ESERCIZI AGGIUNTIVI EQUAZIONI ESPONENZIALI

(1)

ESERCIZI AGGIUNTIVI EQUAZIONI ESPONENZIALI

Esempio 23 [è presente una sola base]

Risolvere la seguente equazione esponenziale:

1 2 3

2 + 2^x + 2^x⁺ + 2^x⁺ = 2^x⁺ Utilizzando le proprietà delle potenze si ottiene:

0 2

2 2 2 2 4 2 8

1

2 2

x x x x

x x

+ + ⋅ + ⋅ − =

= ⇒ =

⋅

2 2

2

^x⁺

+ 2

⁻ ^x

= 17

Utilizzando le proprietà delle potenze si ottiene:

4 2 4 1 17

2

x

⋅ + ⋅ x =

Posto

2

^x

=

t (e ricordando che

2

^x

≠ 0

) , si ottiene la seguente equazione di 2°

grado:

4⋅t2 −17⋅ + =t 4 0 le cui soluzioni sono t₁

= 4

^, 2

1 t = 4^.

Tenuto conto della posizione fatta, si hanno le seguenti soluzioni:

2

^x

= 2

2 ⇒ x

= 4

1 2

2 2 impossibile

4

x = = − ⇒

2⋅e2^x − ⋅6 e^x + =3 0 Posto e^x = t, si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

2 3 3

2 6 3 0

t − t + = → =t ±2 le cui soluzioni sono ₁ 3 3

t = +2 ^, 2

3 3

t = −2 ^.

dove con A(x) e B(x) indicano due opportune funzioni nell’incognita x . Per le condizioni di esistenza dei logaritmi deve essere: A(x) > 0 e B(x) > 0 . Dal momento che

loga A( x ) = loga B( x ) Û A( x ) = B( x )

per risolvere l’equazione è sufficiente cercare le soluzioni di A(x) = B(x) e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.

In modo più formale possiamo scrivere:

(2)

3 3 3 3

2 ln 2

ex = + ⇒ x = +

3 3 3 3

2 ln 2

ex = − ⇒ x = −

Risolvere l’equazione esponenziale:

4 3 2

3 ^x − 3 ^x − ⋅7 3 ^x +3^x + =6 0 Posto 3^x = t, si ottiene la seguente equazione di 4° grado:

( )( )( )( )

4 3 7 2 6 0 3 2 1 1 0

t −t − t + + =t → t − t + t − t + =

le cui radici sono t₁

= 3

^,t2

= − 2

^,t3

= 1

^,t4

= − 1

^.

3^x = 3 ⇒ x = 1 3^x = 1⇒ x = 0 3^x

= −

2 ⇒ impossibile 3^x

= −

1 ⇒ impossibile

2− e^x + 2 e^x −1 = 0 L’equazione può essere scritta nella forma:

2 e^x −1 = e^x − 2 da cui si ottiene il seguente sistema

( )

²

2 0

4 1 2

x

x x

e

e e



− ≥



− = −



Notando che e^x − ≥2 0 ⇒ e^x − >1 0 ⇒ e^x −1 = e^x −1, si ottiene:

( ) ( )

( )

2 2

2 0 2

8 8 0

4 1 2

2 4 2 2

4 2 2

ln 4 2 2

x x

x

x x

e e

e x

− ≥

 

≥



→

 

− + =

− = −





≥

 ⇒

= +



= ±



= +

(3)

Utilizzando le proprietà delle potenze si ottiene:

0 2

2 2 2 2 4 2 8

1

2 2

x x x x

x x

+ + ⋅ + ⋅ − =

= ⇒ =

⋅

Esempio 29 [un esercizio più impegnativo]

(

₂ ₋₁

)

^x ₊

(

₂ ₊₁

)

^x ₌ _{2 2}

Per risolvere questa equazione dobbiamo riportarla ad una forma più conveniente.

Moltiplichiamo entrambi i membri per

(

₂ ₊₁

)

^x e otteniamo:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ( ) ( ) ] ( )

( ) ( )

2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 1

2 1 1 2 2 2 1

2 1 2 2 2 1 1 0

x x x x

x

x x

− + + ⋅ − = −

− + = −

− − − + =

Posto

(

2 −1

)

^x = t, si ottiene la seguente equazione di 2° grado:

2 2 2 1 0

t − ⋅ + =t

le cui soluzioni sono t₁ = 2 +1^,t2 = 2 −1^.

