Proiezione ortogonale di un pto su una retta
Sfere e piani
Circonferenze nello spazio
Linee
Cilindri
Proiezione ortogonale di una linea su un piano
Rosalba Barattero
ESERCITAZIONE N.8
3 maggio 2010
ESERCIZIO 1.
Proiezione ortogonale di un pto su una retta - sfere
Data la retta r:
0
0 1 z x
y
x e il punto P(1,0,-1), determinare:
a) la proiezione ortogonale Q di P su r b) una sfera passante per P e Q
a)
r:
0
0 1 z x
y
x
x z
x
y 1
t z
t y
t x
1 rappr. param. di r
vr =(1,1,-1) //N
: 1(x-1)+1(y-0)-1(z+1)=0 => : x+y-z-2=0 Q= r :
0 2 1
z y x
t z
t y
t x
t=31 Q(31,34,31).
per def. la P.O. di P su r è il pto Qr t.c.
Q= r , con
piano per P, r P Q
r ur
N
2
b) Una sfera passante per P e Q è ad es. la sfera di centro C pto medio di PQ e raggio
2 ) , (PQ d
C= 2 Q P
=
6 , 4 6 ,4 6 4 2
3) , 1 3 ,4 3 (1 (1,0,-1)
d(P,Q)=lunghezza di Q-P= 2 32 2 2
1 a a
a con Q-P=(a1,a2,a3)
Q(31,34,13), P(1,0,-1)Q-P=
3 ,2 3 ,4 3 2
d(P,Q)= 94 169 49 236
2 ) , (PQ
d = 3
6
Sfera: 9
) 6 6 ( 4 6) ( 4 6)
(x4 2 y 2 z 2
3
ESERCIZIO 2.
Riconoscimento di circonferenze nello spazio Sia dataC : 3 4 15 20 4 4 0 ::S
2 2 2
y
x
y x z y
x .
a) provare cheC è una circonferenza b) trovare centro e raggio di C .
1. Sfera di centro C(a1, a2, a3) e raggio R0 è per def. l’in- sieme delle soluzioni dell’equazione
(x- a1)2+(y- a2)2+(z- a3)2= R2
S: x2+ y2+ z2-2x-4y-4=0 . Completiamo i quadrati : (x2-2x+12-12)+(y2 -4y +22-22)+ z2-4 =0
S: (x-1)2 -1 + (y-2)2 -4 + z2-4 =0 S: (x-1)2 + (y-2)2 + z2 =9
S è la sfera di centro C(1,2,0) e raggio R=3
Per provare che C è una
circonferenza occorre verificare che:
1. S è una sfera, è un piano 2. d(C, ) <R
(x-1)2 (y-2)2
2. Occorre ora verificare che sia d(C,)<3, ossia la distanza del centro C(1,2,0) dal piano : 3x-4y+15=0 sia minore del raggio della sfera, in tal caso S =C conC circonferenza.
d(C, ) =d(C,Q)
con Q P.O. di s su : Q= s s: retta per C di vettore dir.
N =(3,-4,0)
s:
t z
t y
t x
) 0 ( 0
) 4 ( 2
) 3 (
1 Q:
0 15 4 3
0 4 2
3 1
y x z
t y
t x
0 15 16 8 9 3
0 4 2
3 1
t t
z t y
t x
5 -2 t 0 10 25
0 4 2
3 1
t z
t y
t x
Q:
0 5 18 5 2 8
5 -1 5 1 6
z y x
C
Q
s
C N
d(C,Q) = 1 51 2 2 18520
= 2 < 3 OK !
N.B. Qui Q=C1 centro della circonferenza sezione di S con
b) trovare centro C1 e raggio r di C .
r2+[d(C,C1)]2=R2
sostituendo si ha: r2 =9-4 =5 r= 5
- C1 è la P.O. di C su : già trovato ! C1=
,0 5 ,18 5 1
- r è t.c. r2+[d(C,C1)]2=R2
6
ESERCIZIO 3.
Studio di una linea Sia L:
t t z
t y
t t x
2 2
1 al variare di tR.
a) Stabilire se L è piana
b) Determinare la forma cartesiana di L
a) L è piana per def. se è contenuta in un piano ogni suo pto sta in un piano.
E’ facile determinare pti di L : t=0 A(0,1,0)L
t=1 B(0,2,2)L t=-1 C(2,0,0)L etc.
e se questi 3 pti NON sono allineati possiamo determinare il piano A,B,C e poi verificare se tutti i pti di L stanno su o no e quindi dedurre se L è piana o no.
Proviamo:
B-A=(0,1,2) , C-A=(2,-1,0) sono L.I. A, B, C individuano il piano di equazione : 0
0 1 2
2 1 0
1
z
y x
: x+2y-z-2=0.
: x+2y-z-2=0 contiene L (t2-t,t+1, t2+t)L tR
t2-t+2t+2- t2-t-2 =0 tR :vero !
Ma allora c’è un II MODO !
7
Consideriamo l’equazione di un generico piano ax+by+cz+d=0 E vediamo se a, b, c, d R, non tutti nulli t.c. l’equazione del generico piano sia soddisfatta da tutti i pti di L : a(t2-t)+b(t+1)+c(t2+t)+d=0 tR
Anche qua potremmo sostituire a t dei valori numerici.
Ma quanti ce ne occorrono? E la scelta è proprio a caso ? Il max n di relazioni L.I.(su a,b,c,d) che ci occorre è 3 o 4?
