8.1 - Urti tra due punti materiali

(1)

Un urto `e un evento isolato nel quale una forza relativamente intensa agisce, per un tempo relativamente breve, sui corpi che entrano in contatto tra loro;

le forze in tal caso vengono detteimpulsive. Consideriamo ad esempio due oggetti che entrano in contatto tra loro: le forze che si sprigionano nel contatto tra i due corpi, saranno ~F(t) e − ~F(t) per il 3^◦principio, e dal 2^◦principio ^{d ~}_dt^P = ~F(t) ⇒ d ~P = ~F(t)dt da cui integrando:

R d ~P = ∆ ~P =Rtf

ti

F~(t)dt

quest’ultimo integrale al 2^◦membro possiamo chiamarlo ~J =Rtf

ti

F~(t)dt ed

è definito come impulso dell’urto. Graficamente l’impulso è l’area della curva F(t) tra t_i e t_f e la relazione che abbiamo trovato ∆ ~P = ~J è detto Teorema dell’impulso. Confrontando l’espressioni di prima abbiamo quindi che ~J = F ∆t (F ≡ F medio) e ∆t è la durata dell’urto. In altre parole un impulso, che è dovuto all’applicazione di una qualche forza in un intervallo di tempo, produce una variazione di quantità di moto. Du- rante gli urti, nonostante le forze che intervengono sono in genereintensee producono impulsi grandi, esse sono comunqueinterneal sistema costituito dagli oggetti urtanti ed il tempodi interazione è invece moltopiccolo. Se ci troviamo in queste condizioni le forze esterne al sistema (quali ad es. la forza di gravità ) possono produrre impulsi molto piccoli e trascurabili rispetto alle variazioni di impulso del’urto stesso. Allora il sistema di oggetti che urta è praticamente

chiuso ed isolato

Per tali sistemi abbiamo visto che dal momento che F~_ext = 0 ⇒ ^{d ~}_dt^P = 0 ⇒ P~_tot = cost~ Questo significa che in tutti i tipi di urto si ha la conservazione della quantit`a di moto totale

In ogni caso poichè a priori non è nota la natura delle forze interne non si può assumere a priori la conservazione dell’energia meccanica e quindiin generale negli urti non si può a priori assumere che si conserva l’energia cinetica

8.2 Urti elastici ed anelastici

(2)

Nicola GigliettoA.A. 2013/14

8.2 Urti elastici ed anelastici

Gli urti nei quali si conserva l’energia cinetica si dicono elastici Tutti gli altri tipi di urto sono inveceanelastici nei quali l’energia cinetica non

`e conservatae viene dissipata (totalmente o in parte) in energia termica, acustica o in deformazioni dei corpi che si urtano. Nel caso in cui nell’urto i corpi si incastrano per formare un unico oggetto finale si parla di urto totalmente anelastico.

Sistema laboratorio e sistema CM

Dal momento che il sistema `e chiuso ed isolato si ha ~v_cm = ^P^P^m_mⁱ^~^vⁱ

i = ^P^~_M^tot e quindi essendo ~P_tot = cost e M=cost ⇒ ~v_cm = cost Tuttavia possiamo studiare il legame tra le quantità viste nel sistema CM da quelle nel sistema inerziale. Nel CM ~P^′ = 0 e il legame delle velocità è ~v₁ = ~v^′₁ + ~v_cm e

~v₂= ~v^′₂+~v_cminoltre la q.di.m. `e : ~P = m₁v~₁+m₂~v₂ = (m₁+m₂)~v_cm⇒ dal confronto di queste due equazioni viene immediatamente che m1~v^′₁+m2~v^′₂ = 0 La descrizione nel sistema CM quindi `e

P~^′ = 0 ⇒ m₁~v^′_i,1+ m₂~v^′_i,2= 0 = m₁~v^′_f,1+ m₂~v^′_f,2⇒

~

p^′_1,i = −~p^′_2.i e ~p^′_1,f = −~p^′_2.f (1) Nel CM quindi le particelle appaiono arrivare una contro l’altra verso il CM stesso.