(

₂ −₁

)

^x = ₂ −₁ ⇒ x = ₁

( ) ( 2 1 )( 2 1 ) 1

2 1 2 1 1

2 1 2 1

x

+ −

x

− = + = = ⇒ = −

− −

Notiamo a questo punto che la risoluzione dell’esercizio sarebbe stata più rapida se avessimo notato subito che:

2 1 1

2 1

+ = −

ponendo poi

(

₂ ₋₁

)

^x ₌ _t, si ottiene immediatamente l’equazione seguente 1 2 2

t + =t

Esempio 30 [equazione non esponenziale]

Risolvere la seguente equazione (non esponenziale):

( )

^x x x = x

Notiamo che l’incognita compare sia come base che negli esponenti. Non si tratta quindi di un’equazione esponenziale. Notiamo inoltre che l’espressione ha significato solo se x > 0^.

La precedente equazione si può scrivere come:

(4)

(

^{1 2}

)

^x ²

x x x

x

=

x ⇒ x

=

x

Si ottengono due casi distinti (base pari a 1 oppure base diversa da 1):

2

0 1

1

4 0 1

1 4

4 0

1 4

x x

x

x x

> ∧ ≠



= ∨





=

> ∧ ≠

= ∨

 ⇒

=

− =



= ∨ =

(5)

EQUAZIONI LOGARITMICHE

Definizione 5 [Equazione logaritmica]

Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare solamente nell’argomento di almeno un logaritmo.

Sottolineiamo che si può parlare di equazione logaritmica solo quando l’incognita compare esclusivamente all’interno degli argomenti di uno o più logaritmi.

Esempio 31 [tipi equazioni]

•

^log (

x

+ ³ ) = ⁵

è un’equazione logaritmica;

•

(

^x²

⁻ ¹ ) ^⋅ ^{ln 2} ⁼ ⁷

^e

⁽

²^x ⁺¹

⁾

^⋅^log³

⁽

³^x ⁺¹

⁾

⁼ ⁷ non sono equazioni logaritmiche.

Consideriamo le equazioni logaritmiche che possiamo scrivere nella forma:

( ) ( )

log

_a A x

= log

_a B x

dove con ^A

( )

^x ^e^B

( )

^x indicano due opportune funzioni nell’incognita x. Per le condizioni di esistenza dei logaritmi deve essere: A

( )

x

> ⁰

e B

( )

x

> ⁰

. Dal momento che

( ) ( ) ( ) ( )

log

_a A x

= log

_aB x

⇔

A x

=

B x

per risolvere l’equazione è sufficiente cercare le soluzioni di ^A

( ) ( )

^x

=

^B ^x ^e controllare successivamente se queste soddisfano le condizioni di esistenza.

( ) ( )

( ) 0

log log ( ) 0

( ) ( )

a a

A x

A x B x B x

A x B x

>



= ⇔



>



=



Vediamo adesso alcuni semplici esempi di equazioni logaritmiche.

Esempio 32 [equazione logaritmica]

( ³ ) ^log ² ^log ( ² ³ )

log

x

+

x

+ = +

x

+

Condizioni di esistenza:

3 2

0 0

3 0 3 0

2 3 0

x x

x x x

x x

>



>

 

+ > → > − → >

 



+ >



> −

 

cioè C.E.: x>0.

Applichiamo adesso la proprietà del logaritmo di un prodotto:

( )

[ ] [ ( ) ] (

²

) ⁽ ⁾

log

x

⋅

x

+ 3 = log 2 ⋅ 2

x

+ 3 → log

x

+ 3

x

= log 4

x

+ 6

Passando all’uguaglianza degli argomenti:

(6)

( ) ( )

² ³ ⁴ ⁶ ² ⁶ ⁰

A x = B x → x + x = x + → x − − =x

1 2

1 25

2; 3 x = ±2 → x = − x =

Il valore -2 non soddisfa la condizione di esistenza posta (x>0), che è invece soddisfatta da x₂

= 3

. L’unica soluzione dell’equazione logaritmica iniziale è dunque x = 3^.