E’ 3 poiché i coefficienti a,b,c,d del piano sono determinati a meno di un fattore di proporzionalità, nel senso che, essendo almeno uno dei 4 coefficienti non nullo, se ad es.
a0 allora ax+by+cz+d=0 equivale a x ba y ac z da 0, e i coefficienti essenziali sono 3.
Ma il modo più rapido e matematico, è stabilire se a,b,c,d non tutti nulli t.c. a(t2-t)+b(t+1)+c(t2+t)+d=0 tR con la tecnica dei polinomi.
Riscriviamo ordinando secondo le potenze (decrescenti) di t:
(*) (a+c)t2 + (-a+b+c)t +(b+d) =0 tR
Questa è un’eqne di II grado nell’incognita t ( se i coeffi- cienti di t non sono tutti nulli ! ) e quindi per il teorema fondamentale dell’algebra ha in R al massimo 2 radici.
Ne ha infinite se o solo se tutti i coefficienti sono nulli: 0 t2 +0 t+0 =0 tR .
( Si tratta del teorema d’identità dei polinomi e si usa dire talvolta che l’equazione è indeterminata .)
Quindi imponiamo che in (*) i coefficienti siano nulli :
0 0 0
d b
c b a
c a
c d
c b
c a
2 2
1 soluzioni, definite a meno di un fattore di propor- zionalità non nullo ( qui ad es. c )
Scelto ad es. c=1 si trova : a=-1, b=-2, d=2
Il piano esiste ed è : -x-2y+z+2=0 OK !
Ma il piano si può trovare anche (a volte!) attraverso l’eliminazione del parametro t
t t z
t y
t t x
2 2
1 , operazione di passaggio dalla forma parametrica alla cartesiana b)
t t z
t y
t t x
2 2
1
t z x
y t
t t x
2 1
2
2 2 1
2
y z x
y t
t t x
L:
2 2
) 1 ( ) 1
( 2
y z x
y y
x
Rappresentazione in forma cartesiana della linea come intersezione di due superfici: un piano e una superficie di II° grado.
Ia-IIIa
Il piano !
ESERCIZIO 4.
Linee piane - Cilindri - proiezioni ortogonali
Sia Lk :
2 3
3 2
kt t z
t kt y
kt t x
al variare di t in R.
a) Dire se esistono valori reali di k tali che Lk sia piana e,per tali valori determinare il piano che la contiene.
b) Posto k=0, determinare equazioni parametriche per la curva ottenuta proiettando ortogonalmente L0 sul piano x-z=0.
a)L è piana per def. se è contenuta in un piano ogni suo pto sta in un piano.
Come nell'esercizio precedente consideriamo l’equazione di un generico piano ax+by+cz+d=0 e vediamo se a, b, c, d R, non tutti nulli t.c. l’equazione del generico piano sia soddisfatta da tutti i pti di L :
a(t2+kt)+b(kt3-t)+c(t3+kt2)+d=0 tR
Riscriviamo ordinando secondo le potenze (decrescenti) di t:
(*) (bk+c)t3 + (a+ck)t2 +(ak-b)t +d=0 tR e imponiamo che in (*) tutti i coefficienti siano nulli :
10
4.
0
3.
0
2.
0
1.
0
d b ak
ck a
c bk
0 . 4
(*) 0 ) 1 ( 3.) da ne sostituzio per
( 0
. 1
-ck b 2.) (per
. 3
2.
3 3
2
d
k c c
ck ak b
ck a
Da (*) , tenendo conto che 1-k3 = (1-k) (1+k+k2), per la legge dell’annullamento del prodotto, discutendo su k, ricaviamo :
I. 1-k3 0 (che equivale a k1: (1-k3=(1-k)(1+k+k2)) e c=0. Ma se c=0 la soluzione del sistema precedente diventa a=b=c=d=0 e non esiste alcun piano.
II. Se invece k=1, in (*) c può assumere qualsiasi valore.
Otteniamo la quaterna soluzione del sistema (a,b,c,d) =(-c,-c,c,0)
Il piano esiste ed è : -cx-cy+cz=0 , che possiamo dividere per c (perchè c può essere supposto non nullo) e quindi il piano è: -x-y+z=0
11
Osservazione per k=1 si ha L1 :
2 3
3 2
t t z
t t y
t t x
e notiamo che una delle eliminazioni del parametro t dà : x+y=z . Ritroviamo il piano ! Questa semplice osservazione può rivelarsi estremamente veloce nei casi fortunati !
b) Si ha L0:
3 2
t z
t y
t x
al variare di t in R , il piano : x-z=0.
Rette per P, parallele a N=(1,0,-1) con P che scorre su L0 :
(-1)u t
z
(0)u y
(1)u t
x
3 2
t cioè
F:
u t z
t y
u t x
3 2
F al variare di t, u in R è il cilindro che proietta L0 parallelamente a N .
P L
M
N
Il cilindro è per def. una superficie rigata, luogo di rette parallele ad un vettore fissato (dette generatrici) che si appoggiano ( = sono incidenti ) ad una curva
La linea M ( curva) proiezione ortogonale di una linea L su un piano è l’intersezione tra il cilindro con generatrici parallele al vettore normale al piano, che si appoggia alla linea L e il piano
M= F:
0 z x
3.
u t
2.
1.
3 2
z t y
u t x
M :
2 2
2 3 3
2 2 3
t t t
z t y
t t t
x
tR (per sostituzione in 1.2.3.)
linea (rappresentata in forma parametrica) proiezione ortogonale di L sul piano : x-z=0
t2+u-t3 +u=0
ricavo u in funzione di t u= 2
t t3 2