8.2 - Urto completamente anelastico

Consideriamo due punti che urtano in generale si avr`a : ~p_1,i + ~p_2,i =

~

p_1,f + ~p_2,f che è la conservazione della q.di m. per questo sistema Se a seguito dell’urto i due punti rimangono attaccati insieme si parlerà di ur- to totalmente anelastico per cui si avrà : P~_tot,f = (M₁ + M₂)~v_f e P~_in= M1~v₁+ M2~v₂ quindi si ottiene

M₁~v₁+ M₂~v₂ = (M₁+ M₂)~v_f = (M₁+ M₂)~v_cm L’energia cin. invece prima e dopo l’urto cambia: E_k,i= ¹₂M₁v₁²+¹₂M₂v₂²= ¹₂(M₁+ M₂)v_cm² + E_k^′ (t.koenig) E_k,f = ¹₂(M₁ + M₂)v_f² = ¹₂(M₁+ M₂)v²_cm < E_k,i In definitiva dopo l’urto manca il termine di energia rispetto al CM e l’energia totale `e

(3)

diminuita: ∆E_k= −E^′k = ¹₂(M₁+ M₂)v²_cm−¹₂M₁v²₁−¹₂M₂v₂² In pra- tica quindi nell’urto le forze interne hanno compiuto un lavoro in termini di deformazione del corpo, che non viene pi`u recuperato (quindi le forze interne in questo tipo di urti non sono conservative)

Parte I

Esempio 8.4: pendolo balistico

Esempio 10.2: pendolo balistico

v

h

Ilpendolo balisticoè un dispositivo che veniva usato per misurare la velocità di un proiettile. Il pendolo balistico è costituito da un blocco di legno, di massa M = 5.4 Kg, tenuto sospeso da due funi. Un proiettile di massa m = 9.5 g è sparato contro il blocco e si arresta entro esso. Il sistema blocco+proiettile si sposta verso destra sollevandosi di h = 6.3 cm. Qual’era la velocità del proiettile al momento dell’urto? La soluzione del problema avviene distinguendo l’evento in due fasi:

a) Urto (1d)

b) Moto del sistema urtato (subito dopo l’urto)

La fase (a) la risolviamo come urto La fase (b) la possiamo trattare usando il teorema di conservazione dell’en. meccanicaNella fase (a) invece non possiamo considerare la conservazione dell’energia perchè vi è un processo di urto che in questo caso è totalmente anelastico. L’urto è totalmente anelastico in quanto alla fine i due oggetti urtanti sono uniti.Avremo pertantom1v1+ m2v2= (m1+ m2)vf

(tutto sullo stesso asse) conv₁ = v_p, m₁ = m e m₂ = M e v₂ = 0 in quan- to inizialmente fermo. Quindi si avr`a mvp = (m + M)vf (1)Fase (b):

Il sistema blocco+proiettile ha adesso una certa velocità v_f (stiamo anche supponendo cheè passato cos`ı poco tempoche di fatto non si è mosso) ed è

(4)

soggetto solo a forze conservative (il peso)⇒ l’energia meccanicadopo l’ur- tosi conserva: Ep,i+ E_k,i= E_p,f+ E_k,f con Ep,i= 0 eE_k,i= ¹₂(M + m)v²_f, E_p,f = (M + m)gh e E_k,f = 0 (si ferma)⇒(M + m)gh = ¹₂(M + m)v_f² ⇒ v_f² = 2gh (2) Mettendo ora a sistema la (1) con la (2) otteniamov_p =

m+M

m v_f = ^m+M_m √

2gh = 630 m/s

8.3 - Urti elastici

Un urto `e definito elastico quando si ha la conservazione dell’e- nergia cinetica. In questo tipo di urti abbiamo che:

m1~v_1,i+ m2~v_2,i= m1~v_1,f + m2~v_2,f (2) ed inoltre

Ek,i= 1

2m1v²_1,i+1

2m2v_2,i² = 1

2m1v²_1,f +1

2m2v²_2,f = Ek,f (3) Queste due equazioni possiamo metterle a sistema. Risolviamo per`o il sistema nel caso di urto centrale che avviene quando il i punti materiali prima e dopo l’urto si muovono lungo la medesima retta (urto 1d)

(1) ⇒ ¹₂m₁v²_1,i−¹₂m₁v_1,f² = ¹₂m₂v_2,f² −¹₂m₂v²_2,i (

(2) ⇒m₁v_1,i− m1v_1,f = m₂v_2,f − m2v_2,i (1) ⇒m1(v²_1,i− v1,f² ) = m2(v²_2,f− v²2,i) (

(2) ⇒m₁(v_1,i− v1,f) = m₂(v_2,f− v2,i) per cui dividendo membro a membro si ottiene

m₁(v²_1,i− v²1,f)

m₁(v_1,i− v1,f) = m₂(v_2,f² − v2,i² ) m₂(v_2,f − v2,i)

Ricordando che le differenze di quadrati si scompongono a² − b² = (a − b)(a + b) si ottiene

v_1,i+ v_1,f = v_2,i+ v_2,f

(5)

da lasciare a sistema sempre con una delle altre equazioni del sistema di partenza. Se ad esempio ricaviamo la v_1,f da questa e la sostituiamo nell’eq.