Esempio 33 [utilizzo di un’incognita ausiliaria]

( ^log ) ² ^log

3

³ ⁰

2

3 x

−

x

− =

La condizione di esistenza del logaritmo è x>0. Posto

log

₃ x

=

t, otteniamo:

2 2 3 0 1 1 3 1 3; 2 1

t − t − = → = ±t + → t = t = −

da cui:

27 3

log

₃ x

= →

x₁

=

3

1 1

log

₃ x

= − →

x₂

=

.

Entrambe le soluzioni sono accettabili perché soddisfano le condizioni di esistenza.

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Per disequazione esponenziale si intende una disequazione del tipo

( ) ( )

f x g x

a > b

( ) ( )

f x g x

a < b con a e b numeri reali positivi e diversi da 1.

Come per le equazioni esponenziali, non c’è una regola comune da seguire per la loro soluzione. La prima cosa da fare è trasformare le potenze dei due membri della disequazione in potenze aventi la stessa base, per poi risolvere la diseguaglianza tra gli esponenti. Bisogna inoltre ricordare che

: 1 : 0 1

x y

a a a a x y

∀ ∈ > > ⇔ >

∀ ∈ < < > ⇔ <

ℝ ℝ

(7)

Supponiamo allora di aver ricondotto la disequazione assegnata alla forma

( ) ( )

f x h x

a > a

possono allora presentarsi due casi (a seconda che la base sia maggiore di 1 o compresa tra 0 e 1)

( ) ( )

1

( ) ( )

f x h x

a f x h x

a a

>

 ⇒

>



>

 oppure

( ) ( )

0 1

( ) ( )

f x h x

a f x h x

a a

< <

 ⇒

<



>



Se invece la è stata ricondotta alla forma

( ) ( )

f x h x

a

<

a

1

x y

a

a a x y

>

> ⇔ >

a

x

a

y

y x

1

x y

a

a a x y

<

> ⇔ <

a

x

a

y

y x

a

y

(8)

si ha:

( ) ( )

1

( ) ( )

f x h x

a f x h x

a a

>

 ⇒

<



<

 oppure

( ) ( )

0 1

( ) ( )

f x h x

a f x h x

a a

< <

 ⇒

>



<



Vediamo adesso alcuni semplici esempi introduttivi.

Esempio 34 [sono presenti due basi diverse]

Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

2 1

6 3⋅ ^x + 20 5⋅ ^x < 5^x⁺ + 3^x⁺ ^. Trasformiamo l’equazione nella forma seguente:

( ) ( ) ( )

¹

6 3 3 3 25 5 20 5

3 3 5 5

5 3 5 5

3 5 3 3

1 (la base è maggiore di 1)

x x x x

x x

x

−

⋅ − ⋅ < ⋅ − ⋅

⋅ < ⋅

> → >

> −

Avremmo potuto risolvere questo esercizio anche in modo leggermente diverso:

2 1

6 3⋅ ^x + 20 5⋅ ^x < 5^x⁺ + 3^x⁺ . da cui segue

( )

³5 ^{3 3}⁵3

( ) ( )

³5^{5 5} ³5 ¹ 1

(la base è adesso minore di 1)

x x

x

−

⋅ < ⋅

< → <

> −

Risolviamo adesso alcuni esercizi utilizzando opportune variabili ausiliarie.

2 1

2 ^x⁺ − ⋅3 2^x + >1 0

Posto 2^x = t, si ottiene la seguente disequazione di 2° grado:

2

1 2 1

2

3 9 8 3 1

2 3 1 0

4 4

1

2

^x

2

^x

1 1 0

t t t

t t

x x

± − ±

− + > → = =

< ∨ >

⇒

< − ∨ >

(9)

32^x −3^x − ≤2 0

Posto 3^x = t, si ottiene la seguente disequazione di 2° grado:

