2. Trova la distanza fra i piani paralleli 2x + 4y − z = 3 e 2x + 4y − z = −7.

ESERCIZI DI MATEMATICA

1. Siano A, B, C e D quattro punti dello spazio R

. Dimostra che se le rette AB e DC sono sghembe, lo sono anche le rette AC e BD.

2. Trova la distanza fra i piani paralleli 2x + 4y − z = 3 e 2x + 4y − z = −7.

3. A pag. 1232 del libro di testo si trova la formula della distanza di un punto A = (x

, y

, z

) da un piano α di equazione ax + by + cz + d = 0:

d(A, α) = |ax

+ by

+ cz

+ d|

√

a

+ b

+ c

Sul libro la dimostrazione non c’è: prova a darla tu. (consiglio: opera sullo spazio una traslazione che porti il punto A nell’origine, definisci un vettore applicato nell’origine e passante per A, che incontra il piano traslato nel punto B...)

4. In generale cosa si ottiene se si intersecano fra loro tre piani? Quali casi possono darsi?

5. Cosa ottieni intersecando i piani α, β e γ di equazioni:

α : x + y + 2z = 3 β : −x − y + z = 1 γ : x + 3y + 5z = 4

Che cosa accade invece se intersechi α e β con il piano δ di equazione −x − y + 7z = 9 ? Qual è la differenza fra questi due casi?

6. Sono date le rette:

r :

( 10x − 5y + 4z = −17 2x + 4y − 9z = 7

s : (x, y, z) = (7k, 0, −5k) + (−3, −1, 2) (a) verifica che r e s sono sghembe;

(b) trova le equazioni di due piani paralleli, π

eπ

, tali che il primo contenga la retta r e il secondo la retta s;

(c) trova la distanza fra r e s;

(d) calcola l’angolo formato da r e s.