(1) della q.di.moto si ottiene:

v_2,f = 2m₁v_1,i+ (m₂− m1)v_2,i m1+ m2

v_1,f = 2m2v_2,i+ (m1− m²)v_1,i m1+ m2

Rispetto al CM la descrizione dell’urto elastico comporta che: ~v^′_1,f = −~v^′1,i

e~v^′_2,f = −~v^′2,i

Parte II

1 casi particolari

Casi particolari

Assumiamo che il corpo 2 sia inizialmente fermo v_2,i = 0 allora le equazioni appena trovate diventano come caso particolare:

v_1,f = (m1− m²) m₁+ m₂ v_1,i v_2,f = 2m₁

m1+ m2

v_1,i

Possiamo ancora definire altre situazioni particolari (sempre per v2,i = 0):

1. m₁ = m₂ in questo sotto-caso si ha: v_1,f = 0 e v_2,f = v_1,i ovvero l’oggetto che urta si ferma ed il secondo si muover`a con la stessa velocit`a del primo;

2. bersaglio massiccio (ad es. urto contro parete): m₂ ≫ m1 ⇒ v1,f =

−m2

m2 v_1,i = −v1,i e v_2,f = 0: il proiettile rimbalza e l’oggetto colpito rimane fermo.

3. proiettile massiccio: m₁ ≫ m2 ⇒ v1,f = v1, i e v_2,f = 2v_1,iil proiettile prosegue indisturbato, ilbersaglio “schizza via”.

Es. 10.4

(6)

Nicola GigliettoA.A. 2013/14 1 CASI PARTICOLARI

Es. 10.4

M1 M2

Due sfere metalliche, come in figura, sono inizialmente in contatto. La sfera 1 ha massa m1 = 30 g viene lasciata dopo essere sollevata verso sinistra sino ad una altezza h1 = 8.0 cm. Nella caduta urta elasticamente la massa m2= 75 g. Qual’è la velocità v1,f della sfera 1 dopo l’urto? Il processo è a due fasi:

a) caduta sfera;

b) urto tra due sfere(considerate come punti materiali) a)⇒ M1gh = ¹₂M₁v₁² da cui v₁ = √

2gh = 1.25 m/s b) L’urto `e elastico il sistema da risolvere `e

1

2M1v₁²= ¹₂M1v_1,f² +¹₂M2v_2,f² (

⇒ M₁v₁ = M₁v_1,f + M₂v_2,f

v_1,f = ^M_M¹^−M²

1+M2v₁ =−0.54 m/s Esempio urto 2d

Esempio urto 2d

Es. 10.5

Due punti si urtano in modo totalmente anelastico con velocit`a v₁ diretta nel verso positivo dell’asse x e v₂ nel verso positivo dell’asse y. Supponendo che l’urto avvenga nell’origine, che m₁ = 83 Kg, m2 = 55 Kg, v1=6.2 km/h e v2=7.8 Km/h, determinare ~v_f.

(7)

y

x v1

m1

v2 m2

θ vf

Urto totalmente anelastico: ~P1,i+ ~P2,i = ~P_f P_1x+ 0 = P_{f x} m₁v₁= (m₁+ m₂)v_x

(

⇒ (

0 + P_2y = P_{f y} m₂v₂= (m₁+ m₂)v_y ed essendo vx= V cosθ e vy= V sinθ si havx= V cosθ = _m^m¹

1+m₂v1evy = V sinθ =

m₂

m₁+m₂v2da cui V =pv₁²+ v²₂= . . . =4.86 Km/hetanθ = ^v_v^y

x = ^m_m²^v²

1v₁ = ^55·7.8_83·6.2 = 0.834 da cuiθ = 39.8^◦

8.4 Urto anelastico (generico)

Nell’urto anelastico comune i punti dopo l’urto sono di nuovo separati. Come per tutti gli urti si conserva solo la quantit`a di moto, mentre l’energia cinetica viene in parte dissipata. Nei problemi di generico urto anelastico deve essere fornito un ulteriore dato per conoscere lo stato finale del sistema. Definiamo il coefficiente di restituzione il rapporto e = −^p_p^′^1,f^′