2 1 1 8 1 3

2 0

2 2

3 1

1 2 1 3 2

3 2

x x

x

t t t

t

± + ±

− − ≤ → = =

≥ −

− ≤ ≤ → − ≤ ≤ ⇔ 

≤



La disuguaglianza 3^x ≥ −1 è soddisfatta ∀ ∈x ℝ, le soluzioni sono quindi:

log 23

3^x

≤

3

→

x

≤

log 23

Esempio 37 [è presente una sola base, minore di 1]

( ) ²

²

( ) ²

27 30 8 0

3 3

x x

⋅ − ⋅ + ≥

Posto

( ) ²

3

x

= t, si ottiene la seguente disequazione di 2° grado:

( ) ( )

2 15 225 216 15 3

27 30 8 0

27 27

4 2

9 3

2 4

3 9 2 1 2

2 2

3 3 1

x

t t t

t t

x

x x

x

± − ±

− + ≥ → = =

≤ ∨ ≥

≤ ⇒ ≥ 

⇒ ≤ ∨ ≥



≥ ⇒ ≤ 

3^x 2^x ^x 2 2 0

e −e − e ⁺ + e ≤

Posto e^x = t, si ottiene la seguente disequazione di 3° grado:

( ) ( )

( )( )( )

3 2 2 2

2 2

0

1 1 0

1 0

t t e t e

t t e t

t e t e t

− − ⋅ + ≤

− − − ≤

− + − ≤

le cui soluzioni sono:

1 1

0 1

x x

t e t e

e e e e

x

≤ − ∨ ≤ ≤

≤ ≤

(10)

Osserviamo che la disuguaglianza e^x ≤ −e non è mai soddisfatta.

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Per disequazione logaritmica si intende una disequazione del tipo

[ ] [ ]

log

_a f x

( ) > log

_b g x

( )

con a e b numeri reali positivi e diversi da 1.

Anche per le disequazioni logaritmiche non c’è una regola comune da seguire per la loro soluzione, perché ogni caso è diverso dal precedente. Comunque la prima regola da seguire è trasformare i due membri in logaritmi aventi la stessa base:

[ ] [ ]

log

_a f x

( ) > log

_a h x

( )

per poi passare alla diseguaglianza degli argomenti e risolvere la diseguaglianza che ne deriva. Occorre contemporaneamente tener conto delle condizioni di esistenza dei singoli logaritmi e dell’espressione nel suo complesso (derivanti dai denominatori, dalle radici, ecc.).

Per passare da una disequazione di questo tipo a una fra i due argomenti dobbiamo ricordare il comportamento della funzione logaritmica:

• la funzione y

= log

_ax risulta strettamente monotòna crescente quando 1

a > ^;

• la funzione y

= log

_a x risulta strettamente monotòna decrescente quando 0 < a <1^.

In base a quanto appena detto, abbiamo:

1 2 1 2 1 2

, 0, : 1 log log

, 0, : 0 1 log log

a a

x x a a x x x x

∀ > ∀ ∈ > > ⇔ >

∀ > ∀ ∈ < < > ⇔ <

ℝ ℝ

Possimamo adesso riassumere le condizioni minime (cioè le condizioni che dobbiamo applicare quando l’espressione nel suo complesso non presenta problemi di esistenza):

Quando a

> 1

, si ottiene:

[ ] [ ]

( ) 0 ( ) 0

log_a ( ) log_a ( ) ( ) ( )

f x f x

g x g x

f x h x f x h x

> >

 

 

> → >

 



>



>

 

Quando

0 <

a

< 1

, si ottiene invece:

[ ] [ ]

( ) 0 ( ) 0

log_a ( ) log_a ( ) ( ) ( )

f x f x

g x g x

f x h x f x h x

> >

 

 

> → >

 



>



<

 

(11)

condizioni di esistenza dell’espressione (denominatori, radici, ecc.), possiamo concludere che le soluzioni di una disequazione logaritmica del tipo considerato si ottengono risolvendo il sistema formato da:

• le condizioni di esistenza della disequazione;

• la disequazione che si ottiene dalla disuguaglianza degli argomenti.

Prima di iniziare la risoluzione del sistema è buona norma controllare se vi sono condizioni ridondanti, in modo da escluderle nei passaggi successivi.

Vediamo adesso alcuni semplici esempi introduttivi.

