; 2 - leurs caractéristiques d’émission et d’absorption.
Le seul cas dans lequel on n’a pas à tenir compte de la première considération, chaque face étant totalement par l’autre, est celui de plaques parallèles infinies. Le cas important mais plus compliqué d’échange dans un système comportant plusieurs surfaces dont les facteurs d’émission et les températures sont différentes, met en jeu la notion de facteur de vue (ou
d’angle) F.
Cette notion s’applique aux échanges radiatifs entre surface à émission et réflexion
isotropes ; en abrège, on parle parfois d’échanges diffus. Hypothèse (valide aussi dans le projet)
Les surfaces considérées seront supposées homogènes, opaques, isothermes et grises.
2.1.2 Echange entre Deux Eléments
de Surface Différentiels
Considérons (Fig.2.1) les deux éléments de surface différentiels plans dA1, à la température uniforme T1, et dA2 à la température uniforme T2, disposes de façon quelconque dans l’espace, séparés par la distance r, cette dernière direction faisant avec les normales aux surfaces, les angles respectifs b1 et b2 (dω1 est l’angle solide sous-tendu par dA2 et ayant son sommet en dA1).
On suppose que les radiosités J1 et J2 des éléments dA1 et dA2 sont isotropes. On rappelle ici la relation liant, dans ce cas, la radiosité J1 à la luminance apparente L1* :
Les Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif ∗
⋅
=
1 1L
J
π
(1)Le flux quittant dA1 et incident dA2 s’écrit :
1 1 1 1 dA2 dA1 2
L
dA
cos
d
d
ϕ
=
∗⋅
⋅
β
⋅
ω
→ (2)On introduit la valeur de dω1 dans (2) :
r cos dA d 2 2 1 2
β
ω
= ⋅ (3) tout en utilisant (1) : r cos cos dA dA J d 1 2 2 1 2 1 dA2 dA1 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = →π
β
β
ϕ
(4)Figure 2.1 – Échange entre deux éléments de surface différentiels.
On appelle facteur d’angle dFdA1 - dA2 la fraction du flux quittant l’élément de surface dA1 (dans toutes les directions), qui tombe sur (ou est intercepter par ; ou est incident sur)
l’élément de surface dA2. C’est donc le quotient de (4) par le flux quittant l’élément dA1 (qui vaut J1 dA1) : r cos cos dA dF 2 2 dA2 -dA1 ⋅ ⋅ ⋅ =
π
β
β
1 2 (5)Les Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
On a affecté le premier membre de (5) du signe différentiel d car il est proportionnel à l’élément différentiel dA2.
On peut encore écrire (5) sous la forme :
d cos dF 1 dA2 -dA1
π
ω
β
⋅ = 1 (6)La (5) montre que le facteur d’angle ne dépend que de la grandeur de dA2, de son orientation relative par rapport à dA1, et de la distance r. L’équation (6) montre que tous les éléments dA2 conduisent au même facteur d’angle dFdA1 - dA2 s’ils sous-tendent le même angle solide dω1 (quand ils sont vus de dA1), et quand ils sont places sur une direction r faisant un angle β1 avec la normale à dA1.
En refaisant le même calcul pour le facteur d’angle dFdA1 - dA2, la fraction du flux quittant dA2 et incidente sur dA1, on trouverait :
r cos cos dA dF 1 2 dA1 -dA2 ⋅ ⋅ ⋅ =
π
β
β
2 1 (7)En comparant les équations (5) et (7) on trouve la relation générale de réciprocité :
2 1 2 dA1 -dA2 dA2 -dA1 dA dA r cos cos dA dF dA dF ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
π
β
β
1 2 2 1 (8)2.1.3 Echange entre Deux Surfaces Finies
Considérons les deux surfaces finies dA1 et dA2 (Fig.2.2). Le flux quittant A1 et incident A2 sera obtenu par une double intégration de (4) sur tous les éléments dA1 et dA2 (ou par simple intégration de (9)) :
∫ ∫
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = → A1 2A 2 1 2 2 1 1 A2 A1 dA dA r cos cos Jπ
β
β
ϕ
(10)Le flux quittant A1 dans toutes les directions vaut : → =
∫
⋅ 1 A 1 1 A2 A1 J dAϕ
Les Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
∫
∫ ∫
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
− 1 A 1 1 A1 2A 1 2 2 2 1 1 A2 A1dA
J
dA
dA
r
cos
cos
J
F
π
β
β
(11)Figure 2.2 – Échange entre deux éléments de surface finie.
Ce n’est que si la radiosité J1 est uniforme sur toute la surface A1 que (11) peut se simplifier en :
∫ ∫
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − A1A 1 2 2 A2 A1 dA dA r cos cos A F 2 2 1 1 1π
β
β
(12)Semblablement, on peut calculer le facteur FA1 -A2 qui vaut :
∫ ∫
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − A2 A 2 1 2 A2 A1 dA dA r cos cos A F 1 1 2 2 1π
β
β
(13)à la condition que J2 soit uniforme sur toute la surface A2.
