CAPITOLO 2 2.1 ESPRESSIONE DELLA FUNZIONE DI GREEN TRASFORMATA PER UN SISTEMA COSTITUITO DA DUE PIATTI PIANI PARALLELI PEC

CAPITOLO 2

2.1 ESPRESSIONE DELLA FUNZIONE DI GREEN TRASFORMATA

PER UN SISTEMA COSTITUITO DA DUE PIATTI PIANI

PARALLELI PEC

In sistemi in cui vi sia la presenza di pareti metalliche come ad esempio guide d’onda, circuiti schermati e cavità, le condizioni al contorno imposte dalle stesse impediscono l’uso della funzione di Green in spazio libero.

Uno dei metodi usati per determinare la funzione di Green relativa a sistemi di questo tipo consiste nell’applicazione del teorema delle Immagini. Esso consente di continuare ad utilizzare la funzione di Green in spazio libero ma ha il limite di non poter essere applicabile a sistemi con parti metalliche curve, come ad esempio guide d’onda circolari.

Con questo procedimento la funzione di Green viene espressa attraverso delle sommatorie teoricamente infinite che come argomento hanno l’espressione in spazio libero della funzione di Green stessa. Queste serie spesso presentano problemi di convergenza legati alla posizione reciproca fra punto d’osservazione e sorgente.

In questo capitolo, quindi, verrà applicata e discussa la trasformazione della funzione di Green presentata nel precedente capitolo ad un sistema costituito da due piatti piani paralleli PEC. La geometria del sistema in esame è mostrata nelle figure 2.1 e 2.2.

z

y

x

z x zs 0 d

.

a P (x,y,z) figura 2.2

Applicando il teorema delle immagini il sistema in esame diventa quello mostrato nella figura 2.3. d w=2d w=2d zs Z X figura 2.3

Dalla precedente figura si osserva come l’applicazione ripetuta del teorema delle Immagini abbia portato alla formazione di due distinti array. Il primo è costituito dai dipoli elettrici elementari aventi la stessa orientazione del dipolo sorgente la quale è individuata dagli angoli

,1 d

θ e ϕ_d,1 , mentre il secondo è costituito dai dipoli aventi orientazione individuata dagli angoli θ_d,2 e ϕ_d,2 i quali risultano uguali a 2π θ− _d,1 e ϕ_d,1 rispettivamente.

Il significato dei parametri che compaiono in figura 2.2 è il seguente: - d: distanza fra i piatti di cui quello inferiore è posto a z=0

- z_s: altezza del piatto superiore - W: periodicità degli array.

Nel punto di osservazione P x y z

(

, ,

)

il potenziale vettore può essere espresso come la somma dei potenziali prodotti dai due array nel seguente modo

(

)

(

1

)

(

2

)

1 2 1 2 exp exp ˆ ˆ , , 4 m 4 m jkR jkR Jdl Jdl A x y z p p R R µ µ π π ∞ ∞ =−∞ =−∞ − − =

∑

+

∑

(2.1.1)

in cui R₁, R₂, ˆp₁ e ˆp₂ sono dati da

(

)

2 2 2 2 1 1 R =x +y + z −mW con z₁ = − z z_s

(

)

2 2 2 2 2 2 R =x +y + z −mW con z₂ = + z z_s 1 ,1 ,1ˆ ,1 ,1ˆ ,1ˆ

ˆ sin _d cos _{d x} sin _d cos _{d y} cos _{d z}

p = ϑ ϕ i + ϑ ϕ i + θ i

2 ,2 ,2ˆ ,2 ,2ˆ ,2ˆ

ˆ sin _d cos _{d x} sin _d cos _{d y} cos _{d z}

p = ϑ ϕ i + ϑ ϕ i + θ i

2

W = d .

Applicando alla (2.1.1) i passaggi matematici illustrati precedentemente nel paragrafo 1.1, si ottengono le espressioni nel dominio trasformato della (2.1.1):

(

)

2 1 2 2 2 1 0 2 2 ˆ , , 2 jm z W m Jdl m A x y z p e K k x y W W π µ π π − ∞ =−∞  _{ }    = _{ } − + +      

∑

2 2 2 2 2 2 2 0 2 ˆ 2 jm z W m Jdl m p e K k x y W W π µ π π − ∞ =−∞  _{ }    + _{ } − +      

∑

, (2.1.2)

(

)

2 1 (2) 2 2 2 1 0 2 2 ˆ , , 2 2 jm z W m Jdl j m A x y z p e H k x y W W π µ π π π − ∞ =−∞   −   _   _ = _{   } − + +     _   _

∑

2 2 2 (2) 2 2 2 2 0 2 ˆ 2 2 jm z W m Jdl j m p e H k x y W W π µ π π π − ∞ =−∞   −   _   _ + _{   } − +     _   _

∑

(2.1.3)

valida per argomenti immaginari puri.