Esempio 39 [disequazione logaritmica]

( ¹ ) ²

log

₅ x

− <

Poiché 2

= ⋅ = ⋅

2 1 2 log 5₅

=

log 5₅ ²

=

log 25₅ , riscriviamo la disequazione nel modo seguente:

( ¹ ) ^log ²⁵

log

₅ x

− <

₅

Notiamo che la base dei logaritmi è maggiore di 1, si ha quindi:

( ) 0

log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

a a

f x

f x g x g x

f x g x

>



< ⇔



>



<

 Dobbiamo risolvere il sistema:

{

^x^x ^{− >}^{− <}¹¹ ⁰²⁵ ^→

{

^x^x ^<^>¹²⁶

Le soluzioni della disequazione di partenza sono: 1<x<26.

( )

1 1

3 3

log x − 4 > log 5x^. Notiamo che la base dei logaritmi è minore di 1, si ha quindi:

( ) 0

log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

a a

f x

f x g x g x

f x g x

>



> ⇔  >

 _<

4 0 4 4

0 0 0 4

4 5 4 4 1

x x x

x x x x

− > > >

  

  

> → > → > → >

  

 − <  > −  > −

  

Le soluzioni della disequazione di partenza sono: x > 4^.

(12)

( )

ln lnx −1 > 2^.

Notiamo che la base dei logaritmi è maggiore di 1, si ha quindi:

( ) 0

log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

a a

f x

f x g x g x

f x g x

>



> ⇔



>



>

2 2

1

2 1

2

ln 1 0

0 0

0 ln 1 ln ln

ln 1

e e

x x x

x x e

x e x e

x e

+ +

− >

  >  >

 > → → → >

  

− > >

 

 − >



Le soluzioni della disequazione sono: x > e^{1 e}⁺ ²^.

Esempio 42 [disequazione logaritmica-goniometrica]

2 2

log sin

x

− log cos

x

> 0

^. Dobbiamo risolvere il sistema:

2 2 2

sin 0 sin 0

cos 0 cos 0

log tan 0 log tan log 1

sin 0

cos 0 2 2

4 2

tan 1

x x

x

x k x k

x

π π π π

> >

 

 

> → >

 



>



>

 

>



> → + < < +



>



Le soluzioni della disequazione sono: 2 2

4 k x 2 k

π

+

π

< <

π

+

π

^.

(13)

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI MEDIANTE I LOGARITMI

Le equazioni esponenziali risolubili con i logaritmi

Alcune equazioni esponenziali si possono risolvere anche sfruttando le proprietà dei logaritmi, gli esempi che seguono illustrano sinteticamente il procedimento.

Esempio 43 [risoluzione mediante i logaritmi]

1

2 3

5

7⋅ ^x = ^x⁺

Poiché entrambi i membri dell’equazione sono numeri positivi, possiamo applicare il logaritmo naturale e trovare un’equazione equivalente:

( ) ⁽ ⁾

( )

2 1

ln 7 5 ln 3 ln 7 2 ln 5 1 ln 3

2 ln 5 ln 3 ln 3 ln 7 2 ln 5 ln 3 ln 3 ln 7

ln 3 ln 7 2 ln 5 ln 3

x x x x

x x

⋅ =

+

→ + = +

− = −

= −

−

Esempio 44 [risoluzione alternativa]

Il precedente esercizio può essere risolto anche in modo diverso, come mostrano i passaggi che seguono.

1

2

3

5 7 ⋅

^x

=

^x⁺ Sfruttando le proprietà delle potenze si ha:

( )

2 1

25 3

7 5 3 7 25 3 3

25 3 3

3 7 log 7

x x x x

x

⋅ =

+

→ ⋅ = ⋅

= → =

Applicando le proprietà dei logaritmi e cambiando la base, si ottiene:

25 3

ln3

3 7 ln 3 ln 7

log 7 25 2 ln 5 ln 3 ln 3

x = = = −

−

Abbiamo dunque ottenuto il precedente risultato (ovvio…).

Le disequazioni esponenziali risolubili con i logaritmi

Esempio 45 [risoluzione mediante i logaritmi]

3

6 3

4 2 5

x

− x

< ⋅