En fin, il existe une relation importante de réciprocité pour les facteurs d’angle entre surfaces finies. Il suffit de comparer (12) et (13) :
A1 A2 2 A2 A1 1 F A F A ⋅ − = ⋅ − (14)
Cette relation n’est vraie que si, en plus des hypothèses habituelles d’échanges diffus, il y a uniformité des radiosités J1 et J2 sur leurs surfaces respectives A1 et A2. La grandeur
Les Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
k i i
F
A
⋅
− , indiquée parR
i−k est nommée facteur de couplage radiatif entre la surface i et la surface k.2.1.4 Échange réciproque parmi plusieurs surfaces
Considérons maintenant la surface Ai choisie parmi n surfaces isothermes et homogènes qui délimitent un volume (Fig.2.3):
Figure 2.3 – Échange réciproque parmi plusieurs surfaces
La densité d’énergie nette perdue par rayonnement par Ai s’écrit :
i i 4 i i net i
=
ε
⋅
σ
⋅
T
−
ε
⋅
E
φ
et donc, on obtient facilement que:
i i i 4 i i i 4 i i i net i ( T J ) ( T E ) J E 1− ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = − =
σ
ε
σ
ε
ε
φ
On va rapidement parcourir les passages afin d’obtenir l’expression de la densité d’énergie nette perdue par rayonnement par Ai dû aux autres surfaces.
Le flux reçu par la surface Ai s’écrit :
∑
= → →=
⋅
=
n 1 k k i i i iE
A
ϕ
ϕ
oùϕ
k→i=
A
k⋅
J
k⋅
F
ki,Les Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif i, k k n 1 k i i i i 4 i (1 ) J F 1 J T = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
∑
=ε
ε
ε
σ
et en utilisant le symbole de Kronecker, on peut écrire :
∑
=
⋅
=
n 1 k k ik iJ
J
δ
D’où : ki, k i4 n 1 k i ik i T J ] F ) 1 ( [ 1 ⋅ − − ⋅ ⋅ = ⋅∑
=σ
ε
δ
ε
Nous écrirons cette relation pour toutes les surfaces Ai dont on connaît les températures. Pour celles dont on connaît plutôt la densité de flux net perdue
φ
inet, on utilisera la relation :∑
=⋅
−
=
−
=
n 1 k k ik i i i net iJ
E
J
F
J
φ
qui peut s’écrire :
net i n 1 k k ik ik
F
)
J
(
δ
−
⋅
=
φ
∑
=Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
2.2 Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue
À part l’intégration mathématique directe, il existe plusieurs méthodes pour déterminer les facteurs d’angle.
2.2.1 L’Algèbre des Facteurs de Vue
La détermination du facteur de vue de géométries relativement complexes est grandement facilitée par l’utilisation des propriétés spéciales que possède le facteur de vue, sans oublier la relation générale de réciprocité A1⋅FA1−A2 = A2 ⋅FA2−A1 dont on a déjà parlé, et qui est particulièrement importante.
2.2.1.1 Enceintes – Règle d’Addition
∑
= − = n j j k F 1 1Figure 2.4 – Règle d’addition des facteurs de vue dans une enceinte
Si l’on subdivise la surface interne d’une enceinte totalement fermée, telle qu’un four ou une pièce d’habitation (en fait, on peut même ajouter des corps dans l’enceinte et les inclure dans la numération qui suit), en différentes parties numérotées A1, A2, …An on a (Fig.2.4) :
Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
1
1
1
1
1 1 1 3 3 3 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
− − − − − − − − − − − − − − − − n k k k k n n nF
...
F
F
F
F
...
F
F
F
F
...
F
F
F
F
...
F
F
F
soit, en abrège:∑
= − = n j k j F 1 1qui exprime que le flux quittant toute la surface de l’enceinte, par exemple Ak, est nécessairement incident sur l’ensemble de chacune des surfaces de l’enceinte qu’elle peut "voir".
2.2.1.2 Principe de Décomposition
Le but de cette décomposition d’une ou de plusieurs surface en fraction de surface est de ramener la détermination du facteur d’angle à des cas plus simples dont
on connaît la solution par abaque, par un calcul facile ou encore par consultation des auteurs. On sait que dans le cas où la radiosité J1 est uniforme, le flux
ϕ
1→2 quittant la surface 1 et incidente sur la surface 2 vaut :1 2 1 1 2 1→
=
A
⋅
F
−⋅
J
ϕ
(15)On peut établir (15) de façon plus physique et intuitive en notant que le flux quittant A1
vaut
∫
⋅ 1 A1 1 dA
J et si J1 est uniforme, il vaut J1⋅dA1. Puis, par la définition du facteur d’angle 2
1
F− , il est clair que l’expression F1−2⋅(A1⋅J1) est le flux quittant A1 et incident sur A2.