2.2 ESPRESSIONE DELLA FUNZIONE DI GREEN TRASFORMATA

PER UNA GUIDA D’ ONDA RETTANGOLARE

Per quanto riguarda l’applicazione della trasformazione al calcolo della funzione di Green relativa ad una guida d’onda rettangolare, è stato usato un sistema di riferimento coincidente con quello generalmente usato per lo studio delle guide. Il sistema in esame è quindi rappresentato in figura 2.3 Y X Z a b figura 2.3

dove a e b indicano le dimensioni della guida mentre la posizione del dipolo sorgente è individuata dalle coordinate ,x y e _{s s} z . _s

A questo punto occorre applicare il Teorema delle Immagini rispetto ad entrambe le pareti della guida. Il risultato di questa operazione è mostrato in figura 2.4.

b a Y x 2b 2b 2a 2a figura 2.4

Il potenziale vettore nel punto ( , , )P x y z risulta dato da

(

)

(

(

) (

) (

)

)

(

) (

) (

)

2 2 2 4 2 2 2 1 exp 2 2 ˆ , , 4 _{2 2} i i s i i p q i i s jk x pa y qb z z Jdl A x y z p x pa y qb z z µ π ∞ ∞ = =−∞ =−∞ − − + − + − = − + − + −

∑ ∑ ∑

, (2.2.1) dove

(

)

ˆ _{1, 2} ˆ ˆ _{3, 4} 1, 2 (2 ) 3, 4 1,3 2 2, 4 y i y s i s s i s i per i p i per i x x per i x x a x per i y y per i y y b y per i + =  =  − =  − =  =  _{− − =}  − =  =  _{− − =}  (2.2.2)

L’ espressione del potenziale vettore nel dominio trasformato si ottiene, come mostrato nel parafrago 1.2, applicando la formula di Poisson prima alla coordinata x e poi alla coordinata y. L’espressione che si ottiene è la seguente

(

)

2 2 2 2 2 4 2 2 1 ₂ 2 2 exp ˆ , , 8 _{2 2} i i s j px j qy a b i i p q p q z z k a b Jdl A x y z p e e ab _{p q} k a b π π π π µ π _{π π} − − ∞ ∞ = =−∞ =−∞  _{   }  − − _{ } +_{ } −   _{   }    =   ₊  ₋        

∑ ∑ ∑

(2.2.3)

nella quale ˆ ,p x e y assumono i valori indicati nella (2.2.2). _{i i i}

2.3 RISULTATI DELLE PROVE

Le prove effettuate hanno avuto come oggetto lo studio del comportamento della funzione di Green relativa al potenziale vettore (Potential Green Function) al variare dei principali parametri che influenzano le (2.1.2)-(2.1.3) e (2.2.3).

Relativamente al sistema costituito dai due piatti piani paralleli PEC sono state effettuate delle prove di convergenza al diminuire della distanza fra punto di osservazione e sorgente in quanto questa situazione corrisponde a quella più interessante e critica dal punto di vista delle prestazioni in termini di rapidità di convergenza.

Come mostrato dai grafici 2.1-2.6 anche per questo tipo di sistema il comportamento della serie è simile a quello discusso nel caso di semplice array. Infatti, come si nota dai grafici, al diminuire della distanza del punto di osservazione a, la convergenza della serie nel dominio trasformato inizia a diventare più lenta rispetto a quella nel dominio non trasformato. Il valore di a a partire dal quale si verifica questo fenomeno può essere stimato intorno a W 30.

-2 10-6 -1 10-6 0 1 10-6 2 10-6 3 10-6 0 20 40 60 80 100 POTENZIALE TRASFORMATO f=3GHz, d=0.7λ, a=0.5λ, θ =0°, φ=30° zo=0.5λ, zs=0.1λ RE(Ax) IM(Ax) RE(Ay) IM(Ay) RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.1 -2 10-6 -1 10-6 0 1 10-6 2 10-6 3 10-6 0 20 40 60 80 100

POTENZIALE NON TRASFORMATO f=3GHz, d=0.7λ, a=0.5λ, θ= 60°, φ=30° zo=0.5λ, zs=0.1λ RE(Ax) IM(Ax) RE(Ay) IM(Ay) RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.2

-5 10-6 0 5 10-6 0 20 40 60 80 100 POTENZIALE TRASFORMATO f=3GHz, d=0.7λ, a=0.1λ, θ =60°, φ=30° zo=0.5λ, zs=0.1λ RE(Ax) IM(Ax) RE(Ay) IM(Ay) RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.3 -4 10-6 -2 10-6 0 2 10-6 4 10-6 6 10-6 0 20 40 60 80 100

POTENZIALE NON TRASFORMATO f=3GHz, d=0.7λ, a=0.1λ, θ =60°, φ =30° zo=0.5λ, zs=0.1λ RE(Ax) IM(Ax) RE(Ay) IM(Ay) RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.4

-2 10-5 -1.5 10-5 -1 10-5 -5 10-6 0 5 10-6 1 10-5 0 50 100 150 200 POTENZIALE TRASFORMATO f=3GHz, d=0.7λ, a=0.01λ, θ =60°, φ =30° zo=0.5λ, zs=0.1λ RE(Ax) IM(Ax) RE(Ay) IM(Ay) RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.5 -8 10-6 -6 10-6 -4 10-6 -2 10-6 0 2 10-6 4 10-6 6 10-6 0 20 40 60 80 100

POTENZIALE NON TRASFORMATO f=3GHz, d=0.7λ, a=0.01λ, θ =60°, φ= 30° zo=0.5λ, zs=0.1λ RE(Ax) IM(Ax) RE(Ay) IM(Ay) RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.6

Merita citare il caso in cui la periodicità W è uguale ad un multiplo intero della lunghezza d’onda. Come mostrato nei seguenti due grafici 2.7 e 2.8, la convergenza della serie non trasformata è estremamente lenta, mentre la serie trasformata non risente di questa particolare scelta di We raggiuge la convergenza come nei casi precedenti.

