Fisica Generale LA

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Fisica Generale LA Prof. Nicola Semprini Cesari

Prova Scritta del 15 Settembre 2017

Meccanica

Q1) Un aereo, in volo con velocità costante di modulo v₀ 900km h/ ad una quota h₀ 2000m, lascia cadere una massa m che deve colpire un punto al suolo che giace sulla parallela alla propria traiettoria. Determinare la distanza tra la verticale dell’aereo al momento del lancio e quella del bersaglio.

Q2) Dato un punto materiale di massa m posto in un campo di forze la cui energia potenziale ha l’espressione V x y z( , , )y² (con  costante positiva) e sapendo che al tempo t _o 0 il punto si trova nel punto P



x y zo^, o^, o



con velocità v_o v i_o ^ˆ, determinare: a) la forza a cui è soggetto il punto all’istante t_o; b) le equazioni cartesiane del moto; c) il lavoro fatto dalla forza dall’istante iniziale al tempo ^t₁ ^{/ 2} ^m^{/ 2} .

Q6) Commentare la seconda equazione cardinale nel caso di sistemi meccanici rigidi rotanti attorno ad un asse fisso.

Termodinamica

1) Un gas monoatomico, in uno stato iniziale con temperatura T₀ 300 Ke pressione p₀ 15atm, si espande attraverso una trasformazione adiabatica quasi statica dimezzando il valore della pressione. Determinare la temperatura finale.

2) Una macchina di Carnot lavora tra due serbatoi di calore di temperatura T_H 800 Ke

L 400

T  Kcedendo, al serbatoio freddo, una frazione di calore Q_L 10000J . Determinare il rendimento termodinamico della macchina ed il lavoro compiuto in un ciclo.

3) Si commenti in dettaglio il concetto di entropia.

O

A Q4) Un punto materiale di massa m, inizialmente in quiete, scivola senza

attrito lungo un profilo semicircolare di raggio R disposto su di un piano verticale (vedi figura). Determinare la reazione vincolare fornita dal profilo quando il punto materiale transita nel punto A di minima quota.

Q5) Discutere il concetto di energia meccanica specificando a quali sistemi meccanici è applicabile.

Q3) Un disco omogeneo di massa M e raggio R, disposto su di un piano verticale e libero di ruotare attorno ad un asse normale passante per la posizione eccentrica O, è trattenuto nella posizione iniziale indicata in figura con il diametro passante per O in posizione orizzontale.

Determinare la distanza di O dal centro affinché l’accelerazione iniziale del centro di massa, qualora il disco venisse liberato, valga g/3.

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SOLUZIONI Meccanica Q1)

2

0 0

2 0 0

0 0

' '

1 2

2 2

1 0

2

Riferimento con l origine sulla verticale al suolo dell aereo al momento dello sgancio Coordinate della massa sganciata

y y gt x v t

Cooordinate della massa sganciata al suolo

y y

y gt t x v

g g

Quindi la distanza tra l

  

   

2

1000 2 2000

900 5048, 2

3600 9.81 /

e verticali vale

m m

x m

s m s

  

Q2) a)

La forza si ottiene facendo il gradiente (cambiato di segno) dell’energia potenziale:

F  V 

0

2

0

x

y

z

F V

x

F V y

y F V

z d

d

d a

d d d ìïï =- = ïïïï

ïï =- = -

íïïï

ïï = - =

ïïïî b)

L’accelerazione a cui è soggetto il corpo è 0, 2 , 0

F y

a m m



  

   che in coordinate cartesiane diventa

0 2

0 x

y y

m z

a ì =ïï ïïï = - íïïï ï =ïî

Poiché lungo x e z l’accelerazione è nulla si ha un moto rettilineo uniforme, mentre lungo y si ha

y y 2

F ma   y

che conduce ad un’equazione differenziale del tipo 2 2

2 0 0

my y y y y y

m

  

        con ²

m

 

caratteristica di un moto armonico:

(3)

le equazione del moto sono dunque

(

₀

)

₀

( )

( ) cos cos 2

( )

o ox

o oz

x t x v t

y t A t A t

m z t z v t

w j a j

ì = +

ïïïï æ ö

ï ç ÷

ï = + = ç + ÷

í ç ÷

ï çè ÷ø

ïïï = + ïïî

imponendo le condizioni iniziali si ottiene ( )

( ) cos 2

( )

o o

o

x t x v t

y t y t

m z t z

a

ì = +

ïïïï æ ö

ï ç ÷

ï = ç ÷

í ç ÷

ï çè ÷ø

ïïï = ïïî c)

Il lavoro fatto tra due generici istanti o posizioni vale

2 2

1 2 ( 1 2)

LV V  y y

Dunque occorre solo le coordinate y nei due istanti:

2 2

( ) cos (0) ( ) cos cos 0

2 2 2 2 2

o o o o

m m

y t y t y y y y y

m m

a p a p p

a a

æ ö æ ö æ ö

ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷

= çèç ø÷÷ = = èçç ÷ø÷= èçç ÷÷ø=

da cui

2 2 2

1 2 ( 1 2) 0

LV V  y y y

Q3)

2 2

2 2 2 2

2 2 2

ˆ

[( ) ( )] (1 )

2

1 ( 2 )

2

1 1

( 2 ) ( 2 )

2 2 3

( 2 )1 / 2

6

e

CM CM CM

CM

M I

i y j Mgk MR My

Mg y M R y dZ yd Z y Z y

Z g

Mg y M R y M R y

y y

y R y y R

 



   

 

    

     

     

  

Q4)

2

1 2

2

2 3

V

mg R m v v g R

R mg m a mv mg

R

R mg

 

   



(4)

Termodinamica Q1)

1 1 3

( ) ( )

2 2 2 2

2 1

1 1 1

0

0 ( ) 0

( )

ln ln( ) ( ) 300( )1 227.4

2

V V

V

V V

V

R R

c R c R

nc dT pdV pdV Vdp nRdT pdV nRdT Vdp

nc dT nRdT Vdp nc dT nRdT nRT dp p

dT dP dT R dP

c R R

T P T c R P

T P P

T T K

T P P

  

   

 

     

    



   

Q2)

1 1 400 0.5

800

10000

1 0.5 10000

1 1 0.5

L H

L L L

H H

T T

Q Q Q

L Q L Q

Q Q



  

 

    

       

 