4 3
1
A
A
A
=
+
Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
On considère (Fig.2.5) deux surface diffuses (émission et réflexion) A1 et A2 de radiosité uniforme, J1 et J2. Si la première est décomposée géométriquement en deux surfaces A3 et A4, il
est clair, d’après le principe de conservation de l’énergie, que : 2 4 2 3 2 4) (3+ →
=
ϕ
→+
ϕ
→ϕ
qu’on peut écrire:
4 2 4 4 3 2 3 3 1 2 1 1
F
J
A
F
J
A
F
J
A
⋅
−⋅
=
⋅
−⋅
+
⋅
−⋅
ou, comme R1 = R3 = R4 2 4 2 3 2 1A
F
A
F
F
A
1⋅
−=
3⋅
−+
4⋅
− (16)On remarque que dans le cas présent (décomposition de la première surface nommée dans F1−2, il serait incorrect d’écrire, en omettant dans (16) les "A" :
2 4 2 3 2 1
F
F
F
−=
−+
−Par contre, en appliquent à (16) la relation de réciprocité, on obtient: 4 2 3 2 1 2
A
F
A
F
F
A
2⋅
−=
2⋅
−+
2⋅
− ouF
2−1=
F
2−3+
F
2−4Il s’agit toujours de décomposer la surface (1) ≡ (3) + (4), mais cette fois elle est la seconde nommée dans F2−1. 4 3 1
A
A
A
=
+
A
2=
A
5+
A
6Figure 2.6 – Principe de décomposition où A1 et A2 sont décomposée en deux surfaces
Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
Si maintenant (Fig.2.6) on considère le facteur d’angle entre une surface A1 (subdivisée
en A3 et A4 ) et un surface A2 (subdivisée en A5 et A6 ), on peut écrire, toujours d’après le principe de conservation de l’énergie : 6 4 5 4 6 3 5 3 2 1
⋅
F
1−=
A
⋅
F
3−+
A
⋅
F
3−+
A
⋅
F
4−+
A
⋅
F
4−A
On peut évidemment généraliser cette relation et décomposer chacune des surfaces initiales A1 et A2 en autant de surfaces composantes que l’on désire.
2.2.1.3 Autres Relations de Réciprocité
Selon les géométries particulières et les symétries rencontrées, il existe parfois d’autres relations de réciprocité. On en cite quelques-unes sans les démontrer :
1 - Rectangles diagonalement opposés sur deux plans perpendiculaires ayant une arête
commune (Fig.2.7).
On a:
A
1⋅
F
1−2=
A
3⋅
F
3−4Figure 2.7 – Rectangles diagonalement opposés sur deux plans perpendiculaires ayant une arête commune
2 - Deux paires de rectangles opposés faisant partie de plans parallèles (Fig.2.8). On a :
A
2⋅
F
2−3=
A
4⋅
F
4−1=
A
1⋅
F
1−4 (réciprocité).Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
Figure 2.8 – Deux paires de rectangles opposés faisant partie de plans parallèles
3 - Quatre paires de rectangles opposés faisant partie de plans parallèles (Fig.2.9). On a:
A
3⋅
F
3−6=
A
2⋅
F
2−7=
A
1⋅
F
1−8=
A
4⋅
F
4−5Figure 2.9 – Quatre paires de rectangles opposés faisant partie de plans parallèles
4 - Rectangles perpendiculaires (Fig.2.10). On a:
A
1⋅
F
1−3′=
A
3⋅
F
3−1′Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
Figure 2.10 – Rectangles perpendiculaires
5 - Rectangles parallèles (Fig.2.11)
On a :
A
1⋅
F
1−9′=
A
3⋅
F
3−7′=
A
9⋅
F
9−1′=
A
7⋅
F
7−3′Figure 2.11 – Rectangles parallèles
Remarques - Les cas 2 et 3 ne sont que des cas de dégénérescence du cas plus général 5. Le cas
1 n’est qu’un cas de dégénérescence du cas plus général 4.
2.2.1.4. Conclusion
Dans beaucoup de cas on peut calculer un facteur d’angle en appliquant les relations de réciprocité (la générale et éventuellement les particulières), la règle d’addition, le principe de
Méthodes de Calcul des Facteurs de Vue Les Facteurs de Vue et le Couplage Radiatif
décomposition, l’exploitation de symétries éventuelles, et l’inspection de particularités (voir fin de la Section 2.2.1.1). L’idée est souvent d’exprimer le facteur de vue cherché en fonction de facteurs de vue de géométries connues (par exemple deux rectangles parallèles centres sur la même normale). Un exemple de telle technique, utilisé dans ce projet est le suivant .
Rectangles faisant partie de deux plans perpendiculaires
On a, par le principe de décomposition: (1,23) = (1,2) + (1,3) où (1,23) et (1,2) qu’on a soulignés, obtiennent par abaque ou formule connue (rectangles perpendiculaires ayant une arête commune).
D’où (1,3) = (1,23) - (1,2) c’est-à-dire