-4 10-5 -3 10-5 -2 10-5 -1 10-5 0 1 10-5 0 10 20 30 40 50 POTENZIALE TRASFORMATO d=0.5λ, a=0.05λ, zs=0.2λ, zo=0.5λ θ=0°, φ=0°, f=3GHz RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.7 -3 10-5 -2.5 10-5 -2 10-5 -1.5 10-5 -1 10-5 -5 10-6 0 5 10-6 1 10-5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000

POTENZIALE NON TRASFORMATO d=0.5λ, a=0.05λ, zs=0.2λ, zo=0.5λ θ=0°, φ=0°, f=3GHz RE(Az) IM(Az) Numero Termini grafico 2.8

Le prove relative alla guida d’onda sono state effettuate nel seguente modo: fissate le coordinate ,x y z del punto di osservazione, le coordinate ,_{o o}, _o x y della sorgente sono state _{s s} scelte coincidenti con ,x y mentre _{o o} z è stata fatta tendere a _s z . La guida considerata è del _o tipo X-band WR-90 le cui dimensioni sono a=2.186cm e b=1.016cm.

7,05 10-6 7,1 10-6 7,15 10-6 7,2 10-6 7,25 10-6 7,3 10-6 7,35 10-6 7,4 10-6 -1 10-10 0 1 10-10 2 10-10 3 10-10 4 10-10 5 10-10 0 10 20 30 40 50 POTENZIALE TRASFORMATO

f=8GHz, xo=xs=0.018λ, yo=ys=0.01λ, zo=0.1λ, zs=0.075λ

NUMERO TERMINI grafico 2.9 -2 10-6 0 2 10-6 4 10-6 6 10-6 8 10-6 1 10-5 1,2 10-5 0 50 100 150 200

POTENZIALE NON TRASFORMATO

f=8GHz, xo=xs=0.018λ, yo=ys=0.01λ, zo=0.1 λ, zs=0.075λ

RE(A)

IM(A)

NUMERO_TERMINI grafico 2.10

6,5 10-5 7 10-5 7,5 10-5 8 10-5 8,5 10-5 9 10-5 9,5 10-5 0,0001 0,000105 -2 10-9 -1,5 10-9 -1 10-9 -5 10-10 0 5 10-10 0 10 20 30 40 50 POTENZIALE TRASFORMATO

f=8GHz, xo=xs=0.018λ, yo=ys=0.01λ, zo=0.1 λ, zs=0.09λ

NUMERO TERMINI grafico 2.11 -2 10-5 0 2 10-5 4 10-5 6 10-5 8 10-5 0,0001 0,00012 0 50 100 150 200

POTENZIALE NON TRASFORMATO

f=8GHz, xo=xs=0.018λ, yo=ys=0.01λ, zo=0.1 λ, zs=0.09λ

RE(A) IM(A)

NUMERO TERMINI

0 0,001 0,002 0,003 0,004 -2 10-8 -1,5 10-8 -1 10-8 -5 10-9 0 5 10-9 0 50 100 150 200 POTENZIALE TRASFORMATO

f=8GHz, xo=xs=0.018λ, yo=ys=0.01λ, zo=0.1 λ, zs=0.099λ

NUMERO TERMINI grafico 2.13 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0 10 20 30 40 50

POTENZIALE NON TRASFORMATO

f=8GHz, xo=xs=0.018λ, yo=ys=0.01λ, zo=0.1λ, zs=0.099λ RE(A) IM(A)

NUMERO TERMINI

Dai risultati delle prove mostrati nei grafici precedenti, nei quali il numero di termini è riferito a ciascuna delle due sommatorie che compaiono nella (2.2.3), si può concludere che anche nel caso della trasformazione del potenziale vettore bidimensionale, la rapidità della convergenza è influenzata maggiormente dalla distanza z z− _s fra punto di osservazione e sorgente. Questo termine, infatti, compare nell’argomento dell’esponenziale negativo presente nella (2.2.3) il quale tende a zero meno rapidamente man mano che z tende a _s z . La convergenza _o nel dominio trasformato risulta comunque più rapida di quella nel dominio non trasformato fino a valori di z z− _s superiori ad un millesimo di λ . Questo valore limite risulta inferiore di un fattore 10 rispetto a quello individuato per la trasformazione monodimensionale.

Infine occorre notare che anche nel caso di x_s ≠x_o oppure di y_s ≠ y_o si ottiene un comportamento simile a quello riscontrato nelle prove descritte in precedenza.