1,i = −^v_v^1,f^′^′

1,i e per la (1) vista in 8.2 si ha e = −^p_p^′^2,f^′_2,i = −^v_v^′^2,f^′_2,i Di conseguenza si pu`o calcolare la variazione relativa di energia cinetica: δ = ^∆E_E′ ^k

k,i = e²− 1 I casi visti in precedenza sono compresi in questa espressione (urto elasticoe = 1 ⇒ δ = 0 e totalmente anelasticoe = 0 ⇒ δ = −1)

Esercizio

Un punto materiale di massa m=1 kg urta anelasticamente un ogget- to di massa M=3 kg fermo inizialmente. A seguito proseguono insieme su un piano orizzontale scabro (µd = 0.3)per 2 m prima di fermarsi.

Qual’era la velocit`a iniziale? urto: mv = (M + m)V_f cons. energia

⇒ −¹₂(M + m)V_f² = −µd(M + m)gsV_f²= 2µ_dgs

(8)

Parte III

8.5 Urti con corpi rigidi

Nell’urto tra punti materiali e corpi rigidi o tra corpi rigidi, bisogna tenere conto che le forze sviluppate nell’urto sono impulsive e si possono trascurare i contributi delle forze esterne. Se i corpi che urtano sono senza vincoli, si avrà comunque la conservazione della quantità di moto, mentre se ci sono vincoli, come abbiamo visto per i corpi rigidi, si avrà la conservazione del momento angolare (per qualunque scelta di polo). In quest’ultimo caso ovviamente l’effetto del vincolo è di comunicare un impulso che sarà del tipo ~J =R Rdt~ con ~Rla reazione vincolare.

Esempio 8.10 urto tot.anelastico tra pto e asta libera

Esempio 8.10 urto tot.anelastico tra pto e asta li- bera

Un’asta di massa m₁, lunghezza l, `e ferma in un piano orizzontale liscio.

Ad un certo momento viene colpito da un punto materiale m2 e velocit`a v perpendicolare all’asta colpisce l’asta ad una distanza x dal centro O e ci rimane attaccato. Determinare la velocit`a lineare ed angolare del sistema

dopo l’urto.

O

m2

x

Per prima cosa valutiamo la posizione del CM: l’asta possiamo riassu- marla come un punto materiale localizzato nel suo centro se il riferimen- to ha origine in O il CM ha coordinate: x_cm = _m^m²^x

1+m2 ⇒ (x − xcm) =

m1

m1+m2x nell’urto si conserva la q.di m. quindi m2~v = (m1 + m2)~v_cm ⇒

~v_cm = _m^m²

1+m2~v Prima e dopo l’urto il CM prosegue con la stessa velocit`a Per quanto riguarda la rotazione assumiamo come polo il punto O

(9)

e per la conservazione del momento angolare L_O= (x − xcm)m₂v = I_Oω e IO= (₁₂¹ m1l²+ m1x²_cm) + m2(x − x^cm)² di conseguenza si avr`a :

ω = (x − xcm)m₂v

m1l²

12 + m1x²_cm+ m2(x − x^cm)² = m₁m₂xv

(m₁+ m₂)(^m₁₂¹^l² + m₁_(m^m²²^x²

1+m2)² + m₂_(m^m²¹^x²

1+m2)²)

= m₂xv

(m1+m2)l²

12 + m₂x² La rotazione non avviene solo se x=0

Esempio 8.11-Urto complet.anelastico tra asta vincolata e pto

Esempio 8.11-Urto complet.anelastico tra asta vin- colata e pto

Come nell’esempio precedente solo che l’asta è vincolata nell’estremo O. In questo esercizio l’asta è lunga l e m₁ = m₂ = m. Il punto m₂ urta ad una distanza r ≤ l da O e rimane fissato sull’asta. Calcoliamo la velocità angolare. Quando c’è un vincolo possiamo tener conto della conservazione del momento angolare L_O= mvr = I_Oω e I_O= ₃¹ml²+ mr² ⇒ ω = _l2/3+r^rv ²

La quantità di moto invece non si è conservata a causa del vincolo: ~J = ∆ ~P e abbiamo che ~P_i= m~v e ~P_f = mωrû_v+^ml₂ ωû_v= m(r + ₂^l)ωû_v Pertanto l’impulso della reazione vincolare è ~J = m[ω(r +₂^l) − v]ûv = mlv^r/2−l/3_l2/3+r²uˆ_v